СОВЕРШЕННЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

                                                                       Часть I

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Начинаю статью, которую собиралась написать очень давно. Пока я знаю только о совершенных квадратах четвёртого порядка и всего об одном совершенном квадрате восьмого порядка, найденном в Сети.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

 

Магический квадрат порядка n=4k, k=1, 2, 3… называется совершенным, если он пандиагональный и обладает рядом дополнительных свойств, которые будут перечислены далее.

 

Итак, начинаю с совершенных квадратов четвёртого порядка. Все 384 пандиагональных квадрата четвёртого порядка являются совершенными. С учётом основных преобразований совершенных квадратов, как и пандиагональных, будет 48, а с учётом параллельных переносов на торе всего 3. На рис. 1 вы видите один из 384 совершенных квадратов четвёртого порядка.

 

 

                                                                                         Рис. 1

 

Понятно, что все основные преобразования и преобразования параллельного переноса на торе сохраняют свойства совершенного квадрата. Именно поэтому три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка дают 384 совершенных квадрата.

Совершенные (они же пандиагональные) квадраты четвёртого порядка были исследованы мной в статье “Пандиагональные квадраты” (http://www.klassikpoez.narod.ru/pandiagon.htm )

 

                        Повторю здесь все свойства совершенных квадратов четвёртого порядка.

 

Свойство 1. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата четвёртого порядка, равна магической константе квадрата.

 

Таких квадратов 2х2 в квадрате четвёртого порядка 9 штук. Посчитайте сумму чисел в любом таком квадрате, она равна магической константе квадрата – 34.

 

Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках совершенного квадрата четвёртого порядка равна магической константе квадрата.

 

1 + 12 + 8 + 13 = 34

 

Свойство 3. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках любого квадрата 3х3, находящегося внутри совершенного квадрата четвёртого порядка, равна магической константе квадрата.

 

В квадрате четвёртого порядка находятся 4 квадрата 3х3. Вот, например, сумма чисел в угловых ячейках одного из таких квадратов:

 

1 + 7 + 10 + 16 = 34

 

Свойство 4. если в совершенный квадрат четвёртого порядка вписать квадрат 2х2 с вершинами в серединах сторон совершенного квадрата (рис. 2), то сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата.

 

 

                                             Рис. 2

 

Свойство 5. В каждой строке совершенного квадрата четвёртого порядка есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S₁, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S₂, так что S₁ + S₂ = 34 (магическая константа квадрата).

 

В квадрате, изображённом на рис. 1, в каждой строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 19. При этом пара чисел с суммой 15 в первой строке находится в начале строки, во второй строке – в конце строки, в третьей строке снова в начале строки и в четвёртой строке – в конце строки. Аналогично чередуется и расположение пары чисел с суммой 19.

 

Свойство 6. В каждом столбце совершенного квадрата четвёртого порядка есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S₃, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S₄, так что S₃ + S₄ = 34.

 

В квадрате на рис. 1 S₃ = 16, S₄ = 18. Пары чисел с суммами S₃ и S₄ точно так же расположены попеременно то в начале, то в конце столбца.

 

Свойство 7. В совершенном квадрате четвёртого порядка суммы квадратов чисел в первой и третьей (а также во второй и четвёртой) строках равны.

 

В квадрате на рис. 1 эти суммы таковы:

 

1² + 14² + 7² + 12² = 390               10² + 5² + 16² + 3² = 390

15² + 4² + 9² + 6² = 358                 8² + 11² + 2² + 13² = 358

 

Свойство 8. В совершенном квадрате четвёртого порядка суммы квадратов чисел в первом и третьем (а также во втором и четвёртом) столбцах равны.

 

В квадрате на рис. 1 эти суммы таковы:

 

1² + 15² + 10² + 8² = 390               7² + 9² + 16² + 2² = 390

14² + 4² + 5² + 11² = 358               12² + 6² + 3² + 13² = 358

 

Свойство 9. В совершенном квадрате четвёртого порядка на диагоналях как самого квадрата, так и любого квадрата 3х3, находящегося внутри него, сумма двух чисел, разделённых третьим числом, равна 17.

 

Это свойство прекрасно проиллюстрировано в статье

http://www.geocities.com/~harveyh/order4list.htm#GroupI 

шаблоном Дьюдени (см. рис. 3).

 

 

                                                               Рис. 3

 

На этом шаблоне соединены все пары комплементарных (то есть дополняющих друг друга до константы n²  + 1 = 17) чисел.

 

Вот такими свойствами обладают все совершенные квадраты четвёртого порядка. Продемонстрирую ещё один совершенный квадрат четвёртого порядка, чтобы читатели лучше увидели все свойства (рис. 4).

 

 

                                                                                         Рис. 4

 

Предлагаю читателям самостоятельно проверить все свойства совершенных квадратов для этого квадрата. Замечу, что в свойствах 5-8 значения сумм будут другими. Кроме того, в этом квадрате, в отличие от квадрата с рис. 1, суммы квадратов чисел в первой и третьей (во второй и четвёртой) строках не равны соответствующим суммам квадратов чисел в столбцах.

 

Вы можете посмотреть все совершенные квадраты четвёртого порядка по следующей ссылке:

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pan4.htm

 

Я сделала это приложение к какой-то из ранее написанных статей, где исследовала пандиагональные квадраты четвёртого порядка.

 

А теперь перехожу к исследованию совершенного квадрата восьмого порядка. Как я уже сказала, такой квадрат у меня пока всего один. Я нашла его по следующей ссылке:

 

http://vadda.livejournal.com/45317.html?mode=reply

 

Покажу копию этого квадрата (рис. 5):

 

 

                                                                                               Рис. 5

 

Квадрат заполнен числами от 0 до 63. Приведу его к привычному виду, прибавив к числам в каждой ячейке единицу. На рис. 6 вы видите этот замечательный совершенный квадрат.

 

 

                                                                                         Рис. 6

 

Исследую свойства этого квадрата.

 

Свойство 1. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата равна половине магической константы квадрата – 130.

 

Следствия этого свойства: а) сумма чисел в любом квадрате 4х4, находящемся внутри данного квадрата, равна удвоенной магической константе квадрата – 520; б) сумма чисел в любом прямоугольнике 2х4, находящемся внутри квадрата, равна магической константе квадрата – 260. Понятно, что можно говорить о сумме чисел в квадратах и прямоугольниках других размеров, которые составлены из квадратов 2х2.

 

Свойство2 . Сумма чисел в угловых ячейках совершенного квадрата восьмого порядка равна половине магической константы – 130.

 

Свойство 3. Сумма чисел в угловых ячейках любого квадрата 4х4, 5х5 и 6х6, находящихся внутри совершенного квадрата восьмого порядка, равна половине магической константы квадрата – 130.

 

Свойство 4. Если в совершенный квадрат восьмого порядка вписать квадрат 4х4 с вершинами в серединах сторон квадрата, то суммы чисел по каждой паре противоположных сторон вписанного квадрата будут равны магической константе квадрата (рис. 7).

 

 

                                                           Рис. 7

 

Суммы чисел по одной паре противоположных сторон вписанного квадрата:

 

32 + 47 + 14 + 61 + 4 + 51 + 18 + 33 = 260

 

Суммы чисел по другой паре противоположных сторон вписанного квадрата:

 

12 + 59 + 26 + 41 + 24 + 39 + 6 + 53 = 260

 

Свойство 5. В каждой строке совершенного квадрата восьмого порядка сумма первых двух пар рядом стоящих чисел равна S₁, а сумма следующих двух пар рядом стоящих чисел равна S₂, так что 2*(S₁ + S₂) = 260.

 

 В рассматриваемом совершенном квадрате S₁ = 64, S₂ = 66.

 

Свойство 6. Это свойство несколько отличается от соответствующего свойства для совершенных квадратов четвёртого порядка. В столбцах совершенного квадрата восьмого порядка суммы четырёх пар чисел, стоящих рядом, принимают четыре одинаковых значения.

 

В данном квадрате эти суммы принимают значения: 17, 49, 113, 81.

 

Свойство 7. Это и следующее свойство тоже несколько отличаются от соответствующих свойств совершенных квадратов четвёртого порядка. Здесь суммы квадратов чисел равны: в первой и пятой, во второй и шестой, в третьей и седьмой, в четвёртой и восьмой строках.

 

В нашем квадрате имеем, например:

 

в первой строке: 1² + 63² + 3² + 61² + 12² + 54² + 10² + 56² = 13996

в пятой строке: 53² + 11² + 55² + 9² + 64² + 2² + 62² + 4² = 13996

 

Суммы квадратов чисел во второй и шестой строках равны 12460, в третьей и седьмой строках – 9388, в четвёртой и восьмой строках – 8876.

 

Свойство 8. Аналогично предыдущему свойству для сумм квадратов чисел в столбцах.

 

Свойство 9. В совершенном квадрате восьмого порядка на диагоналях самого квадрата и на диагоналях любого квадрата 5х5, 6х6 и 7х7, находящегося внутри самого квадрата, сумма любых двух чисел, разделённых тремя числами, равна n² +1  = 65.

 

На рис. 8 показано соединение нескольких пар ячеек, в которых находятся комплементарные числа, аналогично шаблону Дьюдени.

 

 

                       Рис. 8

 

Как видите, все девять свойств имеют место и для совершенного квадрата восьмого порядка.

 

Вспомнила о свойствах дьявольски полумагических квадратов Франклина. Здесь есть некоторые аналогии. Например,  свойство 4 можно рассматривать так же, как для квадратов Франклина, а именно считать сумму чисел в фигуре, составленной из ячеек, попавших на стороны вписанного квадрата. Поясню наглядно. На рис. 9 вы видите выделенную фигуру, сумма чисел в которой равна удвоенной магической константе совершенного квадрата четвёртого порядка.

 

 

                                                                                         Рис. 9

 

Далее: благодаря пандиагональности совершенного квадрата эта фигура может перемещаться вверх или вниз, вправо или влево, переезжая при этом через края квадрата. Сумма чисел в фигуре будет оставаться неизменной. На рис. 10 показано перемещение фигуры вправо (или влево).

 

 

                                                                                         Рис. 10

 

Аналогично для совершенного квадрата восьмого порядка. На рис. 11 вы видите выделенную фигуру, сумма чисел в которой равна удвоенной магической константе квадрата.

 

 

                                                                                         Рис. 11

 

Фигура тоже может перемещаться влево и вправо, вверх и вниз. На рис. 11 показана фигура, смещённая влево (или вправо). Сумма чисел в фигуре при этом остаётся неизменной.

 

А вот ещё одна фигура из тех, что рассматриваются для дьявольски полумагических квадратов Франклина (рис. 12).

 

 

                                                                                         Рис. 12

 

Сумма чисел в этой фигуре тоже равна удвоенной магической константе квадрата. И точно так же фигура может двигаться влево и вправо, вверх и вниз. На рис. 13 показана фигура, смещённая влево (или вправо), а на рис. 14 – фигура, смещённая вниз (или вверх).

 

 

                                                                                         Рис. 13

 

 

                                                                                         Рис. 14

 

Вот такие интересные свойства у совершенных квадратов. Вполне возможно, что Франклин был близок к построению совершенного квадрата восьмого порядка, а может быть, даже и построил его, но он потерялся.

 

А теперь задаю вопрос: нельзя ли построить другие совершенные квадраты восьмого порядка, например, подобные рассмотренному выше? И, конечно, прежде всего смотрю, а не удастся ли применить мой универсальный метод качелей. Ведь при построении идеальных квадратов восьмого порядка я применила этот метод. Да, кажется, можно применить. Немного преобразую квадрат с рис. 6, чтобы он стал удобнее для применения метода качелей. Преобразованный квадрат вы видите на рис. 15. В квадрате выделена начальная цепочка первых 8 чисел. Очень оригинальная схема расположения начальной цепочки, такой схемы я ещё не встречала.

 

 

                                                                                         Рис. 15

 

А вот и образующая таблица квадрата (рис. 16):

 

 

                                                                                         Рис. 16

 

Конечно, формирование образующей таблицы имеет несколько особенностей. Не совсем прост и перенос чисел из образующей таблицы в матрицу для совершенного квадрата. Но в этом всегда состояла главная сложность в применении метода качелей – выявить все закономерности. Дальше дело техники. Составляем по образующей таблице программу и по этой программе получаем все совершенные квадраты данной группы, то есть подобные квадрату с рис. 15.

 

На рис. 17 покажу (раскраской циклов качания качелей), как числа из образующей таблицы переносятся в матрицу для совершенного квадрата. Повторю, что перенос происходит не совсем обычно. Но закономерность есть, ибо я запрограммировала образующую таблицу и выполнила программу, получив целую группу подобных совершенных квадратов.

 

 

                                                                                         Рис. 17

 

Присмотритесь внимательно к раскрашенным циклам качания качелей. Каждый цикл имеет свой цвет и соответствует одному столбцу образующей таблицы. Незыблемо одно: числа каждого цикла так или иначе повторяют начальную цепочку первых 8 чисел. При моём виртуозном владении методом качелей мне было совсем нетрудно увидеть все закономерности в построении этого совершенного квадрата.

 

Итак, рисую образующую таблицу в общем виде с некоторыми начальными условиями. В данном случае зафиксировано положение одного числа в начальной цепочке – 1 и положение комплементарного ему числа – 64. Зафиксирован также цикл k=7. Всё остальное варьируется. На рис. 18 вы видите образующую таблицу, порождающую группу совершенных квадратов, подобных квадрату с рис. 17.

 

 

 

                                                                                         Рис. 18

 

Дальше всё очень просто. Составляю программу для образующей таблицы с рис. 18 и получаю 72 совершенных квадрата восьмого порядка. Показываю первые 10 совершенных квадратов из файла, в который они записаны программой.

 

№ 1                                                   № 2

 1  16  17  32  50  63  34  47              1  16  25  40  50  63  26  39

 62  51  46  35  13  4  29  20              62  51  38  27  13  4  37  28

 5  12  21  28  54  59  38  43              5  12  29  36  54  59  30  35 

 58  55  42  39  9  8  25  24                58  55  34  31  9  8  33  32

 15  2  31  18  64  49  48  33              15  2  39  26  64  49  40  25

 52  61  36  45  3  14  19  30              52  61  28  37  3  14  27  38             

 11  6  27  22  60  53  44  37              11  6  35  30  60  53  36  29 

 56  57  40  41  7  10  23  26              56  57  32  33  7  10  31  34

 

 № 3                                                  № 4

 1  16  33  48  50  63  18  31              1  16  41  56  50  63  10  23 

 62  51  30  19  13  4  45  36              62  51  22  11  13  4  53  44

 5  12  37  44  54  59  22  27              5  12  45  52  54  59  14  19 

 58  55  26  23  9  8  41  40                58  55  18  15  9  8  49  48 

 15  2  47  34  64  49  32  17              15  2  55  42  64  49  24  9 

 52  61  20  29  3  14  35  46              52  61  12  21  3  14  43  54 

 11  6  43  38  60  53  28  21              11  6  51  46  60  53  20  13 

 56  57  24  25  7  10  39  42              56  57  16  17  7  10  47  50 

 

№ 5                                                   № 6   

 1  24  9  32  42  63  34  55                1  24  25  48  42  63  18  39 

 62  43  54  35  21  4  29  12              62  43  38  19  21  4  45  28 

 5  20  13  28  46  59  38  51              5  20  29  44  46  59  22  35

 58  47  50  39  17  8  25  16              58  47  34  23  17  8  41  32 

 23  2  31  10  64  41  56  33              23  2  47  26  64  41  40  17

 44  61  36  53  3  22  11  30              44  61  20  37  3  22  27  46

 19  6  27  14  60  45  52  37              19  6  43  30  60  45  36  21 

 48  57  40  49  7  18  15  26              48  57  24  33  7  18  31  42 

 

№ 7                                                   № 8

 1  24  33  56  42  63  10  31              1  32  9  40  34  63  26  55 

 62  43  30  11  21  4  53  36              62  35  54  27  29  4  37  12

 5  20  37  52  46  59  14  27              5  28  13  36  38  59  30  51 

 58  47  26  15  17  8  49  40              58  39  50  31  25  8  33  16

 23  2  55  34  64  41  32  9                31  2  39  10  64  33  56  25 

 44  61  12  29  3  22  35  54              36  61  28  53  3  30  11  38 

 19  6  51  38  60  45  28  13              27  6  35  14  60  37  52  29 

 48  57  16  25  7  18  39  50              40  57  32  49  7  26  15  34 

 

№ 9                                                   № 10

 1  32  17  48  34  63  18  47              1  40  9  48  26  63  18  55 

 62  35  46  19  29  4  45  20              62  27  54  19  37  4  45  12 

 5  28  21  44  38  59  22  43              5  36  13  44  30  59  22  51 

 58  39  42  23  25  8  41  24              58  31  50  23  33  8  41  16 

 31  2  47  18  64  33  48  17              39  2  47  10  64  25  56  17 

 36  61  20  45  3  30  19  46              28  61  20  53  3  38  11  46 

 27  6  43  22  60  37  44  21              35  6  43  14  60  29  52  21 

 40  57  24  41  7  26  23  42              32  57  24  49  7  34  15  42 

 

Примечание: все 72 совершенных квадрата выведены в отдельный файл на сайте:

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/soversh8.htm

 

Чудесные квадраты! Помнится, при построении методом качелей по известному образцу идеального квадрата восьмого порядка у меня построилось 36 идеальных квадратов. Совершенных квадратов построилось в два раза больше. Тут всё абсолютно аналогично: к известному экземпляру применён метод качелей и построена группа похожих квадратов.

 

А вот и преобразование “плюс-минус 8”, связывающее, например, квадраты № 1 и № 2. На рис. 19 вы видите матрицу этого преобразования.

 

 

 

                                                                                         Рис. 19

 

Вот такое незатейливое преобразование переводит совершенный квадрат в совершенный. А квадрат № 1 связан с квадратом с рис. 15 комбинированным преобразованием “плюс-минус”. Предлагаю читателям составить матрицу этого преобразования.

 

                                                           ***

 

6 мая 2008 г.

г. Саратов

 

    7 мая 2008 г.

 

Примечание: смотрите добавление от 7 июня в конце статьи.

 

Начала думать, как построить совершенный квадрат 12-ого порядка. Посмотрела свои статьи о квадратах данного порядка и нашла готовые совершенные квадраты. Я построила их в статье “Магические квадраты двенадцатого порядка” матричным методом, найденным в Интернете (ссылка указана в статье). Очень интересный метод! Жаль, что статья написана на английском языке.

В статье о магических квадратах 12-ого порядка я построила только три пандиагональных квадрата (матричный метод, о котором сказано выше, вообще для построения пандиагональных квадратов разных порядков; именно с помощью этого метода я построила свой первый идеальный квадрат 9-ого порядка). Уже тогда я заметила, что построенные этим методом квадраты обладают некоторыми дополнительными свойствами. Матричный метод для квадратов 12-ого порядка несколько сложный. Матрица пандиагонального квадрата получается в результате суммирования шести матриц. Мне тогда не захотелось писать программу для суммирования матриц, и я поступила проще: свернула шесть матриц в одну очень простым приёмом. И с помощью этой матрицы построила три пандиагональных квадрата, которые оказались и совершенными. Сейчас я написала-таки программу суммирования шести матриц и построила ещё три квадрата. Покажу все квадраты, потому что это очень интересные экземпляры. На рис. 20-22 вы видите эти совершенные квадраты.

 

Квадрат № 1                                                                                 Квадрат № 2

 

1	72	109	108	13	60	121	96	25	48	133	84		1	143	4	142	5	139	8	138	9	135	12	134
138	79	30	43	126	91	18	55	114	103	6	67		132	14	129	15	128	18	125	19	124	22	121	23
10	63	118	99	22	51	130	87	34	39	142	75		37	107	40	106	41	103	44	102	45	99	48	98
141	76	33	40	129	88	21	52	117	100	9	64		120	26	117	27	116	30	113	31	112	34	109	35
2	71	110	107	14	59	122	95	26	47	134	83		49	95	52	94	53	91	56	90	57	87	60	86
137	80	29	44	125	92	17	56	113	104	5	68		84	62	81	63	80	66	77	67	76	70	73	71
11	62	119	98	23	50	131	86	35	38	143	74		85	59	88	58	89	55	92	54	93	51	96	50
140	77	32	41	128	89	20	53	116	101	8	65		72	74	69	75	68	78	65	79	64	82	61	83
3	70	111	106	15	58	123	94	27	46	135	82		97	47	100	46	101	43	104	42	105	39	108	38
136	81	28	45	124	93	16	57	112	105	4	69		36	110	33	111	32	114	29	115	28	118	25	119
12	61	120	97	24	49	132	85	36	37	144	73		133	11	136	10	137	7	140	6	141	3	144	2
139	78	31	42	127	90	19	54	115	102	7	66		24	122	21	123	20	126	17	127	16	130	13	131

 

                                                                                              Рис. 20

 

На рисунке в каждом квадрате выделена начальная цепочка первых 12 чисел. Посмотрите, как она интересно расположена. И я уже вижу, что к квадратам можно применить метод качелей. Интересно: если квадрат № 2 повернуть на 90 градусов по часовой стрелке, а затем отразить относительно вертикальной оси симметрии, то его начальная цепочка совпадёт с начальной цепочкой квадрата № 1.

 

Квадрат № 3                                                                                 Квадрат № 4

 

1	120	37	132	5	116	41	128	9	112	45	124		1	132	19	138	3	130	21	136	5	128	23	134
142	27	106	15	138	31	102	19	134	35	98	23		143	14	125	8	141	16	123	10	139	18	121	12
4	117	40	129	8	113	44	125	12	109	48	121		74	59	92	65	76	57	94	63	78	55	96	61
143	26	107	14	139	30	103	18	135	34	99	22		72	85	54	79	70	87	52	81	68	89	50	83
49	72	85	84	53	68	89	80	57	64	93	76		25	108	43	114	27	106	45	112	29	104	47	110
94	75	58	63	90	79	54	67	86	83	50	71		119	38	101	32	117	40	99	34	115	42	97	36
52	69	88	81	56	65	92	77	60	61	96	73		98	35	116	41	100	33	118	39	102	31	120	37
95	74	59	62	91	78	55	66	87	82	51	70		48	109	30	103	46	111	28	105	44	113	26	107
97	24	133	36	101	20	137	32	105	16	141	28		49	84	67	90	51	82	69	88	53	80	71	86
46	123	10	111	42	127	6	115	38	131	2	119		95	62	77	56	93	64	75	58	91	66	73	60
100	21	136	33	104	17	140	29	108	13	144	25		122	11	140	17	124	9	142	15	126	7	144	13
47	122	11	110	43	126	7	114	39	130	3	118		24	133	6	127	22	135	4	129	20	137	2	131

 

                                                                                              Рис. 21

 

Квадрат № 5                                                                                 Квадрат № 6

 

1	72	74	143	25	48	98	119	49	24	122	95		1	143	74	72	3	141	76	70	5	139	78	68
142	75	69	4	118	99	45	28	94	123	21	52		108	38	35	109	106	40	33	111	104	42	31	113
15	58	88	129	39	34	112	105	63	10	136	81		43	101	116	30	45	99	118	28	47	97	120	26
132	85	59	14	108	109	35	38	84	133	11	62		138	8	65	79	136	10	63	81	134	12	61	83
5	68	78	139	29	44	102	115	53	20	126	91		13	131	86	60	15	129	88	58	17	127	90	56
138	79	65	8	114	103	41	32	90	127	17	56		96	50	23	121	94	52	21	123	92	54	19	125
19	54	92	125	43	30	116	101	67	6	140	77		55	89	128	18	57	87	130	16	59	85	132	14
128	89	55	18	104	113	31	42	80	137	7	66		126	20	53	91	124	22	51	93	122	24	49	95
9	64	82	135	33	40	106	111	57	16	130	87		25	119	98	48	27	117	100	46	29	115	102	44
134	83	61	12	110	107	37	36	86	131	13	60		84	62	11	133	82	64	9	135	80	66	7	137
23	50	96	121	47	26	120	97	71	2	144	73		67	77	140	6	69	75	142	4	71	73	144	2
124	93	51	22	100	117	27	46	76	141	3	70		114	32	41	103	112	34	39	105	110	36	37	107

 

                                                                                              Рис. 22

 

Обратите внимание на то, что во всех шести квадратах различные схемы расположения начальной цепочки. Не могу сказать, исчерпываются ли этими шестью вариантами все схемы расположения начальной цепочки в совершенных квадратах 12-ого порядка. Интересный вопрос!

 

Как понимает читатель, точно так же, как это было сделано для совершенных квадратов восьмого порядка, и здесь можно применить метод качелей хотя бы к одному квадрату, например, к квадрату № 1 (очень простая схема расположения начальной цепочки в этом квадрате) и получить группу подобных совершенных квадратов. Предлагаю читателям сделать это. Попробуйте разочек применить метод качелей, чтобы почувствовать его универсальность.

 

Перечислю некоторые свойства приведённых совершенных квадратов на примере квадрата № 1. Очень красивый квадрат! Восхищаюсь его совершенством.

Сумма чисел в угловых ячейках квадрата равна 290, это третья часть магической константы квадрата, которая равна 870. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата, тоже равна 290. Сумма чисел в угловых ячейках любого квадрата 4х4, 6х6, 8х8, 10х10 и 11х11, находящегося внутри совершенного квадрата, равна 290. В каждой строке совершенного квадрата суммы двух рядом стоящих чисел принимают попеременно два значения – 73 и 217. В каждом столбце совершенного квадрата суммы двух рядом стоящих чисел принимают попеременно два значения – 139 и 151. Просто удивительно гармонично сложен этот квадрат! Свойство комплементарности здесь тоже есть, но очень необычно: комплементарные числа располагаются по какой-то странной закономерности. Так, например, в главной диагонали комплементарны следующие пары чисел: 1 и 144, 79 и 66, 118 и 27, 40 и 105, 14 и 131, 92 и 53. В другой главной диагонали всё аналогично. А вот на диагонали квадрата 11х11 комплементарны только два числа, самые крайние, например: 138 и 7, 6 и 139. Если, конечно, квадрат 11х11 расположен так, что одна из его главных диагоналей совпадает с главной диагональю самого совершенного квадрата, то комплементарных чисел будет больше. На диагоналях квадратов порядка меньше 11 вообще нет комплементарных чисел (опять с той же оговоркой: если вершина квадрата не лежит на одной из главных диагоналей совершенного квадрата).

Наконец, покажу свойство с суммой чисел по сторонам вписанного квадрата. Буду показывать это свойство в форме фигуры, составленной из ячеек, попавших на стороны вписанного квадрата (рис. 23).

 

 

                                                                Рис. 23

 

Сумма чисел в выделенной розовым цветом фигуре равна удвоенной магической константе квадрата, а суммы по каждой паре двух противоположных сторон фигуры равны магической константе квадрата. Фигура может перемещаться по квадрату влево и вправо, вверх и вниз. Сумма чисел в фигуре при этом не меняется. На рис. 23 показана белым цветом фигура, смещённая влево (или вправо).

Выполняется свойство и для другой фигуры (рис. 24).

 

 

 

                                                                Рис. 24

 

Эта фигура аналогична той, которая рассматривается в дьявольски полумагических квадратах Франклина. Здесь сумма чисел в фигуре равна 4S/3 (S – магическая константа квадрата). Фигуру тоже можно двигать по квадрату влево и вправо, вверх и вниз (смотрите на жёлтую фигуру). Сумма чисел в фигуре при этом остаётся неизменной. Ещё интереснее в данном квадрате рассматривать другую фигуру. Поскольку сумма чисел в угловых ячейках этого квадрата равна S/3, то отбросим угловые ячейки, и тогда сумма чисел в фигуре будет равна магической константе квадрата (рис. 25).

 

 

 

                                                                Рис. 25

 

На рисунке показано основное положение фигуры в квадрате (тёмно-зелёный цвет) и её смещение влево (или вправо) и вверх (или вниз).

 

Осталось посмотреть, что получается с суммой квадратов чисел в строках и столбцах этого квадрата. Но мне не хочется сейчас считать, немного утомилась. Может быть, завтра посчитаю. А вы можете посчитать прямо сейчас.

 

А также исследуйте свойства остальных пяти совершенных квадратов. Все ли они достаточно совершенны?

 

                                                           ***

 

     8 мая 2008 г.

 

 

 

                                                                Рис. 26

 

Ну, а теперь приступаю к применению метода качелей к совершенному квадрату № 1. Что же такое всего один квадрат! Хочу построить группу подобных совершенных квадратов, как сделала это для совершенных квадратов восьмого порядка. В этом квадрате очень простая схема расположения начальной цепочки первых 12 чисел. На рис. 27 показываю образующую таблицу квадрата.

 

 

 

                                                                       Рис. 27

 

Ну что ж, главное дело сделано – образующая таблица построена. Теперь дело техники. Надо составить программу и выполнить её.

 

                                                             ***

 

10 мая 2008 г.

 

Итак, я написала программу и выполнила её. Интересно отметить, что если в программе не задавать условия для проверки дополнительных свойств совершенных квадратов, а строить просто пандиагональные квадраты, то таких квадратов строится очень много (до конца программу не выполнила ни в одном варианте, так как она выполняется долго).

Да, забыла сказать, что начальные условия в образующей таблице таковы: зафиксировано положение двух чисел в начальной цепочке – 1 и 12 и цикл k=11, всё остальное варьируется.

Я получила по программе множество совершенных квадратов, подобных совершенному квадрату № 1 (см. рис. 20). Точное количество сказать не могу, потому что не выполнила программу до конца. На рис. 28 вы видите один из полученных мной квадратов.

 

 

                                                                Рис. 28

 

Этот квадрат очень похож на квадрат № 1, у них даже в точности совпадают начальные цепочки первых 12 чисел. И всё-таки это разные квадраты. Они, наверное, связаны преобразованием “плюс-минус”. Предлагаю читателям проверить это.

Покажу образующую таблицу квадрата с рис. 28, а затем процесс переноса чисел из образующей таблицы в матрицу для совершенного квадрата для тех, кто хочет понять работу метода качелей. Я неоднократно подчёркивала, что перенос чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата в каждом конкретном случае имеет свои особенности, которые связаны со схемой расположения начальной цепочки. Как, впрочем, и формирование образующей таблицы в каждом случае имеет свои закономерности, кроме основных принципов.

 

 

 

                                                                Рис. 28

 

Итак, на рис. 29 в матрицу для совершенного квадрата с записанными в неё числами начальной цепочки первых 12 чисел перенесены числа первого столбца образующей таблицы (первый цикл качания качелей, k=5).

 

 

                                                                Рис. 29

 

Идём дальше. На рис. 30 вы видите ту же матрицу, в которой появился набор чисел из второго столбца образующей таблицы (второй цикл качания качелей, k=7).

 

 

                                                                Рис. 30

 

Ну, покажу ещё один цикл (рис. 31). Дальше предлагается читателям заполнить матрицу до конца. Когда вы заполните матрицу, получите квадрат, изображённый на рис. 28. Если возникнут трудности при заполнении, посмотрите на готовый квадрат.

 

 

                                                                Рис. 31

 

В заключение приведу ещё 6 образующих таблиц для совершенных квадратов 12-ого порядка, которые получены по программе для данной группы совершенных квадратов, то есть подобных квадрату с рис. 20. При составлении этой программы я не вставила блок превращения образующей таблицы в совершенный квадрат (в отличие от программы для квадратов восьмого порядка), лень было писать этот блок, поэтому программа выдала мне только образующие таблицы. Перенос чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата я выполнила вручную. А вам можно потренироваться – с помощью этих образующих таблиц строить совершенные квадраты. Начало переноса чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата показано выше.

 

№ 2

 1  72  85  132  37  36  97  120  49  24  133  84

 10  63  94  123  46  27  106  111  58  15  142  75

 2  71  86  131  38  35  98  119  50  23  134  83

 11  62  95  122  47  26  107  110  59  14  143  74

 3  70  87  130  39  34  99  118  51  22  135  82

 12  61  96  121  48  25  108  109  60  13  144  73

 7  66  91  126  43  30  103  114  55  18  139  78

 4  69  88  129  40  33  100  117  52  21  136  81

 8  65  92  125  44  29  104  113  56  17  140  77

 5  68  89  128  41  32  101  116  53  20  137  80

 9  64  93  124  45  28  105  112  57  16  141  76

 6  67  90  127  42  31  102  115  54  19  138  79

 

№ 3

 1  72  97  120  13  60  121  96  37  36  133  84

 10  63  106  111  22  51  130  87  46  27  142  75

 2  71  98  119  14  59  122  95  38  35  134  83

 11  62  107  110  23  50  131  86  47  26  143  74

 3  70  99  118  15  58  123  94  39  34  135  82

 12  61  108  109  24  49  132  85  48  25  144  73

 7  66  103  114  19  54  127  90  43  30  139  78

 4  69  100  117  16  57  124  93  40  33  136  81

 8  65  104  113  20  53  128  89  44  29  140  77

 5  68  101  116  17  56  125  92  41  32  137  80

 9  64  105  112  21  52  129  88  45  28  141  76

 6  67  102  115  18  55  126  91  42  31  138  79

 

№ 4

 1  72  97  120  49  24  85  132  37  36  133  84

 10  63  106  111  58  15  94  123  46  27  142  75

 2  71  98  119  50  23  86  131  38  35  134  83

 11  62  107  110  59  14  95  122  47  26  143  74

 3  70  99  118  51  22  87  130  39  34  135  82

 12  61  108  109  60  13  96  121  48  25  144  73

 7  66  103  114  55  18  91  126  43  30  139  78

 4  69  100  117  52  21  88  129  40  33  136  81

 8  65  104  113  56  17  92  125  44  29  140  77

 5  68  101  116  53  20  89  128  41  32  137  80

 9  64  105  112  57  16  93  124  45  28  141  76

 6  67  102  115  54  19  90  127  42  31  138  79

 

№ 5

 1  72  109  108  13  60  121  96  25  48  133  84

 10  63  118  99  22  51  130  87  34  39  142  75

 2  71  110  107  14  59  122  95  26  47  134  83

 11  62  119  98  23  50  131  86  35  38  143  74

 3  70  111  106  15  58  123  94  27  46  135  82

 12  61  120  97  24  49  132  85  36  37  144  73

 7  66  115  102  19  54  127  90  31  42  139  78

 4  69  112  105  16  57  124  93  28  45  136  81

 8  65  116  101  20  53  128  89  32  41  140  77

 5  68  113  104  17  56  125  92  29  44  137  80

 9  64  117  100  21  52  129  88  33  40  141  76

 6  67  114  103  18  55  126  91  30  43  138  79

 

№ 6

 1  72  109  108  49  24  85  132  25  48  133  84

 10  63  118  99  58  15  94  123  34  39  142  75

 2  71  110  107  50  23  86  131  26  47  134  83

 11  62  119  98  59  14  95  122  35  38  143  74

 3  70  111  106  51  22  87  130  27  46  135  82

 12  61  120  97  60  13  96  121  36  37  144  73

 7  66  115  102  55  18  91  126  31  42  139  78

 4  69  112  105  52  21  88  129  28  45  136  81

 8  65  116  101  56  17  92  125  32  41  140  77

 5  68  113  104  53  20  89  128  29  44  137  80

 9  64  117  100  57  16  93  124  33  40  141  76

 6  67  114  103  54  19  90  127  30  43  138  79

 

№ 7

 1  72  121  96  25  48  109  108  13  60  133  84

 10  63  130  87  34  39  118  99  22  51  142  75

 2  71  122  95  26  47  110  107  14  59  134  83

 11  62  131  86  35  38  119  98  23  50  143  74

 3  70  123  94  27  46  111  106  15  58  135  82

 12  61  132  85  36  37  120  97  24  49  144  73

 7  66  127  90  31  42  115  102  19  54  139  78

 4  69  124  93  28  45  112  105  16  57  136  81

 8  65  128  89  32  41  116  101  20  53  140  77

 5  68  125  92  29  44  113  104  17  56  137  80

 9  64  129  88  33  40  117  100  21  52  141  76

 6  67  126  91  30  43  114  103  18  55  138  79

 

 

                                                           ***

 

Теперь мне предстоит построить совершенный квадрат 16-ого порядка. Я уже попробовала построить составной совершенный квадрат на базе совершенного квадрата четвёртого порядка (он же основной), но ещё не исследовала толком полученный квадрат, надо было завершить работу с совершенными квадратами 12-ого порядка. Сейчас займусь квадратом 16-ого порядка. Что-то на первый взгляд он мне не очень понравился. Неужели универсальный метод построения составных квадратов первый раз дал сбой? Посмотрим.

 

14 мая 2008 г.

 

Итак, я обещала показать совершенный квадрат 16-ого порядка, полученный методом построения составных квадратов. Я построила его на базе совершенного квадрата четвёртого порядка, который вы видите на рис. 32, взяв в качестве основного этот же квадрат.

 

 

                                                                Рис. 32

 

На рис. 33 вы видите пандиагональный квадрат 16-ого порядка, построенный на базе этого квадрата.

 

 

                                                                Рис. 33

 

В этом квадрате выполняются не все свойства совершенных квадратов. Поэтому не знаю, можно ли считать его совершенным квадратом. Но интересен такой момент: этот квадрат состоит из 16 нетрадиционных совершенных квадратов четвёртого порядка (все они выделены красными границами).

Предоставлю читателям исследовать подробно свойства этого квадрата.

 

Итак, универсальный метод построения составных квадратов первый раз дал сбой. Составной квадрат, построенный на базе совершенного квадрата четвёртого порядка, не получился совершенным. Раньше я строила этим методом составные квадраты самых разных типов, и всегда получался квадрат того же типа.

 

16 мая 2008 г.

 

Принялась за построение совершенного квадрата 16-ого порядка методом качелей по аналогии с квадратами 12-ого порядка. И здесь получила очень интересный результат.

Как всегда, сначала попробовала построить начальную цепочку для квадрата 16-ого порядка по аналогии с квадратом 12-ого порядка (см. рис. 20, квадрат № 1). И сразу получила совершенный квадрат! Вы видите его на рис. 34.

 

 

 

                                                                                       Рис. 34

 

Этот квадрат я построила вручную, то есть без программы. Просто нарисовала образующую таблицу, вписала в неё начальную цепочку, сформировала образующую таблицу и перенесла числа из этой таблицы в матрицу для квадрата.

 

Получив такой интересный результат, я написала аналогичные начальные цепочки для квадратов 4-ого и 8-ого порядков. И тоже получила совершенные квадраты. Эти квадраты изображены на рис. 35 и рис. 36.

 

 

 

                                                                                         Рис. 35

 

 

 

                                                                                        Рис. 36

 

Следует отметить, что этот совершенный квадрат совсем другой, чем тот, что я нашла в Интернете (см. рис. 6). В этих двух квадратах разные схемы расположения начальной цепочки первых 8 чисел.

 

Теперь посмотрите на начальные цепочки четырёх представленных совершенных квадратов.

 

n=4:               1  4  3  2

n=8:               1  7  2  8  5  3  6  4

n=12:             1  10  2  11  3  12  7  4  8  5  9  6

n=16:             1  13  2  14  3  15  4  16  9  5  10  6  11  7  12  8

 

Прослеживаете закономерность в этих начальных цепочках? По-моему, она сразу бросается в глаза. И вот общая формула для начальной цепочки совершенных квадратов любого порядка n=4k, подобных представленным четырём квадратам:

 

1  n-(n/4-1)  2  n-(n/4-2)  3  n-(n/4-3) … n-1  n/4  n  n/2+1  n/2-(n/4-1)  n/2+2  n/2-(n/4-2) … n/2+(n/4-2)  n/2-2  n/2+(n/4-1)  n/2-1  n/2+n/4  n/2

 

Замечу для лучшего понимания формулы, что числа n и n/2+1 стоят в центре начальной цепочки (они выделены красным цветом).

 

Вот как будет выглядеть начальная цепочка для совершенного квадрата следующего порядка n=20:

 

1  16  2  17  3  18  4  19  5  20  11  6  12  7  13  8  14  9  15  10

 

Покажу и сам совершенный квадрат (рис. 37).

 

 

                                                                                          Рис. 37

 

Этот квадрат я тоже построила вручную. Понятно, что построение начальной цепочки и формирование образующей таблицы очень легко формализовать и запрограммировать для любого порядка n=4k. Вот только процесс переноса чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата здесь настолько хитрый, что я не вижу с ходу, как его можно формализовать. Поэтому программа будет работать по принципу: на входе порядок квадрата, на выходе образующая таблица для совершенного квадрата данного порядка. Превращение образующей таблицы в совершенный квадрат легко выполняется вручную. Хотя, конечно, можно подумать и запрограммировать и этот этап построения совершенного квадрата.

 

Итак, найдена группа частных решений для совершенных квадратов любого порядка n=4k. Точно так же раньше я нашла группу частных решений для пандиагональных квадратов порядка n=4k и для идеальных квадратов нечётных порядков, кратных 3.

Для пандиагональных квадратов составлена программа, которая при вводе нужного порядка квадрата мгновенно выдаёт образующую таблицу (смотрите статью “Метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка”

http://www.klassikpoez.narod.ru/pan4kach.htm ).

 

Предлагаю читателям составить аналогичную программу для рассмотренной группы частных решений совершенных квадратов.

 

Очень важен вопрос доказательности представленного способа построения совершенных квадратов. Показано, что способ работает для порядков 4, 8, 12, 16 и 20. Однако законы математической науки требуют доказать, что он будет работать для любого n=4k. Я вижу, например, такой путь доказательства: выразить суммы во всех строках, столбцах и диагоналях (главных и разломанных) для построенного данным методом квадрата в общем виде и убедиться, что все эти суммы будут равны магической константе квадрата. Выражать все суммы – это очень длинный и скучный процесс, поэтому я покажу сумму в одном первом столбце квадрата.

Сумма чисел в первом столбце любого квадрата, построенного данным методом, состоит из трёх различных сумм. Каждая из этих сумм есть сумма членов арифметической прогрессии. Не вдаваясь в подробности вычислений, сразу приведу выражения для каждой из этих трёх сумм.

 

S₁ = n(n + 4)/32                  S₂ =n(7n + 4)/32                 S₃ = n(2n² – n + 1)/4

 

Сложив эти три суммы, получаем выражение для суммы чисел в первом столбце квадрата:

 

S = S₁ + S₂ + S₃ = n(n² + 1)/2,

 

что, очевидно, равно магической константе квадрата.

 

***

 

Продолжение читайте здесь:

 

http://www.klasikpoez.narod.ru/soversh1.htm

 

 

7 июня 2008 г.

 

Чем больше я работаю над совершенными квадратами, тем больше узнаю о них нового и интересного. И вот надо сделать необходимую корректировку этой страницы, которая была написана до того, как я нашла в Сети статью о совершенных квадратах на английском языке и досконально изучила её. В этой статье дано определение совершенных квадратов. Оно не расходится с тем определением, которое я дала здесь. Но вот квадраты 12-ого порядка (а заодно и квадраты других порядков, кроме n=4, построенные так же) не являются совершенными. Я сразу заметила, что у них не всё в порядке со свойством комплементарности. Вот цитата:

 

“Свойство комплементарности здесь тоже есть, но очень необычно: комплементарные числа располагаются по какой-то странной закономерности. Так, например, в главной диагонали комплементарны следующие пары чисел: 1 и 144, 79 и 66, 118 и 27, 40 и 105, 14 и 131, 92 и 53”.

 

Мне не хочется удалять всё написанное об этих квадратах, потому что они очень интересны. Пусть это будет ещё один метод построения пандиагональных квадратов порядка n=4k, k=1, 2, 3…

 

Результаты работы с указанной статьёй вы можете посмотреть в следующих частях настоящей статьи. Есть очень интересный метод построения совершенных квадратов из обратимых. Мне удалось также построить совершенные квадраты методом качелей.

Читайте следующие части статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh1.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

***

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу