Эта страница для тех,

кто уже прочёл все страницы

о магических квадратах:

 

1.     Магические квадраты;

2.     Методы построения магических квадратов;

3.     Построение чётно-нечётных магических квадратов методом четырёх квадратов;

4.     Пандиагональные квадраты;

5.     Нетрадиционные магические квадраты.

 

 

 

ПОЛУМАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Квадрат, заполненный числами от 1 до n², называется полумагическим, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется.

Самым известным полумагическим квадратом является квадрат Б. Франклина 16-ого порядка (рис. 1). Магическая константа этого квадрата равна 2056, но только для сумм чисел по строкам и столбцам. Суммы по диагоналям не равны магической константе. Однако интересно отметить, что сумма чисел по обеим диагоналям, делённая пополам, даёт магическую константу: (1928 + 2184)/2 = 2056. Так получается потому, что сумма по одной диагонали на 128 меньше магической константы, а сумма по другой диагонали на эту же величину больше магической константы.

 

 

 

                                                               Рис. 1

 

Квадрат Франклина обладает одним замечательным свойством: сумма чисел в любом квадрате 4х4, находящемся в самом квадрате Франклина, равна магической константе квадрата 2056. На рис. 1 выделено несколько таких квадратов.

Сам Франклин называл построенный им квадрат “самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворённых чародеями”. Жаль, что квадрат Франклина всё-таки не является магическим в полном смысле этого слова.

 

Примечание: позже мной была написана статья “Квадраты Франклина”, в которой подробно рассказывается о полумагических квадратах Франклина восьмого и 16-ого порядка. Смотрите эту статью здесь:

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

Множество полумагических квадратов восьмого порядка было построено на шахматной доске ходом коня. Первые такие квадраты были построены ещё в XIX веке. Среди всех решений наилучшим приближением к магическому обладают маршруты, в которых суммы чисел по диагоналям равны 264 и 256, то есть наиболее близки к магической константе квадрата 260. Одно из таких решений приведено, например, в классической книге Г. Дьюдени “Amusements in Mathematics” (“Математические развлечения”), впервые опубликованной в Лондоне в 1917 г. и на русский язык не переводившейся.

 

На рис. 2 изображён полумагический квадрат, построенный в XIX веке русским математиком и шахматистом, профессором К. А. Янишем.

 

 

	50	11	24	63	14	37	26	35
8
	23	62	51	12	25	34	15	38
7
	10	49	64	21	40	13	36	27
6
	61	22	9	52	33	28	39	16
5
	48	7	60		20	41	54	29
4
	59	4	45	8	53	32	17	42
3
	6	47	2	57	44	19	30	55
2
	3	58	5	46	31	56	43	18
1
	a	b	c	d	e	f	g	h

                                                                                                                         

 

                                                          Рис. 2

 

В клетке, где стоит конь (это его исходная позиция) должно стоять число 1. Если соединить отрезками прямой клетки доски в порядке их нумерации, получится очень красивый замкнутый симметричный относительно центра доски маршрут коня. Этот полумагический квадрат имеет по диагоналям суммы 192 и 328, суммарное значение, разделённое пополам также даёт магическую константу квадрата 260.

 

Читатель журнала “Наука и жизнь” (см. № 4, 1979 г., стр. 134) А. П. Полубинский нашёл замкнутый симметричный относительно центра доски маршрут коня, дающий полумагический квадрат с максимально близкими к магической константе суммами по диагоналям квадрата: 256 и 264. Этот квадрат вы видите на рис. 3.

 

 

                                          Рис. 3

 

Понятно, что все пытались найти маршрут коня, дающий полностью магический квадрат. Однако, как сообщалось в указанном выше журнале “Наука и жизнь”, это так никому и не удалось. Не существует, видимо, и доказательства того, что нельзя ходом коня построить магический квадрат восьмого порядка.

Возможно, в последующие годы кто-нибудь достиг успеха в решении этой задачи. Мне об этом ничего неизвестно. Если кто-то знает, напишите.

 

В указанном журнале “Наука и жизнь” сообщается ещё об одном интересном полумагическом квадрате, построенном ходом коня на шахматной доске, это асимметричный незамкнутый маршрут В. Беверли (1848 г.), он был опубликован в книге М. Гарднера “Математические новеллы” (М:. 1974 г.). Этот квадрат замечателен тем, что его можно разрезать на 4 полумагических квадрата 4х4 с магической константой 130. Но квадрат в журнале не приводится.

Вот вам интересная задача: попробуйте построить ходом коня полумагический квадрат восьмого порядка, обладающий свойством квадрата Беверли.

 

В заключение одно замечание о квадрате Франклина. В статье по указанной ниже ссылке авторы почему-то говорят, что в квадрате Франклина суммы по горизонталям, вертикалям и диагоналям равны магической константе. Квадрат Франклина там приведён тот же самый, что и здесь (другого, наверное, просто и быть не может). Но как вы уже видели, квадрат Франклина является полумагическим.

Ссылка на статью:

http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic%20SQ.doc

 

Смотрите ещё о квадрате Франклина (на английском языке):

http://www.geocities.com/~harveyh/franklin.htm

 

Примечание: все материалы о полумагических квадратах, построенных ходом коня, взяты из журнала “Наука и жизнь”, № 4, 1979 г., стр. 134.

 

                                                                  ______

 

Страница помещена на сайт 1 августа 2007 г.

 

Добавление: 8 августа 2007 г.

 

Интересную информацию о полумагических квадратах, построенных ходом коня, я нашла по следующей ссылке:

 

            http://vm.msun.ru/Sakral2006/Magi_kvadrat/Obzor_madik_kub.htm

 

Во-первых, там приведён один полумагический квадрат с несимметричным и незамкнутым маршрутом коня. Воспроизвожу его здесь (см. рис. 4).

 

 

                                                                     Рис. 4

 

Далее привожу цитату из этой статьи:

“На рис. 9 изображены три полумагических обхода доски, известных еще с позапрошлого века: в них все суммы равны, кроме диагональных. А вот уравнять диагональные суммы никому не удавалось более ста лет (например, в обходе Франкони 1882 г. диагональные суммы равны 264 и 256). И только в минувшем году благодаря программе, написанной Дж. Мейриньяком, Гюнтер Стертенбрик получил окончательный ответ на эту задачу. Оказалось, что существует всего 130 полумагических обходов коня и среди них нет ни одного полностью магического (подробности на http://magictour.free.fr). Для получения этого результата программе потребовалось два месяца непрерывных вычислений на Pentium IV (с частотой 2,4 МГц)”.

Правда, почему-то все три изображённых на рис. 9 полумагических обхода доски, совершенно одинаковы. Это и есть тот полумагический квадрат, который я воспроизвела на рис. 4.

Итак, оказывается, задача построения полумагических квадратов ходом коня на шахматной доске полностью исследована и доказано, что магический квадрат получить нельзя. В цитате вы видите ещё одну ссылку. При желании можете посмотреть предложенный там материал на эту тему.

Ещё один очень интересный полумагический квадрат, который к тому же ещё и нетрадиционный (см. п. 5 в начале данной статьи), я нашла по ссылке:

http://telesmi.narod.ru/new_synthesis/page16.htm

 

Воспроизвожу квадрат на рис. 5.

 

 

 

                                                                                       Рис. 5

 

Этот квадрат имеет по строкам и столбцам суммы, равные магической константе квадрата восьмого порядка. А по диагоналям суммы не равны этой константе. Кроме того четвертушки, из которых состоит квадрат 8х8, обладают симметрией углового зеркала. Но и это ещё не всё! Автор статьи называет этот квадрат калейдоскопическим. В чём же его калейдоскопичность? Оказывается, “колёса” можно вращать и получать при этом новые полумагические квадраты с той же магической постоянной. Под “колёсами” понимаются закрашенные фигуры, состоящие из восьми чисел. Например, повернём “колёса” в левой верхней и правой нижней четвертушках на 90 градусов по часовой стрелке, а в правой верхней и в левой нижней четвертушках – на 90 градусов против часовой стрелки. Получится квадрат, который вы видите на рис 6. Он снова полумагический. Совершенно очевидно, что суммы по диагоналям при таких калейдоскопических преобразованиях не изменяются, так как все диагональные числа остаются на месте.

 

 

 

                                                   Рис. 6

 

Остаётся отметить, что статья по указанной ссылке называется “Собрание 1728 избранных…”. Речь идёт, конечно, о магических квадратах. Посмотрите статью обязательно, она очень интересна.

 

                                                                       ***

 

13 октября 2007 г.

 

Работая над задачей построения идеальных квадратов девятого порядка (см. “Магические квадраты девятого порядка”), я получила интересный полумагический квадрат. Покажу его здесь (рис. 7):

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Магическая константа квадрата девятого порядка равна 369. В приведённом квадрате нет магической суммы только по одной главной диагонали. Этот квадрат интересен ещё тем, что он полу-пандиагональный; в нём суммы в разломанных диагоналях, совпадающих по направлению с той главной диагональю, в которой магическая сумма есть, тоже равны магической константе. А в разломанных диагоналях другого направления (кроме одной) магической суммы нет.

И ещё квадрат этот является прототипом идеального квадрата, построенного Г. Александровым (см. ссылку: http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html). Именно из этого идеального квадрата он и был получен. Что означает “прототип”? Всё очень просто: имея квадрат, изображённый на рис. 7, я легко строю идеальный квадрат (под идеальным квадратом понимается такой магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный). Для этого просто надо столбцы прототипа переписать (снизу вверх) в разломанные диагонали нового квадрата, который и будет идеальным. Последний столбец переписывается в главную диагональ того же направления. Сначала покажу для наглядности, как переписаны два столбца из квадрата с рис. 7 в идеальный квадрат (рис. 8):

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

На рис. 9 изображён идеальный квадрат, заполненный до конца.

 

 

                                                                     Рис. 9

 

Вот так просто из полумагического квадрата получился идеальный квадрат!

Ещё раз повторю, что понятие “прототип идеального квадрата” я изобрела, придумывая метод построения идеального квадрата девятого порядка. Но мне удалось строить идеальные квадраты из идеальных же. А как построить идеальный квадрат из ассоциативного, я пока не придумала.

 

                                               ***

 

28 октября 2007 г.

 

Работая над статьёй “Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков”, я обнаружила интересный метод построения полумагических квадратов чётно-чётного порядка методом четырёх квадратов. О методе чётырёх квадратов подробно рассказано на странице “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”. Там этим методом строились магические квадраты. А здесь строятся полумагические квадраты. На указанной выше странице построены квадраты восьмого и 12-ого порядка. Следующий квадрат чётно-чётного порядка – квадрат 16х16. Построение этого квадрата и покажу сейчас. Матрица 16х16 разбивается на четыре квадрата 8х8. Левый верхний квадрат заполняется традиционным магическим квадратом восьмого порядка. Остальные три квадрата заполняются нетрадиционными магическими квадратами, которые получаются из основного квадрата увеличением чисел во всех ячейках на одно и то же число. Для правого верхнего квадрата это число равно 128, для левого нижнего квадрата – 192, для правого нижнего – 64. На рис. 10 вы видите заполненный таким образом квадрат.

 

 

 

                                                                     Рис. 10

 

В этом квадрате уже есть магические суммы по столбцам. Чтобы привести суммы по строкам к магической константе, надо поменять местами выделенные одинаковым цветом ломаные фигуры и столбцы. В результате таких перестановок чисел получается полумагический квадрат. Его магическая константа равна 2056. По главным диагоналям суммы равны 1800 и 2312. Как видите, эти суммы отличаются от магической константы на одну и ту же величину, одна в плюс, другая в минус. Если сложить эти суммы и поделить пополам, то получится магическая константа. Ещё интересен тот факт, что величина, на которую суммы по диагоналям отличаются от магической константы, равна 256, то есть 16², а 16 – порядок квадрата. То же самое имеет место в полумагических квадратах восьмого и 12-ого порядка, построенных этим методом в вышеуказанной статье: для квадрата восьмого порядка величина, на которую отличаются суммы по диагоналям от магической константы, равна 64=8², а для квадрата 12-ого порядка эта величина равна 144=12².

Полумагический квадрат 16-ого порядка, который сейчас построен, вы видите на рис. 11.

 

 

 

                                                                     Рис. 11

 

В самом начале этой статьи рассказано о полумагическом квадрате Франклина. Квадрат, построенный здесь, – это альтернативный вариант. Правда, данный квадрат не обладает замечательным свойством, которым обладает квадрат Франклина.

 

Предлагаю читателям задачу: доказать для общего случая квадрата порядка n=4k (k=2, 3, 4,…), что описанным здесь методом можно построить полумагический квадрат. Образец такого доказательства приведён в статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”.

 

Ещё отмечу, что в статье “Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков” я превратила полумагический квадрат восьмого порядка не только в магический, а даже в пандиагональный, по программе перестановки строк и столбцов. То же самое собираюсь сделать с полумагическим квадратом 12-ого порядка. Думаю, что это тоже должно получиться. Но тогда можно предположить далее по индукции, что и полумагический квадрат 16-ого порядка можно превратить в пандиагональный или хотя бы в магический тем же методом, то есть переставляя строки и/или столбцы. И вообще любой полумагический квадрат чётно-чётного порядка.

Интересен в связи с этим вопрос, который очень давно меня занимает: можно ли превратить квадрат Франклина в магический квадрат? Например, тем же методом перестановки строк и/или столбцов. Почему Франклин остановился на полумагическом квадрате? Или при превращении в магический этот квадрат потеряет своё замечательное свойство? Предлагаю читателям исследовать данный вопрос.

 

                                               ***

 

13 ноября 2007 г.

 

К вопросу о превращении полумагических квадратов чётно-чётных порядков, построенных методом четырёх квадратов. Как я сказала выше, полумагический квадрат восьмого порядка мне удалось превратить не только в магический, но даже в пандиагональный с помощью программы перестановки строк и столбцов, причём для данного превращения было достаточно переставить только столбцы.

 

Для полумагического квадрата 12-ого порядка превращение в пандиагональный квадрат у меня пока не получилось (программа выполняется очень долго, и я так и не довела её выполнение до конца, даже перестановку только столбцов). А вот превращение этого квадрата в магический программа выполняет мгновенно. На рис. 12 изображён магический квадрат, полученный из полумагического перестановкой только столбцов (полумагический квадрат 12-ого порядка см. в статье “Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков”).

 

 

 

                                                 Рис. 12

 

То же самое получилось и с полумагическим квадратом 16-ого порядка, который вы видите на рис. 11. Перестановка только столбцов сделала квадрат магическим, см. на рис. 13.

 

 

 

                                                                  Рис. 13

 

И точно так же остаётся открытым вопрос, можно ли  превратить полумагический квадрат 16-ого порядка с рис. 11 в пандиагональный квадрат при помощи перестановки строк и/или столбцов.

 

А сейчас я попробую ввести в программу перестановки столбцов полумагический квадрат Франклина и попытаться превратить его в магический квадрат. Этот вопрос меня давно занимает. Почему Франклин остановился на полумагическом квадрате? Может быть, если превратить его в магический, исчезнет то замечательное свойство, которым обладает квадрат Франклина? Однако всё же интересно, что получится по программе с квадратом Франклина. Сейчас посмотрю.

 

Получилось! Магический квадрат из квадрата Франклина программа перестановки столбцов построила мгновенно. Вот он:

 

 200  217  232  249  8     25    40     57    72    89   121  104  168  153  185  136

 58     39    26     7   250  231  218  199  186  167  135  154   90   103   71   122

 198  219  230  251  6      27    38    59    70    91   123  102  166  155  187  134

 60     37    28     5   252  229  220  197  188  165  133  156   92   101   69   124

 201  216  233  248  9      24    41    56    73    88   120  105  169  152  184  137

 55     42    23    10  247  234  215  202  183  170  138  151   87   106   74   119

 203  214  235  246  11    22    43    54    75     86  118  107  171  150  182  139

 53     44    21    12  245  236  213  204  181  172  140  149   85   108   76   117

 205  212  237  244  13    20    45    52    77    84   116  109  173  148  180  141

 51     46    19    14  243  238  211  206  179  174  142  147   83   110   78   115

 207  210  239  242  15    18    47    50    79    82   114  111  175  146  178  143

 49     48    17    16  241  240  209  208  177  176  144  145   81   112   80   113

 196  221  228  253  4      29    36    61    68    93   125  100  164  157  189  132

 62     35    30     3   254  227  222  195  190  163  131  158   94    99    67   126

 194  223  226  255  2      31    34    63    66    95   127   98    162  159  191  130

 64     33    32     1   256  225  224  193  192  161  129  160   96    97    65   128

 

И даже замечательное свойство квадрата Франклина, кажется, сохранилось! Я проверила суммы чисел в нескольких квадратах 4х4 в той области, где переставлены столбцы. Во всех этих квадратах сумма оказалась равной 2056 (магической константе квадрата). Тогда почему же всё-таки Франклин не сделал свой квадрат магическим? Интересный вопрос!

 

И последний вопрос для исследования: можно ли превратить квадрат Франклина в пандиагональный перестановкой строк и/или столбцов. Предлагаю читателям рассмотреть все вопросы, которые остались открытыми в этой теме.

 

                                               ***

 

   27 ноября 2007 г.

 

Как-то на досуге просуммировала числа ещё в нескольких квадратах 4х4 в том магическом квадрате 16х16, который я построила перестановкой столбцов из полумагического квадрата Франклина. И обнаружила несколько квадратов 4х4, в которых сумма не равна магической константе 2056, а равна 2052! Итак, замечательное свойство полумагического квадрата Франклина нарушилось при превращении его в магический квадрат. Я так и предполагала. Но, может быть, можно так переставить столбцы, чтобы квадрат превратился в магический и при этом не утратил своё замечательное свойство? Предлагаю читателям исследовать этот вопрос. Вдруг кто-нибудь найдёт решение! Ведь у Франклина не было компьютера и ему было трудно исследовать все варианты перестановок.

 

                                                                  ***

 

Ещё раз напомню, читайте о квадратах Франклина более позднюю статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

Жду ваших отзывов!

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу