ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТОГО ПОРЯДКА

 

                                                                       (Часть 2)

 

 

Внимание!

Оригинал. При копировании прошу

указывать ссылку на данную страницу.

 

                   Продолжаю свой рассказ, смотрите начало на странице

http://www.klassikpoez.narod.ru/pandiagon.htm

 

Я неотступно думала над новым алгоритмом для программы построения пандиагональных квадратов пятого порядка. И вдруг меня осенило: а что если описать такой квадрат системой линейных уравнений? В пандиагональном квадрате пятого порядка есть 25 неизвестных и 20 условий. Пришлось 5 неизвестных на первом этапе сделать константами. Одному из этих неизвестных я дала конкретное значение – 13  и поставила его в центральную ячейку квадрата. Почему именно 13? Где-то читала, что очень много пандиагональных квадратов пятого порядка имеют в центральной клетке число 13. Это как-то отложилось в памяти, вот и решила взять 13. Остальные 4 неизвестных стали у меня на первом этапе решения задачи символьными константами а, в, с, d. На рис. 1 вы видите квадрат с поставленными на свои места пятью константами. Этот квадрат я и описала системой 20 линейных уравнений с 20 неизвестными.

 

 

                                                          Рис. 1

 

Далее следует система уравнений:

 

х₁+х₂+х₃+х₄=65-а

х₅+х₆+х₇+х₈=65-в

х₉+х₁₀+х₁₁+х₁₂=52

х₁₃+х₁₄+х₁₅+х₁₆=65-с

х₁₇+х₁₈+х₁₉+х₂₀=65-d

х₅+х₉+х₁₃+х₁₇=65-а

х₁+х₆+х₁₀+х₁₈=65-с

х₂+х₁₄+х₁₉=52-в

х₃+х₇+х₁₁+х₁₅=65-d

х₄+х₈+х₁₂+х₁₆+х₂₀=65

х₆+х₁₅+х₂₀=52-а

х₄+х₇+х₁₇=52-с

х₈+х₁₁+х₁₄+х₁₈=65-а

х₁₂+х₁₅+х₁₉+х₁+х₅=65

х₁₆+х₂+х₆+х₉=65-d

х₂₀+х₃+х₁₀+х₁₃=65-в

х₄+х₅+х₁₀+х₁₄=65-d

х₃+х₈+х₉+х₁₉=65-с

х₂+х₇+х₁₂+х₁₃+х₁₈=65

х₁+х₁₁+х₁₆+х₁₇=65-в

 

В этих уравнениях записано не что иное, как условия магичности и пандиагональности квадрата. Теперь надо было решить эту систему. Теоретически я знаю, как это сделать. Но практически… Ведь не считать же определители 20-ого порядка вручную! Обратилась за помощью к Георгию: не знает ли он, как решить такую систему с помощью какой-нибудь программы. Георгий немедленно откликнулся и решил систему в каком-то суперпакете программ Maple.

Следует заметить, что к этой системе я тоже пришла не сразу, был предварительный вариант без символьных констант, со всеми пятью числовыми константами. И только после решения этой предварительной системы мне пришла идея о 4-х символьных константах.

Итак, Георгий решил систему и прислал мне решение, которое просто восхитило меня своей красотой! Три неизвестных оказались свободными, то есть могут принимать любые значения, остальные 17 выражаются через эти три по формулам. Свободными неизвестными оказались х₁₅, х₁₇, х₂₀.

Формулы для остальных неизвестных таковы:

 

х₁ = -с+х₂₀+d

х₂ = -в+х₁₅+с

х₃ = 13+в+х₁₇-х₁₅-d

х₄ = -а-х₂₀-х₁₇+52

х₅ = с+13-d

х₆ = -а-х₁₅-х₂₀+52

х₇ = а+х₂₀-с

х₈ = -в+х₁₅+d

х₉ = в-с+х₂₀

х₁₀ = а-в+х₁₅

х₁₁ = с+52-а-в-х₁₇-х₂₀

х₁₂ = в+х₁₇-х₁₅

х₁₃ = 52-в-х₂₀-х₁₇-а+d

х₁₄ = в+х₂₀+х₁₇-х₁₅-с

х₁₆ = 13+а-d

х₁₈ = -d+13+в

х₁₉ = 52-в-х₁₇-х₂₀

 

Вот, оказывается, каким незыблемым законом связаны числа, заполняющие пандиагональный квадрат пятого порядка! Ни за что не смогла бы сочинить такие красивые формулы, если бы не пришла в голову мысль о системе.

Ну, а дальше – дело техники. Быстренько написала программу для этих формул. Обратите внимание на то, что количество переменных циклов теперь сократилось до 7. Вот в чём прорыв! В предыдущей версии программы их было 11. Георгий посчитал, что, сократив количество переменных с 11 до 7, я в 390 тысяч раз уменьшила количество рассматриваемых программой вариантов.

 

Написала я, значит, программу, с трепетом запустила. Нет, я не могу передать словами этот миг! На экране сразу замелькали квадратики, пандиагональные, хорошие, те самые! В первый же день я нашла все квадраты с числами 1 и 2 в левой верхней ячейке. Их оказалось 144. Но теперь надо, конечно выбирать из найденных квадратов различные. Дело в том, что по этой программе найдутся абсолютно все пандиагональные квадраты, в центральной ячейке которых стоит число 13. Например, для каждого квадрата с 1 в левой верхней ячейке программа находит этот же квадрат – повёрнутый и отражённый (см. рис. 2).

 

 

                                       Рис. 2

 

Следовательно, из 72 найденных квадратов (с 1 в левой верхней ячейке) сразу 36 пришлось выбросить. Но зато оставшиеся 36 уж точно различные! Я применила к ним своё преобразование “строки-диагонали” и получила ещё 36 квадратов. Итак, за один день работы у меня есть 72 базовых квадрата!

 

А что же с теми квадратами, в центральной ячейке которых стоит другое число? Дело в том, что параллельными переносами на торе любой пандиагональный квадрат может быть приведён к виду с числом 13 в центральной ячейке. Значит, все остальные квадраты – просто варианты тех, которые найдутся по этой программе.

 

Теперь у меня новый банк открылся с пандиагональными квадратами. Кому интересно посмотреть на них, скоро сможет это сделать. Ещё одно усилие – и я буду иметь все 144 квадрата, которые и опубликую здесь.

 

                                       ***

 

Говорил мне друг мой Петя: чего ты ковыряешься методами домохозяйки, надо переходить на более высокий уровень! Спасибо, Петя! Ты был прав. Не зря же 35 лет назад я получила диплом математика.

 

                               _______

 

Страница помещена на сайт 25 августа 2007 г.

 

26 августа 2007 г.

 

Вчера проверила первые 72 квадрата нового банка ещё раз. Вроде всё абсолютно правильно. Напомню, что первые 36 квадратов найдены по программе, а к ним применено преобразование “строки-диагонали” и получено ещё 36 квадратов. Посмотрите на эти чудесные, пандиагональные, магические квадратики!

 

         № 1                              № 2                              № 3                              № 4

 

 1  18  9  15  22           1  23  9  15  17            1  8  19  15  22            1  23  19  15  7           

 14  25  2  16  8           14  20  2  21  8            14  25  2  6  18            14  10  2  21  18

 17  6  13  24  5           22  6  13  19  5            7  16  13  24  5            22  16  13  9  5  

 23  4  20  7  11           18  4  25  7  11            23  4  10  17  11          8  4  25  17  11

 10  12  21  3  19         10  12  16  3  24         20  12  21  3  9            20  12  6  3  24

                                                                                      

         № 5                              № 6                              № 7                              № 8                                                                                                        

 1  8  24  15  17           1  18  24  15  7            1  18  10  14  22          1  23  10  14  17

 14  20  2  6  23           14  10  2  16  23          15  24  2  16  8            15  19  2  21  8

 7  21  13  19  5           17  21  13  9  5            17  6  13  25  4            22  6  13  20  4

 18  4  10  22  11         8  4  20  22  11           23  5  19  7  11            18  5  24  7  11

 25  12  16  3  9           25  12  6  3  19            9  12  21  3  20            9  12  16  3  25

 

         № 9                              № 10                            № 11                            № 12

                                                                            

 1  8  20  14  22           1  23  20  14  7            1  8  25  14  17            1  18  25  14  7

 15  24  2  6  18           15  9  2  21  18            15  19  2  6  23            15  9  2  16  23

 7  16  13  25  4           22  16  13  10  4          7  21  13  20  4            17  21  13  10  4

 23  5  9  17  11           8  5  24  17  11            18  5  9  22  11            8  5  19  22  11

 19  12  21  3  10         19  12  6  3  25            24  12  16  3  10          24  12  6  3  20

          

         № 13                            № 14                            № 15                            № 16

 

 1  18  7  15  24           1  23  7  15  19            1  8  17  15  24            1  23  17  15  9

 12  25  4  16  8           12  20  4  21  8            12  25  4  6  18            12  10  4  21  18

 19  6  13  22  5           24  6  13  17  5           9  16  13  22  5            24  16  13  7  5

 23  2  20  9  11           18  2  25  9  11            23  2  10  19  11          8  2  25  19  11

 10  14  21  3  17         10  14  16  3  22         20  14  21  3  7            20  14  6  3  22

 

         № 17                            № 18                            № 19                            № 20

 

1  8  22  15  19            1  18  22  15  9            1  18  10  12  24          1  23  10  12  19

 12  20  4  6  23           12  10  4  16  23          15  22  4  16  8            15  17  4  21  8

 9  21  13  17  5           19  21  13  7  5            19  6  13  25  2            24  6  13  20  2

 18  2  10  24  11         8  2  20  24  11            23  5  17  9  11            18  5  22  9  11

 25  14  16  3  7           25  14  6  3  17            7  14  21  3  20            7  14  16  3  25

 

         № 21                            № 22                            № 23                            № 24

 

 1  8  20  12  24           1  23  20  12  9            1  8  25  12  19            1  18  25  12  9

 15  22  4  6  18           15  7  4  21  18            15  17  4  6  23            15  7  4  16  23

 9  16  13  25  2           24  16  13  10  2          9  21  13  20  2            19  21  13  10  2

 23  5  7  19  11           8  5  22  19  11            18  5  7  24  11            8  5  17  24  11

 17  14  21  3  10         17  14  6  3  25           22  14  16  3  10          22  14  6  3  20

 

№ 25                            № 26                            № 27                            № 28

 

1  18  7  14  25            1  23  7  14  20           1  8  17  14  25            1  23  17  14  10

 12  24  5  16  8           12  19  5  21  8           12  24  5  6  18            12  9  5  21  18           

 20  6  13  22  4           25  6  13  17  4           10  16  13  22  4          25  16  13  7  4

 23  2  19  10  11         18  2  24  10  11         23  2  9  20  11            8  2  24  20  11

 9  15  21  3  17             9  15  16  3  22          19  15  21  3  7            19  15  6  3  22

 

         № 29                            № 30                            № 31                            № 32

 

 1  8  22  14  20           1  18  22  14  10         1  18  9  12  25            1  23  9  12  20

 12  19  5  6  23           12  9  5  16  23            14  22  5  16  8            14  17  5  21  8

 10  21  13  17  4         20  21  13  7  4            20  6  13  24  2            25  6  13  19  2

 18  2  9  25  11           8  2  19  25  11            23  4  17  10  11          18  4  22  10  11

 24  15  16  3  7           24  15  6  3  17           7  15  21  3  19            7  15  16  3  24

 

         № 33                            № 34                            № 35                            № 36

 

1  8  19  12  25            1  23  19  12  10          1  8  24  12  20            1  18  24  12  10

 14  22  5  6  18           14  7  5  21  18            14  17  5  6  23            14  7  5  16  23

 10  16  13  24  2         25  16  13  9  2            10  21  13  19  2          20  21  13  9  2

 23  4  7  20  11           8  4  22  20  11            18  4  7  25  11            8  4  17  25  11

 17  15  21  3  9           17  15  6  3  24            22  15  16  3  9            22  15  6  3  19

 

Далее следуют квадраты, полученные из приведённых преобразованием “строки-диагонали”.

 

         № 37                            № 38                            № 39                            № 40

 

 1  24  12  8  20           1  19  12  8  25            1  24  12  18  10          1  9  12  18  25

 7  18  5  21  14           7  23  5  16  14           17  8  5  21  14            17  23  5  6  14

 25  11  9  17  3           20  11  9  22  3           25  11  19  7  3            10  11  19  22  3

 19  2  23  15  6           24  2  18  15  6            9  2  23  15  16            24  2  8  15  16

 13  10  16  4  22         13  10  21  4  17         13  20  6  4  22            13  20  21  4  7

 

         № 41                            № 42                            № 43                            № 44

 

1  19  12  23  10          1  9  12  23  20            1  25  12  8  19            1  20  12  8  24

 22  8  5  16  14           22  18  5  6  14            7  18  4  21  15            7  23  4  16  15

 20  11  24  7  3           10  11  24  17  3          24  11  10  17  3          19  11  10  22  3

 9  2  18  15  21           19  2  8  15  21            20  2  23  14  6            25  2  18  14  6

 13  25  6  4  17           13  25  16  4  7            13  9  16  5  22            13  9  21  5  17

 

         № 45                            № 46                            № 47                           № 48

 

 1  25  12  18  9           1  10  12  18  24         1  20  12  23  9            1  10  12  23  19         

 17  8  4  21  15           17  23  4  6  15            22  8  4  16  15            22  18  4  6  15

 24  11  20  7  3           9  11  20  22  3            19  11  25  7  3            9  11  25  17  3

 10  2  23  14  16         25  2  8  14  16            10  2  18  14  21          20  2  8  14  21

 13  19  6  5  22           13  19  21  5  7            13  24  6  5  17            13  24  16  5  7

                                                                            

         № 49                            № 50                            № 51                            № 52

 

 1  22  14  8  20           1  17  14  8  25            1  22  14  18  10          1  7  14  18  25

 9  18  5  21  12           9  23  5  16  12            19  8  5  21  12            19  23  5  6  12

 25  11  7  19  3           20  11  7  24  3            25  11  17  9  3            10  11  17  24  3

 17  4  23  15  6           22  4  18  15  6            7  4  23  15  16            22  4  8  15  16

 13  10  16  2  24         13  10  21  2  19          13  20  6  2  24            13  20  21  2  9

 

         № 53                            № 54                            № 55                            № 56

 

1  17  14  23  10          1  7  14  23  20            1  25  14  8  17            1  20  14  8  22

 24  8  5  16  12           24  18  5  6  12            9  18  2  21  15            9  23  2  16  15

 20  11  22  9  3           10  11  22  19  3          22  11  10  19  3          17  11  10  24  3

 7  4  18  15  21           17  4  8  15  21            20  4  23  12  6            25  4  18  12  6

 13  25  6  2  19           13  25  16  2  9            13  7  16  5  24            13  7  21  5  19

 

         № 57                            № 58                            № 50                            № 60

 

  1  25  14  18  7          1  10  14  18  22         1  20  14  23  7            1  10  14  23  17

 19  8  2  21  15           19  23  2  6  15           24  8  2  16  15            24  18  2  6  15

 22  11  20  9  3           7  11  20  24  3           17  11  25  9  3            7  11  25  19  3

 10  4  23  12  16         25  4  8  12  16           10  4  18  12  21          20  4  8  12  21

 13  17  6  5  24           13  17  21  5  9           13  22  6  5  19            13  22  16  5  9

 

         № 61                            № 62                            № 63                            № 64

 

 1  22  15  8  19           1  17  15  8  24            1  22  15  18  9            1  7  15  18  24

 10  18  4  21  12         10  23  4  16  12          20  8  4  21  12            20  23  4  6  12

 24  11  7  20  3           19  11  7  25  3            24  11  17  10  3          9  11  17  25  3

 17  5  23  14  6           22  5  18  14  6            7  5  23  14  16            22  5  8  14  16

 13  9  16  2  25           13  9  21  2  20           13  19  6  2  25            13  19  21  2  10

 

         № 65                            № 66                            № 67                            № 68

 

 1  17  15  23  9           1  7  15  23  19            1  24  15  8  17            1  19  15  8  22

 25  8  4  16  12           25  18  4  6  12            10  18  2  21  14          10  23  2  16  14

 19  11  22  10  3         9  11  22  20  3            22  11  9  20  3            17  11  9  25  3

 7  5  18  14  21           17  5  8  14  21            19  5  23  12  6            24  5  18  12  6

 13  24  6  2  20           13  24  16  2  10          13  7  16  4  25            13  7  21  4  20

 

         № 69                            № 70                            № 71                            № 72

 

 1  24  15  18  7           1  9  15  18  22           1  19  15  23  7            1  9  15  23  17

 20  8  2  21  14           20  23  2  6  14            25  8  2  16  14            25  18  2  6  14

 22  11  19  10  3         7  11  19  25  3            17  11  24  10  3          7  11  24  20  3

 9  5  23  12  16           24  5  8  12  16            9  5  18  12  21            19  5  8  12  21

 13  17  6  4  25           13  17  21  4  10          13  22  6  4  20            13  22  16  4  10

 

Напомню здесь преобразование “строки-диагонали”, которое обнаружено мной и подробно описано в первой части статьи. Возьмём базовый квадрат № 1 и преобразуем его указанным преобразованием (см. рис.3):

 

              Квадрат № 1                     Квадрат № 37

 

 

                                                                  Рис. 3                                    

                                                                                                                  

В первой части статьи преобразование дано в матричном виде. На рис. 3 хорошо видно, как строки исходного квадрата переходят в диагонали (главную и разломанные) нового квадрата. Поэтому я назвала преобразование “строки-диагонали”. Однако следует заметить, что столбцы исходного квадрата тоже переходят в диагонали – вторую главную и другие четыре разломанные. Так что преобразование можно назвать и “столбцы-диагонали”.

 

Вот пока всё. Программа даёт мне всё новые квадраты. Но надо выбирать из них базовые. Интересно узнать: построит ли программа все 3600 пандиагональных квадратов пятого порядка. Пока я нашла квадраты с числами в левой верхней ячейке: 1,2,4,5. С числом 3 в левой верхней ячейке квадратов почему-то не нашлось.  Ещё любопытно, что с каждым новым числом в левой верхней ячейке квадратов 72.

Итак, программа выдала мне уже 288 квадратов. Но я их ещё не проверила. Ведь для того чтобы их проверить, надо их привести к виду с 1 в левой верхней ячейке (параллельными переносами на торе), чем я сейчас и занимаюсь.

Прямо математический сериал у меня получается о пандиагональных квадратах.

Продолжение в следующей серии!

 

29 августа 2007 г.

 

Работа программы завершилась. Я получила всего 1152 квадрата. Очень интересно, почему 1152, а не 3600?

Теперь пытаюсь найти в этом море квадратов базовые. Пока не удаётся прибавить к уже найденным 72 базовым квадратам ни одного нового. После преобразований на торе квадрат либо в точности совпадает с каким-нибудь квадратом банка, как например, вот этот:

 

                  № 1151                       № 68

 

 

Либо совпадает с каким-то имеющимся квадратом с точностью до поворота, отражения и/или перестановки строк и/или столбцов.

Ну, пока я не проверила все полученные квадраты, рано делать выводы.

 

Отвлекусь от пандиагональных квадратов пятого порядка и вернусь к пандиагональным квадратам четвёртого порядка.

Нам с Георгием стало интересно, что даст этот же алгоритм с системой линейных уравнений для квадратов четвёртого порядка. Для них вообще всё идеально: 16 уравнений и 16 неизвестных. Нет никаких лишних переменных, которые в случае с квадратами пятого порядка я заменила символьными константами. Точно так же написали систему уравнений, решили её и по полученным формулам составили программу. Всем этим занимался Георгий, пока я работала с квадратами пятого порядка.

Вот какое решение выдала программа Maple: неизвестные x₁₂ , x₁₄ , x₁₅ , x₁₆ оказались свободными, все другие неизвестные выражаются через свободные по формулам:

 

      x₁ = -17+x₁₂+x₁₅+x₁₆

      x₂ = 17-x₁₂

      x₃ = 17-x₁₄+x₁₂-x₁₅

      x₄ = 17+x₁₄-x₁₂-x₁₆

      x₅ = 17-x₁₅

      x₆ = -x₁₆+17

      x₇ = -17+x₁₄+x₁₅+x₁₆

      x₈ = 17-x₁₄

      x₉ = x₁₄-x₁₂+x₁₅

      x₁₀ = -x₁₄+x₁₆+x₁₂

      x₁₁ = -x₁₂+34-x₁₅-x₁₆

      x₁₃ = 34-x₁₄-x₁₅-x₁₆

 

Какое красивое решение! Не правда ли?

Замечу, что квадрат заполняется неизвестными х₁, х₂, …х₁₆ в естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки.

Программа выполнилась быстро и выдала, как и следовало ожидать, все 384 пандиагональных квадрата четвёртого порядка! Я прямо скопировала файл с записанными квадратами, который прислал мне Георгий, и поместила его на сайт. Посмотрите, он тут:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/pan4.htm

 

Читатели уже знают, что если рассматривать квадраты с точностью до 7 основных преобразований, то надо считать, что их 48. А если рассматривать их с точностью до параллельных переносов на торе, то будет только три базовых квадрата. Обо всём этом подробно рассказывалось в первой части статьи.

 

А теперь мы пытаемся применить этот же алгоритм к пандиагональным квадратам седьмого порядка. Что из этого получится, расскажу в другой раз.

 

                           ***

 

 Вернусь к квадратам пятого порядка. Сравнивая все полученные квадраты, я нашла новый вид преобразования “плюс-минус десять”, который и покажу здесь в мозаичной форме. На рис. 4 слева изображён квадрат № 11 с наложенной на него мозаикой преобразования, а справа – получившийся в результате преобразования квадрат № 12. Здесь розовая мозаичная клетка соответствует “плюс 10”, а сиреневая – “минус 10”.

 

                    № 11                              № 12

 

 

                                  Рис. 4

 

Понятно, что это преобразование, как и все другие преобразования “плюс-минус десять”, имеет несколько вариантов. Например, такой (рис.5):

 

 

                                                 Рис. 5

 

И, конечно, в банке есть квадраты, связанные этим преобразованием. Например (рис. 6):

 

                                  № 4                                  № 2

 

 

                                               Рис. 6

 

На этом пока завершаю свой рассказ. Продолжение следует.

 

                  ***

 

31 августа 2007 г.

 

Я утонула в море пандиагональных квадратов!

Но начну с показанного в последней записи преобразования “плюс-минус 10”. Посмотрев внимательно все варианты этого преобразования, приведённые в первой части статьи, я обнаружила, что последнее преобразование является одним из вариантов, повёрнутым на 90 градусов.

Зато я обнаружила преобразование “плюс-минус 5”! Смотрела на квадраты, которые выводятся на экран в процессе выполнения программы, и увидела два квадрата, связанных этим преобразованием, потому что они следовали друг за другом.

Покажу это преобразование в матричном виде:

 

 

На рис. 7 показаны два квадрата из банка, связанные этим преобразованием.

 

                                               № 18                              № 16

 

 

                                                                  Рис. 7

 

Конечно, как и преобразования “плюс-минус 10”, это преобразование тоже имеет несколько вариантов. Можно, например, повернуть матрицу преобразования на 90, 180 или 270 градусов, можно применить к ней преобразование параллельного переноса на торе и т. д.

 

Ну, а что же со второй половиной банка квадратов? Тут пока ничего неясно.

Я уже рассказала, что по программе, составленной по последнему алгоритму (назову его алгоритм № 1), было найдено 1152 квадрата. Почему оказалось такое число, не могу уяснить.

Начала искать среди всех найденных квадратов базовые, пытаясь пополнить свой банк. Но тщетно! Все квадраты уже входят в группу какого-либо базового квадрата, то есть совпадают  с точностью до известных преобразований или их комбинаций.

Очень скоро занятие это мне надоело, и я начала думать над другими алгоритмами. Прежде всего решила (для чистоты эксперимента) описать системой уравнений такой квадрат (рис. 8):

 

 

                                                       Рис. 8

 

Назову этот путь алгоритмом № 2. Он отличается от алгоритма № 1 тем, что в левую верхнюю ячейку поставлено число 1 и изменено расположение символьных констант, которых осталось только 3.

Программа, полученная по решению новой системы уравнений, отработала очень быстро, так как число варьируемых переменных стало равно 6 (вместо 7 по алгоритму № 1). И я получила, как и следовало ожидать, те же самые 72 квадрата, которые получены и по первой программе (алгоритм № 1) при а=1. Значит, расположение символьных констант никак не повлияло на результат! Что, вообще-то, естественно.

 

Файл, содержащий решения, полученные по этой программе, я скопировала на сайт. Кому интересно, могут посмотреть на эти квадраты:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk5pan.htm

 

Далее был найден ещё один алгоритм - №3. На рис. 9 вы видите квадрат, описанный на этот раз снова системой 20 уравнений с 20 неизвестными. Но в этом квадрате я в первую ячейку поставила число 1 и убрала число 13 из центральной ячейки.

 

 

                                                       Рис. 9

 

Обратите внимание, что я расставила константы так, что в каждой строке, в каждом столбце и во всех диагоналях (главных и разломанных) есть точно одна константа. Получилась очень красивая система уравнений: в каждом уравнении точно 4 неизвестных. Назову этот путь решения задачи алгоритмом № 3.

Ну, как всегда, отправила систему Георгию, получила от него решение, составила по полученному решению программу. Эта программа сейчас работает! Что она мне выдаст, расскажу в следующий раз.

 

1 сентября 2007 г.

 

Программа, составленная по алгоритму № 3, выполнилась полностью. Что же она нашла? Вам интересно узнать?

Я думала, что она найдёт все 3600 квадратов, но опять – увы! Квадратов оказалось опять 1152! Вот такие результаты. Пока вопрос остаётся открытым. Почему 1152? Где искать ещё 72 базовых квадрата? Среди этих 1152? Или нет?

 

И уже в голове родился ещё один алгоритм - № 4. Это будет уже самый общий путь. Я хочу попробовать описать ещё квадрат, который вы видите на рис 10. Здесь нет вообще ни одного конкретного числа, а есть пять символьных констант.

 

 

                                                       Рис. 10

 

Этот алгоритм пока ещё в проекте. Но очень интересно, что даст программа, составленная по такому алгоритму. Если реализую алгоритм, расскажу о результатах.

 

                                                       ***

 

А сейчас немного расскажу о преобразованиях пандиагональных квадратов пятого порядка.

Как уже говорилось, каждый базовый квадрат порождает целую группу тоже пандиагональных квадратов, которые получаются из базового различными преобразованиями. В первой части статьи подробно было рассказано о преобразованиях параллельного переноса на торе. Эти преобразования порождают 24 квадрата, то есть вместе с базовым вся группа квадратов, полученных преобразованиями на торе, состоит из 25 квадратов.

В первой части говорилось о получении всех квадратов группы данных преобразований на компьютере. Там остался нерешённым вопрос для комбинаций преобразований, то есть одновременного переноса и по оси Х, и по оси Y. Здесь я приведу программу для выполнения таких преобразований, которую составила недавно, когда у меня возникла необходимость автоматизировать переносы на торе для квадратов, полученных по одной из последних программ (алгоритм № 1).

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM A (5, 5), B (5, 5)

12 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 PRINT "WWEDITE ISHODNYJ KVADRAT"

20 FOR I = 1 TO 5

25 FOR J = 1 TO 5

30 INPUT A (I, J)

35 IF A(1, 1) = 0 THEN END

40 NEXT J

45 NEXT I

50 PRINT "WWEDITE NOMER STROKI I STOLBCA"

55 INPUT I

60 INPUT J

65 W = I: IF W = 1 THEN 75

70 GOSUB 200

75 W = J: IF W=1 THEN 82

80 GOSUB 300

82 FOR X = 1 TO 5

83 FOR Y = 1 TO 5

84 B(X, Y) = A(X, Y)

85 NEXT Y

86 NEXT X

87 GOSUB 400

90 FOR P = 1 TO 5

95 FOR Q = 1 TO 5

100 PRINT A (P, Q);

105 PRINT #1, A (P, Q);

110 NEXT Q

115 PRINT

120 PRINT #1,

125 NEXT P

130 PRINT

135 PRINT #1,

140 GOTO 15

200 FOR K = 1 TO 5: B (1, K) = A (2, K): NEXT K

205 FOR K = 1 TO 5: B (2, K) = A (3, K): NEXT K

210 FOR K = 1 TO 5: B (3, K) = A (4, K): NEXT K

215 FOR K = 1 TO 5: B (4, K) = A (5, K): NEXT K

220 FOR K = 1 TO 5: B (5, K) = A (1, K): NEXT K

225 FOR P = 1 TO 5

230 FOR Q = 1 TO 5

235 A(P, Q) = B(P, Q)

240 NEXT Q

245 NEXT P

250 W = W - 1

255 IF W = 1 THEN 270

260 GOTO 200

270 RETURN

300 FOR K = 1 TO 5: B (K, 1) = A (K, 2): NEXT K

305 FOR K = 1 TO 5: B (K, 2) = A (K, 3): NEXT K

310 FOR K = 1 TO 5: B (K, 3) = A (K, 4): NEXT K

315 FOR K = 1 TO 5: B (K, 4) = A (K, 5): NEXT K

320 FOR K = 1 TO 5: B (K, 5) = A (K, 1): NEXT K

325 FOR P = 1 TO 5

330 FOR Q = 1 TO 5

335 A(P, Q) = B(P, Q)

340 NEXT Q

345 NEXT P

350 W = W - 1

355 IF W = 1 THEN 370

360 GOTO 300

370 RETURN

400 IF B(1, 1) + B(1, 2) + B(1, 3) + B(1, 4) + B(1, 5) <> 65 THEN 548

405 IF B(2, 1) + B(2, 2) + B(2, 3) + B(2, 4) + B(2, 5) <> 65 THEN 548

410 IF B(3, 1) + B(3, 2) + B(3, 3) + B(3, 4) + B(3, 5) <> 65 THEN 548

415 IF B(4, 1) + B(4, 2) + B(4, 3) + B(4, 4) + B(4, 5) <> 65 THEN 548

420 IF B(5, 1) + B(5, 2) + B(5, 3) + B(5, 4) + B(5, 5) <> 65 THEN 548

425 IF B(1, 1) + B(2, 1) + B(3, 1) + B(4, 1) + B(5, 1) <> 65 THEN 548

430 IF B(1, 2) + B(2, 2) + B(3, 2) + B(4, 2) + B(5, 2) <> 65 THEN 548

440 IF B(1, 3) + B(2, 3) + B(3, 3) + B(4, 3) + B(5, 3) <> 65 THEN 548

445 IF B(1, 4) + B(2, 4) + B(3, 4) + B(4, 4) + B(5, 4) <> 65 THEN 548

450 IF B(1, 5) + B(2, 5) + B(3, 5) + B(4, 5) + B(5, 5) <> 65 THEN 548

455 IF B(1, 1) + B(2, 2) + B(3, 3) + B(4, 4) + B(5, 5) <> 65 THEN 548

460 IF B(1, 5) + B(2, 4) + B(3, 3) + B(4, 2) + B(5, 1) <> 65 THEN 548

465 IF B(1, 1) + B(2, 5) + B(3, 4) + B(4, 3) + B(5, 2) <> 65 THEN 548

470 IF B(1, 2) + B(2, 1) + B(3, 5) + B(4, 4) + B(5, 3) <> 65 THEN 548

475 IF B(1, 3) + B(2, 2) + B(3, 1) + B(4, 5) + B(5, 4) <> 65 THEN 548

480 IF B(1, 4) + B(2, 3) + B(3, 2) + B(4, 1) + B(5, 5) <> 65 THEN 548

485 IF B(1, 5) + B(2, 1) + B(3, 2) + B(4, 3) + B(5, 4) <> 65 THEN 548

490 IF B(1, 4) + B(2, 5) + B(3, 1) + B(4, 2) + B(5, 3) <> 65 THEN 548

495 IF B(1, 3) + B(2, 4) + B(3, 5) + B(4, 1) + B(5, 2) <> 65 THEN 548

500 IF B(1, 2) + B(2, 3) + B(3, 4) + B(4, 5) + B(5, 1) <> 65 THEN 548

510 RETURN

548 PRINT "KVADRAT NE PANDIAGONALNYJ!"

555 GOTO 15

 

По этой программе можно выполнить одно комбинированное преобразование. В программу надо ввести исходный квадрат (то есть заполняющие его числа, начиная с левой верхней ячейки, построчно). Далее программа запросит номер строки и столбца, где стоит число, которое вы хотите вывести в результате преобразования в левую верхнюю ячейку. Замечу, что все 25 квадратов группы торических преобразований имеют в левой верхней ячейке числа от 1 до 25.

Пусть, например, вам надо преобразовать базовый квадрат № 7 (рис. 11) параллельным переносом на торе так, чтобы в левой верхней ячейке стояло число 5.

 

 

                                                       Рис. 11

 

Вы вводите в программу числа квадрата от 1 до 20 (в естественном порядке построчно) и указываете номер строки – 4, номер столбца – 2 (именно там стоит число 5). Замечу, что строки считаются сверху вниз, а столбцы – слева направо.

В результате выполнения программы вы получите такой преобразованный квадрат (рис. 12):

 

 

                                                                                  Рис. 12

 

В программе, кроме того, есть блок проверки пандиагональности полученного в результате преобразования квадрата. Это на тот случай, если при вводе исходного квадрата была допущена ошибка.

Ну, а теперь можно из этой программы получить такую, которая даст все преобразования переноса на торе, то есть выполнит те 16 преобразований, которые не были формализованы (в матричном виде) и запрограммированы в первой части статьи.

Итак, с преобразованиями на торе у нас теперь полная ясность.

 

Теперь расскажу об основных преобразованиях. Эти преобразования могут применяться не только к пандиагональным квадратам, но и просто к магическим, не являющимся пандиагональными. Применительно к пандиагональным (и просто магическим) квадратам четвёртого порядка эти преобразования были подробно описаны в первой части статьи. Для пандиагональных квадратов пятого порядка всё аналогично. Это преобразования поворота и отражений относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрии. Из базового квадрата в результате таких преобразований получается 7 вариантов, то есть вся группа этих преобразований содержит 8 квадратов, считая базовый.

Покажу основные преобразования сначала на конкретном квадрате, например, на примере базового квадрата № 1.

 

Базовый                   Вариант 1                 Вариант 2         Вариант 3

квадрат № 1

 

 

Вариант 4                 Вариант 5                 Вариант 6            Вариант 7

 

 

Эти преобразования легко представить в матричном виде, а следовательно, можно очень просто запрограммировать. Далее приводятся матрицы данных преобразований:

 

Базовый                   Вариант 1                 Вариант 2         Вариант 3

квадрат № 1

 

 

Вариант 4                 Вариант 5                 Вариант 6            Вариант 7

 

 

Если рассматривать все пандиагональные квадраты, получающиеся основными преобразованиями, то их количество будет равно 3600*8=28800.

 

                                                        ***

 

2 сентября 2007 г.

 

Вчера вечером вспомнила про старый банк базовых квадратов и решила сравнить его с новым банком. Хоть он и закрыт уже, старый банк-то, но всё-таки интересно, все ли квадраты старого банка есть в новом. Вот, сравнила! И обнаружила, что два квадрата старого банка совпадают с одним и тем же квадратом нового банка. Это о чём говорит? О том, что эти два квадрата в старом банке одинаковые! Посмотрела внимательно на эти два квадрата, это квадраты № 15 и № 43 (оба они совпадают с квадратом № 24 нового банка). И они действительно одинаковые (с точностью до перестановки строк)! Квадрат № 43 был найден по программе (которая находила за сутки непрерывной работы один-два квадрата), и очень хотелось, чтобы это был новый базовый квадрат! И от такого сильного желания я просмотрела, что он совпадает с уже имеющимся в банке квадратом № 15. Ну, конечно, надо выбросить и квадрат № 44, полученный из квадрата № 43 преобразованием “строки-диагонали”, так как он совпадает соответственно с квадратом № 16. Итак, в старом банке осталось 48 квадратов.

Зато каждый из этих 48 квадратов совпал с одним и только одним квадратом нового банка. Значит, 48 базовых квадратов я нашла двумя разными путями и в правильности их уже нисколько не сомневаюсь. Как, впрочем, и в правильности всех 72 базовых квадратов нового банка!

 

Это было отступление. Продолжу рассказ о преобразованиях. Перехожу к преобразованиям, которые называются “перестановка строк и/или столбцов”.

Начну с преобразования перестановки строк. Буду показывать все преобразования на базовом квадрате № 3. На рис. 13 вы видите слева базовый квадрат, а справа квадрат, полученный из него данным преобразованием:

 

 

                                       Рис. 13

 

Перестановка строк в этом преобразовании происходит по схеме: вторая (счёт начинается сверху) переставляется с пятой, третья – с четвёртой. Красивейшее преобразование! Оно переводит все диагонали исходного квадрата (главные и разломанные) в диагонали преобразованного квадрата. На рис. 13 закрашены три пары связанных диагоналей.

Совершенно аналогичное преобразование – перестановка столбцов. Столбцы переставляются по той же схеме. И опять все диагонали исходного квадрата переходят в диагонали преобразованного квадрата. Преобразование показано на рис. 14.

 

 

                                                       Рис. 14

 

Здесь закрашено пять пар связанных диагоналей.

Оба преобразования легко формализуются в матричной форме.

Можно применить и комбинацию этих двух преобразований, то есть одновременно переставить и строки, и столбцы (см. рис. 15).

 

 

                                                       Рис. 15

 

Здесь закрашены только две пары связанных диагоналей. Но совершенно очевидно, что связаны все десять пар диагоналей.

Таким образом, группа квадратов, порождаемая перестановкой строк и/или столбцов, состоит из 4 квадратов, считая базовый квадрат. Все эти квадраты не считаются разными и входят в группу порождающего их базового квадрата. Назову данные преобразования перестановки строк и/или столбцов стандартными.

Прежде чем перейти к другому преобразованию, связанному с перестановкой строк и столбцов, приведу цитату из журнала “Наука и жизнь” (№ 6, 1976 г., стр. 122):

 

“Число возможных магических квадратов пятого порядка вообще было неизвестно до самого последнего времени. В 1973 г. американский математик Р. Шроппель составил машинную программу. После 100 часов работы ЭВМ выдала результат. Другой математик, М. Биллер, обработал машинный отчёт и в октябре 1975 г. сообщил, что число магических квадратов пятого порядка равно 275305224 (без учёта вращения и симметричных отражений). Если не считать квадраты, полученные с помощью перестановки столбцов и строк, а также поворотов и симметричных отражений вновь полученных квадратов, то это число будет равно 68826306. Пандиагональными из них будут всего 144, и только 16 будут пандиагональными и вместе с тем ассоциативными”.

 

А теперь расскажу о преобразовании строк и (одновременно!) столбцов по определённой схеме. В качестве исходного возьмём базовый квадрат № 3. Преобразование выполняется в 4 этапа: на первом этапе переставляем строки – вторую с третьей и четвёртую с пятой; на втором этапе снова переставляем строки – третью с четвёртой; на третьем этапе переставляем столбцы – второй с четвёртым и третий с пятым; наконец, на четвёртом этапе снова переставляем столбцы – третий с четвёртым.

 

                                       1 этап

 

 

        2 этап                        3 этап                        4 этап

 

 

Вот такое сложное преобразование. Представлю его в матричном виде. Пусть матрица исходного (базового) квадрата имеет стандартный вид, обозначим её А (в статье много раз приводился стандартный вид матрицы А, не буду повторять). Тогда матрица описанного преобразования В=g(А) имеет вид:

 

 

 

А теперь встаёт вопрос: считать ли квадрат, полученный этим преобразованием, совпадающим с базовым квадратом № 3, к которому это преобразование было применено? Ведь данное преобразование не относится к стандартным перестановкам строк и/или  столбцов, представленным выше. Значит, оно даёт новый базовый квадрат!

Но и это ещё не всё! Оказывается, это преобразование связано с преобразованием “строки-диагонали” самым чудесным образом. Обозначим преобразование “строки-диагонали” применительно к базовому квадрату № 3 с матрицей А следующим образом: С=f(А). Тогда только что рассмотренное преобразование совершенно эквивалентно такому: D=f(С) или D=ff(А), то есть преобразованию f, дважды применённому к квадрату с матрицей А. Вот такая связь!

Покажу для наглядности, какой квадрат получается в результате двукратного применения преобразования “строки-диагонали” к базовому квадрату № 1:

 

Базовый                             Квадрат                        Квадрат

квадрат № 3                      С=f(А)                         D=f(С)=ff(А)

 

 

А теперь сравните квадрат, полученный выше перестановками строк и столбцов, с квадратом, полученным только что. Эти квадраты совпадают с точностью до поворота и отражения!

Итак, мы убедились в эквивалентности преобразований g и ff. Можно показать это и в общем виде – на матрицах преобразований.

 

Теперь я беру последние 36 квадратов из известных мне 72 и применяю к ним преобразование “строки-диагонали” (к этим квадратам оно как раз применится дважды!) и получаю ещё 36 базовых квадратов!

А если вы не согласны, то покажите, какими известными стандартными преобразованиями (или их комбинацией) из базового квадрата № 3 можно получить квадрат  D=f(С)=ff(А).

На этом закончу рассказ о преобразованиях. Остаётся открытым вопрос: даёт ли преобразование g новый базовый квадрат, или этот квадрат считается входящим в группу квадратов, порождаемых исходным базовым квадратом?

 

                                                       ***

 

3 сентября 2007 г.

 

Сегодня я реализовала последний алгоритм - № 4 (см. рис. 10). Удивительное получилось решение! Оно стоит того, чтобы показать его полностью. Сначала система уравнений, описывающая квадрат, изображённый на рис. 10. Этот квадрат у нас, разумеется, магический и пандиагональный.

 

х₁+х₂+х₃+х₄=65-е

х₅+х₆+х₇+х₈=65-а

х₉+х₁₀+х₁₁+х₁₂=65-в

х₁₃+х₁₄+х₁₅+х₁₆=65-d

х₁₇+х₁₈+х₁₉+х₂₀=65-с

х₅+х₉+х₁₃+х₁₇=65-е

х₁+х₆+х₁₀+х₁₈=65-d

х₂+х₁₁+х₁₄+х₁₉=65-а

х₃+х₇+х₁₂+х₁₅=65-с

        х₄+х₈+х₁₆+х₂₀=65-в

        х₆+х₁₁+х₁₅+х₂₀=65-е

        х₄+х₇+х₁₁+х₁₇=65-d

        х₈+х₁₂+х₁₄+х₁₈=65-е

х₁+х₅+х₁₅+х₁₉=65-в

х₂+х₆+х₉+х₁₆=65-с

        х₃+х₁₀+х₁₃+х₂₀=65-а

        х₄+х₅+х₁₀+х₁₄=65-с

         х₃+х₈+х₉+х₁₉=65-d

        х₂+х₇+х₁₃+х₁₈=65-в

        х₁+х₁₂+х₁₆+х₁₇=65-а

 

Напомню, что эти уравнения выражают не что иное, как условия магичности и пандиагональности квадрата, изображённого на рис. 10. Какая стройная получилась система! В каждом уравнении точно 4 неизвестных. Все свободные члены тоже похожи.

 

Систему, как всегда, решил Георгий в пакете программ Maple. Вот решение:

 

                   x₁ = x₂₀ - d + c

x₂ = 65 - x₁₉ - b - x₂₀ + d - x₁₈ - c

                x₃ = b + x₁₈ - a

                x₄ = x₁₉ - e + a

        x₅ = d + x₁₈ - a

                x₆ = x₁₉ + b - e

        x₇ = e + x₂₀ - d

                x₈ = 65 - x₁₉ - b - x₂₀ - x₁₈

x₉ = x₂₀ + a - d

                x₁₀ = 65 - x₁₈ - c - x₁₉ - b - x₂₀ + e

x₁₁ = -a + x₁₈ + c

                x₁₂ = d - e + x₁₉

        x₁₃ = c + x₁₉ - e

        x₁₄ = -d + b + x₂₀

                x₁₅ = 65 - x₁₈ - c - x₁₉ - b - x₂₀ + a

x₁₆ = x₁₈ + e - a

                x₁₇ = 65 - x₁₈ - x₁₉ - x₂₀ - c

         x₁₈ = x₁₈

        x₁₉ = х₁₉

                x₂₀ = x₂₀

 

Составить программу для построения пандиагональных квадратов по этим формулам сможет любой школьник, изучающий информатику.

 

Итак, что же дала мне эта программа? О! Грандиозный результат!

Ну, сначала, разумеется, я прогнала программу для е=1. Это в точности программа предыдущего алгоритма № 3. И результат, конечно же, получился такой же – 1152 квадрата, один в один!

 

Замечу, что циклами можно управлять, изменяя две-три строки в программе.

 

Далее задала для переменной е значение 2 и снова прогнала программу. Опять 1152 квадрата! Я не стала гонять программу для всех значений переменной е, жалко время тратить. По-моему, совершенно очевидно, что когда е пройдёт все значения от 1 до 25, программа выдаст абсолютно все пандиагональные квадраты: 1152*25=28800! Кажется, всё встало на свои места. Даже число 1152 прояснилось.

 

Вот такой путь я прошла к составлению программы для построения всех пандиагональных квадратов пятого порядка! Программа эта мной составлена и работает. Она очень простая и короткая. В ней 8 варьируемых величин, изменяемых в циклах от 1 до 25.

 

4 сентября 2007 г.

 

Я уже рассказала, как получила третью четверть банка базовых квадратов – 36 штук: применением преобразования нестандартной перестановки одновременно строк и столбцов к квадратам первой четверти банка или применением преобразования “строки-диагонали” к квадратам второй четверти банка. Далее вы видите 36 базовых квадратов – третья четверть банка (нумерация сохраняется):

 

 

                        № 73                         № 74                         № 75                         № 76

 

1  17  10  14  23       1  22  10  14  18      1  7  20  14  23         1  22  20  14  8

            15  24  3  16  7          15  19  3  21  7        15  24  3  6  17         15  9  3  21  17

            18  6  12  25  4         23  6  12  20  4        8  16  12  25  4        23  16  12  10  4

            22  5  19  8  11         17  5  24  8  11        22  5  9  18  11         7  5  24  18  11

            9  13  21  2  20         9  13  16  2  25        19  13  21  2  10       19  13  6  2  25

 

                        № 77                         № 78                         № 79                         № 80

 

            1  7  25  14  18         1  17  25  14  8         1  17  9  15  23        1  22  9  15  18

            15  19  3  6  22         15  9  3  16  22        14  25  3  16  7         14  20  3  21  7

            8  21  12  20  4         18  21  12  10  4       18  6  12  24  5        23  6  12  19  5

            17  5  9  23  11         7  5  19  23  11         22  4  20  8  11         17  4  25  8  11

            24  13  16  2  10       24  13  6  2  20        10  13  21  2  19       10  13  16  2  24

                                                          

                        № 81                         № 82                         № 83                         № 84

 

            1  7  19  15  23         1  22  19  15  8         1  7  24  15  18        1  17  24  15  8

            14  25  3  6  17         14  10  3  21  17      14  20  3  6  22        14  10  3  16  22

            8  16  12  24  5          23  16  12  9  5        8  21  12  19  5        18  21  12  9  5

            22  4  10  18  11       7  4  25  18  11        17  4  10  23  11      7  4  20  23  11

            20  13  21  2  9         20  13  6  2  24        25  13  16  2  9        25  13  6  2  19

 

                        № 85                         № 86                         № 87                         № 88

 

            1  19  10  12  23       1  24  10  12  18      1  9  20  12  23        1  24  20  12  8

            15  22  3  16  9         15  17  3  21  9        15  22  3  6  19         15  7  3  21  19

            18  6  14  25  2         23  6  14  20  2        8  16  14  25  2        23  16  14  10  2

            24  5  17  8  11         19  5  22  8  11        24  5  7  18  11         9  5  22  18  11

            7  13  21  4  20         7  13  16  4  25        17  13  21  4  10      17  13  6  4  25

 

                        № 89                         № 90                         № 91                         № 92

 

            1  9  25  12  18         1  19  25  12  8        1  19  7  15  23        1  24  7  15  18

            15  17  3  6  24         15  7  3  16  24         12  25  3  16  9        12  20  3  21  9

            8  21  14  20  2         18  21  14  10  2      18  6  14  22  5        23  6  14  17  5

            19  5  7  23  11         9  5  17  23  11        24  2  20  8  11        19  2  25  8  11

            22  13  16  4  10       22  13  6  4  20        10  13  21  4  17      10  13  16  4  22

 

                        № 93                         № 94                         № 95                         № 96

 

1  9  17  15  23         1  24  17  15  8        1  9  22  15  18        1  19  22  15  8

            12  25  3  6  19         12  10  3  21  19      12  20  3  6  24        12  10  3  16  24

            8  16  14  22  5         23  16  14  7  5         8  21  14  17  5        18  21  14  7  5

            24  2  10  18  11       9  2  25  18  11        19  2  10  23  11      9  2  20  23  11

            20  13  21  4  7          20  13  6  4  22        25  13  16  4  7        25  13  6  4  17

 

                        № 97                         № 98                         № 99                         № 100

 

1  20  9  12  23          1  25  9  12  18        1  10  19  12  23      1  25  19  12  8

            14  22  3  16  10       14  17  3  21  10      14  22  3  6  20        14  7  3  21  20

            18  6  15  24  2         23  6  15  19  2        8  16  15  24  2        23  16  15  9  2

            25  4  17  8  11         20  4  22  8  11        25  4  7  18  11        10  4  22  18  11

            7  13  21  5  19         7  13  16  5  24        17  13  21  5  9        17  13  6  5  24

 

                        № 101                       № 102                       № 103                       № 104

 

            1  10  24  12  18       1  20  24  12  8        1  20  7  14  23        1  25  7  14  18

            14  17  3  6  25         14  7  3  16  25        12  24  3  16  10       12  19  3  21  10

            8  21  15  19  2         18  21  15  9  2        18  6  15  22  4        23  6  15  17  4

            20  4  7  23  11         10  4  17  23  11      25  2  19  8  11         20  2  24  8  11

            22  13  16  5  9         22  13  6  5  19         9  13  21  5  17        9  13  16  5  22

 

                        № 105                       № 106                       № 107                       № 108

 

            1  10  17  14  23       1  25  17  14  8        1  10  22  14  18      1  20  22  14  8

            12  24  3  6  20         12  9  3  21  20         12  19  3  6  25        12  9  3  16  25

            8  16  15  22  4         23  16  15  7  4         8  21  15  17  4        18  21  15  7  4

            25  2  9  18  11         10  2  24  18  11      20  2  9  23  11        10  2  19  23  11      

            19  13  21  5  7         19  13  6  5  22        24  13  16  5  7        24  13  6  5  17

 

Итак, мне осталось найти четвёртую часть банка – 36 квадратов. Все они, конечно, есть среди тех 1152 квадратов, что я получила по программе алгоритма № 3. Но находить базовые квадраты путём сравнения с уже имеющимися – занятие очень скучное. Надо увидеть ещё одно преобразование, с помощью которого можно было бы получить недостающие 36 квадратов из какой-нибудь четверти известных. Ищу связи между квадратами!

 

                                       ***                                                  

           

Расскажу, какие преобразования увидела, работая над ассоциативными квадратами (о них рассказ будет дальше). Ассоциативные квадраты я искала среди 1152 квадратов, полученных по программе алгоритма № 1, потому что не все ассоциативные квадраты имеют число 1 в левой верхней ячейке.

Я уже рассказывала в первой части статьи о преобразовании “плюс-минус 10”, которое сохраняет не только пандиагональность квадрата, но и ассоциативность.             Сегодня обнаружила две пары ассоциативных квадратов, связанных преобразованием “плюс-минус 20”! Вот эти пары:                                                                                 

 

                                                           Квадрат А                 Квадрат В

 

 

                                        Квадрат С                 Квадрат D

 

 

На первый квадрат наложена мозаика преобразования: в розовых ячейках надо прибавить 20, а в сиреневых – вычесть 20. Вторая пара связана таким же преобразованием.

 

Ещё смотрите! Квадраты этих двух пар связаны между собой преобразованием “плюс-минус 2”, квадрат А – с квадратом С и, соответственно, квадрат В – с квадратом D. Покажу для квадратов А и С:

 

Квадрат А                 Квадрат С

 

 

Сколько же красивых связей существует между пандиагональными квадратами пятого порядка! Я не перестаю удивляться и восхищаться.

 

Однако надо искать четвёртую четверть банка базовых квадратов. Чем сейчас и займусь.

 

                                       ***

 

5 сентября 2007 г.

 

Ура! Я нашла последнюю связь между квадратами! Этой связью оказалось преобразование одновременной перестановки строк и столбцов (смотрите выше, преобразование было обозначено g) применительно к квадратам второй четверти банка. Показываю на примере базового квадрата № 37:

 

                                   Квадрат № 37           Квадрат № 109

 

 

Если обозначить матрицу исходного квадрата С, то матрица квадрата, полученного в результате преобразования, Е=g(С).

Как помнит читатель, было доказано, что преобразование сложной перестановки строк и (одновременно) столбцов эквивалентно двукратному применению преобразования “строки-диагонали”. Но мы знаем, что квадраты третьей четверти банка получены из квадратов второй четверти применением преобразования “строки-диагонали” один раз. Значит, теперь нам надо к квадратам третьей четверти банка применить преобразование “строки-диагонали” ещё раз, и мы получим квадраты четвёртой четверти банка! Беру базовый квадрат № 73 и применяю к нему преобразование “строки-диагонали”:

 

Квадрат № 73                    Квадрат № 109

 

 

Квадраты № 109, полученные этими двумя преобразованиями, совпадают с точностью до поворота и отражения.

Как я ни крутила, ни поворачивала, ни отражала квадраты из 1152 полученных мной по программе и имеющих число 1 в левой верхней ячейке, ничего нового по сравнению с базовыми квадратами моего банка не нашла.

Теория построения моего банка базовых пандиагональных квадратов пятого порядка представлена на рис. 16.

 

 

 

                               Рис. 16

 

Четыре овала обозначают четыре четверти банка квадратов. Каждая четверть состоит из 36 квадратов. Квадраты первой четверти имеют матрицу А. Квадраты второй четверти получены из квадратов первой четверти преобразованием “строки-диагонали”, которое обозначено f, то есть матрица любого квадрата второй четверти, соответствующего квадрату первой четверти, С= f(А). Квадраты третьей четверти получены из квадратов второй четверти опять же преобразованием “строки-диагонали”. Кроме того, квадраты третьей четверти связаны с квадратами первой четверти преобразованием одновременной перестановки строк и столбцов, то есть: D=g(А), которое эквивалентно двукратному применению преобразования “строки-диагонали”, то есть: D=ff(А). Наконец, квадраты четвёртой четверти получаются из квадратов третьей четверти снова преобразованием “строки-диагонали”, то есть: Е=f(D). Или, как уже понимает читатель, это равносильно применению преобразования g к квадратам второй четверти банка: Е=g(С), а далее, заменяя преобразование g двукратным применением преобразования f, имеем: Е= ff(С), а поскольку С=f(А), то Е=fff(А).

Таким образом, квадраты четвёртой четверти банка получаются трёхкратным применением преобразования “строки-диагонали” к квадратам первой четверти банка!

 

Итак, ещё раз: квадраты второй четверти банка получены из квадратов первой четверти применением преобразования “строки-диагонали” один раз. Квадраты третьей четверти банка получены из квадратов первой четверти банка (!) применением преобразования “строки-диагонали” два раза. Квадраты четвёртой четверти банка получены из квадратов первой четверти банка (!) применением преобразования “строки-диагонали” три раза.

А вот применение преобразования “строки-диагонали” к квадратам первой четверти четыре раза возвращает нам исходные квадраты, то есть превращается в тождественное преобразование: ffff(А)=А.

Теперь напрашивается сам собой вывод: с точностью до преобразования “строки-диагонали” базовых пандиагональных квадратов пятого порядка 36, а не 144!

Если обнаруженное мной преобразование “строки-диагонали” было известно ранее, то почему не был получен столь очевидный вывод? Ведь во всех источниках говорится о 144 базовых квадратах!

Покажу ещё раз для наглядности, как первый квадрат первой четверти преобразованием “строки-диагонали” превращается в первые квадраты второй, третьей и четвёртой четвертей банка.

 

   Квадрат № 1            Квадрат № 37           Квадрат № 73         Квадрат № 109

 

 

Привожу теперь четвёртую четверть банка:

 

 

            № 109                       № 110                       № 111                       № 112

 

 1  25  13  7  19        1  20  13  7  24        1  25  13  17  9        1  10  13  17  24

 8  17  4  21  15        8  22  4  16  15        18  7  4  21  15        18  22  4  6  15

 24  11  10  18  2      19  11  10  23  2      24  11  20  8  2        9  11  20  23  2

 20  3  22  14  6        25  3  17  14  6         10  3  22  14  16      25  3  7  14  16

 12  9  16  5  23        12  9  21  5  18        12  19  6  5  23        12  19  21  5  8

                                                                                                         

            № 113                       № 114                       № 115                       № 116

 

 1  20  13  22  9        1  10  13  22  19      1  24  13  7  20        1  19  13  7  25

 23  7  4  16  15        23  17  4  6  15        8  17  5  21  14        8  22  5  16  14

 19  11  25  8  2        9  11  25  18  2        25  11  9  18  2        20  11  9  23  2

 10  3  17  14  21      20  3  7  14  21        19  3  22  15  6        24  3  17  15  6

 12  24  6  5  18        12  24  16  5  8        12  10  16  4  23      12  10  21  4  18

 

            № 117                       № 118                       № 119                       № 120

 

 1  24  13  17  10      1  9  13  17  25        1  19  13  22  10      1  9  13  22  20

 18  7  5  21  14        18  22  5  6  14        23  7  5  16  14        23  17  5  6  14

 25  11  19  8  2        10  11  19  23  2      20  11  24  8  2        10  11  24  18  2

 9  3  22  15  16        24  3  7  15  16        9  3  17  15  21        19  3  7  15  21

 12  20  6  4  23        12  20  21  4  8        12  25  6  4  18        12  25  16  4  8

 

            № 121                       № 122                       № 123                       № 124

 

 1  25  13  9  17        1  20  13  9  22        1  25  13  19  7        1  10  13  19  22

 8  19  2  21  15        8  24  2  16  15        18  9  2  21  15        18  24  2  6  15

 22  11  10  18  4      17  11  10  23  4      22  11  20  8  4        7  11  20  23  4

 20  3  24  12  6        25  3  19  12  6        10  3  24  12  16      25  3  9  12  16

 14  7  16  5  23        14  7  21  5  18        14  17  6  5  23        14  17  21  5  8

 

            № 125                       № 126                       № 127                       № 128

 

  1  20  13  24  7       1  10  13  24  17      1  22  13  9  20        1  17  13  9  25

 23  9  2  16  15        23  19  2  6  15        8  19  5  21  12        8  24  5  16  12

 17  11  25  8  4        7  11  25  18  4        25  11  7  18  4        20  11  7  23  4

 10  3  19  12  21      20  3  9  12  21        17  3  24  15  6        22  3  19  15  6

 14  22  6  5  18        14  22  16  5  8        14  10  16  2  23      14  10  21  2  18

 

            № 129                       № 130                       № 131                       № 132

 

1  22  13  19  10       1  7  13  19  25        1  17  13  24  10      1  7  13  24  20       

 18  9  5  21  12        18  24  5  6  12        23  9  5  16  12        23  19  5  6  12

 25  11  17  8  4        10  11  17  23  4      20  11  22  8  4        10  11  22  18  4

 7  3  24  15  16        22  3  9  15  16        7  3  19  15  21        17  3  9  15  21

 14  20  6  2  23        14  20  21  2  8        14  25  6  2  18        14  25  16  2  8

 

            № 133                       № 134                       № 135                       № 136

 

 1  24  13  10  17      1  19  13  10  22      1  24  13  20  7        1  9  13  20  22

 8  20  2  21  14        8  25  2  16  14        18  10  2  21  14      18  25  2  6  14

 22  11  9  18  5        17  11  9  23  5        22  11  19  8  5        7  11  19  23  5

 19  3  25  12  6        24  3  20  12  6        9  3  25  12  16        24  3  10  12  16

 15  7  16  4  23        15  7  21  4  18        15  17  6  4  23        15  17  21  4  8

 

            № 137                       № 138                       № 139                       № 140

 

1  19  13  25  7         1  9  13  25  17        1  22  13  10  19      1  17  13  10  24

 23  10  2  16  14      23  20  2  6  14        8  20  4  21  12        8  25  4  16  12

 17  11  24  8  5        7  11  24  18  5        24  11  7  18  5        19  11  7  23  5

 9  3  20  12  21        19  3  10  12  21      17  3  25  14  6        22  3  20  14  6

 15  22  6  4  18        15  22  16  4  8        15  9  16  2  23        15  9  21  2  18

 

            № 141                       № 142                       № 143                       № 144

 

 1  22  13  20  9        1  7  13  20  24        1  17  13  25  9        1  7  13  25  19

 18  10  4  21  12      18  25  4  6  12        23  10  4  16  12      23  20  4  6  12

 24  11  17  8  5        9  11  17  23  5        19  11  22  8  5        9  11  22  18  5

 7  3  25  14  16        22  3  10  14  16      7  3  20  14  21        17  3  10  14  21

 15  19  6  2  23        15  19  21  2  8        15  24  6  2  18        15  24  16  2  8

 

Конечно, преобразование “строки-диагонали” я запрограммировала, и его многократное применение заняло у меня несколько минут.

Когда я имею 144 базовых квадрата, то могу построить все 28800 пандиагональных квадратов гораздо быстрее, чем по программе алгоритма 4. Для этого просто к каждому базовому квадрату надо применить преобразования параллельного переноса на торе, а затем к каждому полученному квадрату применить основные преобразования. Таким образом, каждый базовый квадрат даст 25*8=200 квадратов. А все 144 как раз и дадут 28800 квадратов!

 

Уважаемые читатели! Очень интересно узнать ваше мнение о банке базовых пандиагональных квадратов пятого порядка. О предложенной здесь теории связей квадратов в этом банке. Правильная ли она? Нет ли в ней ошибки?

Пожалуйста, пишите мне свои соображения, опровергающие или подтверждающие мою теорию.

 

                                       ***

 

Я обещала ещё рассказать об ассоциативных квадратах. Этот рассказ на следующей странице:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/assoc.htm

 

7 сентября 2007 г.

 

Исследование пандиагональных квадратов пятого порядка продолжается. О, сколько же интересных связей между этими квадратами! Так, например, увидела ещё преобразование “плюс-минус 1”! Вот показываю два квадрата, связанные этим преобразованием:

 

 

 

Или вот ещё такое интересное преобразование “плюс-минус 10” (сначала матрицу показываю, а затем два квадрата, связанные этим преобразованием):

 

 

 

                                                                      ***

 

Я рассказала здесь о многих программах, составленных мной для построения пандиагональных квадратов пятого порядка. Думаю, что надо привести хотя бы одну программу. Выбираю программу алгоритма № 3. Это самый оптимальный, на мой взгляд, вариант. По программе находятся 1152 квадрата с числом 1 в левой верхней ячейке. Программа написана на языке BASIC и работает с интерпретатором QBASIC.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM A(5, 5), B(25)

15 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

20 A(1, 1) = 1: B(1) = 1

25 FOR A = 2 TO 25

35 A(2, 3) = A: B(2) = A

40 FOR B = 2 TO 25

45 IF B <> A THEN 55

50 GOTO 625

55 A(3, 5) = B: B(3) = B

60 FOR C = 2 TO 25

65 IF C <> A THEN IF C <> B THEN 75

70 GOTO 620

75 A(5, 4) = C: B(4) = C

80 FOR D = 2 TO 25

85 IF D <> A THEN IF D <> B THEN IF D <> C THEN 95

90 GOTO 615

95 A(4, 2) = D: B(5) = D

100 FOR I = 2 TO 25

105 IF I <> A THEN IF I <> B THEN IF I <> C THEN IF I <> D THEN 120

110 GOTO 610

120 A(4, 5) = I: B(6) = I

125 FOR J = 2 TO 25

130 IF J <> I THEN IF J <> A THEN IF J <> B THEN IF J <> C THEN IF J <> D THEN 145

135 GOTO 605

145 A(5, 3) = J: B(7) = J

150 FOR K = 2 TO 25

155 IF K <> I THEN IF K <> J THEN IF K <> A THEN IF K <> B THEN IF K <> C THEN IF K <> D THEN 170

160 GOTO 600

170 A(5, 5) = K: B(8) = K

175 A(1, 2) = K - D + C: B(9) = A(1, 2)

180 IF B(9) > 0 THEN IF B(9) < 26 THEN 190

185 GOTO 600

190 A(1, 3) = 66 - K + D - C - I - J - A - B: B(10) = A(1, 3)

195 IF B(10) > 0 THEN IF B(10) < 26 THEN 205

200 GOTO 600

205 A(1, 4) = B + I - 1: B(11) = A(1, 4)

210 IF B(11) > 0 THEN IF B(11) < 26 THEN 220

215 GOTO 600

220 A(1, 5) = A + J - 1: B(12) = A(1, 5)

225 IF B(12) > 0 THEN IF B(12) < 26 THEN 235

230 GOTO 600

235 A(2, 1) = D + I - 1: B(13) = A(2, 1)

240 IF B(13) > 0 THEN IF B(13) < 26 THEN 250

245 GOTO 600

250 A(2, 2) = B + J - 1: B(14) = A(2, 2)

255 IF B(14) > 0 THEN IF B(14) < 26 THEN 265

260 GOTO 600

265 A(2, 4) = 1 + K - D: B(15) = A(2, 4)

270 IF B(15) > 0 THEN IF B(15) < 26 THEN 280

275 GOTO 600

280 A(2, 5) = 66 - J - B - K - I - A: B(16) = A(2, 5)

285 IF B(16) > 0 THEN IF B(16) < 26 THEN 295

290 GOTO 600

295 A(3, 1) = K + A - D: B(17) = A(3, 1)

300 IF B(17) > 0 THEN IF B(17) < 26 THEN 310

305 GOTO 600

310 A(3, 2) = 67 - C - B - I - J - K - A: B(18) = A(3, 2)

315 IF B(18) > 0 THEN IF B(18) < 26 THEN 325

320 GOTO 600

325 A(3, 3) = I + C - 1: B(19) = A(3, 3)

330 IF B(19) > 0 THEN IF B(19) < 26 THEN 340

335 GOTO 600

340 A(3, 4) = D + J - 1: B(20) = A(3, 4)

345 IF B(20) > 0 THEN IF B(20) < 26 THEN 355

350 GOTO 600

355 A(4, 1) = J + C - 1: B(21) = A(4, 1)

360 IF B(21) > 0 THEN IF B(21) < 26 THEN 370

365 GOTO 600

370 A(4, 3) = B - D + K: B(22) = A(4, 3)

375 IF B(22) > 0 THEN IF B(22) < 26 THEN 385

380 GOTO 600

385 A(4, 4) = 66 - C - B - I - J - K: B(23) = A(4, 4)

390 IF B(23) > 0 THEN IF B(23) < 26 THEN 400

395 GOTO 600

400 A(5, 1) = 66 - I - A - J - K - C: B(24) = A(5, 1)

405 IF B(24) > 0 THEN IF B(24) < 26 THEN 415

410 GOTO 600

415 A(5, 2) = I + A - 1: B(25) = A(5, 2)

420 IF B(25) > 0 THEN IF B(25) < 26 THEN 430

425 GOTO 600

430 FOR X = 1 TO 25

435 FOR Y = 1 TO 25

440 IF Y = X THEN 450

445 IF B(X) = B(Y) THEN 600

450 NEXT Y

455 NEXT X

457 W = W + 1: PRINT W: PRINT

458 PRINT #1, W: PRINT #1,

460 FOR R = 1 TO 5

465 FOR S = 1 TO 5

470 PRINT A(R, S);

475 PRINT #1, A(R, S);

480 NEXT S

485 PRINT

490 PRINT #1,

495 NEXT R

500 PRINT

505 PRINT #1,

510 PRINT A; B; C; D; I; J; K

515 IF W = 144 THEN 635

600 NEXT K

605 NEXT J

610 NEXT I

615 NEXT D

620 NEXT C

625 NEXT B

630 NEXT A

635 CLOSE #1

650 END

 

Поместила на сайт и файл, в который программа записала построенные квадраты. Как говорится, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Посмотрите на эти удивительные квадраты! Если бы сама не построила их и не увидела воочию, никогда бы не поверила, что их так много. И это всего лишь 25-ая часть всех пандиагональных квадратов пятого порядка, которых, как вы уже знаете, 28800!

Файл с квадратами здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pand5.htm

 

Моя последняя программа, составленная по алгоритму № 4, представляет собой самый общий случай и при е=1 даёт только что представленную здесь программу. При каждом значении переменной е (эта переменная стоит как раз в левой верхней ячейке квадрата) программа строит 1152 квадрата! То есть если прогнать программу от начала до конца, для е=1, 2, 3, … 25, то получатся все 28800 квадратов.

 

                                                  ________

 

29 сентября 2007 г.

 

Уже закончив работу над пандиагональными квадратами пятого порядка, начав исследование квадратов девятого порядка, я неожиданно нашла в Интернете статью на английском языке, в которой описываются матричные методы построения пандиагональных квадратов до порядка 13 включительно.

Не сумев полностью перевести статью (не знаю английского), сами методы я поняла и изложила их для квадратов 7, 8, 9, 12 порядков.

Если бы я нашла эту статью раньше, то мне не пришлось бы проделать такой длинный путь к созданию банка базовых пандиагональных квадратов пятого порядка. Однако теперь я имею возможность сравнить свои результаты с теми, которые получаются матричным методом, приведённым в указанной статье. И в этом есть кое-что интересное. Поэтому решила показать здесь матричный метод.

Прежде всего, дам ссылку на статью:

 

http://www.grogono.com/magic/5x5.php

 

Матрица для построения квадратов получается как сумма двух матриц:

 

 

Значения переменных таковы: A=0, B=1, C=2, D=3, E=4, a=0, b=1, c=2, d=3, e=4. Теперь подставим в матрицу эти значения, получим следующую матрицу:

 

 

Если посмотреть на числа в этой матрице, как на десятичные числа, то мы имеем нетрадиционный магический пандиагональный квадрат с константой 110. Ну, а чтобы получить традиционный квадрат, надо посмотреть на эти числа, как на пятеричные. Правда, тогда квадрат будет заполнен числами от 0 до 24, так заполняются квадраты во всей указанной статье – числами от 0 до n² -1. Я привожу квадраты к привычному виду, прибавляя к числам во всех ячейках единицу. Итак, данная матрица, если заполнить её пятеричными числами, даёт такой пандиагональный квадрат:

 

 

А дальше надо перебрать все возможные комбинации значений переменных b, c, d, e, значения переменных А, а, B, C, D, E остаются неизменными. В результате мы получим из буквенной матрицы 24 варианта, которые дадут нам 24 пандиагональных квадрата. Я составила программу и с помощью компьютера построила эти 24 квадрата. Вот они:

 

 

 № 1

 1  9  12  20  23

 17  25  3  6  14

 8  11  19  22  5

 24  2  10  13  16

 15  18  21  4  7

 

 № 2

 1  10  12  19  23

 17  24  3  6  15

 8  11  20  22  4

 25  2  9  13  16

 14  18  21  5  7

 

№ 3

 1  8  12  20  24

 17  25  4  6  13

 9  11  18  22  5

 23  2  10  14  16

 15  19  21  3  7

 

 № 4

 1  10  12  18  24

 17  23  4  6  15

 9  11  20  22  3

 25  2  8  14  16

 13  19  21  5  7

 

 № 5

 1  8  12  19  25

 17  24  5  6  13

 10  11  18  22  4

 23  2  9  15  16

 14  20  21  3  7

 

 № 6

 1  9  12  18  25

 17  23  5  6  14

 10  11  19  22  3

 24  2  8  15  16

 13  20  21  4  7

 

 № 7

 1  9  13  20  22

 18  25  2  6  14

 7  11  19  23  5

 24  3  10  12  16

 15  17  21  4  8

 

 № 8

 1  10  13  19  22

 18  24  2  6  15

 7  11  20  23  4

 25  3  9  12  16

 14  17  21  5  8

 

 № 9

 1  7  13  20  24

 18  25  4  6  12

 9  11  17  23  5

 22  3  10  14  16

 15  19  21  2  8

 

 № 10

 1  10  13  17  24

 18  22  4  6  15

 9  11  20  23  2

 25  3  7  14  16

 12  19  21  5  8

 

 № 11

 1  7  13  19  25

 18  24  5  6  12

 10  11  17  23  4

 22  3  9  15  16

 14  20  21  2  8

 

 № 12

 1  9  13  17  25

 18  22  5  6  14

 10  11  19  23  2

 24  3  7  15  16

 12  20  21  4  8

 

 № 13

 1  8  14  20  22

 19  25  2  6  13

 7  11  18  24  5

 23  4  10  12  16

 15  17  21  3  9

 

 № 14

 1  10  14  18  22

 19  23  2  6  15

 7  11  20  24  3

 25  4  8  12  16

 13  17  21  5  9

 

 № 15

 1  7  14  20  23

 19  25  3  6  12

 8  11  17  24  5

 22  4  10  13  16

 15  18  21  2  9

 

 № 16

 1  10  14  17  23

 19  22  3  6  15

 8  11  20  24  2

 25  4  7  13  16

 12  18  21  5  9

 

 № 17

 1  7  14  18  25

 19  23  5  6  12

 10  11  17  24  3

 22  4  8  15  16

 13  20  21  2  9

 

 № 18

 1  8  14  17  25

 19  22  5  6  13

 10  11  18  24  2

 23  4  7  15  16

 12  20  21  3  9

 

 № 19

 1  8  15  19  22

 20  24  2  6  13

 7  11  18  25  4

 23  5  9  12  16

 14  17  21  3  10

 

 № 20

 1  9  15  18  22

 20  23  2  6  14

 7  11  19  25  3

 24  5  8  12  16

 13  17  21  4  10

 

 № 21

 1  7  15  19  23

 20  24  3  6  12

 8  11  17  25  4

 22  5  9  13  16

 14  18  21  2  10

 

 № 22

 1  9  15  17  23

 20  22  3  6  14

 8  11  19  25  2

 24  5  7  13  16

 12  18  21  4  10

 

 № 23

 1  7  15  18  24

 20  23  4  6  12

 9  11  17  25  3

 22  5  8  14  16

 13  19  21  2  10

 

 № 24

 1  8  15  17  24

 20  22  4  6  13

 9  11  18  25  2

 23  5  7  14  16

 12  19  21  3  10

 

 

А дальше в статье говорится, что надо перебрать ещё все возможные комбинации переменных C, D, E, и для каждой такой комбинации получить ещё 24 квадрата, перебирая все комбинации значений переменных b, c, d, e. Таким образом, всего получится 144 квадрата.

 

Ну, а теперь – непередаваемый интерес исследователя! Вы не представляете, с каким трепетом я приступила к сравнению полученных квадратов с квадратами своего банка базовых пандиагональных квадратов, над созданием которого так долго трудилась. Что же я обнаружила при сравнении? Предлагаю полный отчёт.

 

12 квадратов совпадают с квадратами моего банка с точностью до преобразования стандартной перестановки строк и столбцов, вот пример (слева новый квадрат, справа – квадрат из моего банка):

 

                  Квадрат № 1               Квадрат № 22

 

 

Остальные 12 квадратов совпадают с квадратами моего банка в точности. Привожу полную таблицу соответствия, чтобы читатели могли убедиться, что все новые квадраты действительно содержатся в моём банке. Слева даётся номер нового квадрата, а справа соответствующий квадрат из моего банка; колонка слева – квадраты, совпадающие в точности, колонка справа – квадраты, совпадающие с точностью до преобразования стандартной перестановки строк и столбцов.

 

№ 4 - № 46                № 1 - № 22

№ 6 - № 40                № 2 - № 34

№ 7 - № 136              № 3 - № 88

№ 8 - № 124              № 5 - № 100

№ 9 - № 142             № 13 - № 76

№ 10 - № 112            № 15 - № 10

№ 11 - № 130            № 16 - № 28

№ 12 - № 118            № 18 - № 106

№ 14 - № 58              № 19 - № 82

№ 17 - № 52              № 21 - № 4

№ 20 - № 70              № 22 - № 16

№ 23 - № 64              № 24 - № 94

 

А ещё посмотрите, как интересно данная порция квадратов, построенных матричным методом, расположилась в моём банке; привожу номера квадратов моего банка, с которыми совпали новые квадраты, в естественном порядке: 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 88, 94, 100, 106, 112, 118, 124, 130, 136, 142. Забавно, не правда ли? Совпадает каждый шестой квадрат!

Уверенность полная: все новые квадраты содержатся в моём банке, каждый квадрат совпадает только с одним квадратом банка.

 

Я не стала получать остальные порции квадратов. Тем более что автор статьи даёт все 144 квадрата в приложении, смотрите ссылку:

http://www.grogono.com/magic/5x5pan144.php

 

Предоставляю читателям сравнить оба банка квадратов до конца и удостовериться в том, что это совершенно одинаковые наборы из 144 квадратов.

Следовательно, я правильно построила банк базовых пандиагональных квадратов пятого порядка. Теперь не осталось никаких сомнений!

Кроме того, показала, что все квадраты банка можно получить из одного квадрата, пандиагонального и ассоциативного, комбинациями различных преобразований. Так что у меня всего один базовый квадрат! Смотрите статью “Банк базовых пандиагональных квадратов пятого порядка”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/bank.htm

 

                                   ***

 

Жду ваших откликов!

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу