1	12	13	8
14	7	2	11
4	9	16	5
15	6	3	10

 

 

         Внимание! Оригинал.

            При копировании материалов

            прошу указывать ссылку

            на данную страницу.

 

 

МЕТОД КАЧЕЛЕЙ ДЛЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

    ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Итак, я решила отдохнуть от идеальных квадратов, завершив построение квадратов 27-ого порядка. Напомню читателям, что это не самый большой порядок идеального квадрата, который я построила. Самый большой – это идеальный квадрат 81-ого порядка. Правда, я построила его не методом качелей, а двумя (!) другими методами. Метод качелей для таких идеальных квадратов – это уже третий метод. Построение идеального квадрата 81-ого порядка показано на странице “Пандиагональные квадраты нечётных порядков, кратных 9”.

А идеальные квадраты порядков от 5-ого до 27-ого построены методом качелей в статье “Идеальные квадраты”, которая написана в 10 частях. Вот ссылка на самую первую часть:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

 

Решив немного отвлечься от больших квадратов, я подумала: а не работает ли метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётных порядков? И вот возвращаюсь к самым маленьким пандиагональным квадратикам – четвёртого порядка. Ах, какие крохотные! Даже удивительно с ними работать после таких больших квадратов, как 27-ого или 81-ого порядка. Пандиагональные квадраты четвёртого порядка подробно рассмотрены мной в статье “Пандиагональные квадраты”. Это была самая первая моя статья о пандиагональных квадратах.

 

Как известно, существует три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка. Все такие квадраты я построила, не задаваясь даже вопросом о методе их построения. Была у меня программа построения всех 880-ти магических квадратов четвёртого порядка, которую я написала 15 лет назад. Вставив в неё блок проверки пандиагональности, попутно получила по этой программе и 48 пандиагональных квадратов. Ну, потом из Википедии узнала, что существуют преобразования параллельного переноса на торе, и с точностью до этих преобразований есть только три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка. Я бы сказала лучше так: есть три группы квадратов, а в каждой группе есть основной (базовый) квадрат, из которого параллельным переносом на торе получаются все квадраты данной группы. На рис. 1 показываю три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка:

 

 

 

                                                                      Рис. 1

 

Обратите внимание на расположение первых 4 чисел (начальная цепочка). В квадратах первых двух групп схема расположения одинакова. Для этих базовых квадратов у меня не получились качели. А вот для базового квадрата третьей группы (на рис. 1 справа), с другим расположением начальной цепочки, качели работают! Точно так же, как и для пандиагональных квадратов нечётных порядков. На рис. 2 рисую образующую таблицу этого квадрата.

 

 

 

                                                                           Рис. 2

 

Повторяю: всё совершенно аналогично методу качелей для квадратов нечётного порядка. Интересно, не правда ли?

Ну, а дальше составляю программу, которая для такого малютки пишется за 5 минут. Выполняю программу и получаю результат – четыре пандиагональных квадрата. Вот такие чудеса в решете! Показываю эти четыре квадрата, выданных программой. Надо ли говорить, что программа работала долю секунды.

 

1

 1  8  13  12

 14  11  2  7

 4  5  16  9

 15  10  3  6

 

 2

 1  12  13  8

 14  7  2  11

 4  9  16  5

 15  6  3  10

 

 3

 1  8  13  12

 15  10  3  6

 4  5  16  9

 14  11  2  7

 

 4

 1  12  13  8

 15  6  3  10

 4  9  16  5

 14  7  2  11

 

Как видите, первый квадрат – это исходный. А три другие очень просто получаются из него разными преобразованиями. Смотрите сами: второй квадрат получается из исходного преобразованием стандартной перестановки столбцов, третий квадрат – преобразованием стандартной перестановки строк, а четвёртый квадрат – стандартной перестановкой одновременно строк и столбцов.

Я посмотрела, почему программа не выдала остальные квадраты этой группы, ведь их всего 16. Оказалось, что в остальных квадратах другое расположение максимальных чисел в столбцах образующей таблицы (выделенные голубым цветом ячейки на рис. 2), но качели всё равно действуют.

Показываю квадрат № 2, выданный программой с закрашенными циклами качания качелей (рис. 3).

 

 

 

                                                    Рис. 3

 

Да, а шаги качания качелей, очевидно, таковы: через одну ячейку вправо, через одну ячейку влево.

Ещё хочу отметить, что и преобразование “плюс-минус …” связывает квадраты данной группы. Например, квадраты № 1 и № 2, выданные программой, связаны преобразованием “плюс-минус 4”. Вот матрица этого преобразования (рис. 4):

 

 

                                                    Рис. 4

 

Такое нехитрое преобразование сохраняет пандиагональность квадрата. Наложите эту матрицу на квадрат № 1; к числам, попавшим в жёлтые ячейке, прибавьте 4, а от чисел, попавших в розовые ячейки, вычтите 4, и новый пандиагональный квадрат готов. Он, разумеется, не совсем новый, а всего лишь один из квадратов группы квадрата № 1. А с точки зрения качелей это преобразование равносильно тому, что два цикла качания качелей поменялись местами. Покажу это, поместив оба квадрата рядом и закрасив в них циклы качания качелей (рис. 5).

 

                                                  Квадрат № 1             Квадрат № 2

 

 

                                                                      Рис. 5

 

На рисунке очень хорошо видно, что оранжевый и белый циклы поменялись местами. Напомню читателям, что циклы качания качелей соответствуют столбцам образующей таблицы. Подобные преобразования я показывала в свете метода качелей для идеальных квадратов нескольких порядков (в статье “Идеальные квадраты”).

 

А теперь сама собой напрашивается мысль: а для квадратов высших чётно-чётных порядков действует метод качелей? Ну, просто сил нет! Это надо сейчас же смотреть пандиагональные квадраты восьмого порядка на предмет работы качелей.

Но если вдруг окажется, что и для квадратов восьмого порядка можно построить пандиагональные квадраты методом качелей, и для квадратов 12-ого порядка, и вообще для любого чётно-чётного порядка, то получается сенсация:

 

метод качелей – универсальный метод построения пандиагональных квадратов любого порядка!!!

 

Нет, право же надо отдохнуть. Не буду прямо сейчас смотреть на пандиагональньные квадраты восьмого порядка. Предлагаю сделать это читателям. Сенсацию я уже объявила. Почти уверена, что она действительно имеет место. Для пандиагональных квадратов четвёртого порядка это уже показано. Если кто-то из читателей покажет это на примере пандиагональных квадратов чётно-чётных порядков больше 4, то всё равно открытие будет принадлежать мне. Согласны?

 

                                                             ***

 

Читайте мой живой журнал:

 

http://nataly-magique.livejournal.com/

 

                                                                  _________

 

 

17 января 2008 г.

г. Саратов

 

                                       18 января 2008 г.

 

Я переименовала статью, прежнее её название было “Пандиагональные квадраты четвёртого порядка в свете метода качелей”. Выше и были показаны квадраты четвёртого порядка.

 

А теперь покажу подтверждение объявленной сенсации на примере пандиагональных квадратов 12-ого порядка. Пока пропускаю квадраты 8-ого порядка, потому что с ходу не увидела квадрата, подходящего для метода качелей. А вот для пандиагонального квадрата 12-ого порядка сочинила образующую таблицу сразу (см. рис. 6), запрограммировала её и получила огромное количество пандиагональных квадратов подобного типа. Просто фантастика!

 

 

 

                                                                           Рис. 6

 

Повторяю: всё совершенно аналогично методу качелей для пандиагональных квадратов нечётного порядка (идеальные квадраты, как известно, частный случай пандиагональных квадратов). Номера циклов качания качелей (нижняя строка образующей таблицы) тоже находятся в определённой зависимости от чисел в начальной цепочке. Читатели смогут увидеть эту зависимость в готовых образующих таблицах, которые буду показаны дальше. Итак, я зафиксировала в начальной цепочке положение двух чисел – 12 и 1. Все остальные числа в этой цепочке варьируются. Таким образом, имеем 10 переменных, каждая из которых принимает значения от 2 до 11. Представьте, сколько вариантов должна рассмотреть программа! У меня, как всегда, не хватило терпения прогнать программу до конца. Запустив программу, я ушла завтракать. Вернувшись, обнаружила, что программа ещё работает. Я прервала её, к моменту прерывания было найдено 1512 решений.

Как и раньше, я вывожу решения в виде образующих таблиц. Показываю первые три решения, сначала в том виде, как они выдались программой, а затем превращаю каждую образующую таблицу в пандиагональный квадрат.

 

1

-1 -1 -1 -1  5 -7  1 -2 -2  1 -2

 12  131  115  97  89  75  144  59  67  37  17  27

 2  130  117  104  90  76  134  58  69  44  18  28

 3  132  119  103  85  77  135  60  71  43  13  29

 4  122  118  105  92  78  136  50  70  45  20  30

 5  123  120  107  91  73  137  51  72  47  19  25

 6  124  110  106  93  80  138  52  62  46  21  32

 1  125  111  108  95  79  133  53  63  48  23  31

 8  126  112  98  94  81  140  54  64  38  22  33

 7  121  113  99  96  83  139  49  65  39  24  35

 9  128  114  100  86  82  141  56  66  40  14  34

 11  127  109  101  87  84  143  55  61  41  15  36

 10  129  116  102  88  74  142  57  68  42  16  26

 

 2

-1 -1 -1 -1  5 -10  1  1  1  1 -5

 12  128  118  97  89  75  144  20  34  37  53  63

 2  127  117  107  90  76  134  19  33  47  54  64

 3  132  116  106  85  77  135  24  32  46  49  65

 4  122  115  105  95  78  136  14  31  45  59  66

 5  123  120  104  94  73  137  15  36  44  58  61

 6  124  110  103  93  83  138  16  26  43  57  71

 1  125  111  108  92  82  133  17  27  48  56  70

 11  126  112  98  91  81  143  18  28  38  55  69

 10  121  113  99  96  80  142  13  29  39  60  68

 9  131  114  100  86  79  141  23  30  40  50  67

 8  130  109  101  87  84  140  22  25  41  51  72

 7  129  119  102  88  74  139  21  35  42  52  62

 

 3

-1 -1 -1 -2  6 -10  1  1  1  2 -6

 12  128  118  97  89  63  144  20  34  37  53  75

 2  126  117  107  91  64  134  18  33  47  55  76

 3  132  116  106  85  65  135  24  32  46  49  77

 4  122  114  105  95  67  136  14  30  45  59  79

 5  123  120  104  94  61  137  15  36  44  58  73

 7  124  110  102  93  71  139  16  26  42  57  83

 1  125  111  108  92  70  133  17  27  48  56  82

 11  127  112  98  90  69  143  19  28  38  54  81

 10  121  113  99  96  68  142  13  29  39  60  80

 9  131  115  100  86  66  141  23  31  40  50  78

 8  130  109  101  87  72  140  22  25  41  51  84

 6  129  119  103  88  62  138  21  35  43  52  74

 

В первой строке (сразу за номером решения) выводятся разности (самый левый столбец образующей таблицы). Напомню читателям, что образующую таблицу переписывать в готовый квадрат очень удобно построчно. Замечу, что у меня не выводятся номера циклов качания качелей (самая нижняя строка образующей таблицы). Итак, смотрите на пандиагональные квадраты 12-ого порядка, порождаемые приведёнными образующими таблицами (рис. 7, 8, 9).

 

 

 

                                                                       Рис. 7

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

 

 

                                                                      Рис. 9

 

Удивительно красивые пандиагональные квадраты! В левой верхней ячейке у них находится число 1 – вообще самые лучшие магические квадраты, которые с числа 1 начинаются (мне так кажется). Качели здесь имеют такие шаги качания: через 1 ячейку влево, через 9 ячеек вправо. Заметьте, что сумма шагов качания 1+9=10, на 2 меньше порядка квадрата. Точно так же и для всех качелей в квадратах нечётного порядка. Отразив любой из этих трёх квадратов относительно одной из осей симметрии, получим пандиагональный квадрат с качелями, имеющими симметричные шаги качания, то есть через 1 ячейку вправо, через 9 ячеек влево. Всего же для квадратов 12-ого порядка должно быть пять видов качелей, с такими сложениями шагов качания: 1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5. Не могу утверждать, что все они имеют место, так как не имею образцов с такими качелями.

 

А теперь посмотрите на последние два квадрата. Только два числа в начальной цепочке поменялись местами – 6 и 7. И, конечно же, эти квадраты связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. Напомню, что комбинированным преобразованием “плюс-минус …” я называю такое преобразование, в котором участвуют несколько чисел, в отличие от простого преобразования, в котором участвует только одно число. Простое преобразование “плюс-минус 4” было показано выше для квадратов четвёртого порядка. На рис. 10 показываю матрицу комбинированного преобразования “плюс-минус …” для пандиагональных квадратов с рис. 8 и 9. Замечу, что для краткости я не пишу в ячейках матрицы a_ij.

 

 

 

                                                   Рис. 10

 

Вот такое красивое преобразование, которое, понятно, сохраняет пандиагональность квадрата. Читатели уже знают, как пользоваться этой матрицей. Надо наложить её на квадрат с рис. 8, выполнить все действия над числами, попавшими в закрашенные ячейки, а остальные числа переписать без изменения. И новый пандиагональный квадрат готов – это квадрат с рис. 9. Как видите, в преобразовании участвуют четыре числа – 1, 11, 12, 13.

Безусловно, среди всех пандиагональных квадратов этой группы есть ещё много квадратов, связанных преобразованиями такого типа. Но сочинить такое преобразование, не имея перед собой двух готовых квадратов, крайне сложно.

 

Если вы захотите получить много пандиагональных квадратов такого вида, составьте программу для образующей таблицы, изображённой на рис. 6 и выполните её. Вряд ли вам удастся выполнить её до конца, а если удастся, то вы получите точное число таких пандиагональных квадратов. Не поленитесь вставить в программу блок превращения образующей таблицы в готовый квадрат. Тогда вы будете получать решения в виде готовых пандиагональных квадратов. Как я уже говорила, решений будет очень много; я прервала программу, когда уже было найдено 1512 решений.

 

Вот посмотрите на пандиагональный квадрат, который я построила матричным методом в статье “Магические квадраты 12-ого порядка” (рис. 11).

 

 

                                                                      Рис. 11

 

В этом квадрате качели не работают. Вполне вероятно, что его можно превратить простой перестановкой строк и столбцов в такой квадрат, в котором качели будут действовать. У меня есть программа перестановки строк и столбцов для квадратов 12-ого порядка, при помощи которой я получала пандиагональные квадраты из ассоциативного. Надо будет на досуге попробовать переставить строки и столбцы в этом квадрате. Однако это может и не получиться.

Но достаточен тот факт, что я смогла методом качелей построить множество пандиагональных квадратов 12-ого порядка, хотя и только одного вида. Вполне возможно, что существует группа или даже несколько групп пандиагональных квадратов 12-ого порядка, которые не строятся методом качелей. Кстати, для квадратов четвёртого порядка тоже не все три группы квадратов были построены методом качелей, а только одна группа. Интересный вопрос для исследований.

 

А теперь, конечно, мне очень хочется показать метод качелей для пандиагональных квадратов 8-ого порядка. Но надо сочинить образующую таблицу. Пойду решать задачу.

 

Замечу, что о магических квадратах 12-ого порядка вы можете прочитать в статьях:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk12.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/panch.htm

 

                                                   ***

 

                                                    19 января 2008 г.

 

Сочинила образующую таблицу для пандиагонального квадрата 8-ого порядка по аналогии с таблицей для квадрата 12-ого порядка. Она изображена на рис. 12.

 

 

                                                                           Рис. 12

 

Сильная вещь – аналогия! Из всех имеющихся у меня пандиагональных квадратов 8-ого порядка (а их у меня более 720!) не нашла ни одного квадрата, в котором явно работают качели. Тогда решила нарисовать образующую таблицу по аналогии с предыдущей. И, кажется, всё получилось.

Сейчас составлю программу для этой образующей таблицы и получу много-много пандиагональных квадратов, каких в моей коллекции ещё нет. Восторг!

Поскольку здесь всего 6 переменных и изменяются они от 2 до 7, есть надежда получить все пандиагональные квадраты данного вида.

 

                                               ***

 

Продолжаю свой рассказ. Программа составилась быстро и выполнилась мгновенно. Я даже отбросила в сторону лень и написала в программе блок превращения образующей таблицы в готовый квадрат. И программа выдала мне 144 пандиагональных квадрата 8-ого порядка! Торжествую и радуюсь. Я среди этих квадратов такой квадратик нашла – просто пальчики оближешь! Но сначала покажу первые 7 решений, выданных программой, могла бы и все 144 показать, но много места займут. А прикреплять отдельным файлом не хочется, тем более что у меня уже есть на сайте файл с пандиагональными квадратами 8-ого порядка, построенными матричным методом (720 штук!).

 

1

 1  51  48  38  57  27  24  14

 23  13  4  50  47  37  60  26

 59  32  22  9  3  56  46  33

 45  36  58  31  21  12  2  55

 8  54  41  35  64  30  17  11

 20  10  7  53  44  34  63  29

 62  25  19  16  6  49  43  40

 42  39  61  28  18  15  5  52

 

 2

 1  51  48  38  57  11  24  30

 21  31  4  50  45  39  60  10

 59  16  22  25  3  56  46  33

 47  36  58  13  23  28  2  53

 8  54  41  35  64  14  17  27

 20  26  5  55  44  34  61  15

 62  9  19  32  6  49  43  40

 42  37  63  12  18  29  7  52

 

 3

 1  51  48  30  57  35  24  14

 23  12  5  50  47  28  61  34

 59  40  22  9  3  56  46  25

 44  29  58  39  20  13  2  55

 8  54  41  27  64  38  17  11

 21  10  7  52  45  26  63  36

 62  33  19  16  6  49  43  32

 42  31  60  37  18  15  4  53

 

 4

 1  51  48  30  57  11  24  38

 20  39  5  50  44  31  61  10

 59  16  22  33  3  56  46  25

 47  29  58  12  23  37  2  52

 8  54  41  27  64  14  17  35

 21  34  4  55  45  26  60  15

 62  9  19  40  6  49  43  32

 42  28  63  13  18  36  7  53

 

 5

 1  51  48  14  57  35  24  30

 21  28  7  50  45  12  63  34

 59  40  22  25  3  56  46  9

 44  15  58  37  20  31  2  53

 8  54  41  11  64  38  17  27

 23  26  5  52  47  10  61  36

 62  33  19  32  6  49  43  16

 42  13  60  39  18  29  4  55

 

 6

 1  51  48  14  57  27  24  38

 20  37  7  50  44  13  63  26

 59  32  22  33  3  56  46  9

 45  15  58  28  21  39  2  52

 8  54  41  11  64  30  17  35

 23  34  4  53  47  10  60  29

 62  25  19  40  6  49  43  16

 42  12  61  31  18  36  5  55

 

 7

 1  52  40  45  57  20  32  13

 31  14  3  50  39  46  59  18

 60  24  29  9  4  56  37  41

 38  43  58  23  30  11  2  55

 8  53  33  44  64  21  25  12

 27  10  7  54  35  42  63  22

 61  17  28  16  5  49  36  48

 34  47  62  19  26  15  6  51

 

 

Помещу в матрицу самое первое решение и закрашу все циклы качания качелей (рис. 13).

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

Вам нравится? Мне очень! Качели здесь имеют такие шаги качания: через 1 ячейку влево, через 5 ячеек вправо. Сумма шагов, как видите, снова на 2 меньше порядка квадрата, как абсолютно во всех рассмотренных мной качелях.

Предлагаю читателям исследовать представленные квадраты на предмет преобразования “плюс-минус …”.

 

А теперь покажу квадрат, который просто великолепен. Когда я рассматривала квадраты 12-ого порядка, составленные по аналогичной образующей таблице, там я просто не дошла до аналогичного квадрата, потому что слишком много решений, и я их не стала даже все выводить и прервала программу. А вот здесь всё проще – и какой результат! Все 144 квадрата я, конечно же, вывела в файл. Потом посмотрела на них очень внимательно и увидела этот квадрат. Вот он, на рис. 14.

 

 

 

                                                                      Рис. 14

 

В чём же великолепие этого квадрата? Посмотрите на расположение чисел в начальной цепочке. Они следуют по порядку! И образующая таблица этого квадрата тривиальна так же, как в аналогичных качелях для идеальных квадратов нечётных порядков, не кратных 3. Вот покажу и образующую таблицу этого квадрата, чтобы читатели лучше поняли, в чём вся прелесть этого квадрата. Да, замечу, кстати, что среди решений, выданных программой, этот квадрат стоит под № 55. Смотрите на образующую таблицу (рис. 15):

 

 

 

                                                                           Рис. 15

 

Аналогичный квадрат есть и среди решений для пандиагональных квадратов 12-ого порядка (я получила его, искусственно задав в программе нужные значения переменных). Показываю его (рис. 16):

 

 

 

                                                                      Рис. 16

 

Нарисуйте образующую таблицу этого квадрата (пустая таблица для этого изображена на рис. 6). И вы увидите ещё лучше все закономерности.

 

А теперь внимание! Это же я не просто так показала такие прекрасные образцы пандиагональных квадратов 8-ого и 12-ого порядка. Дело в том, что по аналогии с этими квадратами строится пандиагональный квадрат любого чётно-чётного порядка безо всяких вычислений. Просто рисуется аналогичная образующая таблица, заполняется по закону её формирования, а затем переписывается в матрицу для квадрата (построчно). И всё! Но так можно построить только один квадрат (точно так же, как простыми качелями с тривиальной образующей таблицей можно построить только один идеальный квадрат нечётного порядка, не кратного 3). А остальные квадраты надо, конечно, строить по программе. Для квадратов 8-ого порядка программа построила 144 таких квадрата. Для квадратов 12-ого и 16-ого порядка их число очень большое.

Итак, проделаю всё сказанное для квадрата 16-ого порядка. На рис. 17 вы видите совершенно аналогичную образующую таблицу, которая заполняется элементарно.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Напомню читателям, как формируются наборы чисел в столбцах образующей таблицы (для тех, кто не читал статью о качелях для идеальных квадратов). Процесс начинается с максимального числа в столбце, которое обязательно кратно порядку квадрата (в таблице эти числа находятся в выделенных голубым цветом ячейках). От этого числа надо двигаться вверх по столбцу, прибавляя разности из самого левого столбца таблицы, начиная с самой нижней. Дойдя до верхнего края, начинать писать числа с самого нижнего края таблицы, опять снизу вверх. Сформирую, например, набор чисел в первом столбце таблицы, следующем за столбцом с начальной цепочкой чисел.

 

144+(-1)=143, 143+(-1)=142, 142+(-1)=141, 141+(-1)=140, 140+(-1)=139

139+(-1)=138, 138+(-1)=137, 137+(-8)=129, 129+1=130, 130+1=131

131+1=132, 132+1=133, 133+1=134, 134+1=135, 135+1=136

 

Всё о закономерностях образующей таблицы я рассказывала очень подробно в статье “Идеальные квадраты”.

Как видите, процесс формирования образующей таблицы в этом частном случае очень прост, потому что все разности равны 1 или -1, кроме одной, равной -8.

А теперь нет ничего проще переписать эту образующую таблицу в готовый пандиагональный квадрат 16-ого порядка. Это делается построчно, как я уже не раз говорила. И на рис. 17 вы видите готовый пандиагональный квадрат, порождаемый этой образующей таблицей.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Вы ещё не убедились, что с помощью таких качелей можно построить пандиагональный квадрат любого чётно-чётного порядка? Покажу тогда ещё пандиагональный квадрат 20-ого порядка, построенный этим методом. Но только пропускаю образующую таблицу, сразу даю сам квадрат (рис. 18).

 

 

 

                                                                  Рис. 18

 

В квадрате выделен 19-ый, последний, цикл качания качелей жёлтым цветом. Напомню: каждый цикл качания качелей – это соответствующий столбец в образующей таблице. Качели здесь качаются так: через 1 ячейку влево, через 17 ячеек вправо, сумма шагов качания как всегда на 2 меньше порядка квадрата.

 

Интересно отметить, что в статье “Пандиагональные квадраты чётно-чётного порядка” описан ещё один очень простой и оригинальный метод построения пандиагональных квадратов двойной чётности – это определённые преобразования трёх квадратов внутри ассоциативного квадрата, построенного, например, методом квадратных рамок. Этот метод я обнаружила, работая с программой перестановки строк и столбцов в ассоциативном квадрате с целью получения пандиагонального квадрата. Кстати, применяемые мной преобразования трёх квадратов есть не что иное, как перестановка строк и столбцов определённым образом. Покажу здесь для сравнения с только что построенным пандиагональным квадратом квадрат из указанной статьи (рис. 19).

 

 

 

                                                                       Рис. 19

 

Посмотрите, как в этом квадрате расположились первые 20 чисел. Понятно, что этот квадрат не принадлежит к той группе квадратов, которая включает квадрат с рис. 18. Хотя, как знать: может быть, эти два квадраты связаны некоторым преобразованием, мне ещё не известным.

 

Конечно, можно продолжить строить вручную пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков. Но как ни проста процедура заполнения образующей таблицы, с ростом порядка она становится утомительной. Поэтому естественно хочется автоматизировать процесс. Я формализовала формирование образующей таблицы в маленькой программке, но один недочёт: числа в столбцах образующей таблицы, формируемой программой, смещены по вертикали, все столбцы начинаются с максимального в столбце числа. Так мне было удобно задавать циклы формирования наборов чисел в столбцах. Покажу на примере образующей таблицы для квадрата 8-ого порядка. По программе выдаётся такая таблица:

 

8  36  44  52  60  28  20  12

                                               4  35  43  51  59  27  19  11

                                               3  34  42  50  58  26  18  10

                                               2  33  41  49  57  25  17  9

                                               1  37  45  53  61  29  21  13

                                               5  38  46  54  62  30  22  14

                                               6  39  47  55  63  31  23  15

                                               7  40  48  56  64  32  24  16

 

Правильная образующая таблица изображена на рис. 15. Мне в голову не приходит с ходу мысль, как в одном цикле сделать смещение чисел в столбцах. Возможно, это очень просто сделать, и тогда вам удастся избежать одного ручного переписывания образующей таблицы, приводящего в порядок числа в столбцах.

Приведу здесь свою программку для формирования образующей таблицы. Введите в программу порядок квадрата n=4k, k=1,2,3…, и программа мгновенно выдаст вам “неправильную” образующую таблицу. Если можете, вставьте в программу блок, корректирующий таблицу, а также блок, превращающий образующую таблицу в пандиагональный квадрат. Это будет идеальный вариант программы. Программа считает таблицы до порядка n=100. Можно при желании увеличить размер массива до нужного порядка (строка 10).

Замечу, что аналогичный пандиагональный квадрат есть и четвёртого порядка. Этот квадрат помещён перед статьёй. Среди четырёх, выданных составленной для квадратов 4-ого порядка программой, это квадрат № 2.  Итак,

 

                                      ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM C(100, 100)

12 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 PRINT "VVEDITE PORYADOK KVADRATA"

20 INPUT N

30 K = (N - 2) / 2: L = (N + 2) / 2

35 FOR I = L + 1 TO N

40 C(N, I) = N * (N + 2 - I)

45 FOR J = N - 1 TO L STEP -1

50 C(J, I) = C(J + 1, I) - 1

55 NEXT J

60 C(L - 1, I) = C(L, I) - N / 2

65 FOR M = L - 2 TO 1 STEP -1

70 C(M, I) = C(M + 1, I) + 1

75 NEXT M

80 NEXT I

85 FOR I = 2 TO L

90 C(N, I) = N * (I + K)

95 FOR P = N - 1 TO L STEP -1

100 C(P, I) = C(P + 1, I) - 1

105 NEXT P

110 C(L - 1, I) = C(L, I) - N / 2

115 FOR Q = L - 2 TO 1 STEP -1

120 C(Q, I) = C(Q + 1, I) + 1

125 NEXT Q

130 C(N, 1) = N - 1: B = N / 2 + 2

135 FOR T = N - 1 TO B STEP -1

140 C(T, 1) = C(T + 1, 1) - 1

145 NEXT T

147 NEXT I

150 C(N / 2 + 1, 1) = C(N / 2 + 2, 1) - N / 2

155 FOR A = N / 2 TO 2 STEP -1

160 C(A, 1) = C(A + 1, 1) + 1

162 NEXT A

165 C(1, 1) = N

170 FOR X = 1 TO N

175 FOR Y = 1 TO N

180 PRINT C(X, Y);

185 PRINT #1, C(X, Y);

187 NEXT Y

190 PRINT : PRINT #1,

195 NEXT X

197 CLOSE #1

200 END

 

Теперь покажу образующую таблицу, полученную по этой программе для квадрата 24-ого порядка.

 

24  300  324  348  372  396  420  444  468  492  516  540  564  276  252  228  204  180  156  132  108  84  60  36

 12  299  323  347  371  395  419  443  467  491  515  539  563  275  251  227  203  179  155  131  107  83  59  35

 11  298  322  346  370  394  418  442  466  490  514  538  562  274  250  226  202  178  154  130  106  82  58  34

 10  297  321  345  369  393  417  441  465  489  513  537  561  273  249  225  201  177  153  129  105  81  57  33

 9  296  320  344  368  392  416  440  464  488  512  536  560  272  248  224  200  176  152  128  104  80  56  32

 8  295  319  343  367  391  415  439  463  487  511  535  559  271  247  223  199  175  151  127  103  79  55  31

 7  294  318  342  366  390  414  438  462  486  510  534  558  270  246  222  198  174  150  126  102  78  54  30

 6  293  317  341  365  389  413  437  461  485  509  533  557  269  245  221  197  173  149  125  101  77  53  29

 5  292  316  340  364  388  412  436  460  484  508  532  556  268  244  220  196  172  148  124  100  76  52  28

 4  291  315  339  363  387  411  435  459  483  507  531  555  267  243  219  195  171  147  123  99  75  51  27

 3  290  314  338  362  386  410  434  458  482  506  530  554  266  242  218  194  170  146  122  98  74  50  26

 2  289  313  337  361  385  409  433  457  481  505  529  553  265  241  217  193  169  145  121  97  73  49  25

 1  301  325  349  373  397  421  445  469  493  517  541  565  277  253  229  205  181  157  133  109  85  61  37

 13  302  326  350  374  398  422  446  470  494  518  542  566  278  254  230  206  182  158  134  110  86  62  38

 14  303  327  351  375  399  423  447  471  495  519  543  567  279  255  231  207  183  159  135  111  87  63  39

 15  304  328  352  376  400  424  448  472  496  520  544  568  280  256  232  208  184  160  136  112  88  64  40

 16  305  329  353  377  401  425  449  473  497  521  545  569  281  257  233  209  185  161  137  113  89  65  41

 17  306  330  354  378  402  426  450  474  498  522  546  570  282  258  234  210  186  162  138  114  90  66  42

 18  307  331  355  379  403  427  451  475  499  523  547  571  283  259  235  211  187  163  139  115  91  67  43

 19  308  332  356  380  404  428  452  476  500  524  548  572  284  260  236  212  188  164  140  116  92  68  44

 20  309  333  357  381  405  429  453  477  501  525  549  573  285  261  237  213  189  165  141  117  93  69  45

 21  310  334  358  382  406  430  454  478  502  526  550  574  286  262  238  214  190  166  142  118  94  70  46

 22  311  335  359  383  407  431  455  479  503  527  551  575  287  263  239  215  191  167  143  119  95  71  47

 23  312  336  360  384  408  432  456  480  504  528  552  576  288  264  240  216  192  168  144  120  96  72  48

 

Корректирую таблицу; на рис. 20 вы видите правильную таблицу:

 

 

 

                                                                    Рис. 20

 

Может быть, читателю покажется, что лучше написать эту таблицу сразу вручную, без программы. Однако всё-таки программа выдаёт таблицу без ошибок, а если таблицу писать, то ошибки будут неизбежны даже при всей простоте формирования таблицы. Поэтому лучше пользоваться программой.

Ну, а теперь второй этап, это совсем просто. Вставляю рядом пустую матрицу и построчно переношу в неё (копированием) числа из образующей таблицы (разумеется, с соответствующим смещением). И на рис. 21 вы видите готовый пандиагональный квадрат 24-ого порядка.

 

 

1	291	317	343	369	395	432	454	476	498	520	542	553	267	245	223	201	179	168	142	116	90	64	38
63	37	2	292	318	344	370	396	431	453	475	497	519	541	554	268	246	224	202	180	167	141	115	89
114	88	62	25	3	293	319	345	371	408	430	452	474	496	518	529	555	269	247	225	203	192	166	140
165	139	113	87	61	26	4	294	320	346	372	407	429	451	473	495	517	530	556	270	248	226	204	191
216	190	164	138	112	86	49	27	5	295	321	347	384	406	428	450	472	494	505	531	557	271	249	227
250	228	215	189	163	137	111	85	50	28	6	296	322	348	383	405	427	449	471	493	506	532	558	272
559	273	251	240	214	188	162	136	110	73	51	29	7	297	323	360	382	404	426	448	470	481	507	533
508	534	560	274	252	239	213	187	161	135	109	74	52	30	8	298	324	359	381	403	425	447	469	482
457	483	509	535	561	275	264	238	212	186	160	134	97	75	53	31	9	299	336	358	380	402	424	446
423	445	458	484	510	536	562	276	263	237	211	185	159	133	98	76	54	32	10	300	335	357	379	401
378	400	422	433	459	485	511	537	563	288	262	236	210	184	158	121	99	77	55	33	11	312	334	356
333	355	377	399	421	434	460	486	512	538	564	287	261	235	209	183	157	122	100	78	56	34	12	311
24	310	332	354	376	398	409	435	461	487	513	539	576	286	260	234	208	182	145	123	101	79	57	35
58	36	23	309	331	353	375	397	410	436	462	488	514	540	575	285	259	233	207	181	146	124	102	80
103	81	59	48	22	308	330	352	374	385	411	437	463	489	515	552	574	284	258	232	206	169	147	125
148	126	104	82	60	47	21	307	329	351	373	386	412	438	464	490	516	551	573	283	257	231	205	170
193	171	149	127	105	83	72	46	20	306	328	350	361	387	413	439	465	491	528	550	572	282	256	230
255	229	194	172	150	128	106	84	71	45	19	305	327	349	362	388	414	440	466	492	527	549	571	281
570	280	254	217	195	173	151	129	107	96	70	44	18	304	326	337	363	389	415	441	467	504	526	548
525	547	569	279	253	218	196	174	152	130	108	95	69	43	17	303	325	338	364	390	416	442	468	503
480	502	524	546	568	278	241	219	197	175	153	131	120	94	68	42	16	302	313	339	365	391	417	443
418	444	479	501	523	545	567	277	242	220	198	176	154	132	119	93	67	41	15	301	314	340	366	392
367	393	419	456	478	500	522	544	566	265	243	221	199	177	155	144	118	92	66	40	14	289	315	341
316	342	368	394	420	455	477	499	521	543	565	266	244	222	200	178	156	143	117	91	65	39	13	290

 

                                                                      Рис. 21

 

Приведу ещё одну образующую таблицу, полученную по программе, – для квадрата 28-ого порядка. Откорректируйте таблицу, сместив числа в столбцах, и напишите готовый пандиагональный квадрат.

 

28  406  434  462  490  518  546  574  602  630  658  686  714  742  770  378  350  322  294  266  238  210  182  154  126  98  70  42

 14  405  433  461  489  517  545  573  601  629  657  685  713  741  769  377  349  321  293  265  237  209  181  153  125  97  69  41

 13  404  432  460  488  516  544  572  600  628  656  684  712  740  768  376  348  320  292  264  236  208  180  152  124  96  68  40

 12  403  431  459  487  515  543  571  599  627  655  683  711  739  767  375  347  319  291  263  235  207  179  151  123  95  67  39

 11  402  430  458  486  514  542  570  598  626  654  682  710  738  766  374  346  318  290  262  234  206  178  150  122  94  66  38

 10  401  429  457  485  513  541  569  597  625  653  681  709  737  765  373  345  317  289  261  233  205  177  149  121  93  65  37

 9  400  428  456  484  512  540  568  596  624  652  680  708  736  764  372  344  316  288  260  232  204  176  148  120  92  64  36

 8  399  427  455  483  511  539  567  595  623  651  679  707  735  763  371  343  315  287  259  231  203  175  147  119  91  63  35

 7  398  426  454  482  510  538  566  594  622  650  678  706  734  762  370  342  314  286  258  230  202  174  146  118  90  62  34

 6  397  425  453  481  509  537  565  593  621  649  677  705  733  761  369  341  313  285  257  229  201  173  145  117  89  61  33

 5  396  424  452  480  508  536  564  592  620  648  676  704  732  760  368  340  312  284  256  228  200  172  144  116  88  60  32

 4  395  423  451  479  507  535  563  591  619  647  675  703  731  759  367  339  311  283  255  227  199  171  143  115  87  59  31

 3  394  422  450  478  506  534  562  590  618  646  674  702  730  758  366  338  310  282  254  226  198  170  142  114  86  58  30

 2  393  421  449  477  505  533  561  589  617  645  673  701  729  757  365  337  309  281  253  225  197  169  141  113  85  57  29

 1  407  435  463  491  519  547  575  603  631  659  687  715  743  771  379  351  323  295  267  239  211  183  155  127  99  71  43

 15  408  436  464  492  520  548  576  604  632  660  688  716  744  772  380  352  324  296  268  240  212  184  156  128  100  72  44

 16  409  437  465  493  521  549  577  605  633  661  689  717  745  773  381  353  325  297  269  241  213  185  157  129  101  73  45

 17  410  438  466  494  522  550  578  606  634  662  690  718  746  774  382  354  326  298  270  242  214  186  158  130  102  74  46

 18  411  439  467  495  523  551  579  607  635  663  691  719  747  775  383  355  327  299  271  243  215  187  159  131  103  75  47

 19  412  440  468  496  524  552  580  608  636  664  692  720  748  776  384  356  328  300  272  244  216  188  160  132  104  76  48

 20  413  441  469  497  525  553  581  609  637  665  693  721  749  777  385  357  329  301  273  245  217  189  161  133  105  77  49

 21  414  442  470  498  526  554  582  610  638  666  694  722  750  778  386  358  330  302  274  246  218  190  162  134  106  78  50

 22  415  443  471  499  527  555  583  611  639  667  695  723  751  779  387  359  331  303  275  247  219  191  163  135  107  79  51

 23  416  444  472  500  528  556  584  612  640  668  696  724  752  780  388  360  332  304  276  248  220  192  164  136  108  80  52

 24  417  445  473  501  529  557  585  613  641  669  697  725  753  781  389  361  333  305  277  249  221  193  165  137  109  81  53

 25  418  446  474  502  530  558  586  614  642  670  698  726  754  782  390  362  334  306  278  250  222  194  166  138  110  82  54

 26  419  447  475  503  531  559  587  615  643  671  699  727  755  783  391  363  335  307  279  251  223  195  167  139  111  83  55

 27  420  448  476  504  532  560  588  616  644  672  700  728  756  784  392  364  336  308  280  252  224  196  168  140  112  84  56

 

Ещё раз подчеркну, что все эти единичные экземпляры являются одним из множества решений (тривиальным решением) целой группы пандиагональных квадратов, которая задаётся образующей таблицей данного вида. Найти все квадраты этой группы можно только по программе.

 

                                                       ***

 

Читайте далее:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob11.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу