ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=4k ИЗ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ

 

Часть II

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid1.htm

 

Напомню читателям, что в предыдущей части статьи был показан матричный метод построения идеальных квадратов порядка n=4k из обратимых квадратов. Представлена группа частных решений для идеальных квадратов порядка n=8k, k=1, 2, 3… Алгоритм построения идеальных квадратов этой группы подробно изложен. Конечно, необходимо довести работу до конца, то есть формализовать данный алгоритм и составить программу.

 

Как помнят читатели, на первом этапе программа должна построить начальную цепочку создаваемого идеального квадрата (по введённому порядку квадрата). На втором этапе по начальной цепочке составляется обратимый квадрат. И, наконец, на последнем этапе к обратимому квадрату применяется матричное преобразование, превращающее обратимый квадрат в идеальный. Всё это очень просто программируется. И вот перед вами текст программы (язык QBASIC):

 

5 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

10 PRINT "VVEDITE PORYADOK KVADRATA"

15 INPUT N

20 IF N / 8 - INT(N / 8) <> 0 THEN 10

25 DIM A(N, N), C(N, N), B(N), D(N - 1)

30 M = N / 2: P = N / 4: Q = N + 1

35 B(1) = 2

40 FOR X = 2 TO P: B(X) = B(X - 1) + 2: NEXT X

45 B(P + 1) = B(P) - 1

50 FOR X = P + 2 TO M: B(X) = B(X - 1) - 2: NEXT X

55 Z = 0

60 FOR X = M + 1 TO N

65 B(X) = Q - B(X - 2 * Z - 1)

70 Z = Z + 1

75 NEXT X

100 PRINT : PRINT "SOSTAVLENIE OBRATIMOGO KVADRATA"

105 FOR X = 1 TO N: A(1, X) = B(X): NEXT X

110 FOR X = 1 TO N - 1: D(X) = B(X + 1) - B(X): NEXT X

115 FOR X = 2 TO M: A(X, M + 1) = N * A(1, M - X + 1): NEXT X

120 W = N

125 FOR X = M + 1 TO N

130 A(X, M + 1) = N * A(1, W)

135 W = W - 1

140 NEXT X

145 FOR X = 2 TO N

150 FOR Y = M TO 1 STEP -1

155 A(X, Y) = A(X, Y + 1) - D(Y)

160 NEXT Y

165 NEXT X

170 FOR X = 2 TO N

175 FOR Y = M + 2 TO N

180 A(X, Y) = A(X, Y - 1) + D(Y - 1)

185 NEXT Y

190 NEXT X

200 PRINT "POSTROENIE IDEALNOGO KVADRATA"

205 Y = 1: T = 2: S = 3

210 I = T: J = S

220 FOR X = N TO 1 STEP -1

225 C(Y, X) = A(I, J)

230 I = I + 1: J = J + 2

235 IF I > N THEN I = 1

240 IF J - 2 = N THEN J = 2

245 IF J - 2 = N - 1 THEN J = 1

250 NEXT X

255 Y = Y + 1

260 IF Y > N THEN 300

265 T = T + 2: S = S + 3

270 IF T - 2 = N THEN T = 2

275 IF S - 3 = N - 1 THEN S = 2

277 IF S - 3 = N - 2 THEN S = 1

278 IF S - 3 = N THEN S = 3

280 GOTO 210

300 FOR X = 1 TO N

305 FOR R = 1 TO N

310 PRINT C(X, R);

315 PRINT #1, C(X, R);

320 NEXT R

325 PRINT : PRINT #1,

330 NEXT X

350 END

 

Для порядков n=8 и n=16 программа выдала мне в точности такие квадраты, которые были построены мной вручную применением матричного преобразования. Покажу теперь квадрат 24-ого порядка, построенный по программе (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

В предыдущей части статьи была показана связь между квадратами двух групп частных решений для порядков n=8 и n=16. Квадраты из первой группы превращаются в квадраты из второй группы преобразованием “плюс-минус …”. Предлагаю читателям построить идеальный квадрат 24-ого порядка из первой группы (это можно сделать разными методами: либо методом качелей, либо матричным методом, либо по программе Александрова) и сравнить его с квадратом, представленным здесь (этот квадрат из второй группы частных решений).

 

Понятно, что можно написать аналогичную программу для построения идеальных квадратов этой же серии порядков с начальными цепочками Александрова (первая группа частных решений). Вероятно, можно найти и третью группу частных решений данной серии порядков.

Далее, можно рассмотреть группу частных решений для порядков n=4*(2k+1), k=1, 2, 3… Как я уже говорила, такая группа найдена Александровым. Но она тоже, разумеется, не единственная, как и в случае порядков n=8k.

 

Итак, мной найден ещё один метод построения идеальных квадратов любого порядка – как нечётного, так и двойной чётности. Этот метод состоит в применении матричного преобразования к обратимому квадрату. Напомню, что я применила этот метод по аналогии с построением совершенных квадратов из обратимых. Связь между обратимыми и совершенными квадратами была установлена в 1896 г. А занимался ли кто-нибудь исследованием связи между обратимыми и идеальными квадратами? Напишите мне, пожалуйста, если вы знаете статьи на эту тему.

 

В заключение приведу ещё один идеальный квадрат – 32-ого порядка – построенный по программе. Представляю его в том виде, как он был записан программой в файл. Дальше читатели могут сами строить идеальные квадраты порядка n=8k по приведённой программе. Максимальный порядок квадрата, который можно построить по программе, ограничивается только ресурсами памяти, обеспечиваемыми языком программирования. Максимальный порядок квадрата, который позволяет построить QBASIC, равен 120.

Перепишите программу на другом языке программирования, например PARI/GP, и вы сможете построить идеальные квадраты порядков, больших 120.

На идеальный квадрат 120-ого порядка вы можете посмотреть здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/id120.TXT

 

Идеальный квадрат 32-ого порядка

 

2  1021  953  885  817  756  696  636  576  515  583  651  719  782  842  902  962  61  121  181  241  308  376  444  512  451  391  331  271  206  138  70

 136  68  31  1019  951  883  818  758  698  638  545  517  585  653  720  780  840  900  991  59  119  179  242  310  378  446  481  453  393  333  272  204

 270  202  134  66  29  1017  949  881  820  760  700  640  547  519  587  655  718  778  838  898  989  57  117  177  244  312  380  448  483  455  395  335

 397  336  268  200  132  95  27  1015  947  882  822  762  702  609  549  521  589  656  716  776  836  927  987  55  115  178  246  314  382  417  485  457

 487  459  399  334  266  198  130  93  25  1013  945  884  824  764  704  611  551  523  591  654  714  774  834  925  985  53  113  180  248  316  384  419

 353  421  489  461  400  332  264  196  159  91  23  1011  946  886  826  766  673  613  553  525  592  652  712  772  863  923  983  51  114  182  250  318

 252  320  355  423  491  463  398  330  262  194  157  89  21  1009  948  888  828  768  675  615  555  527  590  650  710  770  861  921  981  49  116  184

 118  186  254  289  357  425  493  464  396  328  260  223  155  87  19  1010  950  890  830  737  677  617  557  528  588  648  708  799  859  919  979  50

 977  52  120  188  256  291  359  427  495  462  394  326  258  221  153  85  17  1012  952  892  832  739  679  619  559  526  586  646  706  797  857  917

 855  915  978  54  122  190  225  293  361  429  496  460  392  324  287  219  151  83  18  1014  954  894  801  741  681  621  560  524  584  644  735  795

 733  793  853  913  980  56  124  192  227  295  363  431  494  458  390  322  285  217  149  81  20  1016  956  896  803  743  683  623  558  522  582  642

 580  671  731  791  851  914  982  58  126  161  229  297  365  432  492  456  388  351  283  215  147  82  22  1018  958  865  805  745  685  624  556  520

 554  518  578  669  729  789  849  916  984  60  128  163  231  299  367  430  490  454  386  349  281  213  145  84  24  1020  960  867  807  747  687  622

 688  620  552  516  607  667  727  787  850  918  986  62  97  165  233  301  368  428  488  452  415  347  279  211  146  86  26  1022  929  869  809  749

 811  751  686  618  550  514  605  665  725  785  852  920  988  64  99  167  235  303  366  426  486  450  413  345  277  209  148  88  28  1024  931  871

 933  873  813  752  684  616  548  543  603  663  723  786  854  922  990  33  101  169  237  304  364  424  484  479  411  343  275  210  150  90  30  993

 32  995  935  875  815  750  682  614  546  541  601  661  721  788  856  924  992  35  103  171  239  302  362  422  482  477  409  341  273  212  152  92

 154  94  1  997  937  877  816  748  680  612  575  539  599  659  722  790  858  926  961  37  105  173  240  300  360  420  511  475  407  339  274  214

 276  216  156  96  3  999  939  879  814  746  678  610  573  537  597  657  724  792  860  928  963  39  107  175  238  298  358  418  509  473  405  337

 403  338  278  218  158  65  5  1001  941  880  812  744  676  639  571  535  595  658  726  794  862  897  965  41  109  176  236  296  356  447  507  471

 505  469  401  340  280  220  160  67  7  1003  943  878  810  742  674  637  569  533  593  660  728  796  864  899  967  43  111  174  234  294  354  445

 383  443  503  467  402  342  282  222  129  69  9  1005  944  876  808  740  703  635  567  531  594  662  730  798  833  901  969  45  112  172  232  292

 230  290  381  441  501  465  404  344  284  224  131  71  11  1007  942  874  806  738  701  633  565  529  596  664  732  800  835  903  971  47  110  170

 108  168  228  319  379  439  499  466  406  346  286  193  133  73  13  1008  940  872  804  767  699  631  563  530  598  666  734  769  837  905  973  48

 975  46  106  166  226  317  377  437  497  468  408  348  288  195  135  75  15  1006  938  870  802  765  697  629  561  532  600  668  736  771  839  907

 841  909  976  44  104  164  255  315  375  435  498  470  410  350  257  197  137  77  16  1004  936  868  831  763  695  627  562  534  602  670  705  773

 707  775  843  911  974  42  102  162  253  313  373  433  500  472  412  352  259  199  139  79  14  1002  934  866  829  761  693  625  564  536  604  672

 606  641  709  777  845  912  972  40  100  191  251  311  371  434  502  474  414  321  261  201  141  80  12  1000  932  895  827  759  691  626  566  538

 568  540  608  643  711  779  847  910  970  38  98  189  249  309  369  436  504  476  416  323  263  203  143  78  10  998  930  893  825  757  689  628

 690  630  570  542  577  645  713  781  848  908  968  36  127  187  247  307  370  438  506  478  385  325  265  205  144  76  8  996  959  891  823  755

 821  753  692  632  572  544  579  647  715  783  846  906  966  34  125  185  245  305  372  440  508  480  387  327  267  207  142  74  6  994  957  889

 955  887  819  754  694  634  574  513  581  649  717  784  844  904  964  63  123  183  243  306  374  442  510  449  389  329  269  208  140  72  4  1023

 

***

 

Добавление (22 июля 2008 г.)

 

Разрабатывая метод построения идеальных квадратов порядка n=4k, k=2, 3, 4… с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов (см. статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/latch.htm и http://www.klassikpoez.narod.ru/id8all.htm ), я нашла очень изящную третью группу частных решений для идеальных квадратов с начальной цепочкой “ход конём”. Напомню, что в данной статье были рассмотрены две группы частных решений: с начальными цепочками Александрова и с начальными цепочками, полученными из этих начальных цепочек незначительной модификацией. Все квадраты первой группы частных решений начинаются с числа 1, все квадраты второй группы частный решений начинаются с числа 2. Квадраты третьей группы, которая будет сейчас представлена, начинаются с числа n (n – порядок квадрата).

 

Начну представление с идеального квадрата 8-ого порядка. Вы видите этот квадрат на рис. 2. Он построен в одной из указанных выше статей с помощью латинских квадратов.

 

 

Рис. 2

 

Начальная цепочка этого квадрата имеет очень гармоничный и симметричный вид:

 

8   6   2   4   5   7   3   1

 

Разумеется, этот идеальный квадрат можно построить из обратимого квадрата с помощью матричного преобразования, представленного в первой части настоящей статьи. Обратимый квадрат строится по начальной цепочке очень просто (это тоже было показано выше). Вы видите обратимый квадрат, соответствующий данному идеальному квадрату, на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Теперь покажу начальные цепочки нескольких квадратов данной группы частных решений:

 

n=8:               8  6  2  4  5  7  3  1

n=16:             16  14  12  10  2  4  6  8  9  11  13  15  7  5  3  1

n=24:             24  22  20  18  16  14  2  4  6  8  10  12  13  15  17  19  21  23  11  9  7  5  3  1

n=32:             32  30  28  26  24  22  20  18  2  4  6  8  10  12  14  16  17  19  21  23  25  27  29  31  15  13  11  9  7  5  3  1

 

Закономерность в построении цепочек очевидна. Написать общую формулу для любого порядка n=8k, k=1, 2, 3… не составит никакого труда.

Покажу построение обратимого квадрата 16-ого порядка по начальной цепочке (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Очевидно, что этот обратимый квадрат очень легко построить даже без помощи калькулятора.

 

Применяю к этому обратимому квадрату матричное преобразование, представленное в первой части настоящей статьи, и получаю следующий идеальный квадрат (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Как видите, моё предположение о том, что можно найти ещё красивые частные решения для идеальных квадратов рассматриваемой серии порядков, подтвердилось. Идеальный квадрат с рис. 2 сразу бросился мне в глаза своей изумительной гармоничностью. Вполне возможно, что любознательные читатели смогут найти другие группы частных решений.

 

Понятно, что для данной группы частных решений тоже можно написать программу, аналогичную той, что приведена здесь для другой группы частных решений. По этой программе вы сможете построить идеальный квадрат данной группы любого порядка n=8k, k=1, 2, 3…

 

В заключение приведу обратимый квадрат следующего – 24-ого – порядка для тех, кто ещё не совсем понял, как строится такой квадрат по начальной цепочке создаваемого идеального квадрата. Этот квадрат вы видите на рис. 6.

 

 

Рис. 6

 

Матрицу для построения идеального квадрата 24-ого порядка из обратимого квадрата предлагаю написать читателям (по аналогии с матрицами для квадратов 8-ого, 12-ого и 16-ого порядков) и с помощью этой матрицы построить идеальный квадрат из обратимого квадрата, изображённого на рис. 6.

 

Ещё раз подчеркну, чем хороши группы частных решений. Идеальные квадраты этих групп имеют аналогичные начальные цепочки (есть формула начальной цепочки для любого порядка). По начальной цепочке элементарно (можно вручную, а можно и по программе!) строится обратимый квадрат, а обратимый квадрат матричным преобразованием превращается в идеальный квадрат. Интересно отметить: в матричном преобразовании достаточно заполнить первый столбец, дальше всё заполняется (в идеальном квадрате в соответствии с обратимым) ходом шахматного коня. Если вы построите по этому алгоритму хотя бы один идеальный квадрат, сразу увидите эту удивительную технику переноса чисел из обратимого квадрата в идеальный квадрат.

 

***

 

Читайте мою книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

Июнь – июль 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу