МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА

 

                                                                       Внимание! Оригинал.

                                                                  При копировании прошу указывать

                                                                  ссылку на данную страницу.

 

Ах, я всё в плену магических квадратов! Не могу вырваться из этого плена. Да, это действительно магические квадраты. Кто хоть раз испытал на себе их магию, тот уже не в силах избавиться от неё, отвлечься, забыть…

 

Завершив работу над магическими квадратами пятого порядка, исследовав все пандиагональные и ассоциативные квадраты, найдя самый базовый идеальный квадрат, я хотела уже остановиться. Но не тут-то было! Захотелось посмотреть на магические квадраты седьмого порядка! Почему сразу седьмого, пропуская квадраты шестого порядка? Да потому что квадраты шестого порядка не имеют ни пандиагональных, ни ассоциативных. Свой метод построения этих квадратов (метод четырёх квадратов) я уже описала (см. “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”). Поэтому сразу перехожу к квадратам седьмого порядка. Здесь много интересного, можно провести несколько аналогий с квадратами пятого порядка.

 

Ну, прежде всего, магический квадрат седьмого порядка можно построить методом террас (см. “Методы построения магических квадратов”). Этот метод годится для построения любого магического квадрата нечётного порядка.

Магическая константа квадрата седьмого порядка равна 175. Квадрат, построенный методом террас, ассоциативен (рис. 1).

 

 

 

                                                    Рис. 1

 

На квадрате дан чётно-нечётный рисунок, как и на некоторых квадратах далее.

 

Для магических квадратов седьмого порядка, как и для всех других магических квадратов, применимы основные преобразования (повороты и отражения), которые дают семь вариантов исходного квадрата, то есть образуют группу из восьми квадратов, считая исходный. Далее приводятся эти семь вариантов (рис. 2) для исходного квадрата, изображённого на рис. 1.

 

                                      Вариант 1                                     Вариант 2

 

 

Вариант 3                                     Вариант 4

 

 

    Вариант 5                                 Вариант 6

 

 

                                                                  Вариант 7

 

 

                                                                       Рис. 2

 

Очевидно, что все основные преобразования сохраняют ассоциативность квадрата. Сохраняют они так же и пандиагональность, но в данном примере этого не видно, так как исходный квадрат не пандиагональный.

Отмечу, что ассоциативные квадраты допускают перестановки строк и/или столбцов, которые не применимы просто к магическому квадрату, не являющемуся ассоциативным. Так, например, можно переставить третью и пятую строки, или вторую и шестую, или первую и седьмую, можно одновременно переставить какие-либо пары указанных строк. То же можно сделать и со столбцами, можно одновременно переставлять и строки, и столбцы. Это возможно благодаря ассоциативности.

 

А теперь рассмотрим пандиагональные квадраты седьмого порядка. О, это самые интересные, прямо дьявольские квадраты! Но с чего же начать? Где взять хотя бы один пандиагональный квадрат? Как его построить? Количество квадратов седьмого порядка выражается астрономическим числом, как просто магических, так и пандиагональных. Конечно, я не буду даже пытаться построить все пандиагональные квадраты седьмого порядка, потому что это нереально. Но показать образцы таких квадратов просто необходимо. Это такие чудесные квадраты!

Итак, где же взять первый образец пандиагонального квадрата седьмого порядка? Конечно, в Интернете.

Мой друг и помощник Георгий Александров по ссылке

http://www.geocities.com/~harveyh/panmagic.htm

         нашёл такой квадрат и прислал его мне. Вот он, на рис. 3.

 

 

 

                                                                       Рис. 3

 

Один образец есть! Можно начинать исследования. Для пандиагональных квадратов пятого порядка я тоже начинала с одного квадрата.

 

Прежде всего отмечу, что для пандиагональных квадратов седьмого порядка, как и вообще для всех пандиагональных квадратов, применимы преобразования параллельного переноса на торе. Квадрат, изображённый на рис. 3, в результате таких преобразований даст 48 вариантов квадратов. Таким образом, параллельные переносы на торе любого пандиагонального квадрата седьмого порядка образуют группу из 49 квадратов, считая исходный. Здесь полная аналогия с пандиагональными квадратами четвёртого и пятого порядка. Как выполняются эти преобразования, было подробно рассказано в статье “Пандиагональные квадраты”.

 

Далее, аналогично с пандиагональными квадратами пятого порядка, к пандиагональным квадратам седьмого порядка применимо преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов. Покажу стандартную перестановку строк (рис. 4):

 

 

 

                                                    Рис. 4

 

Это преобразование можно назвать “диагонали-диагонали”, оно не изменяет наборов чисел в строках и столбцах, а диагонали исходного квадрата (главные и разломанные) переводит в другие диагонали нового квадрата. Всего диагоналей у квадрата седьмого порядка 14, две главные и 2(n-1) разломанных (n – порядок квадрата, в нашем случае n=7). Так вот, проследите, как 14 диагоналей исходного квадрата переходят в 14 диагоналей нового квадрата. На рис. 4 выделены цветом две пары связанных диагоналей. Красивейшее преобразование! Здесь тоже полная аналогия с квадратами пятого порядка.

 

Ну, а затем у меня прямо жуткий интерес возник: а моё преобразование “строки-диагонали” применимо к пандиагональным квадратам седьмого порядка? Называю это преобразование моим, потому что сама его обнаружила, исследуя пандиагональные квадраты пятого порядка.

Всё на том же единственном образце начала думать и гадать, как бы его так преобразовать, чтобы все строки перешли в диагонали – одну главную и 6 разломанных. Пришлось потрудиться, матрица преобразования далась не сразу. Но преобразование применимо! Как и следовало ожидать.

Покажу преобразование в матричном виде, а затем на конкретном квадрате. Пусть исходный пандиагональный квадрат седьмого порядка А имеет стандартную матрицу а_ij, тогда матрица квадрата В, полученного применением к квадрату А преобразования “строки-диагонали”, имеет следующий вид (рис. 5):

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Обозначим это преобразование f, то есть можно записать: В=f(А). При рассмотрении данного преобразования в статье “Ассоциативные магические квадраты” говорилось об обратном преобразовании. Применив обратное преобразование к квадрату В, мы получим исходный квадрат А, то есть А= f^-1(В). Матрицу обратного преобразования предлагаю построить читателям.

Показываю преобразование на конкретном квадрате, всё на том же единственном образце, изображённом на рис. 3 (рис. 6):

 

 

 

                                                                      Рис. 6

 

Это просто замечательное преобразование! При этом следует заметить, что все столбцы исходного квадрата тоже переходят в диагонали, вторую главную и другие 6 разломанных. Так что преобразование можно назвать и “столбцы-диагонали”, точнее будет “строки и столбцы-диагонали”, но так очень длинно, поэтому сохраняю название “строки-диагонали”.

И в матрице преобразования уже прослеживается некоторая закономерность, она поможет построить матрицу преобразования и для пандиагональных квадратов девятого порядка. Предлагаю читателям попробовать составить эту матрицу, пока ещё я не добралась до квадратов девятого порядка.

 

Ну, а дальше я подумала, что одного образца всё-таки маловато для исследований. И тут очень кстати оказался квадрат, построенный Георгием. Он придумал оригинальный метод построения пандиагональных и ассоциативных квадратов нечётного порядка (правда, не для всех n=2k+1, k=2,3,4…). Смотрите этот метод на странице:

 

http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html

 

Вот там я и взяла квадрат, построенный Георгием. Это вообще прекраснейший образец математического искусства! Квадрат этот пандиагональный и вместе с тем ассоциативный, иначе говоря – идеальный.

Смотрите на этот чудесный квадрат (рис. 7):

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

А имея два образца, уже можно сравнивать! Именно методом сравнительного анализа пандиагональных квадратов пятого порядка я выявила многочисленные преобразования “плюс-минус …” и ещё много разных связей между квадратами. Вот и сейчас посмотрела на два имеющихся у меня пандиагональных квадрата (рис. 3 и рис. 7) и увидела, что наборы чисел в строках одного квадрата в точности совпадают с наборами чисел в столбцах другого квадрата. Существует ли какая-то связь между этими квадратами? Надо посмотреть тщательнее. Предлагаю это сделать читателям. А может быть, сама вернусь на эту страницу и расскажу ещё что-нибудь.

 

16 сентября 2007 г.

 

Забыла вчера рассказать ещё об одном преобразовании, аналогичном пандиагональным квадратам пятого порядка.

 

Но сначала приведу ещё один пандиагональный квадрат седьмого порядка (рис. 8), найденный Георгием по ссылке

 

http://zhidao.baidu.com/question/8568188.html?fr=qrl3

 

 

 

                                                    Рис. 8

 

Итак, теперь у меня есть три образца. Я уже вчера заметила, что наборы чисел в столбцах квадрата рис. 3 совпадают с наборами чисел в строках квадрата рис. 7. А у квадратов на рис. 3 и рис. 8 совпадают наборы чисел в строках, совершенно одинаковые наборы у обоих квадратов! Если квадрат рис. 7 повернуть и отразить (то есть применить к нему одно из основных преобразований), то тогда у полученного квадрата будут совпадать наборы чисел в столбцах с квадратом на рис. 3. Повёрнутый и отражённый квадрат с рис. 7 показан на рис. 9.

 

 

 

                                                    Рис. 9

 

Очевидно, что квадрат остался ассоциативным; как уже говорилось, все основные преобразования сохраняют ассоциативность.

 

Но начну рассказ о преобразовании сложной, одновременной перестановки строк и столбцов, сохраняющем пандиагональность квадрата. Применительно к квадратам пятого порядка было показано, что это преобразование равносильно двукратному применению к квадрату преобразования “строки-диагонали”, в том смысле, что в результате получаются квадраты одной группы – группы основных преобразований, которые, как известно, не считаются различными.

Мне стало любопытно, а есть ли аналогичное преобразование для пандиагональных квадратов седьмого порядка. Оказалось, что есть. Покажу это преобразование на примере квадрата, изображённого на рис. 8. Преобразование выполняется в два этапа: 1 этап – переставляются столбцы, сначала 2-ой с 5-ым, 4-ый с 6-ым, затем 3-ий с 5-ым, 6-ой с 7-ым; 2 этап – переставляются строки, сначала 2-ая с 4-ой, 3-ья с 7-ой, затем 4-ая с 7-ой, 5-ая с 6-ой и, наконец, 6-ая с 7-ой. Вот такая сложная перестановка. Покажу её подробно (рис. 10).

 

                            Исходный квадрат              перестановка столбцов

 

 

                        перестановка столбцов             перестановка строк

 

 

                             перестановка строк               перестановка строк

 

 

                                                                      Рис. 10

 

А теперь применим к исходному квадрату дважды преобразование “строки-диагонали” (рис. 11) и сравним полученный квадрат с квадратом, полученным перестановкой строк и столбцов. Мы увидим, что эти квадраты совпадают с точностью до поворота и отражения. Исходный квадрат на рис. 11 не изображён.

 

 

 

                                                                    Рис. 11

 

Конечно, такое сложное преобразование надо показать в матричном виде, чтобы его можно было выполнить сразу с помощью матрицы, а не делать перестановки в несколько этапов. Пусть матрица исходного квадрата А имеет стандартный вид а_ij. Тогда матрица описанного преобразования одновременной перестановки строк и столбцов имеет следующий вид (рис. 12):

 

 

 

                                                                     Рис. 12

 

Для сравнения здесь можно поместить матрицу квадрата, получающегося в результате двукратного применения преобразования “строки-диагонали”. Предоставляю это читателям.

А я покажу ещё раз применение этого преобразования уже с помощью матрицы (рис. 13). В качестве исходного возьму квадрат, изображённый на рис. 7, пандиагональный и ассоциативный.

 

 

 

                                                                  Рис. 13

 

Это преобразование, как и стандартную перестановку строк и/или столбцов, тоже можно назвать “диагонали-диагонали”, потому что оно не изменяет наборы чисел в строках и столбцах, а переводит 14 диагоналей исходного квадрата в 14 других диагоналей нового квадрата. На рис. 13 выделены цветом три пары связанных диагоналей. Проследите за остальными парами диагоналей. Как видите, данное преобразование не сохраняет ассоциативность квадрата, как и преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов. Но полученный в результате преобразования квадрат очень легко превратить в ассоциативный параллельным переносом на торе, этот квадрат (уже идеальный) вы видите на рис. 13а.

 

 

                                                                      Рис. 13а

 

Ещё один идеальный квадрат в коллекцию!

 

Вот такие аналогии с квадратами пятого порядка. Думаю, что к пандиагональным квадратам седьмого порядка также применимы различные преобразования “плюс-минус …”, которые связывают пандиагональные квадраты пятого порядка.

Уже с помощью описанных преобразований можно из трёх приведённых квадратов построить кучу магических квадратов седьмого порядка, в том числе и пандиагональных, и ассоциативных. Так что образцы магических квадратов седьмого порядка я показала.

 

 

                                      17 сентября 2007 г.

 

Продолжаю свой рассказ. С интересом исследую имеющиеся у меня три пандиагональных квадрата. Хоть и маловато материала для анализа, но всё-таки кое-что получается. Я эти квадраты преобразовываю уже известными мне преобразованиями и исследую полученные варианты.

 

Итак, сегодня я пыталась сочинить хоть одно преобразование “плюс-минус …”. Сочинить-то я их сочинила, даже несколько, но сначала применить их ни к одному квадрату не удавалось. Уже почти отчаявшись, я решила к одной из придуманных матриц “плюс-минус 2” применить преобразование “строки-диагонали”. И получилась новая матрица преобразования. Покажу это на рис. 14:

 

 

 

                                                                      Рис. 14

 

Вот такая получилась красивая матрица! Замечу, что преобразование с исходной матрицей (на рис. 14 слева) сохраняет не только пандиагональность, но и ассоциативность квадрата. Полученная в результате преобразования матрица (на рис. 14 справа) сохраняет только пандиагональность. Для пандиагональных квадратов пятого порядка я не применяла преобразование “строки-диагонали” к матрице преобразования “плюс-минус …”, как-то не пришла в голову такая идея. А сейчас вот пришла! Понятно, что вместо числа 2 в матрицу можно поставить любое другое число, например: 4, 5, 10 и т. д., но, конечно, такое, чтобы это преобразование можно было применить к квадрату.

Ну вот, матрицу преобразования я сочинила. Однако преобразование опять же не применилось ни к одному из трёх квадратов. Тогда я начала пробовать применить его к преобразованным квадратам. И тут мне повезло! К одному из таких квадратов преобразование применилось.

Надеюсь, читатели понимают, почему преобразование не всегда применимо. В моей статье о пандиагональных квадратах пятого порядка говорилось об этом.

Итак, я взяла пандиагональный и ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 7, и дважды применила к нему преобразование “строки-диагонали”. К полученному квадрату мне удалось применить преобразование “плюс-минус 4”, матрицу которого я получила из матрицы на рис. 14 справа, повернув её на 180 градусов и обратив, то есть заменив плюсы на минусы, а минусы на плюсы. Вот какой длинный путь я проделала в поисках возможности преобразовать хотя бы один пандиагональный квадрат седьмого порядка с помощью преобразования “плюс-минус …”! Сначала покажу матрицу преобразования “плюс-минус 4”, которое я применила (рис. 15):

 

 

 

                                                   Рис. 15

 

Напомню, что в матрице для упрощения я не пишу а_ij. Кроме того, напомню ещё, что в мозаике преобразования розовая клетка соответствует “плюс 4”, а сиреневая - “минус 4”, что вообще-то хорошо видно на рисунке.

А теперь показываю (рис. 16), как с помощью этого преобразования я получила новый пандиагональный квадрат, четвёртый в моей коллекции пандиагональных квадратов седьмого порядка. Как помнят читатели, два квадрата найдены в Интернете, третий построил мой друг Георгий.

 

 

 

                                                   Рис. 16

 

На исходный квадрат наложена мозаика преобразования. В розовых клетках надо прибавить 4, а в сиреневых клетках вычесть 4. Чудесное преобразование! Самое главное: оно дало мне новый пандиагональный квадрат! Хороший квадрат построил Георгий. Именно из этого квадрата я получила вариант, к которому применила преобразование “плюс-минус 4”. Теперь есть квадрат Георгия и квадрат Наталии. Правда, мой квадрат не является ассоциативным. Но я его элементарно превращаю в таковой параллельным переносом на торе. На рис. 16а изображён полученный идеальный квадрат.

 

 

                                                                     Рис. 16а

 

                                                     ***

 

19 сентября 2007 г.

 

Вчера плавно перешла к магическим квадратам девятого порядка. Но об этом расскажу на следующей странице.

 

А в заключение приведу несколько просто магических квадратов седьмого порядка, не пандиагональных и не ассоциативных. Я составила программу, в которую заложила те же наборы чисел по строкам, которые есть в пандиагональных квадратах, изображённых на рис. 3 и рис. 8. Далее в программе числа в строках переставлялись так, чтобы получить магическую константу во всех столбцах, а следующим этапом строки и столбцы переставлялись так, чтобы получить магическую константу по обеим главным диагоналям. И таким образом получался магический квадрат. Программа построила очень много таких квадратов (я даже не прогнала её до конца, то есть не перебрала все возможные варианты), но только два из них (как раз исходные с рис. 3 и с рис. 8) оказались пандиагональными (я вставила в программу и блок проверки пандиагональности построенных квадратов). Помещаю на сайт файл, в который программа записала построенные квадраты:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/mk7pril.htm

 

Как мне кажется, в Интернете не очень много магических квадратов седьмого порядка. Мне, по крайней мере, не встречалось много. Поэтому и помещаю здесь эти магические квадраты. Вдруг кому-то они понадобятся для исследований. Очень хорошо знаю, как нужен конкретный материал при исследовании чего-либо.

Я уже говорила, что из четырёх пандиагональных квадратов седьмого порядка, приведённых здесь, можно построить много других пандиагональных квадратов, применяя различные преобразования, такие как: основные преобразования, параллельные переносы на торе, стандартная перестановка строк и/или столбцов, преобразование “строки-диагонали”, которое можно применить три раза подряд (только четвёртое применение этого преобразования возвращает исходный квадрат), преобразования “плюс-минус …”. Преобразование “плюс-минус …” мне удалось применить только одно. Но предполагаю, что для других квадратов применятся и другие подобные преобразования. Даже если построить все варианты пандиагональных квадратов из четырёх образцов и поработать с ними, наверное, найдётся ещё один или два квадрата, к которым можно применить преобразование “плюс-минус …”.

А я уже перехожу к квадратам девятого порядка.

 

Читайте страницу:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

                                      ***

 

22 сентября 2007 г.

 

О! Просто восторг! Уже перешла к квадратам девятого порядка, заглянула по одной ссылке (которую прислал Георгий для пандиагонального квадрата девятого порядка), чтобы посмотреть, что там пишут о пандиагональных квадратах девятого порядка, и увидела … матричный способ построения пандиагональных квадратов! Вы не представляете, какой это красивый метод! Я давно предполагала, что такой метод должен существовать, но никак не могла его отыскать в Сети. И вот удача! Спасибо Георгию за ссылку.

Статья написана на английском языке. Я не знаю язык. Поэтому не могу сказать, что дословно перевела статью (пыталась перевести в Google, но почему-то не получилось). Но метод я поняла. Конечно, не могу дать теоретическое обоснование метода. Он основан на комбинациях нескольких матриц. Заинтересовавшиеся читатели сами могут посмотреть статью и всё увидеть собственными глазами. Я же здесь изложу сам метод в практическом применении. Следует заметить, что в статье по данной ссылке приведены методы построения не только пандиагональных квадратов седьмого порядка, но и других порядков. Если бы я нашла эту статью раньше, мне не пришлось бы так долго искать 144 базовых пандиагональных квадрата пятого порядка, я бы построила их за несколько минут (учитывая время написания программы). Но зато теперь я имею те же 144 квадрата, построенные по методу, описанному в этой статье, и вижу, что они в точности совпадают с моими 144 квадратами. Значит, я трудилась не напрасно. Кроме того, я обнаружила много замечательных преобразований и доказала, что все базовые квадраты можно получить различными преобразования из одного квадрата.

А вот сейчас буквально за 5 секунд (!) по программе построила 720 пандиагональных квадратов седьмого порядка. На написание программы ушло не более 15 минут.

 

Но всё по порядку. Прежде всего, указываю ссылку на статью:

 

http://www.grogono.com/magic/7x7.php

 

Это просто замечательная статья! Обязательно посмотрите.

 

Итак, излагаю метод, который я применила на практике. Опускаю всё, что написано в статье о получении матрицы, по которой строятся квадраты, потому что не могла в это вчитаться и понять (из-за языка). Матрица эта изображена на рис. 17.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Вот такая матрица. Пока ещё ничего непонятно, как же строить квадрат. Пришлось подумать немного над этой матрицей. Но всё оказалось просто. В этой матрице: A=0, B=1, C=2, D=3, E=4, F=5, G=6. Это для одного квадрата. Затем значения для всех переменных, кроме А, меняются, то есть берутся всевозможные перестановки из 6 величин, а их, как известно, 720. Вот поэтому и получилось 720 квадратов. Но пока продолжаю для первого квадрата. Матрица записывается с этими значениями переменных в таком виде (рис. 18):

 

 

 

                                                                      Рис. 18

 

Вам уже что-нибудь становится понятно? Нет? Вот и мне тоже не сразу было понятно, а что же дальше. Написано, что эта матрица с основанием 10. Вот! Я сложила числа в строках, столбцах, диагоналях (главных и разломанных), как десятичные числа, и оказалось, что эта матрица не что иное, как нетрадиционный пандиагональный квадрат с магической константой 231! Такие чудеса. Ну, а как же получить из этой матрицы традиционный пандиагональный квадрат? Да очень просто! Надо посмотреть на числа в ячейках матрицы, как на числа в семеричной системе счисления. Вот так я добралась до нужного мне квадратика – пандиагонального! Замечу ещё, что квадрат опять-таки получился не совсем традиционный, потому что заполнен числами от 0 до 48. Но это уже совсем мелкая деталь, которую подправить очень просто: надо ко всем числам в ячейках прибавить единицу. Всё! Квадрат готов! Смотрите на рис. 19:

 

 

                                                   Рис. 19

 

Посмотрев внимательно на этот квадрат, я обнаружила, что его легко превратить в ассоциативный. Знаете как? Применить к нему преобразование “строки-диагонали”! Посмотрите на первую строку этого квадрата! Она явно говорит, что если её превратить в главную диагональ, то квадрат будет ассоциативным. На рис. 20 вы видите пандиагональный и ассоциативный квадрат, иначе говоря, идеальный. Мне кажется, что между двумя идеальными квадратами, на рис. 7 (квадрат Георгия) и на рис. 20, существует какая-то связь. Надо посмотреть внимательнее.

 

 

 

                                                                      Рис. 20

 

А какой интересный чётно-нечётный рисунок у этого квадрата! Красота!!

 

Но рассказываю дальше. Очень быстренько написала программу для построения 720 квадратов с помощью матрицы, изображённой на рис. 17. Программа выполнилась за 5 секунд! Ну, долго ли машине перебрать 720 вариантов, я глазом не успела моргнуть! И в файл записались все 720 пандиагональных квадратов седьмого порядка. У меня было только 4 квадрата, а теперь 724! Приведу текст программы и файл, в котором находятся квадраты.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

 

10 DIM A(7, 7)

12 W = 1

15 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

20 FOR I = 1 TO 6

25 B = I

30 FOR J = 1 TO 6

35 IF I = J THEN 520

40 C = J

45 FOR K = 1 TO 6

50 IF K <> I THEN IF K <> J THEN 60

55 GOTO 515

60 D = K

65 FOR L = 1 TO 6

70 IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 80

75 GOTO 510

80 E = L

85 FOR M = 1 TO 6

90 IF M <> I THEN IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN 100

95 GOTO 505

100 F = M

110 FOR N = 1 TO 6

115 IF N <> I THEN IF N <> J THEN IF N <> K THEN IF N <> L THEN IF N <> M THEN 125

120 GOTO 500

125 G = N: A = 0:

130 A(1, 1) = 1: A(1, 2) = B * 7 + B + 1: A(1, 3) = C * 7 + C + 1: A(1, 4) = D * 7 + D + 1: A(1, 5) = E * 7 + E + 1: A(1, 6) = F * 7 + F + 1: A(1, 7) = G * 7 + G + 1

135 A(2, 1) = F * 7 + E + 1: A(2, 2) = G * 7 + F + 1: A(2, 3) = A * 7 + G + 1: A(2, 4) = B * 7 + A + 1: A(2, 5) = C * 7 + B + 1: A(2, 6) = D * 7 + C + 1: A(2, 7) = E * 7 + D + 1

140 A(3, 1) = D * 7 + B + 1: A(3, 2) = E * 7 + C + 1: A(3, 3) = F * 7 + D + 1: A(3, 4) = G * 7 + E + 1: A(3, 5) = A * 7 + F + 1: A(3, 6) = B * 7 + G + 1: A(3, 7) = C * 7 + A + 1

145 A(4, 1) = B * 7 + F + 1: A(4, 2) = C * 7 + G + 1: A(4, 3) = D * 7 + A + 1: A(4, 4) = E * 7 + B + 1: A(4, 5) = F * 7 + C + 1: A(4, 6) = G * 7 + D + 1: A(4, 7) = A * 7 + E + 1

150 A(5, 1) = G * 7 + C + 1: A(5, 2) = A * 7 + D + 1: A(5, 3) = B * 7 + E + 1: A(5, 4) = C * 7 + F + 1: A(5, 5) = D * 7 + G + 1: A(5, 6) = E * 7 + A + 1: A(5, 7) = F * 7 + B + 1

155 A(6, 1) = E * 7 + G + 1: A(6, 2) = F * 7 + A + 1: A(6, 3) = G * 7 + B + 1: A(6, 4) = A * 7 + C + 1: A(6, 5) = B * 7 + D + 1: A(6, 6) = C * 7 + E + 1: A(6, 7) = D * 7 + F + 1

160 A(7, 1) = C * 7 + D + 1: A(7, 2) = D * 7 + E + 1: A(7, 3) = E * 7 + F + 1: A(7, 4) = F * 7 + G + 1: A(7, 5) = G * 7 + A + 1: A(7, 6) = A * 7 + B + 1: A(7, 7) = B * 7 + C + 1

165 PRINT W: PRINT #1, W

170 FOR X = 1 TO 7

175 FOR Y = 1 TO 7

180 PRINT A(X, Y);

185 PRINT #1, A(X, Y);

190 NEXT Y

195 PRINT : PRINT #1,

200 NEXT X

205 PRINT : PRINT #1,

210 W = W + 1

500 NEXT N

505 NEXT M

510 NEXT L

515 NEXT K

520 NEXT J

525 NEXT I

530 CLOSE #1

535 END

 

Квадраты вы можете посмотреть здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pan7pril.htm

 

Ну, а далее в статье, по-моему, говорится, что матриц таких можно сочинить 720 (не уверена в этом, потому что, как уже говорила, не умею читать по-английски, но видела, что там 720 умножается на 720). И значит, квадратов пандиагональных можно построить 720*720=518400. Ну, конечно, все квадраты не будем строить. И так вполне достаточно для исследований. Сколько теперь можно найти разных связей между квадратами!

 

Не знаю, как вам, уважаемые читатели, а мне этот метод очень понравился. Красив, дьявольски красив!

 

Завершаю рассказ и бегу к пандиагональным квадратам девятого порядка. Для них ведь тоже в указанной статье есть матричный метод построения. Прямо поесть некогда! Так всё это интересно и увлекательно!

 

                                                                  ***

 

      24 ноября 2007 г.

 

Решила сделать некоторые дополнения после того, как основательно поработала с квадратами девятого порядка.

Прежде всего, расскажу ещё об одном очень простом методе построения пандиагонального (и идеального) квадрата седьмого порядка из ассоциативного квадрата, построенного методом террас (см. рис. 1). Это делается простой перестановкой строк с постоянным шагом, например, через одну строку, через две строки и т. д. На рис. 21 показываю четыре пандиагональных квадрата, построенных указанным методом – перестановка строк произведена: а) через одну строку; б) через две строки; с) через три строки; е) через четыре строки.

 

 

 

        

 

                                                                      Рис. 21

 

Любой из этих пандиагональных квадратов можно превратить в идеальный параллельным переносом на торе. Интересно отметить, что квадрат варианта с), будучи превращён в идеальный, в точности совпадёт с квадратом Георгия (см. рис. 7). Таким образом, этот квадрат построен двумя различными методами: Георгием – методом хода шахматного коня; мной – методом перестановки строк в ассоциативном квадрате (построенном методом террас) с последующим переносом на торе. На рис. 22 показан самый первый квадрат с рис. 21, перенесённый на торе. В результате этого переноса он стал идеальным.

 

 

 

                                                   Рис. 22

 

Далее хочу сказать, что из идеальных квадратов седьмого порядка можно получать новые идеальные квадраты точно так, как это было показано для квадратов девятого порядка (см. статью “Магические квадраты девятого порядка”). То есть здесь тоже работает понятие прототипа идеального квадрата. Покажу всё это на примере идеального квадрата с рис. 16а. На рис. 23 изображён прототип этого идеального квадрата, который является пандиагональным.

 

 

 

                                                                      Рис. 23

 

Параллельным переносом на торе превращаем этот квадрат в идеальный (рис. 24):

 

 

 

                                                                      Рис. 24

 

А ещё можно применить к квадрату с рис. 23 преобразование “строки-диагонали”, только сначала повернём его на 90 градусов против часовой стрелки. В результате этих преобразований получим идеальный квадрат, изображённый на рис. 25.

 

 

 

                                                                      Рис. 25

 

Посмотрите, какая здесь интересная симметрия чётно-нечётного рисунка – только центральная.

 

Однако сам идеальный квадрат с рис. 16а не является прототипом нового пандиагонального квадрата.

 

И, наконец, идеальные квадраты седьмого порядка можно использовать для построения идеальных квадратов более высоких порядков, раскладывающихся на произведение двух чисел, одним из которых является 7. Смотрите в статье “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9” подробное построение идеального квадрата 81-ого порядка на базе идеального квадрата 9-ого порядка.

 

Покажу здесь построение аналогичным методом идеального квадрата 35-ого порядка (35=5*7). Сначала напомню, что идеальный квадрат 35-ого порядка можно построить из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, перестановкой строк с постоянным шагом, точно так же, как это было показано для квадратов седьмого порядка. Сейчас будет показан альтернативный метод. Итак, возьмём в качестве базового квадрата идеальный квадрат пятого порядка (см. рис. 26), а в качестве основного квадрата – идеальный квадрат седьмого порядка с рис. 20.

 

 

                                                                      Рис. 26

 

Быстро переделала программу для построения идеального квадрата 45-ого порядка на базе идеального квадрата пятого порядка для нужного сейчас случая (вся разница в том, что там основным квадратом был идеальный квадрат 9-ого порядка, а здесь – 7-ого). И вот перед вами построенный компьютером

 

идеальный квадрат 35-ого порядка:

 

 

Часть 1

 

 1  38  26  14  44  32  20  1079  1116  1104  1092  1122  1110  1098  442  479  467  455

 28  9  46  34  15  3  40  1106  1087  1124  1112  1093  1081  1118  469  450  487  475

 48  29  17  5  42  23  11  1126  1107  1095  1083  1120  1101  1089  489  470  458  446

 19  7  37  25  13  43  31  1097  1085  1115  1103  1091  1121  1109  460  448  478  466

 39  27  8  45  33  21  2  1117  1105  1086  1123  1111  1099  1080  480  468  449  486

 10  47  35  16  4  41  22  1088  1125  1113  1094  1082  1119  1100  451  488  476  457

 30  18  6  36  24  12  49  1108  1096  1084  1114  1102  1090  1127  471  459  447  477

 687  724  712  700  730  718  706  883  920  908  896  926  914  902  50  87  75  63

 714  695  732  720  701  689  726  910  891  928  916  897  885  922  77  58  95  83

 734  715  703  691  728  709  697  930  911  899  887  924  905  893  97  78  66  54

 705  693  723  711  699  729  717  901  889  919  907  895  925  913  68  56  86  74

 725  713  694  731  719  707  688  921  909  890  927  915  903  884  88  76  57  94

 696  733  721  702  690  727  708  892  929  917  898  886  923  904  59  96  84  65

 716  704  692  722  710  698  735  912  900  888  918  906  894  931  79  67  55  85

 1030  1067  1055  1043  1073  1061  1049  246  283  271  259  289  277  265  589  626  614  602

 1057  1038  1075  1063  1044  1032  1069  273  254  291  279  260  248  285  616  597  634  622

 1077  1058  1046  1034  1071  1052  1040  293  274  262  250  287  268  256  636  617  605  593

 1048  1036  1066  1054  1042  1072  1060  264  252  282  270  258  288  276  607  595  625  613

 1068  1056  1037  1074  1062  1050  1031  284  272  253  290  278  266  247  627  615  596  633

 1039  1076  1064  1045  1033  1070  1051  255  292  280  261  249  286  267  598  635  623  604

 1059  1047  1035  1065  1053  1041  1078  275  263  251  281  269  257  294  618  606  594  624

 834  871  859  847  877  865  853  197  234  222  210  240  228  216  1128  1165  1153  1141

 861  842  879  867  848  836  873  224  205  242  230  211  199  236  1155  1136  1173  1161

 881  862  850  838  875  856  844  244  225  213  201  238  219  207  1175  1156  1144  1132

 852  840  870  858  846  876  864  215  203  233  221  209  239  227  1146  1134  1164  1152

 872  860  841  878  866  854  835  235  223  204  241  229  217  198  1166  1154  1135  1172

 843  880  868  849  837  874  855  206  243  231  212  200  237  218  1137  1174  1162  1143

 863  851  839  869  857  845  882  226  214  202  232  220  208  245  1157  1145  1133  1163

 393  430  418  406  436  424  412  540  577  565  553  583  571  559  736  773  761  749

 420  401  438  426  407  395  432  567  548  585  573  554  542  579  763  744  781  769

 440  421  409  397  434  415  403  587  568  556  544  581  562  550  783  764  752  740

 411  399  429  417  405  435  423  558  546  576  564  552  582  570  754  742  772  760

 431  419  400  437  425  413  394  578  566  547  584  572  560  541  774  762  743  780

 402  439  427  408  396  433  414  549  586  574  555  543  580  561  745  782  770  751

 422  410  398  428  416  404  441  569  557  545  575  563  551  588  765  753  741  771

 

Часть 2

 

 485  473  461  638  675  663  651  681  669  657  785  822  810  798  828  816  804

 456  444  481  665  646  683  671  652  640  677  812  793  830  818  799  787  824

 483  464  452  685  666  654  642  679  660  648  832  813  801  789  826  807  795

 454  484  472  656  644  674  662  650  680  668  803  791  821  809  797  827  815

 474  462  443  676  664  645  682  670  658  639  823  811  792  829  817  805  786

 445  482  463  647  684  672  653  641  678  659  794  831  819  800  788  825  806

 465  453  490  667  655  643  673  661  649  686  814  802  790  820  808  796  833

 93  81  69  981  1018  1006  994  1024  1012  1000  344  381  369  357  387  375  363

 64  52  89  1008  989  1026  1014  995  983  1020  371  352  389  377  358  346  383

 91  72  60  1028  1009  997  985  1022  1003  991  391  372  360  348  385  366  354

 62  92  80  999  987  1017  1005  993  1023  1011  362  350  380  368  356  386  374

 82  70  51  1019  1007  988  1025  1013  1001  982  382  370  351  388  376  364  345

 53  90  71  990  1027  1015  996  984  1021  1002  353  390  378  359  347  384  365

 73  61  98  1010  998  986  1016  1004  992  1029  373  361  349  379  367  355  392

 632  620  608  932  969  957  945  975  963  951  148  185  173  161  191  179  167

 603  591  628  959  940  977  965  946  934  971  175  156  193  181  162  150  187

 630  611  599  979  960  948  936  973  954  942  195  176  164  152  189  170  158

 601  631  619  950  938  968  956  944  974  962  166  154  184  172  160  190  178

 621  609  590  970  958  939  976  964  952  933  186  174  155  192  180  168  149

 592  629  610  941  978  966  947  935  972  953  157  194  182  163  151  188  169

 612  600  637  961  949  937  967  955  943  980  177  165  153  183  171  159  196

 1171  1159  1147  295  332  320  308  338  326  314  491  528  516  504  534  522  510

 1142  1130  1167  322  303  340  328  309  297  334  518  499  536  524  505  493  530

 1169  1150  1138  342  323  311  299  336  317  305  538  519  507  495  532  513  501

 1140  1170  1158  313  301  331  319  307  337  325  509  497  527  515  503  533  521

 1160  1148  1129  333  321  302  339  327  315  296  529  517  498  535  523  511  492

 1131  1168  1149  304  341  329  310  298  335  316  500  537  525  506  494  531  512

 1151  1139  1176  324  312  300  330  318  306  343  520  508  496  526  514  502  539

 779  767  755  99  136  124  112  142  130  118  1177  1214  1202  1190  1220  1208  1196

 750  738  775  126  107  144  132  113  101  138  1204  1185  1222  1210  1191  1179  1216

 777  758  746  146  127  115  103  140  121  109  1224  1205  1193  1181  1218  1199  1187

 748  778  766  117  105  135  123  111  141  129  1195  1183  1213  1201  1189  1219  1207

 768  756  737  137  125  106  143  131  119  100  1215  1203  1184  1221  1209  1197  1178

 739  776  757  108  145  133  114  102  139  120  1186  1223  1211  1192  1180  1217  1198

 759  747  784  128  116  104  134  122  110  147  1206  1194  1182  1212  1200  1188  1225

 

Квадрат представлен в виде двух частей, как бы разрезан по вертикали, чтобы получить квадрат полностью, надо соединить эти две части, приложив вторую часть к правому краю первой.

Магическая константа квадрата 35-ого порядка равна 21455. В идеальном квадрате сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна n²+1=1226, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы – 613.

 

Предлагаю читателям построить идеальный квадрат 49-ого порядка на базе идеального квадрата седьмого порядка, в качестве основного тоже надо взять идеальный квадрат седьмого порядка (49=7*7), можно тот же самый, что и базовый, а можно любой другой.

 

                                               ***

 

Жду ваших отзывов!

 

Страница помещена на сайт 22 сентября 2007 г.

Окончательная редакция – 24 ноября 2007 г.

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу