МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

По статье, в которой излагаются методы построения магических и пандиагональных квадратов, последний порядок равен 13. Ссылка:

 

http://www.grogono.com/magic/

 

Я показала практическое применение некоторых методов, взятых по этой ссылке, в своих статьях о магических квадратах пятого, седьмого, восьмого, девятого и двенадцатого порядка.

 

Следующий порядок магических квадратов n=14. Магические квадраты четырнадцатого порядка относятся к так называемым чётно-нечётным, то есть таким, порядок которых n=2k, где k=3, 5, 7, …

Метод построения таких квадратов, называемых чётно-нечётными, изложен в моей статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”. Существуют и другие методы построения квадратов такого порядка. Так, например, в указанной выше статье я видела методы построения квадратов порядка 6 и 10.

Как известно, для чётно-нечётных порядков не существует пандиагональных квадратов.

 

Теперь немного расскажу о магических квадратах пятнадцатого порядка.

 

Магическая константа таких квадратов равна 1695.

Как все квадраты нечётного порядка, магический квадрат пятнадцатого порядка можно построить методом террас (см. статью “Методы построения магических квадратов”). Построенный этим методом квадрат ассоциативен. На рис. 1 вы видите этот квадрат.

 

 

 

                                                                  Рис. 1

 

Мне удалось построить ещё один интересный ассоциативный квадрат пятнадцатого порядка из девяти квадратов пятого порядка. В качестве исходного я взяла свой базовый квадрат пятого порядка (см. статью “Банк базовых пандиагональныйх квадратов пятого порядка”), этот квадрат пандиагональный и ассоциативный, иначе говоря, идеальный. Из этого квадрата прибавлением к числам во всех ячейках некоторого числа я получила восемь нетрадиционных квадратов (см. статью “Нетрадиционные магические квадраты”) пятого порядка, которые тоже пандиагональны и ассоциативны в том смысле, что суммы любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равны одному и тому же числу, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Из этих девяти квадратов я и составила ассоциативный квадрат пятнадцатого порядка, который вы видите на рис. 2. К сожалению, пандиагональным он не оказался.

 

 

 

                                                                           Рис. 2

 

Интересно заметить, что если “свернуть” все квадраты пятого порядка, заменив их магической константой, то получится нетрадиционный квадрат третьего порядка, ассоциативный в указанном выше смысле, магическая константа которого, очевидно, равна магической константе квадрата пятнадцатого порядка – 1695. Этот квадрат изображён на рис. 3.

 

 

                                                                       Рис. 3

 

Но и это ещё не все удивительные свойства квадрата, который изображён на рис. 2. Почему он так красиво раскрашен, спросите вы. Просто я наложила на него мозаику преобразования “плюс-минус 10”. Кто читал все мои статьи о магических квадратах, тот знает об этом преобразовании. Исходный квадрат пятого порядка, который я взяла для построения квадрата пятнадцатого порядка, связан преобразованием “плюс-минус 10” с другим ассоциативным квадратом. Вот я и решила проверить, а можно ли применить это преобразование к квадрату пятнадцатого порядка. Оказывается, можно! Раскраска квадрата как раз и есть мозаика преобразования. В жёлтых клетках надо прибавить 10, а в оранжевых – вычесть 10. В результате получится новый квадрат, который останется ассоциативным, потому что данное преобразование сохраняет ассоциативность. На рис. 4 показываю квадрат, который получился в результате применения этого преобразования.

 

 

 

                                               Рис. 4

 

Красивое преобразование! Может быть, читателям удастся обнаружить ещё какие-нибудь свойства этого замечательного ассоциативного квадрата.

 

А вот пандиагональный квадрат пятнадцатого порядка мне построить не удалось. Мой партнёр по исследованиям магических квадратов Г. Александров пишет, что по ссылке

 

             http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tarry.html

 

говорится, что пандиагональный квадрат пятнадцатого порядка был построен французом Терри. Однако квадрат этот Георгий не видел и потому пытается построить его сам. Он уже придумал общие методы построения пандиагональных (и ассоциативных) квадратов нечётных порядков, не кратных 3, и порядков двойной чётности. Остались квадраты нечётных порядков, кратных 3. При этом пандиагональный и ассоциативный квадрат девятого порядка построен. Георгий нашёл даже два метода его построения. В статье, указанной  в начале данной страницы, есть матричный метод построения таких квадратов, который я изложила в своей статье “Магические квадраты девятого порядка”. Но на квадраты более высоких порядков (15, 21, 27, 33…) метод распространить не удаётся.

 

Приглашаю читателей подключиться к решению этой задачи!

 

А может, кому-то удастся найти в Сети метод построения таких квадратов или готовые пандиагональные квадраты таких порядков. Напишите, пожалуйста! Задача действительно сложная. Решение её не очевидно и требует много сил.

 

2 октября 2007 г.

 

Построила аналогичным методом ассоциативный квадрат 21-ого порядка. Очевидно, что так можно построить ассоциативный квадрат любого порядка n=3k, где k=3, 5, 7,…

 

Для построения взяла ассоциативный и пандиагональный квадрат, построенный в статье “Магические квадраты седьмого порядка” матричным методом. Прежде всего расскажу о том, что среди других пандиагональных квадратов, построенных в указанной статье, я нашла другой ассоциативный квадрат, связанный с первым интересным комбинированным преобразованием “плюс-минус …” (комбинированным я называю такое преобразование “плюс-минус”, в котором используются разные числа). Это преобразование сохраняет и пандиагональность, и ассоциативность. Сначала покажу матрицу преобразования (рис. 5):

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Вот какое красивое преобразование! А теперь покажу два пандиагональных и ассоциативных квадрата седьмого порядка, связанных этим преобразованием (рис. 6):

 

 

 

                                                   Рис. 6

 

На странице “Магические квадраты седьмого порядка” я показала преобразование “плюс-минус 4”, которое сохраняет пандиагональность квадрата, но не сохраняет ассоциативность.

 

Теперь перехожу к построению ассоциативного магического квадрата 21-ого порядка. За основу беру квадрат, изображённый на рис. 6 слева. Покажу, как определяются девять квадратов, заполняющих квадрат nxn, где n=3k (k=3,5,7…). Пусть матрица основного квадрата порядка k, с помощью которого будет строиться квадрат порядка n=3k, А=(а_ij). Тогда матрица квадрата порядка n=3k будет составляться по следующему закону (рис. 7):

 

 

 

                                                                     Рис. 7

 

В рассматриваемом случае построения квадрата 21-ого порядка k=7, и матрица рис. 7 имеет такой вид (рис. 8):

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

На рис. 9 вы видите готовый ассоциативный квадрат 21-ого порядка. К сожалению, пандиагональность основного квадрата порядка k не передаётся квадрату порядка n.

 

 

 

                                                                  Рис. 9

 

Каждый из девяти квадратов седьмого порядка, входящих в этот квадрат, является нетрадиционным магическим квадратом, пандиагональным и ассоциативным в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Полученный магический квадрат 21-ого порядка только ассоциативен.

Но что интересно: к нему можно применить преобразование “плюс-минус …”, показанное выше. В результате применения этого преобразования получится другой ассоциативный квадрат 21-ого порядка, который можно построить, взяв за основу квадрат седьмого порядка, изображённый на рис. 6 справа.

Магическая константа квадрата 21-ого порядка равна 4641.

Напомню, что ассоциативный квадрат любого нечётного порядка можно построить методом террас. Описанный здесь метод является альтернативным.

Для квадратов порядка n=3k (k=3,5,7…) можно предложить ещё один метод, аналогичный только что показанному. Это построение квадрата из квадратов порядка 3. Так, квадрат 15-ого порядка строится из 25 квадратов 3х3, квадрат 21-ого порядка – из 49 квадратов 3х3, и т. д. В этом методе закон построения матрицы основывается на квадрате порядка k. Чтобы построенный квадрат порядка n=3k (k=3,5,7…) был ассоциативен, нужно выбрать для закона построения матрицы ассоциативный квадрат порядка k. На рис. 10 вы видите ассоциативный квадрат 15-ого порядка, построенный этим методом.

 

 

 

                                               Рис. 10

 

Построение этого квадрата основывается на квадрате пятого порядка, который пандиагонален и ассоциативен (это мой базовый квадрат; см. статью “Банк базовых пандиагональных квадратов пятого порядка”). Основной матрицей является матрица квадрата третьего порядка. Смотрите закон построения данного квадрата на рис. 11:

 

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Этот квадрат уже очень близок к пандиагональному. По восьми разломанным диагоналям есть нужные суммы. По другим диагоналям одного направления суммы отличаются от магической константы на одну и ту же величину (либо в плюс, либо в минус). Однако построить пандиагональный квадрат всё-таки пока не удаётся. Напоминаю читателям, что желающие попробовать свои силы могут подключиться к решению этой задачи.

 

                                                    ***

 

7 октября 2007 г.

 

Ещё раз возвращаюсь к вопросу построения идеального (или хотя бы пандиагонального) квадрата 15-ого порядка. Немного рассказала об этой проблеме на странице “Магические квадраты одиннадцатого порядка”. Ссылка на эту страницу:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk11.htm

 

Хочу добавить ещё один квадрат, построенный мной из ассоциативного квадрата 15-ого, который прислал мне Георгий (этот квадрат построен методом нечётного ядра). Георгий попросил меня проанализировать, как переставляются строки и столбцы в ассоциативном квадрате 13-ого порядка для того, чтобы из него получился идеальный, и затем сделать аналогичную перестановку в квадрате 15-ого порядка. Я сделала это. Квадрат, который у меня получился в результате таких перестановок строк и столбцов, вы видите на рис. 12.

 

 

 

                                                                      Рис. 12

 

Этот квадрат ассоциативен и почти пандиагонален. Ещё один полуфабрикат пандиагонального квадрата 15-ого порядка! Разломанные диагонали в этом квадрате по одному направлению имеют следующие суммы: 1470, 1920, 1695. Одно значение на 225 меньше магической константы, другое – на 225 больше, а третье равно. Все остальные диагонали этого направления повторяют эти три значения. По другому направлению разломанные диагонали имеют суммы: 1710, 1680, 1695 (и остальные повторяют эти значения). Здесь одно значение на 15 больше магической константы, другое – на 15 меньше, третье равно. То есть картина такая же, как для квадрата, изображённого на рис. 10. Как выровнять суммы по 10 разломанным диагоналям? Не приходит в голову хорошая идея.

 

Уважаемые читатели! Подключайтесь к решению задачи. Мы с Георгием уже всю голову сломали, но пока не сдаёмся. Ищем решение!

 

                                               ***

 

Жду ваших отзывов!

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу