МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

Я уже рассказала немного о магических квадратах восьмого порядка (см. “Магические квадраты восьмого порядка)”. Следующий порядок двойной чётности – это 12. Расскажу кратко об этих квадратах.

Магическая константа квадратов двенадцатого порядка равна 870.

Магический квадрат двенадцатого порядка можно построить методом квадратных рамок или методом Рауз-Болла. Эти методы были описаны на странице “Методы построения магических квадратов”. На рис. 1 изображён квадрат, построенный методом квадратных рамок. Этот квадрат ассоциативен.

1	134	34	117	53	90	91	56	112	27	143	12
24	35	135	52	116	79	78	113	57	142	26	13
36	23	51	136	80	115	114	77	141	58	14	25
37	50	22	81	137	102	103	140	76	15	59	48
49	38	82	21	101	138	139	104	16	75	47	60
72	83	39	100	20	127	126	17	105	46	74	61
84	71	99	40	128	19	18	125	45	106	62	73
85	98	70	129	41	6	7	44	124	63	107	96
97	86	130	69	5	42	43	8	64	123	95	108
120	131	87	4	68	31	30	65	9	94	122	109
132	119	3	88	32	67	66	29	93	10	110	121
133	2	118	33	89	54	55	92	28	111	11	144

Рис. 1

Примечание: о выделенном квадрате читайте дальше.

Более всего меня заинтересовал матричный метод построения пандиагональных квадратов двенадцатого порядка. Я уже рассказала о таком методе для пандиагональных квадратов седьмого, восьмого, девятого порядка. Стало интересно посмотреть и метод для квадратов двенадцатого порядка. Напомню читателям, которые не читали предыдущие страницы, ссылку на статью о матричных методах построения пандиагональных квадратов (здесь конкретно для двенадцатого порядка):

http://www.grogono.com/magic/12x12.php

Статья написана на английском языке. Поэтому я многое в ней не поняла. На предыдущих страницах я показала практическое применение матричных методов построения, изложенных в этой статье. Здесь сделаю то же самое.

В статье для квадратов двенадцатого порядка нет одной матрицы. Суммировать приходится сразу по шести матрицам с определёнными значениями переменных. Это очень неудобно. Поэтому я “свернула” шесть матриц в одну, задав некоторые связи между переменными. Сначала приведу таблицу значений переменных (рис. 2):

A	B	C	D	E	F
72	36	12	6	3	1
1	2	4	12	24	48
24	12	4	2	1	48
12	6	2	1	72	24
6	3	1	72	36	12
2	1	48	24	12	4
1	72	24	12	6	2
72	1	24	2	12	4
1	72	2	36	6	12

Рис. 2

Посмотрев на первую строку со значениями, я заметила такие связи между переменными: A=2B, C=2D, E=3F. Такие же связи между переменными ещё в двух строках. Тогда я просуммировала все шесть матриц и свела результаты, с учётом указанных связей, в одну матрицу, которую вы видите на рис. 3.

	B5D5F	3B	A5D5F	C	B3D5F	3BC	A3D5F	2C	BD5F	3B2C	AD5F
3B2C5F	AD	2C5F	BD	3BC5F	A3D	C5F	B3D	3B5F	A5D	5F	B5D
D3F	B2C2F	3BDE	A2C2F	3DE	BC2F	3B3DE	AC2F	5DE	B2F	3B5DE	A2F
3B5D2F	AE	5D2F	BE	3B3D2F	ACE	3D2F	BCE	3BD2F	A2CE	D2F	B2CE
F	B5D4F	3BF	A5D4F	CF	B3D4F	3BCF	A3D4F	2CF	BD4F	3B2CF	AD4F
3B2C4F	ADF	2C4F	BDF	3BC4F	A3DF	C4F	B3DF	3B4F	A5DF	4F	B5DF
D4F	B2CF	3BD4F	A2CF	3D4F	BCF	3B3D4F	ACF	5D4F	BF	3B5D4F	AF
3B5DF	A4F	5DF	B4F	3B3DF	AC4F	3DF	BC4F	3BDF	A2C4F	DF	B2C4F
2F	B5DE	3B2F	A5DE	C2F	B3DE	3BC2F	A3DE	2C2F	BDE	3B2C2F	ADE
3B2CE	AD2F	2CE	BD2F	3BCE	A3D2F	CE	B3D2F	3BE	A5D2F	E	B5D2F
D5F	B2C	3BD5F	A2C	3D5F	BC	3B3D5F	AC	5D5F	B	3B5D5F	A
3B5D	A5F	5D	B5F	3B3D	AC5F	3D	BC5F	3BD	A2C5F	D	B2C5F

Рис. 3

Вот такая получилась матрица. Заполнять её просто. Надо вычислять записанные в ячейках матрицы сочетания, подставляя значения переменных, при этом если перед переменной стоит числовой множитель, то надо умножить значение переменной на этот множитель. Например:

B5D5F = B+5*D+5*F = 36+5*6+5*1 = 71

Это для первого варианта значений переменных (в таблице на рис. 2 первая сверху строка). В левой верхней ячейке матрицы нет никакого сочетания, в неё записывается число 0. В указанной статье все квадраты заполняются числами от 0 до n²-1. Я, конечно, привожу их к традиционному виду, прибавляя в каждой ячейке единицу.

Итак, с помощью этой матрицы я построила пандиагональные квадраты для трёх вариантов значений переменных из таблицы на рис. 2. Подчеркну ещё раз, что эта матрица действительна только для этих трёх вариантов, потому что только в этих вариантах переменные связаны по формулам, указанным выше. Но строить квадраты с помощью одной матрицы гораздо удобнее, чем суммировать все шесть матриц.

Привожу все три квадрата, которые я построила с помощью данной матрицы.

Первый вариант для значений переменных: A=72, B=36, C=12, D=6, E=3, F=1. Не составляет никакого труда заполнить матрицу вручную, но я составила программку, по которой компьютер сделал это в одну секунду, для всех трёх вариантов.

На рис. 4 изображён пандиагональный квадрат для этих значений переменных. Этот квадрат представлен и в указанной статье в качестве примера, только заполнен он, как я уже говорила, числами от 0 до 143.

1	72	109	108	13	60	121	96	25	48	133	84
138	79	30	43	126	91	18	55	114	103	6	67
10	63	118	99	22	51	130	87	34	39	142	75
141	76	33	40	129	88	21	52	117	100	9	64
2	71	110	107	14	59	122	95	26	47	134	83
137	80	29	44	125	92	17	56	113	104	5	68
11	62	119	98	23	50	131	86	35	38	143	74
140	77	32	41	128	89	20	53	116	101	8	65
3	70	111	106	15	58	123	94	27	46	135	82
136	81	28	45	124	93	16	57	112	105	4	69
12	61	120	97	24	49	132	85	36	37	144	73
139	78	31	42	127	90	19	54	115	102	7	66

Рис. 4

Примечание: о выделенных квадратах и ячейках читайте дальше.

Второй квадрат для значений переменных: A=12, B=6, C=2, D=1, E=72, F=24. Этот квадрат вы видите на рис. 5.

1	132	19	138	3	130	21	136	5	128	23	134
143	14	125	8	141	16	123	10	139	18	121	12
74	59	92	65	76	57	94	63	78	55	96	61
72	85	54	79	70	87	52	81	68	89	50	83
25	108	43	114	27	106	45	112	29	104	47	110
119	38	101	32	117	40	99	34	115	42	97	36
98	35	116	41	100	33	118	39	102	31	120	37
48	109	30	103	46	111	28	105	44	113	26	107
49	84	67	90	51	82	69	88	53	80	71	86
95	62	77	56	93	64	75	58	91	66	73	60
122	11	140	17	124	9	142	15	126	7	144	13
24	133	6	127	22	135	4	129	20	137	2	131

Рис. 5

Примечание: о выделенном квадрате читайте дальше.

И, наконец, третий квадрат с такими значениями переменных: A=2, B=1, C=48, D=24, E=12, F=4. Этот квадрат представлен на рис. 6.

1	142	4	143	49	94	52	95	97	46	100	47
120	27	117	26	72	75	69	74	24	123	21	122
37	106	40	107	85	58	88	59	133	10	136	11
132	15	129	14	84	63	81	62	36	111	33	110
5	138	8	139	53	90	56	91	101	42	104	43
116	31	113	30	68	79	65	78	20	127	17	126
41	102	44	103	89	54	92	55	137	6	140	7
128	19	125	18	80	67	77	66	32	115	29	114
9	134	12	135	57	86	60	87	105	38	108	39
112	35	109	34	64	83	61	82	16	131	13	130
45	98	48	99	93	50	96	51	141	2	144	3
124	23	121	22	76	71	73	70	28	119	25	118

Рис. 6

Чтобы построить квадраты с остальными шестью вариантами значений переменных, надо суммировать все шесть матриц, приведённых в указанной статье. Однако можно для каждого варианта получить точно такую же суммарную матрицу, какую получила я, задав связи между переменными. Так, например, для второго варианта (вторая стока сверху в таблице значений на рис. 2) эти связи будут такими: B=2A, D=3C, F=2E. Просуммируйте шесть матриц с такими условиями, и вы получите суммарную матрицу для этого варианта.

Как построить другие пандиагональные квадраты, кроме этих девяти вариантов, я не поняла.

***

Читайте все страницы о магических квадратах на этом сайте:

1. Магические квадраты

http://klassikpoez.boom.ru/komp/magich.htm

2. Методы построения магических квадратов

http://klassikpoez.boom.ru/komp/metody.htm

3. Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка

http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm

4. Пандиагональные квадраты

http://www.klassikpoez.narod.ru/pandiagon.htm

5. Пандиагональные квадраты пятого порядка

http://www.klassikpoez.narod.ru/pan5.htm

6. Базовые пандиагональные квадраты пятого порядка

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/bank.htm

7. Нетрадиционные магические квадраты

http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm

8. Полумагические квадраты

http://www.klassikpoez.narod.ru/polumagich.htm

9. Ассоциативные магические квадраты

http://www.klassikpoez.narod.ru/assoc.htm

10. Магические квадраты седьмого порядка

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk7.htm

11. Магические квадраты восьмого порядка

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk8.htm

12. Магические квадраты девятого порядка

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

Присылайте мне свои отзывы и пожелания.

__________

15 января 2008 г.

Просматривая эту страницу, решила сделать некоторые дополнения.

Во-первых, в представленных здесь квадратах я обнаружила интересные свойства:

1) в любом квадрате 6х6, находящемся внутри квадрата 12х12, сумма чисел равна 2610=3*870, где 870 – магическая константа квадрата 12-ого порядка;

Этим свойством обладают только пандиагональные квадраты (рис. 4, 5, 6). В ассоциативном квадрате на рис. 1 не во всех квадратах 6х6 сумма чисел одинакова; в угловых и центральном квадратах, например, она тоже равна 2610. Но есть квадраты, в которых сумма чисел другая. На рис. 1 выделен жёлтым цветом один из таких квадратов.

2) если вписать в квадрат 12х12 квадрат 6х6 с вершинами в серединах сторон, то сумма всех чисел, попавших на стороны этого квадрата, равна 1740=2*870.

Этим свойством обладают и ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 1, и все три пандиагональных квадрата (рис. 4, 5, 6). На рис. 4 выделены два квадрата 6х6, находящиеся внутри квадрата 12х12, а также закрашены ячейки, попавшие на стороны вписанного квадрата 6х6 с вершинами в серединах сторон. В пандиагональном квадрате на рис. 5 тоже выделен один из квадратов 6х6, расположенный так же, как выделенный квадрат на рис. 1. В этом квадрате сумма чисел равна 2610.

Примечание: к сожалению, не удалось вписать квадрат. Забыла, как это делается! Вот старая развалина. А ведь раньше, помню, рисовала такие вещи.

Во-вторых, я придумала метод построения пандиагональных квадратов чётно-чётных порядков, к которым относятся и квадраты 12-ого порядка. Этот метод описан на странице “Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков”. Он очень прост и оригинален: в ассоциативном квадрате надо определённым образом преобразовать три квадрата 6х6 из четырёх, составляющих этот квадрат. Левый верхний квадрат остаётся без изменения. Продублирую здесь один из пандиагональных квадратов, построенных этим методом (рис. 7).

1	134	34	117	53	90	12	143	27	112	56	91
24	35	135	52	116	79	13	26	142	57	113	78
36	23	51	136	80	115	25	14	58	141	77	114
37	50	22	81	137	102	48	59	15	76	140	103
49	38	82	21	101	138	60	47	75	16	104	139
72	83	39	100	20	127	61	74	46	105	17	126
133	2	118	33	89	54	144	11	111	28	92	55
132	119	3	88	32	67	121	110	10	93	29	66
120	131	87	4	68	31	109	122	94	9	65	30
97	86	130	69	5	42	108	95	123	64	8	43
85	98	70	129	41	6	96	107	63	124	44	7
84	71	99	40	128	19	73	62	106	45	125	18

Рис. 7

Этот пандиагональный квадрат тоже обладает отмеченными выше свойствами.

В качестве исходного ассоциативного квадрата для этого метода можно брать, например, квадрат, построенный методом квадратных рамок. А ещё интереснее взять ассоциативный квадрат, построенный на базе магического квадрата третьего порядка или на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка. Кстати, этот метод тоже очень интересен. Я сначала изобрела его сама, а потом уже нашла ссылку на этот метод в Интернете. Тут я открыла для себя уже известный метод. Понятно, что таким методом можно построить много ассоциативных квадратов, варьируя основной и/или базовый квадраты. И каждый такой квадрат можно превратить в пандиагональный, используя мой метод преобразования трёх квадратов 6х6, находящихся в квадрате 12х12. Всё это было показано в вышеуказанной статье.

В-третьих, я ничего не сказала о преобразованиях магических квадратов 12-ого порядка. Ну, прежде всего к ним применимы основные преобразования, как ко всяким магическим квадратам. Каждый магический квадрат порождает ещё 7 магических квадратов, получаемых с помощью основных преобразований, и всего вместе с исходным получается группа из 8 квадратов.

К ассоциативным квадратам можно применять перестановку симметричных строк и столбцов, основываясь на ассоциативности квадрата.

К пандиагональным квадратам прежде всего применимо преобразование параллельного переноса на торе. Каждый квадрат 12-ого порядка порождает группу из 144 квадратов (считая исходный), получаемых параллельным переносом на торе.

К сожалению, к пандиагональным квадратам 12-ого порядка не применимо моё любимое преобразование “строки-диагонали”. Это преобразование применимо только к пандиагональным квадратам нечётных порядков.

Применимо преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов. Покажу, например, стандартную перестановку строк на примере пандиагонального квадрата с рис. 5. Смотрите получившийся в результате преобразования квадрат на рис. 8.

1	132	19	138	3	130	21	136	5	128	23	134
24	133	6	127	22	135	4	129	20	137	2	131
122	11	140	17	124	9	142	15	126	7	144	13
95	62	77	56	93	64	75	58	91	66	73	60
49	84	67	90	51	82	69	88	53	80	71	86
48	109	30	103	46	111	28	105	44	113	26	107
98	35	116	41	100	33	118	39	102	31	120	37
119	38	101	32	117	40	99	34	115	42	97	36
25	108	43	114	27	106	45	112	29	104	47	110
72	85	54	79	70	87	52	81	68	89	50	83
74	59	92	65	76	57	94	63	78	55	96	61
143	14	125	8	141	16	123	10	139	18	121	12

Рис. 8

Это преобразование не изменяет наборов чисел в строках и столбцах, а все диагонали исходного квадрата, главные и разломанные, переводит в диагонали нового квадрата. Поэтому я называю его “диагонали-диагонали”. На рис. 8 выделена разломанная диагональ, в которую перешла одна из главных диагоналей исходного квадрата.

Предлагаю читателям самостоятельно применить стандартную перестановку столбцов, а затем одновременно строк и столбцов к любому из приведённых здесь пандиагональных квадратов.

А вот преобразование нестандартной (одновременной) перестановки строк и столбцов к пандиагональным квадратам 12-ого порядка тоже не применимо, потому что это преобразование, как помнит читатель, эквивалентно двукратному применению преобразования “строки-диагонали”. И применимо оно тоже только к пандиагональным квадратам нечётных порядков.

***

И ещё продолжу список статей о магических квадратах, которые я написала после создания данной страницы. Если вы попадёте на эту страницу, то, вероятно, захотите посмотреть и все остальные статьи. Итак, по порядку:

13. Магические квадраты 15-ого порядка

14. Магические квадраты 11-ого порядка

15. Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков (в 2 частях)

16. Пандиагональные квадраты нечётных порядков, кратных 9

17. Пандиагональные квадраты 15-ого порядка

18. Идеальные квадраты. Метод качелей (в 10 частях).

Я не дала здесь ссылки. Вы найдёте их на Карте сайта:

http://www.klassikpoez.narod.ru/karta.htm

Читайте! Это очень интересно. И пишите отзывы. Указывайте, пожалуйста, на ошибки и недочёты. Критикуйте! Предлагайте!

Жду!

Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу

A	B	C	D	E	F
72	36	12	6	3	1
1	2	4	12	24	48
24	12	4	2	1	48
12	6	2	1	72	24
6	3	1	72	36	12
2	1	48	24	12	4
1	72	24	12	6	2
72	1	24	2	12	4
1	72	2	36	6	12

A	B	C	D	E	F
72	36	12	6	3	1
1	2	4	12	24	48
24	12	4	2	1	48
12	6	2	1	72	24
6	3	1	72	36	12
2	1	48	24	12	4
1	72	24	12	6	2
72	1	24	2	12	4
1	72	2	36	6	12

A	B	C	D	E	F
72	36	12	6	3	1
1	2	4	12	24	48
24	12	4	2	1	48
12	6	2	1	72	24
6	3	1	72	36	12
2	1	48	24	12	4
1	72	24	12	6	2
72	1	24	2	12	4
1	72	2	36	6	12