МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ОДИННАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

Эта страница появилась в результате решения задачи о построении пандиагонального квадрата 15-ого порядка. Данная задача пока не решена, но её решение даёт много интересных побочных результатов.

 

Методы построения пандиагональных квадратов до порядка 13 включительно, как я уже говорила, изложены в статье по ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/

 

Мой партнёр по исследованию магических квадратов Георгий Александров разработал свои методы построения пандиагональных и ассоциативных квадратов всех порядков, за исключением нечётных порядков, кратных 3. Сейчас он работает над этой задачей, я по мере сил ему помогаю. Недавно он написал мне, что, сравнивая ассоциативные и идеальные квадраты нечётного порядка, не кратного 3, обнаружил, что идеальные получаются из ассоциативных простой перестановкой строк и столбцов. Ассоциативные квадраты Георгий строит методом нечётного ядра. Я обнаружила, что если брать ассоциативный квадрат, построенный методом террас, то переставлять надо только строки, столбцы уже стоят на своих местах. Этот результат показался мне очень интересным, и я решила показать его на примере магических квадратов одиннадцатого порядка.

 

Напомню читателям, что идеальным квадратом считается такой магический квадрат, который является одновременно и пандиагональным, и ассоциативным.

 

Магический квадрат одиннадцатого порядка имеет магическую константу, равную 671.

На рис. 1 вы видите магический квадрат, построенный методом террас. Он ассоциативен, но не пандиагонален. Этот квадрат я взяла в качестве исходного для построения идеальных квадратов.

 

 

 

                                                   Рис. 1

 

Ну, а дальше я определённым образом переставила строки в этом квадрате и получила первый идеальный квадрат, затем по-другому переставила строки и получила второй идеальный квадрат. Потом составила программу для перестановки строк (надоело вручную переставлять) и получила ещё три идеальных квадрата. Все пять квадратов показываю на рис. 2 и далее из файла. Это идеальные квадраты, и они все должны быть показаны – интересные квадраты! Замечу, что строки переставляются с постоянным шагом, например, через одну строку, через две строки и т. д.

 

 

 

 

 

                                                   Рис. 2

 

Эти два квадрата я получила, вручную переставляя строки. В первом квадрате показан чётно-нечётный рисунок. В любом идеальном квадрате этот рисунок обязательно симметричен.

Следующие три варианта получены по программе.

 

Вариант 3 (I=2, J=5, K=8)

 

77  17  78  29  90  41  102  53  114  65  5

 26  98  38  110  50  111  62  2  74  14  86

         107  47  119  59  10  71  22  83  23  95  35

         56  7  68  19  80  31  92  43  104  55  116

         16  88  28  89  40  101  52  113  64  4  76

         97  37  109  49  121  61  1  73  13  85  25

         46  118  58  9  70  21  82  33  94  34  106

         6  67  18  79  30  91  42  103  54  115  66

         87  27  99  39  100  51  112  63  3  75  15

         36  108  48  120  60  11  72  12  84  24  96

         117  57  8  69  20  81  32  93  44  105  45

 

Вариант 4 (I=8, J=1, K=5)

 

         107  47  119  59  10  71  22  83  23  95  35

         6  67  18  79  30  91  42  103  54  115  66

         26  98  38  110  50  111  62  2  74  14  86

         46  118  58  9  70  21  82  33  94  34  106

         77  17  78  29  90  41  102  53  114  65  5

         97  37  109  49  121  61  1  73  13  85  25

         117  57  8  69  20  81  32  93  44  105  45

         16  88  28  89  40  101  52  113  64  4  76

         36  108  48  120  60  11  72  12  84  24  96

         56  7  68  19  80  31  92  43  104  55  116

         87  27  99  39  100  51  112  63  3  75  15

 

Вариант 5 (I=7, J=9, K=11)

 

46  118  58  9  70  21  82  33  94  34  106

         56  7  68  19  80  31  92  43  104  55  116

         77  17  78  29  90  41  102  53  114  65  5

         87  27  99  39  100  51  112  63  3  75  15

         97  37  109  49  121  61  1  73  13  85  25

         107  47  119  59  10  71  22  83  23  95  35

            117  57  8  69  20  81  32  93  44  105  45

         6  67  18  79  30  91  42  103  54  115  66

         16  88  28  89  40  101  52  113  64  4  76

         26  98  38  110  50  111  62  2  74  14  86

         36  108  48  120  60  11  72  12  84  24  96

 

В скобках стоят значения переменных (означающих номера строк) при выполнении программы. Я не прогнала программу полностью, то есть не получила все перестановки строк (просто не хотелось время терять). Возможно, нашлись бы ещё квадраты.

Обратите внимание на вариант 5! Этот квадрат пандиагональный, но не ассоциативный. В программе у меня проверяется пандиагональность построенного квадрата, а ассоциативность не проверяется. Но очень просто превратить этот квадрат в ассоциативный, для этого его надо просто перенести на торе (преобразование параллельного переноса на торе для пандиагональных квадратов). На рис. 3 показан идеальный квадрат, полученный из варианта 5. Получился отражённый второй квадрат с рис. 2.

 

 

 

 

                                                   Рис. 3

 

У этого идеального квадрата совсем другой чётно-нечётный рисунок, но тоже симметричный.

 

Любой пандиагональный квадрат одиннадцатого порядка порождает группу из 121 квадрата (считая исходный), которые получаются в результате преобразования параллельного переноса на торе. Очевидно, что при параллельном переносе на торе ассоциативность квадрата нарушается.

 

Описанный метод построения идеальных квадратов нечётного порядка, не кратного 3, является альтернативным методу Александрова, который вы можете посмотреть по ссылке:

 

http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html

 

Он работает для любого нечётного порядка, не кратного 3. Вот посмотрите, например, на два квадрата седьмого порядка (рис. 4): слева ассоциативный квадрат, построенный методом террас, а справа – идеальный квадрат, полученный из этого ассоциативного квадрата простой перестановкой строк.

 

 

 

                                                   Рис. 4

 

Этот же идеальный квадрат построен Александровым методом хода шахматного коня (см. вышеуказанную ссылку).

Георгий прислал мне для анализа и идеальный квадрат 13-ого порядка, который он получил этим же методом. Для сравнения он прислал мне и ассоциативный квадрат 13-ого порядка, построенный методом нечётного ядра. В этой паре идеальный квадрат получается из ассоциативного перестановкой строк и столбцов.

 

А вот для порядков, кратных 3, этот метод не работает! Покажу читателям для анализа соответствующую пару: ассоциативный и идеальный квадраты девятого порядка (идеальный квадрат девятого порядка Георгию удалось построить) (рис. 5):

 

 

 

 

                                                                      Рис. 5

 

Ассоциативный квадрат (на рис. 5 слева) построен методом нечётного ядра. Идеальный квадрат (на рис. 5 справа) построен Георгием интуитивным подбором начальной цепочки ходов, а затем ходом шахматного коня. Хотя я поставила между этими квадратами стрелочку, но как первый квадрат переходит во второй (по какому закону), я не могу понять. Видно, что числа переставляются очень симметрично, диагонально, как по вееру разбегаются! Ещё надо заметить, что наборы чисел в центральных строке и столбце не изменяются. Я говорю Георгию, что нам необходимо уловить эту дьявольскую закономерность, чтобы понять, как аналогично построить идеальный квадрат 15-ого порядка. Вот такая задача!

 

Я даже посчитала и проанализировала все суммы по разломанным диагоналям ассоциативного квадрата девятого порядка, изображённого на рис. 5 слева (и не только девятого, но и 13-ого, 15-ого). И эти суммы просто чертовски симметричны и каким-то непостижимым образом связаны с порядком квадрата. Так, для квадрата девятого порядка разломанные диагонали одного направления имеют такие суммы (в скобках приводится отличие сумм от магической константы):

 

первая диагональ – 288 (на 81=9² меньше)

вторая диагональ – 207 (на 161=2*9² меньше)

третья диагональ – 126 (на 243=3*9² меньше)

четвёртая диагональ – 45 (на 324=4*9² меньше)

пятая диагональ – 693 (на 324=4*9² больше)

шестая диагональ – 612 (на 243=3*9² больше)

седьмая диагональ – 531 (на 161=2*9² больше)

восьмая диагональ – 450 (на 81=9² больше)

 

Ну, не удивительная ли симметрия и какая-то просто дьявольская закономерность в этих суммах? Для ассоциативных квадратов других порядков точно такая же закономерность, причём в них суммы отличаются от магической константы на величины, кратные n², где n – порядок квадрата.

Диагонали другого направления имеют такие суммы:

 

первая диагональ – 378 (на 9 больше )

вторая диагональ – 387 (на 18=2*9 больше)

третья диагональ – 396 (на 27=3*9 больше)

четвёртая диагональ – 405 (на 36=4*9 больше)

пятая диагональ – 333 (на 36=4*9 меньше)

шестая диагональ – 342 (на 27=3*9 меньше)

седьмая диагональ – 351 (на 18=2*9 меньше)

восьмая диагональ – 360 (на 9 меньше)

 

Для квадратов других порядков соответственно диагонали этого направления отличаются от магической константы не величины, кратные порядку квадрата.

 

А теперь, уважаемые читатели, надо выровнять эти капризные суммы по разломанным диагоналям, чтобы все они были равны магической константе квадрата – 369, как это имеет место в идеальном квадрате, изображённом на том же рис. 5 справа. При этом надо понять, по какому закону следует переставить числа в ассоциативном квадрате, чтобы добиться требуемого результата.

 

Приглашаю читателей подумать над этой задачей вместе с нами. Может быть, кто-то из вас сможет её решить прямо с ходу. Потому что тут нужен свежий взгляд: мы с Георгием уже слишком устали от решения разных задач о магических квадратах.

Я уже говорила на странице о магических квадратах 15-ого порядка, что Георгий нашёл информацию в Интернете: пандиагональный квадрат 15-ого порядка был построен очень давно неким французом Терри. Однако где он, этот квадрат?

 

Хотя тут ещё есть один вопрос: будет ли идеальный квадрат 15-ого порядка строиться аналогично идеальному квадрату 9-ого порядка? Георгий уверен, что это так, а я сомневаюсь. Потому что в цитированной Георгием статье говорится о нечётных порядках 3n, где n кратно 3 и не кратно 3. То есть все нечётные порядки, кратные 3, разделяются на две группы. В первую группу входят порядки 9, 27, 45, 63, … во вторую группу порядки 15, 21, 33, 39,…

В этом вопросе у нас с Георгием разногласие. Но кто прав, можно будет увидеть, только получив методы построения идеальных квадратов всех нечётных порядков, кратных 3.

На странице о магических квадратах 15-ого порядка есть ассоциативный квадрат, построенный методом террас. Попробуйте получить из него идеальный квадрат аналогично квадрату девятого порядка. Выход на страницу:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk15.htm

 

                                               ***

 

Однако вернусь к магическим квадратам 11-ого порядка. Хочу показать ещё своё любимое преобразование “строки-диагонали” в применении к пандиагональному квадрату 11-ого порядка. Последний раз я его показывала на примере пандиагонального квадрата 9-ого порядка. Сначала покажу матрицу преобразования. Пусть матрица исходного квадрата имеет стандартный вид А=(а_i,j). Тогда матрица квадрата, полученного применением к этому квадрату преобразования “строки-диагонали”, имеет следующий вид (рис. 6):

 

 

 

                                                                  Рис. 6

 

На рис. 7 изображён квадрат, полученный применением этого преобразования к первому квадрату с рис. 2.

 

 

 

                                                                     Рис. 7

 

Преобразование “строки-диагонали” сохраняет пандиагональность квадрата, но не сохраняет ассоциативность. Однако иногда с помощью этого преобразования можно превратить не ассоциативный пандиагональный квадрат в ассоциативный пандиагональный, то есть в идеальный. Такой пример был приведён в статье “Магические квадраты девятого порядка”.

 

На этом я завершаю рассказ о магических квадратах одиннадцатого порядка и

 

жду ваших отзывов!

 

                                                       ***

 

        Страница помещена на сайт 6 октября 2007 г.

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу