Глава 2

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Уважаемые читатели! Эта страница является Приложением к главе “Магические квадраты” из книги “Компьютер решает головоломки”. Она адресована тем, кого заинтересовала тема “Магические квадраты”. Изложенные методы построения магических квадратов я нашла в литературе (в основном это журналы “Наука и жизнь”). Но! не нашла методов построения магических квадратов чётного (или: чётно-нечётного) порядка, не являющихся чётно-чётными (то есть порядок таких квадратов делится на число 2, но не делится на число 4), например, шестого, десятого и т. д. Этот метод я изобрела сама. Поэтому я пока не привожу его здесь. Делаю заявку на изобретение нового метода, которого нет в литературе! Я не могу сказать со 100% уверенностью, что в литературе вообще нет методов построения магических квадратов чётно-нечётного порядка. Надо поискать получше. Но даже если они и есть, то, вполне возможно, что они отличаются от метода, придуманного мной. Приглашаю всех заинтересовавшихся рассмотреть тему подробно и сообщить мне, нашлись ли такие методы. Или мой метод пока единственный?

А теперь перехожу к методам построения магических квадратов нечётного и чётно-чётного порядка.

 

Магические квадраты нечётного порядка

 

Если магический квадрат третьего порядка нетрудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Вы убедились в этом, если решали задачу о магическом квадрате четвёртого порядка, приведённую в разделе 1. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата. Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n²), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас. Предлагаю вам построить методом террас магические квадраты седьмого и/или девятого порядка.

 

 

 

         Рис. 1                                                     Рис. 2

 

 

 

                                                    Рис. 3                          Рис. 4

 

 

 

                                                                      Рис. 5

 

Магические квадраты чётно-чётного порядка

 

Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n=4*m (m=1,2,3…), то есть порядок такого квадрата делится на 4. Простейший квадрат чётно-чётного порядка – это квадрат четвёртого порядка. Известны, по крайней мере, два метода построения магических квадратов чётно-чётного порядка. Первый называется методом квадратных рамок. Рассмотрим его на примере магического квадрата восьмого порядка. На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис. 6) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам). Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до n² по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа клетки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д. Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис. 7.

 

 

			4	5
		3			6
	2		21	20		7
1		22			19		8
16	23		36	37		18	9
24	15	35			38	10	17
25	34	14	53	52	11	39	32
33	26	54	13	12	51	31	40
48	55	27			30	50	41
56	47		28	29		42	49
57		46			43		64
	58		45	44		63
		59			62
			60	61

 

                      Рис. 6

 

Примечание: здесь рамки не получились квадратными да ещё и немного сместились из-за неудобной графики компьютера.

 

 

 

                                                                       Рис. 7

 

Предлагаю построить этим методом магический квадрат двенадцатого порядка.

 

Переходим ко второму методу построения чётно-чётных магических квадратов, который называется “метод Рауз-Болла”. Он состоит в следующем: в данный квадрат чётно-чётного порядка вписываются числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки. Затем в квадрате проводятся диагонали. Числа, расположенные во взаимно симметричных ячейках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали, меняются местами, а числа, через которые диагонали не пошли, остаются на месте. Так, на рис. 8 диагонали пересекли восемь чисел, надо поменять местами взаимно симметричные: 1-16, 6-11, 13-4, 10-7. Готовый магический квадрат изображён на рис. 9. Можно поступить наоборот: оставить на месте числа, через которые прошли диагонали, а поменять местами числа, не попавшие на диагонали и симметрично расположенные относительно центра квадрата. На рис. 10 показан квадрат, построенный таким образом. Сравнив его с квадратом на рис. 9, вы видите, что это тот же квадрат, повёрнутый на 180 градусов относительно центра квадрата.

 

 

1	2	3	4		16	2	3	13		1	15	14	4
5	6	7	8		5	11	10	8		12	6	7	9
9	10	11	12		9	7	6	12		8	10	11	5
13	14	15	16		4	14	15	1		13	3	2	16

 

Рис. 8                       Рис. 9                  Рис. 10

 

При построении методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка диагонали соединяют на только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть диагонали проводятся в четырёх  угловых квадратах 4х4 (см. рис. 11); взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33. На рис. 12 изображён готовый магический квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла.

 

 

1	2	3	4	5	6	7	8		64	2	3	61	60	6	7	57
9	10	11	12	13	14	15	16		9	55	54	12	13	51	50	16
17	18	19	20	21	22	23	24		17	47	46	20	21	43	42	24
25	26	27	28	29	30	31	32		40	26	27	37	36	30	31	33
33	34	35	36	37	38	39	40		32	34	35	29	28	38	39	25
41	42	43	44	45	46	47	48		41	23	22	44	45	19	18	48
49	50	51	52	53	54	55	56		49	15	14	52	53	11	10	56
57	58	59	60	61	62	63	64		8	58	59	5	4	62	63	1

 

   Рис. 11                                                  Рис. 12

 

Предлагаю построить методом Рауз-Болла магический квадрат следующего чётно-чётного порядка – двенадцатого. Замечу, что в квадрате 12х12 будет 9 квадратов 4х4, в каждом их них надо провести диагонали. А если вы будете строить магический квадрат шестнадцатого порядка, то его надо разбить на 16 квадратов 4х4 и в каждом из них провести диагонали.

 

В журнале “Наука и жизнь” приведён ещё упрощённый метод Рауз-Болла, но я не буду излагать его здесь, ибо он не является принципиально новым методом.

 

Вот и всё краткое изложение Приложения к главе “Магические квадраты”. Теперь вам предстоит построить магический квадрат чётно-нечётного порядка. Первым таким квадратом является квадрат шестого порядка. Понятно, что описанные выше методы для такого квадрата не годятся. Но как тогда построить такой квадрат? Понятно, что, просто вписывая числа и пытаясь подобрать нужные наборы в строках и столбцах, вряд ли удастся построить квадрат. Есть, конечно, хороший вариант – составить программу для компьютера. Этот вариант я тоже реализовала в своей книге. Но есть ли метод построения такого квадрата, аналогичный тем методам, которые рассмотрены в журналах “Наука и жизнь” для магических квадратов нечётного и чётно-чётного порядка? Вот что вам предлагается выяснить! Я придумала такой метод и построила магический квадрат шестого порядка с помощью этого метода. Показываю его на рис. 13.

 

 

 

                                                   Рис. 13

 

Построила я этим методом и магический квадрат десятого порядка, но не буду показывать его здесь. Если вы не найдёте метода построения таких квадратов в литературе, то придумайте такой метод сами и постройте магический квадрат десятого порядка. Тогда мы с вами сравним наши квадраты и наши методы!

 

Наконец, показываю вам магический квадрат шестого порядка, построенный по моей программе компьютером (рис. 14):

 

 

 

                                                  Рис. 14

 

Это один квадрат, если выполнить программу n раз, то компьютер построит n разных (!) квадратов. Составление такой программы – очень хорошая задача для тех, кто пробует себя в программировании. Попробуйте-ка составить эту программу и получить с помощью компьютера магический квадрат шестого порядка.

Я составила также программу для построения магических квадратов четвёртого порядка, и по этой программе компьютер построил мне все 880 магических квадратов четвёртого порядка! Как известно впервые все 880 квадратов четвёртого порядка построил Френикль.

Всё это изложено в Приложении к главе “Магические квадраты” моей книги “Компьютер решает головоломки”.

 

                                    ________

 

 

Примечание: мой метод построения квадратов чётно-нечётного порядка смотрите здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm

 

            4 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

                                                           ***

 

Очень большая обзорная статья о методах построения магических квадратов начинается здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу