4	29	12	37	20	45	28
35	11	36	19	44	27	3
10	42	18	43	26	2	34
41	17	49	25	1	33	9
16	48	24	7	32	8	40
47	23	6	31	14	39	15
22	5	30	13	38	21	46

 

 

ГЛАВА ИЗ КНИГИ «КОМПЬЮТЕР РЕШАЕТ ГОЛОВОЛОМКИ»

 

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

         А теперь «попросим» компьютер построить магический квадрат. Сначала приведу определение магического квадрата:

 

магическим квадратом n-ого порядка называется квадрат размерами nxn со вписанными в него натуральными числами от 1 до n²  так, что сумма

их по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям квадрата равна одному и тому же числу.

 

Эта одинаковая сумма называется постоянной (или константой) магического квадрата. Выше вы видите магический квадрат седьмого порядка (7х7), построенный методом террас. Этот метод, а также другие методы построения магических квадратов, изложены в Приложении к книге. Константа этого квадрата равна 175. Если вы попытаетесь построить такой квадрат (хотя бы один!) без теории или без помощи компьютера, у вас вряд ли что-нибудь получится.

Магические квадраты в литературе называют ещё волшебными, но мы будем придерживаться первого названия. Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времён. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено до сих пор. Магических квадратов второго порядка не существует. Магический квадрат третьего порядка единственный в том смысле, что все магические квадраты третьего порядка могут быть получены из одного либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из осей симметрии. С увеличением порядка быстро растёт количество возможных магических квадратов. Так, например, магических квадратов четвёртого порядка уже 880, а пятого порядка – несколько миллионов. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате, изображённом на рис. 1, равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятёрок чисел по так называемым разломанным диагоналям. Таких диагоналей восемь, вот, например, две из пятёрок чисел, расположенных на “разломанных” диагоналях: 15, 2, 19, 6, 23 и 24, 11, 3, 7, 20.

 

 

 

Рис. 1

 

Помещаю далее рисунок (рис. 1а) из рукописи книги, чтобы читателю стало понятно, что такое “разломанные” диагонали.

 

 

         Согласитесь, удивительный квадрат! Французским математиком Б. Френиклем построены 880 возможных магических квадратов четвёртого порядка. Часто воспроизводится магический квадрат четвёртого порядка, присутствующий на знаменитой гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия» (см. рис. 2). Любопытно, что средние числа в последней строке изображают год 1514, в котором была создана эта гравюра.

 

 

Рис. 2

         Магический квадрат шестнадцатого порядка известен как квадрат Франклина. Сам Франклин называл его “самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворённых чародеями”.

 

Примечание: о квадратах Франклина смотрите эту статью:

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

Для любознательных читателей в Приложении дана теория построения магических квадратов. А теперь вернёмся к задаче, которую мы хотели предложить компьютеру. Требуется построить магический квадрат третьего порядка. Задача не относится к числу очень сложных, поэтому предлагаемая программа не комментируется. Читатель вполне может разобраться в ней самостоятельно.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 FOR I=1 TO 9
20 FOR J=1 TO 9
30 IF J=I THEN 320
40 K=15-I-J
50 IF K>0 THEN IF K<10 THEN  IF K<>I THEN IF K<>J THEN 70
60 GO TO 320
70 FOR L=1 TO 9
80 IF L<>I THEN IF L<>J THEN IF L<>K THEN 100
90 GO TO 310
100 FOR M=1 TO 9
110 IF M<>I THEN IF M<>J THEN IF M<>K THEN IF M<>L THEN 130
120 GO TO 300
130 O=15-I-L
140 IF O>0 THEN IF O<10 THEN IF O=15-M-K THEN IF O<>I THEN IF O<>J
THEN IF O<>K THEN IF O<>L THEN IF O<>M THEN 160
150 GO TO 300
160 N=15-L-M
170 IF N>0 THEN IF N<10 THEN IF N<>I THEN IF N<>J THEN IF N<>K THEN
IF N<>L THEN IF N<>M THEN IF L<>0 THEN 190
180 GO TO 300
190 P=15-J-M
200 IF P>0 THEN IF P<10 THEN IF P<>I THEN IF P<>J THEN IF P<>K THEN
IF P<>L THEN IF P<>M THEN 220
210 GO TO 300
220 IF P<>N THEN IF P<>O THEN Q=15-I-M : GO TO 240
230 GO TO 300
240 IF Q>0 THEN IF Q<10 THEN IF Q=15-O-P THEN IF Q=15-K-N THEN PRINT I;J;K;L;M;N;O;P;Q
300 NEXT M
310 NEXT L
320 NEXT J
330 NEXT I
340 STOP

 

Программа выполняется несколько секунд. Результатом будет появление на экране монитора восьми наборов из девяти чисел. Каждый из них, будучи вписан в естественном порядке в квадрат (начиная с левой верхней ячейки), даст один из магических квадратов третьего порядка. Вот эти наборы:

 

2   7   6   9   5   1   4   3   8
2   9   4   7   5   3   6   1   8
4   3   8   9   5   1   2   7   6
4   9   2   3   5   7   8   1   6
6   1   8   7   5   3   2   9   4
6   7   2   1   5   9   8   3   4
8   1   6   3   5   7   4   9   2
8   3   4   1   5   9   6   7   2

 

Как уже говорилось, все эти квадраты получаются один из другого либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из осей симметрии. Если вы внимательно посмотрите на наборы чисел, то сразу заметите, что центром всех квадратов является число 5, оно всегда остаётся на месте (во всех квадратах). Так, например, два квадрата, изображённые на рис. 3, получаются один из другого поворотом вокруг центра на 90 градусов.

 

 

Рис. 3

 

Квадрат, изображённый на рис. 3 справа, известен как древний китайский магический квадрат Ло Шу.

 

Теперь предлагается такая задача: в квадрате четвёртого порядка, изображённом на рис. 4, поставлено четыре числа так, что в каждой строке и в каждом столбце известно только одно число, а в каждой диагонали – два числа. Требуется расставить остальные числа от 1 до 16 так, чтобы получился магический квадрат четвёртого порядка. Этот квадрат нельзя получить из магического квадрата с гравюры Дюрера (см. рис. 2) ни поворотом, ни отражением относительно осей симметрии. Он является вторым из 880 магических квадратов четвёртого порядка. Если у вас есть компьютер, составьте программу для решения этой задачи. Ну, а если нет, – ваша голова ничуть не хуже!

 

 

 

Рис. 4

 

И, наконец, совсем трудная задача: постройте магический квадрат четвёртого порядка без подсказок, но чтобы это был опять новый квадрат, то есть не получался из двух уже представленных квадратов поворотами или отражениями. Это будет третий квадрат из 880 магических квадратов четвёртого порядка. Конечно, лучше всего решить эту задачу с помощью компьютера. Составьте программу по аналогии с той, что предложена для квадратов третьего порядка. Впрочем, вы можете придумать свой алгоритм, отличный от авторского.

 

В заключение отмечу, что магическим квадратом называют также квадрат, составленный любыми другими числами, а не обязательно числами от 1 до n², лишь бы он удовлетворял условию: суммы чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям равны. Такие магические квадраты, составленные из произвольных натуральных чисел, называют нетрадиционными магическими квадратами (см., например, журнал «Наука и жизнь, № 5, 1979 г.).

Читайте о нетрадиционных магических квадратах статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm

 

Методы построения магических квадратов из Приложения к книге изложены на этой странице:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/metody.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу