УРОК №
15
СИММЕТРИЯ НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ
Статью с
таким названием я нашла в журнале “Наука и жизнь”, № 5,
Действительно,
симметрия на шахматной доске просто восхитительна, как, впрочем, и симметрия во
всех других областях. Ты наверняка встречался с симметрией и на уроках
геометрии, и в жизни. Например, всевозможные орнаменты на коврах. Посмотри, как
они симметричны! В связи с орнаментами я вспомнила свою одноклассницу (9 класс)
Аню Коноваленко. Она имела огромный талант в
рисовании орнаментов. Я была просто в восторге от её шедевров! Она рисовала их
десятками на переменах, а иногда и на скучных уроках. Брала тетрадный листок в
клетку и рисовала. Аня подарила мне два таких листка с орнаментами, которые я
храню до сих пор. Вот теперь нашла их в своём архиве и показываю тебе. На двух
орнаментах я сохранила дарственную надпись Ани. Конечно, орнаменты утратили
свою яркость. Немудрено: эти тетрадные листочки пролежали 40 лет! Но всё равно
прекрасно видно все узоры, великолепную симметрию. В самом деле, у девочки был
талант.
“Симметрия,
как бы широко или узко мы ни понимали
это слово, есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и
создать порядок, красоту и совершенство”, – писал немецкий математик Герман
Вейль.
А теперь
посмотри на шахматную доску. На доске, конечно же, есть симметрия. Симметрия,
как ты, наверное, знаешь, бывает осевая и центральная. А для тех, кто ещё не
изучал этот вопрос на уроках математики, я кратко поясню. Центральная симметрия
– это симметрия относительно некоторой точки, называемой центром симметрии. Две
точки считаются симметричными относительно центра симметрии, если они
расположены на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одинаковом
расстоянии от него. На рис. 1 ты видишь шахматную доску, отмеченный центр
симметрии на ней и две пешки, расположенные симметрично относительно центра
симметрии доски.
Рис.
1
Осевая
симметрия – это симметрия относительно некоторой прямой, называемой осью
симметрии. Две точки считаются симметричными относительно некоторой оси симметрии,
если они находятся на одном перпендикуляре, проведённом к этой оси, на
одинаковом расстоянии от неё. На шахматной доске можно провести четыре оси
симметрии: по серединным горизонтали и вертикали и по двум большим диагоналям.
На рис. 2 показана доска с проведёнными осями симметрии и две пешки,
симметрично расположенные относительно большой диагонали a1-h8.
Рис.
2
В
уроке № 2
есть рис. 2, на котором пешки расположены симметрично относительно другой
большой диагонали h1-a8.
Если
рассматривать поля доски с учётом их цвета, то они симметричны относительно
больших диагоналей, однако не симметричны относительно горизонтальной и
вертикальной осей симметрии. Тут имеет место ещё одна замечательная симметрия –
зеркальное отражение. Отрежь мысленно одну горизонталь доски (например,
горизонталь 1), поверни её на 180 градусов и приложи теперь к месту среза – ты
получишь в точности горизонталь 2. Это и есть зеркальная симметрия. Так вот,
поля шахматной доски обладают зеркальной симметрией относительно горизонтальной
и вертикальной осей симметрии. А теперь давай вспомним маршрут коня,
приведённый на уроке № 2 (см. там рис. 4 ). Этот
маршрут симметричен относительно центра доски. Значит, ты можешь начертить
только пункты маршрута 1-32, а пункты 33-64 восстановить, пользуясь центральной
симметрией. Проведи из любого пункта маршрута отрезок прямой, соединяющий его с
центром доски, продолжи эту прямую, и на таком же расстоянии от центра ты
найдёшь соответствующий, симметричный, пункт маршрута. Красиво, не правда ли?
Вспомним и ещё одну задачу из урока № 3 – задачу о расстановке восьми ферзей на
шахматной доске так, чтобы они не угрожали друг другу. Существует 92 способа
такой расстановки, однако только 12 основных способов, а все остальные
получаются из основных поворотами и зеркальными
отражениями. Вот где работает симметрия шахматной доски! Возьми теперь одно из
решений этой задачи, которое приведено на уроке № 3 (см. там рис. 2) и найди
все решения, получающиеся из него поворотами и зеркальными отражениями. На рис.
3 показано одно из таких решений, оно получено с использованием центральной
симметрии шахматной доски.
Рис.
3
Поставим
теперь на шахматную доску все фигуры в их начальной позиции. Посмотри, какой
симметрией обладают фигуры на шахматной доске? Правильно, осевой – относительно
горизонтальной оси симметрии. Относительно вертикальной оси симметрия несколько
нарушена, так как с одной стороны от оси симметрии стоит король, а с другой –
ферзь. А для остальных фигур тоже полная симметрия. По той же причине немного
нарушена центральная симметрия. Одна из самых интересных
задач, связанных с симметрией на шахматной доске – это копирование “чёрными”
ходов “белых”, то есть ведение симметричной игры. Каждым ходом “чёрные” делают
такой ход, который восстанавливает нарушенную симметрию позиции. Е Гик пишет в
своей статье: “Некто явился в шахматный клуб и объявил, что нашёл верный способ
не проиграть “чёрными”. “Каким образом?” – спросили его. “Очень просто, –
ответил гость, – повторяя ходы противника!” Сыграть с наивным изобретателем вызвался
С. Лойд, который и объявил ему мат в 4 хода”. Далее
автор статьи показывает, как играть “белым”, чтобы при симметричной игре заматовать
“чёрного” короля: а) ферзём, б) ладьёй, в) слоном или конём, г) пешкой. Вот эти
способы.
а) ферзь
может поставить мат при симметричной игре двумя способами уже на 4-ом ходу:
1-ый способ: 1. с4 с5 2. Фа4 Фа5 3. Фс6 Фс3 4. Ф:с8х
2-ой способ: 1. d4 d5 2. Фd3 Фd6 3. Фh3 Фh6 4. Ф:с8х
б) так
ставится мат ладьёй:
1. h4 h5 2. g4 g5 3. Cg2 Cg7 4. Kh3 Kh6 5. Ce4 Ce5 6. Kf4 Kf5 7. hg hg 8. Kg2 Kg7 9. Л:h8х
в) так
играется симметричная партия, оканчивающаяся матом от слона (или от коня):
1. е4 е5 2. d3 d6 3. Крe2 Кре7 4. Крf3 Крf6 5. Крg3 Крg6 6. Се2 Се7 7. Cf3 Cf6 8. Ch5х
или, начиная с шестого хода, мат от
коня:
6. Kf3 Kf6 7. Kh4х
г) наконец,
заматовать может даже пешка:
1. е3 е6 2. d3 d6 3. Cd2 Cd7 4. Ke2 Ke7 5. Kec3 Kec6 6. Фf3 Фf6 7. Kd1 Kd8 8. Фе4 Фе5 9. h4 h5 10. g4 g5 11. Кре2 Кре7 12. hg hg 13. Фg6 Фg3 14. f4
f5 15. gfх
А
как ты думаешь, играются ли симметричные партии в реальности? Оказывается,
играются! На уроке № 9 были приведены два дебюта: английское начало и дебют
четырёх коней. Это реальные партии, которые привёл в своей статье Е. Гик.
Заметил ли ты, когда смотрел эти начала, симметрию игры? Но симметричным было
не только начало. Здесь я покажу, как завершились эти две симметричные партии.
Сначала партия Ротлеви
– Эльяшов (здесь продолжение партии, начало см. в
уроке № 9):
11. Ф:а1 Ф:а8 12. C:f6 C:f3 13. C:g7 C:g2 14. C:f8 C:f1 15. Ф:f1 Ф:f8 16. Фg2+ Фg7
Противники согласились на ничью.
На рис. 4 изображена финальная позиция
этой удивительной симметричной партии. Даже финальная позиция абсолютно
симметрична!
Рис.
4
Теперь
партия Столяр – Шукшта (снова даю продолжение):
12. d4 d5 13. C:h6 C:h3 14. C:g7 C:g2 15. C:f8 C:f1 16. C:e7 C:e2 17. C:d8 C:d1 18. Cc7 Cc2 19. Лb2 Лb7
Пока всё симметрично, на рис. 5 ты
видишь позицию после 19-ого хода. Однако на 20-ом ходу симметрия была нарушена,
потому что если бы на ход “белых” 20. Се5 “чёрные” ответили симметричным ходом 20. … Cе4, то
последовало бы: 21. К:е4 К:е5 22. Кf6+ и далее 23. de, и симметрия всё равно была бы нарушена. Поэтому с
20-ого хода противники играют не симметрично.
Рис.
5
20. Се5 К:е5 21. de d4 22. Л:с2 Лс7 23. Крf1 g5 24. Крe2 dc 25. Крd3 Лc4 26. Л:c3 Л:b4 27. Лc7
Партнёры согласились на ничью.
Но всегда ли
при симметричной игре “чёрные” проигрывают (или в лучшем случае сводят партию к
ничьей)? Оказывается, это не так. И у “чёрных” иногда возникает возможность
поставить мат. Вот одна из таких партий:
1. е4 е5 2. Кре2 Кре7 3. Кре3 Кре6 4. Фf3 Фf6 5. Ке2 Ке7 6. b3 b6 7. Ca3 Ca6
Интереснейшая позиция возникла после
7-ого хода (рис. 6):
Рис.
6
Далее
последовало: 8. Kd4+, и “чёрные” вынуждены объявить мат: 8. … edх, так как их королю некуда деваться от
шаха.
Наконец,
Е. Гик приводит ещё одну партию, которая не является, строго говоря,
симметричной: в ней ходы повторяют иногда “чёрные”, иногда “белые”, но
совершенно парадоксален финал партии – пат “белым” и “чёрным”! А сама
финальная позиция обладает не осевой, а центральной симметрией. Вот эта партия:
1. е4 d5 2. e5 d4 3. c3 f6
4. Фf3 Крf7 5. Ф:b7 Фd5 6. Крd1 Ф:g2 7. Крc2 Ф:f1 8. Ф:c8 Ф:g1 9. Ф:b8 Л:b8 10. Л:g1 Лb3 11. Лg6 Лa3 12. Лh6 gh 13. ba Крg7 14. Крb2 d3 15.
e6 a5
16. h4 a4 17. h5 c5 18.
f4 c4
19. f5
На рис 7. изображена финальная позиция.
Очень занимательно! И “белый”, и “чёрный” король в пате. Но пат всё-таки
сделали “белые”, ибо их ход был последним, и очередь хода за “чёрными”. Вот
какие курьёзы встречаются в шахматных партиях!
Рис.
7
Другой мотив
симметрии на шахматной доске – это разные композиции и этюды, содержащие симметричное
или почти симметричное расположение фигур. Вот одна из самых известных миниатюр
подобного типа – задача Р. Бианкетти (
Рис.
8
Ещё один
этюд – задача В. Паули (
Рис.
9
И, наконец,
Е. Гик приводит две композиции, которые предложил ему гроссмейстер Д.
Бронштейн. Эти композиции ты видишь на рис. 10. В первой задаче (левая позиция)
– кто начинает, тот и выигрывает. Во второй (правая позиция) – кто начинает,
тот проигрывает. Попробуй решить эти, на первый взгляд очень простые, задачи.
Ответь на вопрос: какая симметрия имеет место в расположении фигур на этих
позициях?
Рис.
10
На этом я
завершаю рассказ о симметрии на шахматной доске. Надеюсь, что он тебе
понравился.