НОВАЯ ГРУППА ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

 

Рассматривая в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latid12.htm метод построения идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов, я обнаружила новую группу идеальных квадратов 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. Новый идеальный квадрат построен так: в формуле

 

[1]                                           c_ij = 12*a_ij + b_ij + 1

 

переставлены первый и второй латинские квадраты, то есть использована такая формула:

 

[2]                                           c_ij = 12*b_ij + a_ij + 1.

 

Продублирую здесь новый идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Теперь посмотрим на идеальные квадраты других чётно-чётных порядков, построенные таким способом. Начнём с квадратов 8-ого порядка. Сначала покажу исходный идеальный квадрат 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” (рис. 2), и соответствующие ему два обобщённых ортогональных латинских квадрата (рис. 3 - 4).

 

 

Рис. 2

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 3

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 4

 

Идеальный квадрат на рис. 2 построен с помощью латинских квадратов с рис. 3 и рис. 4 по формуле [1]. Теперь построим идеальный квадрат с помощью этих же латинских квадратов, но по формуле [2]. На рис. 5 вы видите полученный идеальный квадрат.

 

 

Рис. 5

 

Преобразую немного этот идеальный квадрат (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Как видите, в этом идеальном квадрате форма начальной цепочки не изменилась, она по-прежнему строится ходом  шахматного коня. Однако с точки зрения метода качелей шаги качания качелей поменялись на симметричные; в квадрате с рис. 2 качели качались так: через 1 ячейку влево, через 5 ячеек вправо (1+5), а в квадрате с рис. 6 качели качаются так: через 5 ячеек влево, через 1 ячейку вправо (5+1). Несмотря на то, что форма начальной цепочки не изменилась, мы получили оригинальный квадрат.

Понятно, что каждому идеальному квадрату, подобному квадрату с рис. 2, соответствует идеальный квадрат, подобный квадрату с рис. 6. Следовательно, мы имеем новую группу идеальных квадратов 8-ого порядка, в которой будет ровно столько же идеальных квадратов, сколько в первой группе квадратов с начальной цепочкой “ход конём”, то есть 98304.

 

Теперь посмотрим на квадраты 16-ого порядка. На рис. 7 показываю исходный идеальный квадрат 16-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”.

 

 

Рис. 7

 

На рис. 8 показан первый латинский квадрат, на рис. 9 – второй латинский квадрат. Из этих двух обобщённых ортогональных латинских квадратов построен идеальный квадрат с рис. 7 по формуле [1].

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 9

 

А теперь построим идеальный квадрат из этих же латинских квадратов, но по формуле [2]. Полученный квадрат изображён на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

Преобразую этот квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Вот такой получился оригинальный квадрат! Как видите, начальная цепочка в этом квадрате не строится ходом шахматного коня. Не имеет она и линейную форму, как в идеальном квадрате 12-ого порядка (рис. 1). С точки зрения метода качелей мы имеем другие шаги качания качелей, нежели в идеальном квадрате с рис. 7. В квадрате с рис. 7 качели качаются так: через 1 ячейку влево, через 13 ячеек вправо (1+13), в квадрате с рис. 11 качели качаются так: через 5 ячеек влево, через 9 ячеек вправо (5+9).

 

Примечание: поясню для тех читателей, кто не знакомился с методом качелей, как определяются шаги качания качелей. Смотрим на квадрат с рис. 11. Начинаем с нижней строки квадрата. В этой строке стоит число 4 из начальной цепочки (начальная цепочка – это первые n чисел, n – порядок квадрата). Двигаемся вверх, к следующей строке, в этой строке стоит число 13 из начальной цепочки, от числа 4 до числа 13 надо пройти 5 ячеек влево. Далее, в следующей строке стоит число 16 из начальной цепочки. От числа 13 до числа 16 надо пройти вправо 9 ячеек. Дальше всё повторяется: 5 ячеек влево, 9 ячеек вправо, поэтому метод и получил название качелей.

 

Думаю, интересно показать образующую таблицу этого идеального квадрата, если бы он строился методом качелей. Смотрите эту таблицу на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Напомню, что при построении идеального квадрата с рис. 10 первым латинским квадратом служил латинский квадрат с рис. 9. Преобразуем этот латинский квадрат точно так, как мы преобразовали идеальный квадрат с рис. 10 (поворот на 90 градусов и отражение). Полученный латинский квадрат (смотрите его на рис. 13) будет первым латинским квадратом при построении идеального квадрата с рис. 11.

 

 

Рис. 13

 

Сравните этот латинский квадрат с образующей таблицей (рис. 12) и с идеальным квадратом (рис. 11). В первой строке латинского квадрата стоят номера циклов качания качелей в точном соответствии с образующей таблицей (смотрите нижнюю строку в образующей таблице). И далее латинский квадрат заполняется в точном соответствии с номерами циклов качания качелей. Смотрите соответствующую раскраску циклов качания качелей в идеальном квадрате и в латинском квадрате. Таким образом, связь точно такая же, как для идеальных квадратов группы с начальной цепочкой “ход конём”.

 

Перехожу к идеальному квадрату 20-ого порядка. На рис. 14 вы видите идеальный квадрат 20-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”.

 

 

Рис. 14

 

Не буду показывать обобщённые ортогональные латинские квадраты, из которых этот идеальный квадрат построен. Читатели легко могут получить их разложением самого идеального квадрата на латинские квадраты.

А теперь построим идеальный квадрат из тех же латинских квадратов, из которых построен идеальный квадрат с рис. 14, но поменяем латинские квадраты местами, то есть используем такую формулу:

 

c_ij = 20*b_ij + a_ij + 1

 

где a_ij – элементы первого латинского квадрата,  b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – соответствующие элементы идеального квадрата.

 

Полученный идеальный квадрат 20-ого порядка вы видите на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Примечание: квадрат я сразу преобразовала (поворот на 90 градусов и отражение).

 

Всё получилось аналогично квадратам 16-ого порядка. Произошло изменение шагов качания качелей; в этом идеальном квадрате шаги качания качелей такие: через 5 ячеек вправо, через 13 ячеек влево (сравните с шагами качания качелей в идеальном квадрате с рис. 14). Вы можете составить образующую таблицу этого квадрата для построения его методом качелей. Далее по номерам циклов качания качелей составьте первый латинский квадрат, используемый для построения этого идеального квадрата, и сравните его с идеальным квадратом.

 

Я ожидала получить в этой группе идеальных квадратов 20-ого порядка линейную начальную цепочку. Однако моё предположение не оправдалось. Может быть, в идеальном квадрате 24-ого порядка, построенном таким способом, будет линейная начальная цепочка? Надо проверить.

 

***

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid2.htm был построен следующий идеальный квадрат 24-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” [из обратимого квадрата] (рис. 16):

 

 

Рис. 16

 

Разложу этот квадрат на два латинских квадрата, а затем построю из этих латинских квадратов новый идеальный квадрат, поменяв их местами. Получившийся идеальный квадрат вы видите на рис. 17 (квадрат перенесён на торе так, что он опять начинается с числа 2).

 

 

Рис. 17

 

Ожидаемая форма линейной начальной цепочки получилась!

 

МЕНЯЕМ МЕСТАМИ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ В ДРУГИХ ГРУППАХ

 

Теперь посмотрим на идеальные квадраты других групп (с начальной цепочкой, не имеющей форму “ход конём”), построенные таким же способом.

 

Пример 1

 

 

Рис. 18

 

Показываю на рис. 19 и на рис. 20 первый и второй латинские квадраты, из которых построен изображённый на рис. 18 идеальный квадрат.

 

 

Рис. 19

 

 

 

Рис. 20

 

А теперь строю идеальный квадрат из этих двух латинских квадратов, поменяв их местами. Получившийся идеальный квадрат вы видите на рис. 21.

 

 

Рис. 21

 

Предлагаю читателям самостоятельно сравнить новый идеальный квадрат с идеальным квадратом на рис. 18.

 

Пример 2

 

Теперь предлагаю вашему вниманию идеальный квадрат 16-ого порядка, построенный из пандиагонального квадрата Франклина (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Разложение этого идеального квадрата на латинские квадраты вы можете посмотреть в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latch.htm

Строим новый идеальный квадрат, меняя местами латинские квадраты. Получившийся идеальный квадрат показан на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Получился оригинальный идеальный квадрат с начальной цепочкой, не имеющей ничего общего со всеми ранее встречающимися начальными цепочками в идеальных квадратах чётно-чётного порядка.

 

Пример 3

 

И, наконец, покажу идеальный квадрат, о котором я совсем забыла, когда рассматривала метод построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка с помощью латинских квадратов. Это тоже идеальный квадрат 16-ого порядка, а построен он методом построения идеальных квадратов порядка n=k^p при k=4, p=2. Воспроизведу этот идеальный квадрат (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Этот квадрат построен в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idealst.htm

Посмотрите, какая оригинальная начальная цепочка в этом идеальном квадрате. Разложу теперь этот идеальный квадрат на два латинских квадрата, что само по себе интересно. А потом построю новый идеальный квадрат, поменяв местами первый и второй латинские квадраты. На рис. 25 и рис. 26 изображены первый и второй латинские квадраты, полученные разложением идеального квадрата с рис. 24.

 

 

Рис. 25

 

 

Рис. 26

 

Оригинальные (обобщённые ортогональные) латинские квадраты! Как и для всех идеальных квадратов 16-ого порядка, рассмотренных ранее, эти латинские квадраты являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 120. На рис. 27 вы видите идеальный квадрат, построенный из этих же латинских квадратов, только они поменялись местами.

 

 

Рис. 27

 

Очевидно, что новый идеальный квадрат получается из исходного идеального квадрата с рис. 24 перестановкой строк и столбцов.

 

А ЧТО В ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА?

 

Интересно посмотреть, что получится, если описанным методом построить идеальный квадрат нечётного порядка. Возьмём для примера идеальный квадрат 9-ого порядка (рис. 28).

 

 

Рис. 28

 

На рис. 29 вы видите идеальный квадрат, построенный из двух латинских квадратов, соответствующих квадрату с рис. 28, но переставленных.

 

 

Рис. 29

 

Построенный квадрат получается из исходного идеального квадрата отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Этого и следовало ожидать, потому что второй латинский квадрат в этом примере получается из первого тоже отражением относительно горизонтальной оси симметрии.

 

И ещё один идеальный квадрат 9-ого порядка посмотрим. В этом квадрате очень оригинальная начальная цепочка (рис. 30).

 

 

                                                                      Рис. 30

 

Пропускаю латинские квадраты, на которые раскладывается этот идеальный квадрат. Сразу показываю новый идеальный квадрат, который построила, поменяв местами эти латинские квадраты (рис. 31).

 

 

Рис. 31

 

В этом примере получился оригинальный квадрат с начальной цепочкой другой интересной формы.

 

Заинтересовавшиеся читатели могут продолжить построение идеальных квадратов как нечётного, так и чётно-чётного порядка описанным методом.

Желаю интересных находок!

 

***

 

Читайте мою книгу “Волшебный мир магических квадратов”

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

29 июля - 2 августа 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу