НЕТРАДИЦИОННЫЕ ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Когда я писала статью “Нетрадиционные магические квадраты”, мне ещё не встретился термин “идеальные квадраты”. Напомню, что под идеальным магическим квадратом понимается магический квадрат, который одновременно ассоциативный и пандиагональный.

В статье “Метод построения идеальных квадратов порядка n=k^p” я показала несколько нетрадиционных идеальных квадратов. А потом заглянула в статью о нетрадиционных квадратах и увидела там ещё несколько идеальных квадратов, а также таких, которые можно легко превратить в идеальные. И решила написать эту статью.

 

Начну с самого первого квадрата, это нетрадиционный квадрат пятого порядка, построенный методом террас. Вы видите его на рис. 1.

 

 

                                                      Рис. 1

 

Этот квадрат заполнен нечётными числами от 1 до 49. Как и всякий квадрат, построенный методом террас, он ассоциативен в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Именно в таком смысле понимается ассоциативность нетрадиционного магического квадрата нечётного порядка всюду (далее в статье). Магическая константа квадрата равна 125.

А теперь очень легко превращаю этот квадрат в идеальный перестановкой столбцов с шагом 1, то есть через 1 столбец. Идеальный квадрат вы видите на рис. 2.

 

 

                                                      Рис. 2

 

Точно так же можно превратить в идеальный любой нетрадиционный ассоциативный квадрат, построенный методом террас. Как известно, методом террас строятся квадраты нечётного порядка.

 

Теперь покажу удивительный идеальный нетрадиционный квадрат шестого порядка. Как известно, не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных (а значит, ни идеальных) традиционных квадратов шестого порядка. А вот нетрадиционный ассоциативный и пандиагональный квадрат я нашла очень давно в журнале “Наука и жизнь” (см. № 9, 1979 г., стр. 110). Об этом квадрате подробно рассказано в статье “Нетрадиционные магические квадраты”. Вы видите этот замечательный квадрат на рис. 3.

Квадрат является ассоциативным в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу. Именно в таком смысле всюду (далее в статье) понимается ассоциативность нетрадиционного магического квадрата чётного порядка.

Кроме того, квадрат пандиагональный. Следовательно, он является идеальным. Магическая константа квадрата равна 150.

 

 

 

                                                                          Рис. 3

 

А вот идеальный квадрат четвёртого порядка мне нигде не встречался. Я могу составить такой квадрат только с повторяющимися числами (рис. 4). Однако интересно построить идеальный квадрат четвёртого порядка, заполненный разными числами, как показанный идеальный квадрат шестого порядка. Предлагаю эту задачу читателям.

 

 

                                                                          Рис. 4

 

Теперь покажу нетрадиционные идеальные квадраты 7-ого порядка, которые я построила в статье о нетрадиционных квадратах. Смотрите рис. 5, 6.

 

 

                                                                           Рис. 5

 

 

 

                                                     Рис. 6

 

Нетрадиционный идеальный квадрат 8-ого порядка можно получить, прибавив ко всем числам в ячейках традиционного идеального квадрата одно и то же натуральное число. На рис. 7 вы видите пример нетрадиционного идеального квадрата 8-ого порядка.

 

 

                                                                           Рис. 7

 

Нетрадиционный идеальный квадрат 9-ого порядка, как я уже сказала, легко можно построить методом террас.

А вот нетрадиционный идеальный квадрат 10-ого порядка построить не так просто. Предлагаю эту задачу читателям. Очень интересная задача! Ведь, как и в случае с квадратом шестого порядка, для традиционных квадратов 10-ого порядка не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных. Так что построение нетрадиционного идеального квадрата 10-ого порядка – интересная и сложная задача.

 

Если у вас имеется нетрадиционный идеальный квадрат какого-либо порядка n=k, то вы легко можете построить нетрадиционный идеальный квадрат порядка n=k² методом построения составных квадратов. Например, на базе квадрата с рис. 2 (он же служит и основным квадратом) вы легко построите нетрадиционный идеальный квадрат 25-ого порядка. Ну, как известно, традиционные идеальные квадраты 25-ого порядка тоже существуют и построены. Поэтому любой традиционный идеальный квадрат можно превратить в нетрадиционный простым прибавлением ко всем числам в ячейках одного и того же натурального числа.

Понятно, что методом построения составных квадратов вы можете построить любой нетрадиционный идеальный квадрат порядка n=k*m, если у вас имеются нетрадиционные идеальные квадраты порядков n=k и n=m. Например, очень интересен нетрадиционный идеальный квадрат 30-ого порядка, построенный на базе нетрадиционного квадрата пятого порядка, в качестве основного берётся нетрадиционный идеальный квадрат шестого порядка. Можно поменять местами базовый и основной квадраты. А ещё можно в качестве базового квадрата взять традиционный идеальный квадрат пятого порядка, основным по-прежнему будет нетрадиционный идеальный квадрат шестого порядка. Пожалуй, я покажу построение нетрадиционного идеального квадрата 30-ого порядка. В качестве базового возьму традиционный идеальный квадрат пятого порядка (см. рис. 8), а в качестве основного квадрат с рис. 3.

 

 

                                                      Рис. 8

 

На рис. 9 вы видите матрицу для построения составного идеального квадрата 30-ого порядка.

 

 

                                                      Рис. 9

 

Далее показан нетрадиционный идеальный квадрат 30-ого порядка в том виде, как он записан в файл программой.

 

1  47  6  48  5  43  793  839  798  840  797  835  325  371  330  372  329  367  469  515  474  516  473  511  577  623  582  624  581  619

 35  17  30  16  31  21  827  809  822  808  823  813  359  341  354  340  355  345  503  485  498  484  499  489  611  593  606  592  607  597

 36  12  41  13  40  8  828  804  833  805  832  800  360  336  365  337  364  332  504  480  509  481  508  476  612  588  617  589  616  584

 42  10  37  9  38  14  834  802  829  801  830  806  366  334  361  333  362  338  510  478  505  477  506  482  618  586  613  585  614  590

 29  19  34  20  33  15  821  811  826  812  825  807  353  343  358  344  357  339  497  487  502  488  501  483  605  595  610  596  609  591

 7  45  2  44  3  49  799  837  794  836  795  841  331  369  326  368  327  373  475  513  470  512  471  517  583  621  578  620  579  625

 505  551  510  552  509  547  649  695  654  696  653  691  37  83  42  84  41  79  721  767  726  768  725  763  253  299  258  300  257  295

 539  521  534  520  535  525  683  665  678  664  679  669  71  53  66  52  67  57  755  737  750  736  751  741  287  269  282  268  283  273

 540  516  545  517  544  512  684  660  689  661  688  656  72  48  77  49  76  44  756  732  761  733  760  728  288  264  293  265  292  260

 546  514  541  513  542  518  690  658  685  657  686  662  78  46  73  45  74  50  762  730  757  729  758  734  294  262  289  261  290  266

 533  523  538  524  537  519  677  667  682  668  681  663  65  55  70  56  69  51  749  739  754  740  753  735  281  271  286  272  285  267

 511  549  506  548  507  553  655  693  650  692  651  697  43  81  38  80  39  85  727  765  722  764  723  769  259  297  254  296  255  301

 757  803  762  804  761  799  181  227  186  228  185  223  433  479  438  480  437  475  685  731  690  732  689  727  109  155  114  156  113  151

 791  773  786  772  787  777  215  197  210  196  211  201  467  449  462  448  463  453  719  701  714  700  715  705  143  125  138  124  139  129

 792  768  797  769  796  764  216  192  221  193  220  188  468  444  473  445  472  440  720  696  725  697  724  692  144  120  149  121  148  116

 798  766  793  765  794  770  222  190  217  189  218  194  474  442  469  441  470  446  726  694  721  693  722  698  150  118  145  117  146  122

 785  775  790  776  789  771  209  199  214  200  213  195  461  451  466  452  465  447  713  703  718  704  717  699  137  127  142  128  141  123

 763  801  758  800  759  805  187  225  182  224  183  229  439  477  434  476  435  481  691  729  686  728  687  733  115  153  110  152  111  157

 613  659  618  660  617  655  145  191  150  192  149  187  829  875  834  876  833  871  217  263  222  264  221  259  361  407  366  408  365  403

 647  629  642  628  643  633  179  161  174  160  175  165  863  845  858  844  859  849  251  233  246  232  247  237  395  377  390  376  391  381

 648  624  653  625  652  620  180  156  185  157  184  152  864  840  869  841  868  836  252  228  257  229  256  224  396  372  401  373  400  368

 654  622  649  621  650  626  186  154  181  153  182  158  870  838  865  837  866  842  258  226  253  225  254  230  402  370  397  369  398  374

 641  631  646  632  645  627  173  163  178  164  177  159  857  847  862  848  861  843  245  235  250  236  249  231  389  379  394  380  393  375

 619  657  614  656  615  661  151  189  146  188  147  193  835  873  830  872  831  877  223  261  218  260  219  265  367  405  362  404  363  409

 289  335  294  336  293  331  397  443  402  444  401  439  541  587  546  588  545  583  73  119  78  120  77  115  865  911  870  912  869  907

 323  305  318  304  319  309  431  413  426  412  427  417  575  557  570  556  571  561  107  89  102  88  103  93  899  881  894  880  895  885

 324  300  329  301  328  296  432  408  437  409  436  404  576  552  581  553  580  548  108  84  113  85  112  80  900  876  905  877  904  872

 330  298  325  297  326  302  438  406  433  405  434  410  582  550  577  549  578  554  114  82  109  81  110  86  906  874  901  873  902  878

 317  307  322  308  321  303  425  415  430  416  429  411  569  559  574  560  573  555  101  91  106  92  105  87  893  883  898  884  897  879

 295  333  290  332  291  337  403  441  398  440  399  445  547  585  542  584  543  589  79  117  74  116  75  121  871  909  866  908  867  913

 

К сожалению, в этом квадрате есть повторяющиеся числа. Чтобы устранить этот изъян, поменяем местами базовый и основной квадраты. Нетрадиционный идеальный квадрат 30-ого порядка получится такой:

 

1  23  10  14  17  1151  1173  1160  1164  1167  126  148  135  139  142  1176  1198  1185  1189  1192  101  123  110  114  117  1051  1073  1060  1064  1067

 15  19  2  21  8  1165  1169  1152  1171  1158  140  144  127  146  133  1190  1194  1177  1196  1183  115  119  102  121  108  1065  1069  1052  1071  1058

 22  6  13  20  4  1172  1156  1163  1170  1154  147  131  138  145  129  1197  1181  1188  1195  1179  122  106  113  120  104  1072  1056  1063  1070  1054

 18  5  24  7  11  1168  1155  1174  1157  1161  143  130  149  132  136  1193  1180  1199  1182  1186  118  105  124  107  111  1068  1055  1074  1057  1061

 9  12  16  3  25  1159  1162  1166  1153  1175  134  137  141  128  150  1184  1187  1191  1178  1200  109  112  116  103  125  1059  1062  1066  1053  1075

 851  873  860  864  867  401  423  410  414  417  726  748  735  739  742  376  398  385  389  392  751  773  760  764  767  501  523  510  514  517

 865  869  852  871  858  415  419  402  421  408  740  744  727  746  733  390  394  377  396  383  765  769  752  771  758  515  519  502  521  508

 872  856  863  870  854  422  406  413  420  404  747  731  738  745  729  397  381  388  395  379  772  756  763  770  754  522  506  513  520  504

 868  855  874  857  861  418  405  424  407  411  743  730  749  732  736  393  380  399  382  386  768  755  774  757  761  518  505  524  507  511

 859  862  866  853  875  409  412  416  403  425  734  737  741  728  750  384  387  391  378  400  759  762  766  753  775  509  512  516  503  525

 876  898  885  889  892  276  298  285  289  292  1001  1023  1010  1014  1017  301  323  310  314  317  976  998  985  989  992  176  198  185  189  192

 890  894  877  896  883  290  294  277  296  283  1015  1019  1002  1021  1008  315  319  302  321  308  990  994  977  996  983  190  194  177  196  183

 897  881  888  895  879  297  281  288  295  279  1022  1006  1013  1020  1004  322  306  313  320  304  997  981  988  995  979  197  181  188  195  179

 893  880  899  882  886  293  280  299  282  286  1018  1005  1024  1007  1011  318  305  324  307  311  993  980  999  982  986  193  180  199  182  186

 884  887  891  878  900  284  287  291  278  300  1009  1012  1016  1003  1025  309  312  316  303  325  984  987  991  978  1000  184  187  191  178  200

 1026  1048  1035  1039  1042  226  248  235  239  242  901  923  910  914  917  201  223  210  214  217  926  948  935  939  942  326  348  335  339  342

 1040  1044  1027  1046  1033  240  244  227  246  233  915  919  902  921  908  215  219  202  221  208  940  944  927  946  933  340  344  327  346  333

 1047  1031  1038  1045  1029  247  231  238  245  229  922  906  913  920  904  222  206  213  220  204  947  931  938  945  929  347  331  338  345  329

 1043  1030  1049  1032  1036  243  230  249  232  236  918  905  924  907  911  218  205  224  207  211  943  930  949  932  936  343  330  349  332  336

 1034  1037  1041  1028  1050  234  237  241  228  250  909  912  916  903  925  209  212  216  203  225  934  937  941  928  950  334  337  341  328  350

 701  723  710  714  717  451  473  460  464  467  826  848  835  839  842  476  498  485  489  492  801  823  810  814  817  351  373  360  364  367

 715  719  702  721  708  465  469  452  471  458  840  844  827  846  833  490  494  477  496  483  815  819  802  821  808  365  369  352  371  358

 722  706  713  720  704  472  456  463  470  454  847  831  838  845  829  497  481  488  495  479  822  806  813  820  804  372  356  363  370  354

 718  705  724  707  711  468  455  474  457  461  843  830  849  832  836  493  480  499  482  486  818  805  824  807  811  368  355  374  357  361

 709  712  716  703  725  459  462  466  453  475  834  837  841  828  850  484  487  491  478  500  809  812  816  803  825  359  362  366  353  375

 151  173  160  164  167  1101  1123  1110  1114  1117  26  48  35  39  42  1076  1098  1085  1089  1092  51  73  60  64  67  1201  1223  1210  1214  1217

 165  169  152  171  158  1115  1119  1102  1121  1108  40  44  27  46  33  1090  1094  1077  1096  1083  65  69  52  71  58  1215  1219  1202  1221  1208

 172  156  163  170  154  1122  1106  1113  1120  1104  47  31  38  45  29  1097  1081  1088  1095  1079  72  56  63  70  54  1222  1206  1213  1220  1204

 168  155  174  157  161  1118  1105  1124  1107  1111  43  30  49  32  36  1093  1080  1099  1082  1086  68  55  74  57  61  1218  1205  1224  1207  1211

 159  162  166  153  175  1109  1112  1116  1103  1125  34  37  41  28  50  1084  1087  1091  1078  1100  59  62  66  53  75  1209  1212  1216  1203  1225

 

Этот квадрат не содержит одинаковых чисел. Его магическая константа равна 18390. Он ассоциативный и пандиагональный, следовательно, идеальный.

 

Последнее замечание: если у вас имеется нетрадиционный ассоциативный квадрат порядка n=k, вы легко можете построить нетрадиционный идеальный квадрат порядка n=k^p, p=2, 3, 4… Об этом подробно рассказано в статье “Метод построения идеальных квадратов порядка n=k^p ”.

 

                                                           ***

 

3 мая 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу