МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=k^p

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

Работая над задачей построения идеального квадрата 12-ого порядка, который пока так и не построился, я вспомнила придуманный мной метод построения идеальных квадратов порядка n=3^p, p=2, 3, 4… В статье “Идеальные квадраты порядков кратных 9” подробно описан этот метод и построены идеальные квадраты 9-ого, 27-ого и 81-ого порядков.

 

Метод очень простой. Напомню построение идеального квадрата 9-ого порядка. Сначала строится составной ассоциативный квадрат на базе магического квадрата третьего порядка, он же берётся в качестве основного (хотя можно взять в качестве основного другой вариант магического квадрата третьего порядка). На рис. 1 воспроизвожу составной ассоциативный квадрат 9-ого порядка.

 

 

 

                                                        Рис. 1

 

А теперь в этом квадрате делаем перестановку строк по очень простой схеме – с шагом 2, то есть через 2 столбца. Ещё проще можно объяснить эту схему перестановки так: на рис. 2 вы видите три секции, содержащие по три столбца. В первой секции помещаются первые столбцы из каждой такой же секции исходного квадрата, во второй секции – вторые столбцы из каждой секции исходного квадрата, и в третьей секции – третьи столбцы. Всё очень просто и легко запоминается. И вот он – идеальный квадрат (рис. 2)!

 

 

 

                                                                     Рис. 2

 

Интересно отметить, что точно так же можно переставить и строки, схема такая же. На рис. 3 вы видите идеальный квадрат, полученный перестановкой строк.

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

                                                                        ***

 

Примечание: можете ли вы превратить идеальный квадрат с рис 2 или с рис. 3 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата)? Я делаю это очень просто: параллельный перенос на торе, отражение относительно вертикальной оси симметрии и применение преобразования “строки-диагонали”. И вот перед вами идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (рис. 3а); я преобразовала квадрат с рис 3.

 

 

 

                                                                      Рис. 3а

 

Посмотрите, как интересно трансформировалась начальная цепочка. Люблю магические квадраты, начинающиеся с числа 1! На мой взгляд, они самые прекрасные.

Кстати, в моих планах написание статьи “Преобразования магических квадратов”.

 

                                                                        ***

 

Когда я придумала этот метод, работая над задачей построения идеального квадрата 9-ого порядка, мне в голову не пришла мысль попробовать этот метод для квадрата 16-ого порядка, потому что в то время я считала, что идеальные квадраты существуют только нечётного порядка.

И вот теперь опробовала этот метод на квадрате 16-ого порядка. Всё получилось! На рис. 4 показываю составной ассоциативный квадрат 16-ого порядка, построенный на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка (он же взят в качестве основного).

 

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Здесь перестановку надо делать с шагом 3, то есть через 3 столбца. Или точно так же заполнять столбцами секции. На рис. 4 и на рис. 5 выделены эти секции, здесь их будет 4. В первой секции помещаются все первые столбцы секций исходного квадрата, во второй секции – все вторые столбцы и так далее. На рис. 5 вы видите готовый идеальный квадрат 16-ого порядка. Хотя идеальный квадрат 16-ого порядка я уже построила другим способом (из пандиагонального квадрата Франклина), тем не менее, этот экземпляр тоже очень ценный, ибо он является принципиально новым квадратом.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Красивейший идеальный квадрат! Посмотрите, как оригинально расположилась начальная цепочка первых 16 чисел в этом квадрате (выделена розовым цветом).

Предлагаю читателям самостоятельно переставить в исходном ассоциативном квадрате с рис. 4 строки по такой же схеме. Вы получите ещё один идеальный квадрат 16-ого порядка.

Составных ассоциативных квадратов 16-ого порядка на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка можно построить очень много. Как известно, существует 48 ассоциативных квадратов четвёртого порядка. Прикиньте, сколько можно построить составных квадратов 16-ого порядка. И каждый такой квадрат очень просто превратить в идеальный описанным методом.

Далее точно так же можно построить идеальный квадрат 64-ого порядка, затем 256-ого и вообще любого порядка n=4^p, p=2, 3, 4…

Теперь берём составной ассоциативный квадрат 25-ого порядка и таким же способом превращаем его в идеальный. Но для такого порядка метод не актуален, потому что проще сразу строить идеальный квадрат на базе идеального квадрата пятого порядка (он же и основной).

 

А вот для квадрата 36-ого порядка ничего не получится, потому что ассоциативного квадрата шестого порядка не существует. Не будет работать этот метод и для квадрата 100-ого порядка, то есть вообще для таких порядков, в основании степени которых стоит число 4m+2 (m=1, 2, 3…). Следовательно, данный метод действует для порядков n=k^p, k>2 и не равно 4m+2, p=2, 3, 4…

 

                                               ***

 

26 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

      27 апреля 2008 г.

 

Покажу ещё один вариант превращения ассоциативного квадрата 9-ого порядка в идеальный. Составной ассоциативный квадрат я сейчас построила на базе магического квадрата третьего порядка, но в качестве основного взяла другой вариант магического квадрата третьего порядка. Этот ассоциативный квадрат 9-ого порядка вы видите на рис. 6.

 

 

 

                                                        Рис. 6

 

Как видите, получился совсем другой квадрат, отличный от квадрата с рис. 1. Превращаю этот квадрат в идеальный, переставляя столбцы описанным выше способом (рис. 7).

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Идеальный квадрат тоже, понятно, получился другой.

 

Ещё покажу составной идеальный квадрат 25-ого порядка, построенный на базе идеального квадрата пятого порядка (в качестве основного взят другой идеальный квадрат пятого порядка). Интересно, что в этом квадрате тоже можно переставить столбцы описанным методом и получить другой идеальный квадрат. Можно переставить так же и строки.

Итак, на рис. 8 воспроизвожу составной идеальный квадрат 25-ого порядка (он был построен в одной из моих статей). Я разделила его на 5 секций по 5 столбцов в каждой, чтобы было хорошо видно, как будут переставляться столбцы.

 

 

 

                                                                       Рис. 8

 

Посмотрите, как компактно расположилась начальная цепочка первых 25 чисел в этом квадрате. Теперь переставляю столбцы и получаю новый идеальный квадрат, который вы видите на рис. 9. Таким образом, метод применим и к идеальному составному квадрату, как частному случаю ассоциативного составного квадрата.

 

 

 

                                                    Рис. 9

 

Ну, и напомню читателям, что идеальный квадрат 25-ого порядка, как вообще любого нечётного порядка не кратного 3, можно построить методом качелей с тривиальной образующей таблицей. Это совсем просто – играючи. Доступно даже ребёнку. Попробуйте, покажите ребёнку этот квадрат, он изображён на рис. 10.

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

Раскрашивайте дальше циклы качания качелей вместе с ребёнком. А потом предложите ребёнку построить точно таким же методом квадрат 29-ого порядка. Для этого, конечно, поставьте в центральную ячейку число 421 и напишите числа начальной цепочки (первые 29 чисел).

 

Понятно, что таким методом можно построить и квадрат 125-ого порядка, и квадрат 49-ого порядка и вообще любого порядка n=k^p, k=2m+1, m=2, 3, 4…, p=2, 3, 4…  и k не равно 3t, другими словами: основание степени k нечётное число не кратное 3.

 

                                               ***

 

                                           29 апреля 2008 г.

 

Покажу читателям ещё один идеальный квадрат, построенный представленным на этой странице методом – квадрат 64-ого порядка. Напомню, что уже был показан один составной идеальный квадрат 64-ого порядка, построенный на базе идеального квадрата восьмого порядка. Теперь я сначала построю составной ассоциативный квадрат на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка (его же возьму в качестве основного), а затем с помощью перестановки столбцов по описанной выше схеме получу их него идеальный квадрат. Составной ассоциативный квадрат 64-ого порядка можно построить несколькими способами:

а) на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка, в качестве основного берётся ассоциативный квадрат 16-ого порядка;

б) на базе ассоциативного квадрата 16-ого порядка, в качестве основного берётся ассоциативный квадрат четвёртого порядка;

в) на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка, он же и основной;

г) на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка, в качестве основного берётся другой ассоциативный квадрат восьмого порядка.

Я выбрала третий способ. На рис. 11 вы видите ассоциативный квадрат восьмого порядка, который выбран мной для построения составного ассоциативного квадрата 64-ого порядка. Этот квадрат я построила, когда искала метод построения идеального квадрата 12-ого порядка, он почти идеальный, но почти – это всё же не совсем. В нём нет магических сумм всего в 4 разломанных диагоналях. А вот квадрат 64-ого порядка, который я построила на базе этого почти идеального квадрата, вполне идеальный.

 

 

                                                                      Рис. 11

 

На рис. 12 изображена матрица, с помощью которой строится составной ассоциативный квадрат 64-ого порядка.

 

 

 

                                                                      Рис. 12

 

Можно построить этот квадрат вручную, с помощью калькулятора, и столбцы затем тоже вручную переставить. Но по программе всё-таки удобнее: быстрее и надёжнее, в смысле отсутствия ошибок. Пишу программу, которая строит составной квадрат, а заодно и переставляет в построенном квадрате столбцы. Столбцы надо переставлять точно так же по секциям, будет 8 секций по 8 столбцов в каждой. В первой секции помещаются все первые столбцы из каждой секции исходного квадрата, во второй секции – все вторые столбцы из каждой секции и так далее. Это равносильно перестановке столбцов с шагом 7, то есть через 7 столбцов.

Далее привожу идеальный квадрат 64-ого порядка в том виде, как он записан в файл программой. Он представлен в двух частях, в каждой части 32 столбца. Квадрат строится по программе мгновенно.

 

Идеальный квадрат 64-ого порядка – часть 1:

 

1  3649  1345  2817  2753  1153  3969  449  58  3706  1402  2874  2810  1210  4026  506  22  3670  1366  2838  2774  1174  3990  470  45  3693  1389  2861  2797  1197  4013  493

 56  3704  1400  2872  2808  1208  4024  504  47  3695  1391  2863  2799  1199  4015  495  3  3651  1347  2819  2755  1155  3971  451  28  3676  1372  2844  2780  1180  3996  476

 24  3672  1368  2840  2776  1176  3992  472  15  3663  1359  2831  2767  1167  3983  463  35  3683  1379  2851  2787  1187  4003  483  60  3708  1404  2876  2812  1212  4028  508

 33  3681  1377  2849  2785  1185  4001  481  26  3674  1370  2842  2778  1178  3994  474  54  3702  1398  2870  2806  1206  4022  502  13  3661  1357  2829  2765  1165  3981  461

 25  3673  1369  2841  2777  1177  3993  473  34  3682  1378  2850  2786  1186  4002  482  14  3662  1358  2830  2766  1166  3982  462  53  3701  1397  2869  2805  1205  4021  501

 48  3696  1392  2864  2800  1200  4016  496  55  3703  1399  2871  2807  1207  4023  503  27  3675  1371  2843  2779  1179  3995  475  4  3652  1348  2820  2756  1156  3972  452

 16  3664  1360  2832  2768  1168  3984  464  23  3671  1367  2839  2775  1175  3991  471  59  3707  1403  2875  2811  1211  4027  507  36  3684  1380  2852  2788  1188  4004  484

 57  3705  1401  2873  2809  1209  4025  505  2  3650  1346  2818  2754  1154  3970  450  46  3694  1390  2862  2798  1198  4014  494  21  3669  1365  2837  2773  1173  3989  469

 3521  2945  129  1729  1793  321  2625  3073  3578  3002  186  1786  1850  378  2682  3130  3542  2966  150  1750  1814  342  2646  3094  3565  2989  173  1773  1837  365  2669  3117

 3576  3000  184  1784  1848  376  2680  3128  3567  2991  175  1775  1839  367  2671  3119  3523  2947  131  1731  1795  323  2627  3075  3548  2972  156  1756  1820  348  2652  3100

 3544  2968  152  1752  1816  344  2648  3096  3535  2959  143  1743  1807  335  2639  3087  3555  2979  163  1763  1827  355  2659  3107  3580  3004  188  1788  1852  380  2684  3132

 3553  2977  161  1761  1825  353  2657  3105  3546  2970  154  1754  1818  346  2650  3098  3574  2998  182  1782  1846  374  2678  3126  3533  2957  141  1741  1805  333  2637  3085

 3545  2969  153  1753  1817  345  2649  3097  3554  2978  162  1762  1826  354  2658  3106  3534  2958  142  1742  1806  334  2638  3086  3573  2997  181  1781  1845  373  2677  3125

 3568  2992  176  1776  1840  368  2672  3120  3575  2999  183  1783  1847  375  2679  3127  3547  2971  155  1755  1819  347  2651  3099  3524  2948  132  1732  1796  324  2628  3076

 3536  2960  144  1744  1808  336  2640  3088  3543  2967  151  1751  1815  343  2647  3095  3579  3003  187  1787  1851  379  2683  3131  3556  2980  164  1764  1828  356  2660  3108

 3577  3001  185  1785  1849  377  2681  3129  3522  2946  130  1730  1794  322  2626  3074  3566  2990  174  1774  1838  366  2670  3118  3541  2965  149  1749  1813  341  2645  3093

 1473  897  2177  3777  3841  2369  577  1025  1530  954  2234  3834  3898  2426  634  1082  1494  918  2198  3798  3862  2390  598  1046  1517  941  2221  3821  3885  2413  621  1069

 1528  952  2232  3832  3896  2424  632  1080  1519  943  2223  3823  3887  2415  623  1071  1475  899  2179  3779  3843  2371  579  1027  1500  924  2204  3804  3868  2396  604  1052

 1496  920  2200  3800  3864  2392  600  1048  1487  911  2191  3791  3855  2383  591  1039  1507  931  2211  3811  3875  2403  611  1059  1532  956  2236  3836  3900  2428  636  1084

 1505  929  2209  3809  3873  2401  609  1057  1498  922  2202  3802  3866  2394  602  1050  1526  950  2230  3830  3894  2422  630  1078  1485  909  2189  3789  3853  2381  589  1037

 1497  921  2201  3801  3865  2393  601  1049  1506  930  2210  3810  3874  2402  610  1058  1486  910  2190  3790  3854  2382  590  1038  1525  949  2229  3829  3893  2421  629  1077

 1520  944  2224  3824  3888  2416  624  1072  1527  951  2231  3831  3895  2423  631  1079  1499  923  2203  3803  3867  2395  603  1051  1476  900  2180  3780  3844  2372  580  1028

 1488  912  2192  3792  3856  2384  592  1040  1495  919  2199  3799  3863  2391  599  1047  1531  955  2235  3835  3899  2427  635  1083  1508  932  2212  3812  3876  2404  612  1060

 1529  953  2233  3833  3897  2425  633  1081  1474  898  2178  3778  3842  2370  578  1026  1518  942  2222  3822  3886  2414  622  1070  1493  917  2197  3797  3861  2389  597  1045

 2049  1601  3393  769  705  3201  1921  2497  2106  1658  3450  826  762  3258  1978  2554  2070  1622  3414  790  726  3222  1942  2518  2093  1645  3437  813  749  3245  1965  2541

 2104  1656  3448  824  760  3256  1976  2552  2095  1647  3439  815  751  3247  1967  2543  2051  1603  3395  771  707  3203  1923  2499  2076  1628  3420  796  732  3228  1948  2524

 2072  1624  3416  792  728  3224  1944  2520  2063  1615  3407  783  719  3215  1935  2511  2083  1635  3427  803  739  3235  1955  2531  2108  1660  3452  828  764  3260  1980  2556

 2081  1633  3425  801  737  3233  1953  2529  2074  1626  3418  794  730  3226  1946  2522  2102  1654  3446  822  758  3254  1974  2550  2061  1613  3405  781  717  3213  1933  2509

 2073  1625  3417  793  729  3225  1945  2521  2082  1634  3426  802  738  3234  1954  2530  2062  1614  3406  782  718  3214  1934  2510  2101  1653  3445  821  757  3253  1973  2549

 2096  1648  3440  816  752  3248  1968  2544  2103  1655  3447  823  759  3255  1975  2551  2075  1627  3419  795  731  3227  1947  2523  2052  1604  3396  772  708  3204  1924  2500

 2064  1616  3408  784  720  3216  1936  2512  2071  1623  3415  791  727  3223  1943  2519  2107  1659  3451  827  763  3259  1979  2555  2084  1636  3428  804  740  3236  1956  2532

 2105  1657  3449  825  761  3257  1977  2553  2050  1602  3394  770  706  3202  1922  2498  2094  1646  3438  814  750  3246  1966  2542  2069  1621  3413  789  725  3221  1941  2517

 1537  2113  833  3329  3265  641  2433  1985  1594  2170  890  3386  3322  698  2490  2042  1558  2134  854  3350  3286  662  2454  2006  1581  2157  877  3373  3309  685  2477  2029

 1592  2168  888  3384  3320  696  2488  2040  1583  2159  879  3375  3311  687  2479  2031  1539  2115  835  3331  3267  643  2435  1987  1564  2140  860  3356  3292  668  2460  2012

 1560  2136  856  3352  3288  664  2456  2008  1551  2127  847  3343  3279  655  2447  1999  1571  2147  867  3363  3299  675  2467  2019  1596  2172  892  3388  3324  700  2492  2044

 1569  2145  865  3361  3297  673  2465  2017  1562  2138  858  3354  3290  666  2458  2010  1590  2166  886  3382  3318  694  2486  2038  1549  2125  845  3341  3277  653  2445  1997

 1561  2137  857  3353  3289  665  2457  2009  1570  2146  866  3362  3298  674  2466  2018  1550  2126  846  3342  3278  654  2446  1998  1589  2165  885  3381  3317  693  2485  2037

 1584  2160  880  3376  3312  688  2480  2032  1591  2167  887  3383  3319  695  2487  2039  1563  2139  859  3355  3291  667  2459  2011  1540  2116  836  3332  3268  644  2436  1988

 1552  2128  848  3344  3280  656  2448  2000  1559  2135  855  3351  3287  663  2455  2007  1595  2171  891  3387  3323  699  2491  2043  1572  2148  868  3364  3300  676  2468  2020

 1593  2169  889  3385  3321  697  2489  2041  1538  2114  834  3330  3266  642  2434  1986  1582  2158  878  3374  3310  686  2478  2030  1557  2133  853  3349  3285  661  2453  2005

 3009  3457  1665  193  257  1857  3137  2561  3066  3514  1722  250  314  1914  3194  2618  3030  3478  1686  214  278  1878  3158  2582  3053  3501  1709  237  301  1901  3181  2605

 3064  3512  1720  248  312  1912  3192  2616  3055  3503  1711  239  303  1903  3183  2607  3011  3459  1667  195  259  1859  3139  2563  3036  3484  1692  220  284  1884  3164  2588

 3032  3480  1688  216  280  1880  3160  2584  3023  3471  1679  207  271  1871  3151  2575  3043  3491  1699  227  291  1891  3171  2595  3068  3516  1724  252  316  1916  3196  2620

 3041  3489  1697  225  289  1889  3169  2593  3034  3482  1690  218  282  1882  3162  2586  3062  3510  1718  246  310  1910  3190  2614  3021  3469  1677  205  269  1869  3149  2573

 3033  3481  1689  217  281  1881  3161  2585  3042  3490  1698  226  290  1890  3170  2594  3022  3470  1678  206  270  1870  3150  2574  3061  3509  1717  245  309  1909  3189  2613

 3056  3504  1712  240  304  1904  3184  2608  3063  3511  1719  247  311  1911  3191  2615  3035  3483  1691  219  283  1883  3163  2587  3012  3460  1668  196  260  1860  3140  2564

 3024  3472  1680  208  272  1872  3152  2576  3031  3479  1687  215  279  1879  3159  2583  3067  3515  1723  251  315  1915  3195  2619  3044  3492  1700  228  292  1892  3172  2596

 3065  3513  1721  249  313  1913  3193  2617  3010  3458  1666  194  258  1858  3138  2562  3054  3502  1710  238  302  1902  3182  2606  3029  3477  1685  213  277  1877  3157  2581

 961  1409  3713  2241  2305  3905  1089  513  1018  1466  3770  2298  2362  3962  1146  570  982  1430  3734  2262  2326  3926  1110  534  1005  1453  3757  2285  2349  3949  1133  557

 1016  1464  3768  2296  2360  3960  1144  568  1007  1455  3759  2287  2351  3951  1135  559  963  1411  3715  2243  2307  3907  1091  515  988  1436  3740  2268  2332  3932  1116  540

 984  1432  3736  2264  2328  3928  1112  536  975  1423  3727  2255  2319  3919  1103  527  995  1443  3747  2275  2339  3939  1123  547  1020  1468  3772  2300  2364  3964  1148  572

 993  1441  3745  2273  2337  3937  1121  545  986  1434  3738  2266  2330  3930  1114  538  1014  1462  3766  2294  2358  3958  1142  566  973  1421  3725  2253  2317  3917  1101  525

 985  1433  3737  2265  2329  3929  1113  537  994  1442  3746  2274  2338  3938  1122  546  974  1422  3726  2254  2318  3918  1102  526  1013  1461  3765  2293  2357  3957  1141  565

 1008  1456  3760  2288  2352  3952  1136  560  1015  1463  3767  2295  2359  3959  1143  567  987  1435  3739  2267  2331  3931  1115  539  964  1412  3716  2244  2308  3908  1092  516

 976  1424  3728  2256  2320  3920  1104  528  983  1431  3735  2263  2327  3927  1111  535  1019  1467  3771  2299  2363  3963  1147  571  996  1444  3748  2276  2340  3940  1124  548

 1017  1465  3769  2297  2361  3961  1145  569  962  1410  3714  2242  2306  3906  1090  514  1006  1454  3758  2286  2350  3950  1134  558  981  1429  3733  2261  2325  3925  1109  533

 3585  65  2881  1281  1217  2689  385  4033  3642  122  2938  1338  1274  2746  442  4090  3606  86  2902  1302  1238  2710  406  4054  3629  109  2925  1325  1261  2733  429  4077

 3640  120  2936  1336  1272  2744  440  4088  3631  111  2927  1327  1263  2735  431  4079  3587  67  2883  1283  1219  2691  387  4035  3612  92  2908  1308  1244  2716  412  4060

 3608  88  2904  1304  1240  2712  408  4056  3599  79  2895  1295  1231  2703  399  4047  3619  99  2915  1315  1251  2723  419  4067  3644  124  2940  1340  1276  2748  444  4092

 3617  97  2913  1313  1249  2721  417  4065  3610  90  2906  1306  1242  2714  410  4058  3638  118  2934  1334  1270  2742  438  4086  3597  77  2893  1293  1229  2701  397  4045

 3609  89  2905  1305  1241  2713  409  4057  3618  98  2914  1314  1250  2722  418  4066  3598  78  2894  1294  1230  2702  398  4046  3637  117  2933  1333  1269  2741  437  4085

 3632  112  2928  1328  1264  2736  432  4080  3639  119  2935  1335  1271  2743  439  4087  3611  91  2907  1307  1243  2715  411  4059  3588  68  2884  1284  1220  2692  388  4036

 3600  80  2896  1296  1232  2704  400  4048  3607  87  2903  1303  1239  2711  407  4055  3643  123  2939  1339  1275  2747  443  4091  3620  100  2916  1316  1252  2724  420  4068

 3641  121  2937  1337  1273  2745  441  4089  3586  66  2882  1282  1218  2690  386  4034  3630  110  2926  1326  1262  2734  430  4078  3605  85  2901  1301  1237  2709  405  4053

 

Идеальный квадрат 64-ого порядка – часть 2:

 

 44  3692  1388  2860  2796  1196  4012  492  19  3667  1363  2835  2771  1171  3987  467  63  3711  1407  2879  2815  1215  4031  511  8  3656  1352  2824  2760  1160  3976  456

 29  3677  1373  2845  2781  1181  3997  477  6  3654  1350  2822  2758  1158  3974  454  42  3690  1386  2858  2794  1194  4010  490  49  3697  1393  2865  2801  1201  4017  497

 61  3709  1405  2877  2813  1213  4029  509  38  3686  1382  2854  2790  1190  4006  486  10  3658  1354  2826  2762  1162  3978  458  17  3665  1361  2833  2769  1169  3985  465

 12  3660  1356  2828  2764  1164  3980  460  51  3699  1395  2867  2803  1203  4019  499  31  3679  1375  2847  2783  1183  3999  479  40  3688  1384  2856  2792  1192  4008  488

 52  3700  1396  2868  2804  1204  4020  500  11  3659  1355  2827  2763  1163  3979  459  39  3687  1383  2855  2791  1191  4007  487  32  3680  1376  2848  2784  1184  4000  480

 5  3653  1349  2821  2757  1157  3973  453  30  3678  1374  2846  2782  1182  3998  478  50  3698  1394  2866  2802  1202  4018  498  41  3689  1385  2857  2793  1193  4009  489

 37  3685  1381  2853  2789  1189  4005  485  62  3710  1406  2878  2814  1214  4030  510  18  3666  1362  2834  2770  1170  3986  466  9  3657  1353  2825  2761  1161  3977  457

 20  3668  1364  2836  2772  1172  3988  468  43  3691  1387  2859  2795  1195  4011  491  7  3655  1351  2823  2759  1159  3975  455  64  3712  1408  2880  2816  1216  4032  512

 3564  2988  172  1772  1836  364  2668  3116  3539  2963  147  1747  1811  339  2643  3091  3583  3007  191  1791  1855  383  2687  3135  3528  2952  136  1736  1800  328  2632  3080

 3549  2973  157  1757  1821  349  2653  3101  3526  2950  134  1734  1798  326  2630  3078  3562  2986  170  1770  1834  362  2666  3114  3569  2993  177  1777  1841  369  2673  3121

 3581  3005  189  1789  1853  381  2685  3133  3558  2982  166  1766  1830  358  2662  3110  3530  2954  138  1738  1802  330  2634  3082  3537  2961  145  1745  1809  337  2641  3089

 3532  2956  140  1740  1804  332  2636  3084  3571  2995  179  1779  1843  371  2675  3123  3551  2975  159  1759  1823  351  2655  3103  3560  2984  168  1768  1832  360  2664  3112

 3572  2996  180  1780  1844  372  2676  3124  3531  2955  139  1739  1803  331  2635  3083  3559  2983  167  1767  1831  359  2663  3111  3552  2976  160  1760  1824  352  2656  3104

 3525  2949  133  1733  1797  325  2629  3077  3550  2974  158  1758  1822  350  2654  3102  3570  2994  178  1778  1842  370  2674  3122  3561  2985  169  1769  1833  361  2665  3113

 3557  2981  165  1765  1829  357  2661  3109  3582  3006  190  1790  1854  382  2686  3134  3538  2962  146  1746  1810  338  2642  3090  3529  2953  137  1737  1801  329  2633  3081

 3540  2964  148  1748  1812  340  2644  3092  3563  2987  171  1771  1835  363  2667  3115  3527  2951  135  1735  1799  327  2631  3079  3584  3008  192  1792  1856  384  2688  3136

 1516  940  2220  3820  3884  2412  620  1068  1491  915  2195  3795  3859  2387  595  1043  1535  959  2239  3839  3903  2431  639  1087  1480  904  2184  3784  3848  2376  584  1032

 1501  925  2205  3805  3869  2397  605  1053  1478  902  2182  3782  3846  2374  582  1030  1514  938  2218  3818  3882  2410  618  1066  1521  945  2225  3825  3889  2417  625  1073

 1533  957  2237  3837  3901  2429  637  1085  1510  934  2214  3814  3878  2406  614  1062  1482  906  2186  3786  3850  2378  586  1034  1489  913  2193  3793  3857  2385  593  1041

 1484  908  2188  3788  3852  2380  588  1036  1523  947  2227  3827  3891  2419  627  1075  1503  927  2207  3807  3871  2399  607  1055  1512  936  2216  3816  3880  2408  616  1064

 1524  948  2228  3828  3892  2420  628  1076  1483  907  2187  3787  3851  2379  587  1035  1511  935  2215  3815  3879  2407  615  1063  1504  928  2208  3808  3872  2400  608  1056

 1477  901  2181  3781  3845  2373  581  1029  1502  926  2206  3806  3870  2398  606  1054  1522  946  2226  3826  3890  2418  626  1074  1513  937  2217  3817  3881  2409  617  1065

 1509  933  2213  3813  3877  2405  613  1061  1534  958  2238  3838  3902  2430  638  1086  1490  914  2194  3794  3858  2386  594  1042  1481  905  2185  3785  3849  2377  585  1033

 1492  916  2196  3796  3860  2388  596  1044  1515  939  2219  3819  3883  2411  619  1067  1479  903  2183  3783  3847  2375  583  1031  1536  960  2240  3840  3904  2432  640  1088

 2092  1644  3436  812  748  3244  1964  2540  2067  1619  3411  787  723  3219  1939  2515  2111  1663  3455  831  767  3263  1983  2559  2056  1608  3400  776  712  3208  1928  2504

 2077  1629  3421  797  733  3229  1949  2525  2054  1606  3398  774  710  3206  1926  2502  2090  1642  3434  810  746  3242  1962  2538  2097  1649  3441  817  753  3249  1969  2545

 2109  1661  3453  829  765  3261  1981  2557  2086  1638  3430  806  742  3238  1958  2534  2058  1610  3402  778  714  3210  1930  2506  2065  1617  3409  785  721  3217  1937  2513

 2060  1612  3404  780  716  3212  1932  2508  2099  1651  3443  819  755  3251  1971  2547  2079  1631  3423  799  735  3231  1951  2527  2088  1640  3432  808  744  3240  1960  2536

 2100  1652  3444  820  756  3252  1972  2548  2059  1611  3403  779  715  3211  1931  2507  2087  1639  3431  807  743  3239  1959  2535  2080  1632  3424  800  736  3232  1952  2528

 2053  1605  3397  773  709  3205  1925  2501  2078  1630  3422  798  734  3230  1950  2526  2098  1650  3442  818  754  3250  1970  2546  2089  1641  3433  809  745  3241  1961  2537

 2085  1637  3429  805  741  3237  1957  2533  2110  1662  3454  830  766  3262  1982  2558  2066  1618  3410  786  722  3218  1938  2514  2057  1609  3401  777  713  3209  1929  2505

 2068  1620  3412  788  724  3220  1940  2516  2091  1643  3435  811  747  3243  1963  2539  2055  1607  3399  775  711  3207  1927  2503  2112  1664  3456  832  768  3264  1984  2560

 1580  2156  876  3372  3308  684  2476  2028  1555  2131  851  3347  3283  659  2451  2003  1599  2175  895  3391  3327  703  2495  2047  1544  2120  840  3336  3272  648  2440  1992

 1565  2141  861  3357  3293  669  2461  2013  1542  2118  838  3334  3270  646  2438  1990  1578  2154  874  3370  3306  682  2474  2026  1585  2161  881  3377  3313  689  2481  2033

 1597  2173  893  3389  3325  701  2493  2045  1574  2150  870  3366  3302  678  2470  2022  1546  2122  842  3338  3274  650  2442  1994  1553  2129  849  3345  3281  657  2449  2001

 1548  2124  844  3340  3276  652  2444  1996  1587  2163  883  3379  3315  691  2483  2035  1567  2143  863  3359  3295  671  2463  2015  1576  2152  872  3368  3304  680  2472  2024

 1588  2164  884  3380  3316  692  2484  2036  1547  2123  843  3339  3275  651  2443  1995  1575  2151  871  3367  3303  679  2471  2023  1568  2144  864  3360  3296  672  2464  2016

 1541  2117  837  3333  3269  645  2437  1989  1566  2142  862  3358  3294  670  2462  2014  1586  2162  882  3378  3314  690  2482  2034  1577  2153  873  3369  3305  681  2473  2025

 1573  2149  869  3365  3301  677  2469  2021  1598  2174  894  3390  3326  702  2494  2046  1554  2130  850  3346  3282  658  2450  2002  1545  2121  841  3337  3273  649  2441  1993

 1556  2132  852  3348  3284  660  2452  2004  1579  2155  875  3371  3307  683  2475  2027  1543  2119  839  3335  3271  647  2439  1991  1600  2176  896  3392  3328  704  2496  2048

 3052  3500  1708  236  300  1900  3180  2604  3027  3475  1683  211  275  1875  3155  2579  3071  3519  1727  255  319  1919  3199  2623  3016  3464  1672  200  264  1864  3144  2568

 3037  3485  1693  221  285  1885  3165  2589  3014  3462  1670  198  262  1862  3142  2566  3050  3498  1706  234  298  1898  3178  2602  3057  3505  1713  241  305  1905  3185  2609

 3069  3517  1725  253  317  1917  3197  2621  3046  3494  1702  230  294  1894  3174  2598  3018  3466  1674  202  266  1866  3146  2570  3025  3473  1681  209  273  1873  3153  2577

 3020  3468  1676  204  268  1868  3148  2572  3059  3507  1715  243  307  1907  3187  2611  3039  3487  1695  223  287  1887  3167  2591  3048  3496  1704  232  296  1896  3176  2600

 3060  3508  1716  244  308  1908  3188  2612  3019  3467  1675  203  267  1867  3147  2571  3047  3495  1703  231  295  1895  3175  2599  3040  3488  1696  224  288  1888  3168  2592

 3013  3461  1669  197  261  1861  3141  2565  3038  3486  1694  222  286  1886  3166  2590  3058  3506  1714  242  306  1906  3186  2610  3049  3497  1705  233  297  1897  3177  2601

 3045  3493  1701  229  293  1893  3173  2597  3070  3518  1726  254  318  1918  3198  2622  3026  3474  1682  210  274  1874  3154  2578  3017  3465  1673  201  265  1865  3145  2569

 3028  3476  1684  212  276  1876  3156  2580  3051  3499  1707  235  299  1899  3179  2603  3015  3463  1671  199  263  1863  3143  2567  3072  3520  1728  256  320  1920  3200  2624

 1004  1452  3756  2284  2348  3948  1132  556  979  1427  3731  2259  2323  3923  1107  531  1023  1471  3775  2303  2367  3967  1151  575  968  1416  3720  2248  2312  3912  1096  520

 989  1437  3741  2269  2333  3933  1117  541  966  1414  3718  2246  2310  3910  1094  518  1002  1450  3754  2282  2346  3946  1130  554  1009  1457  3761  2289  2353  3953  1137  561

 1021  1469  3773  2301  2365  3965  1149  573  998  1446  3750  2278  2342  3942  1126  550  970  1418  3722  2250  2314  3914  1098  522  977  1425  3729  2257  2321  3921  1105  529

 972  1420  3724  2252  2316  3916  1100  524  1011  1459  3763  2291  2355  3955  1139  563  991  1439  3743  2271  2335  3935  1119  543  1000  1448  3752  2280  2344  3944  1128  552

 1012  1460  3764  2292  2356  3956  1140  564  971  1419  3723  2251  2315  3915  1099  523  999  1447  3751  2279  2343  3943  1127  551  992  1440  3744  2272  2336  3936  1120  544

 965  1413  3717  2245  2309  3909  1093  517  990  1438  3742  2270  2334  3934  1118  542  1010  1458  3762  2290  2354  3954  1138  562  1001  1449  3753  2281  2345  3945  1129  553

 997  1445  3749  2277  2341  3941  1125  549  1022  1470  3774  2302  2366  3966  1150  574  978  1426  3730  2258  2322  3922  1106  530  969  1417  3721  2249  2313  3913  1097  521

 980  1428  3732  2260  2324  3924  1108  532  1003  1451  3755  2283  2347  3947  1131  555  967  1415  3719  2247  2311  3911  1095  519  1024  1472  3776  2304  2368  3968  1152  576

 3628  108  2924  1324  1260  2732  428  4076  3603  83  2899  1299  1235  2707  403  4051  3647  127  2943  1343  1279  2751  447  4095  3592  72  2888  1288  1224  2696  392  4040

 3613  93  2909  1309  1245  2717  413  4061  3590  70  2886  1286  1222  2694  390  4038  3626  106  2922  1322  1258  2730  426  4074  3633  113  2929  1329  1265  2737  433  4081

 3645  125  2941  1341  1277  2749  445  4093  3622  102  2918  1318  1254  2726  422  4070  3594  74  2890  1290  1226  2698  394  4042  3601  81  2897  1297  1233  2705  401  4049

 3596  76  2892  1292  1228  2700  396  4044  3635  115  2931  1331  1267  2739  435  4083  3615  95  2911  1311  1247  2719  415  4063  3624  104  2920  1320  1256  2728  424  4072

 3636  116  2932  1332  1268  2740  436  4084  3595  75  2891  1291  1227  2699  395  4043  3623  103  2919  1319  1255  2727  423  4071  3616  96  2912  1312  1248  2720  416  4064

 3589  69  2885  1285  1221  2693  389  4037  3614  94  2910  1310  1246  2718  414  4062  3634  114  2930  1330  1266  2738  434  4082  3625  105  2921  1321  1257  2729  425  4073

 3621  101  2917  1317  1253  2725  421  4069  3646  126  2942  1342  1278  2750  446  4094  3602  82  2898  1298  1234  2706  402  4050  3593  73  2889  1289  1225  2697  393  4041

 3604  84  2900  1300  1236  2708  404  4052  3627  107  2923  1323  1259  2731  427  4075  3591  71  2887  1287  1223  2695  391  4039  3648  128  2944  1344  1280  2752  448  4096

 

Вот такой прекрасный идеальный квадрат. Предлагаю читателям построить самостоятельно данным методом другие идеальные квадраты 64-ого порядка. Например, другим способом построить ассоциативный квадрат или взять в качестве базового и основного другой ассоциативный квадрат восьмого порядка.

Думаю, что если в том составном идеальном квадрате 64-ого порядка, который я построила раньше, переставить столбцы по данной схеме, то получится новый идеальный квадрат. Это точно так же, как было показано на примере составного идеального квадрата 25-ого порядка. Проверьте!

 

                                                                                                      ***

 

  30 апреля 2008 г.

 

Очень интересно, что описанный здесь метод работает и для нетрадиционных магических квадратов. О нетрадиционных магических квадратах смотрите статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm

 

Покажу несколько примеров. Начну с построения нетрадиционного идеального квадрата 9-ого порядка. Для этого построения возьму в качестве базового и основного квадрат Дьюдени (рис. 13). Этот квадрат заполнен простыми числами, он ассоциативен в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу – 74, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы.

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

Сначала строю ассоциативный нетрадиционный квадрат 9-ого порядка, а затем переставляю в нём столбцы по описанной выше схеме. Ассоциативный квадрат изображён на рис. 14, а идеальный – на рис. 15.

 

 

 

                                                                      Рис. 14

 

 

 

                                                                      Рис. 15

 

Магическая константа этого идеального нетрадиционного квадрата равна 3249. Правда, в этом квадрате есть повторяющиеся числа, но я нигде не видела запрета на повторение чисел в нетрадиционном магическом квадрате. Если в определении нетрадиционного магического квадрата присутствует такой запрет (?), то всё равно на примере этого квадрата в принципе показана работа метода построения идеального нетрадиционного квадрата порядка 9=3².

 

Теперь покажу построение нетрадиционного идеального квадрата порядка n=4² таким же методом. Для построения ассоциативного нетрадиционного квадрата 16-ого порядка возьму следующий нетрадиционный ассоциативный квадрат четвёртого порядка (рис. 16):

 

 

 

                                                                      Рис. 16

 

(Квадрат найден по ссылке:  http://www.algana.co.uk/Puzzles/numbers/magicsquares/magicsquares.htm )

 

Он служит и базовым и основным квадратом.

 

Нетрадиционный ассоциативный квадрат 16-ого порядка показываю в том виде, как он записан в файл программой:

 

 86  113  101  122  518  545  533  554  326  353  341  362  662  689  677  698

 124  99  111  88  556  531  543  520  364  339  351  328  700  675  687  664

 123  100  112  87  555  532  544  519  363  340  352  327  699  676  688  663

 89  110  98  125  521  542  530  557  329  350  338  365  665  686  674  701

 694  721  709  730  294  321  309  330  486  513  501  522  118  145  133  154

 732  707  719  696  332  307  319  296  524  499  511  488  156  131  143  120

 731  708  720  695  331  308  320  295  523  500  512  487  155  132  144  119

 697  718  706  733  297  318  306  333  489  510  498  525  121  142  130  157

 678  705  693  714  310  337  325  346  502  529  517  538  102  129  117  138

 716  691  703  680  348  323  335  312  540  515  527  504  140  115  127  104

 715  692  704  679  347  324  336  311  539  516  528  503  139  116  128  103

 681  702  690  717  313  334  322  349  505  526  514  541  105  126  114  141

 134  161  149  170  470  497  485  506  278  305  293  314  710  737  725  746

 172  147  159  136  508  483  495  472  316  291  303  280  748  723  735  712

 171  148  160  135  507  484  496  471  315  292  304  279  747  724  736  711

 137  158  146  173  473  494  482  509  281  302  290  317  713  734  722  749

 

Теперь переставлю в этом ассоциативном квадрате столбцы по описанной выше схеме. Я не стала вставлять в программу блок перестановки столбцов, выполнила эту перестановку вручную. Полученный нетрадиционный идеальный квадрат 16-ого порядка вы видите на рис. 17.

 

 

 

                                                                       Рис. 17

 

Этот квадрат не имеет изъянов, в нём нет повторяющихся чисел, как в предыдущем идеальном квадрате 9-ого порядка. Магическая константа квадрата равна 6680. Я проверила суммы по всем строкам, столбцам и диагоналям (как главным, так и разломанным), все они равны магической константе. Кроме того, квадрат ассоциативен в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу – 835. Таким образом, квадрат является идеальным.

 

Наконец, покажу построение ещё одного нетрадиционного идеального квадрата этим же методом. Это квадрат порядка n=6². Для показанных выше порядков 9 и 16 построены и традиционные идеальные квадраты, а вот традиционный идеальный квадрат 36-ого порядка мне пока построить не удалось (напомню, что я разработала метод построения традиционных идеальных квадратов любого чётно-чётного порядка n=8k, k=1, 2, 3, 4…).

 

Исходный нетрадиционный ассоциативный квадрат 36-ого порядка был построен мной в статье “Бимагические квадраты” (http://www.klassikpoez.narod.ru/bimagic.htm ) на базе ассоциативного нетрадиционного квадрата шестого порядка, который найден в Интернете (ссылка дана в указанной статье). Этот же квадрат служил в качестве основного. Теперь я просто переставлю столбцы в этом ассоциативном квадрате и получу нетрадиционный идеальный квадрат 36-ого порядка. Здесь будет 6 секций, и схема перестановки точно такая же: в первую секцию помещаются все первые столбцы из секций исходного квадрата, во вторую секцию – все вторые столбцы и так далее. Это всё равно, что переставить столбцы с шагом 5, то есть через 5 столбцов. Готовый нетрадиционный идеальный квадрат 36-ого порядка изображён на рис. 18-19. Он представлен в виде двух половинок (разрезан по вертикали) в целях лучшего изображения. Для получения целого квадрата соедините две половинки.

 

       Нетрадиционный идеальный квадрат 36-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                       Рис. 18

 

       Нетрадиционный идеальный квадрат 36-ого порядка – часть 2

 

 

                                                                       Рис. 19

 

Исходный ассоциативный квадрат к тому же бимагический. Будет ли также бимагическим идеальный квадрат с рис. 18-19? Интересный вопрос! Предлагаю читателям ответить на него. Понятно, что в строках и столбцах квадрата условие бимагичности не нарушится. Остаётся проверить главные диагонали.

 

                                               ***

 

Продолжение о нетрадиционных идеальных квадратах читайте в следующей статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idnet.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу