ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть IX

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Если вы читали предыдущую часть статьи, то знаете, что там я рассмотрела идеальные квадраты 15-ого порядка в свете своего метода качелей.

 

Пропускаю идеальные квадраты 17-ого и 19-ого порядков, так как для них всё аналогично квадратам 5, 7, 11 или 13-ого порядка. Это порядки не кратные 3; для таких квадратов, как помнит читатель, работают очень простые качели с тривиальной образующей таблицей, которые и программировать не надо, потому что и так всё понятно и нечего вычислять в программе. Идеальные квадраты таких порядков очень легко получить из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, просто переставляя строки или столбцы с постоянным шагом.

Поэтому перехожу к идеальным квадратам 21-ого порядка. Во второй части статьи было построено несколько идеальных квадратов методом стандартных качелей. Если прогонять составленную там программу для всех значений переменных, то она выполняется очень долго. Я не стала выполнять программу до конца, ограничившись несколькими вариантами квадратов. На рис. 1 вы видите квадрат, полученный по программе и затем перенесённый на торе, так что в левой верхней ячейке стоит число 1.

 

 

 

                                                                                                                      Рис. 1

 

Квадрат, понятно, не является идеальным, так как он утратил ассоциативность. Однако качели в этом пандиагональном квадрате тоже работают. И они имеют такие же шаги качания, как и в квадрате, из которого этот квадрат получен. Это стандартные качели. Шаги качания у них такие: через 10 ячеек вправо, через 9 ячеек влево. В квадрате выделена начальная цепочка первых чисел (1-21).

Далее я применяю к нему своё любимое преобразование “строки-диагонали”, которое превращает квадрат в идеальный (рис. 2).

 

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Теперь я получила прекрасный во всех отношениях идеальный квадрат! А качели у него уже другие, я назвала их нестандартными, в отличие от качелей первого вида. Шаги качания у этих качелей таковы: через 2 ячейки вправо, через 17 ячеек влево. Квадрат хорош тем, что начинается он с числа 1.

Рисую далее образующую таблицу для этого квадрата (рис. 3).

 

 

	21	279	89	238	40	135	262	378	384	47	70	187	303	409	210	342	152	427	334	219	115
-13	2	291	88	251	29	137	266	359	396	46	83	176	305	413	191	354	151	440	323	221	119
9	15	290	100	232	33	139	255	372	395	58	64	180	307	402	204	353	163	421	327	223	108
-12	6	278	91	250	30	136	273	363	383	49	82	177	304	420	195	341	154	439	324	220	126
1	18	277	104	239	32	140	254	375	382	62	71	179	308	401	207	340	167	428	326	224	107
12	17	289	85	243	34	129	267	374	394	43	75	181	297	414	206	352	148	432	328	213	120
1	5	280	103	240	31	147	258	362	385	61	72	178	315	405	194	343	166	429	325	231	111
-12	4	293	92	242	35	128	270	361	398	50	74	182	296	417	193	356	155	431	329	212	123
9	16	274	96	244	24	141	269	373	379	54	76	171	309	416	205	337	159	433	318	225	122
-13	7	292	93	241	42	132	257	364	297	51	73	189	300	404	196	355	156	430	336	216	110
19	20	281	95	245	23	144	256	377	386	53	77	170	312	403	209	344	158	434	317	228	109
-18	1	285	97	234	36	143	268	358	390	55	66	183	311	415	190	348	160	423	330	227	121
11	19	282	94	252	27	131	259	376	387	52	84	174	299	406	208	345	157	441	321	215	112
-4	8	284	98	233	39	130	272	365	389	56	65	186	298	419	197	347	161	422	333	214	125
3	12	286	87	246	38	142	253	369	391	45	78	185	310	400	201	349	150	435	332	226	106
-2	9	283	105	237	26	133	271	366	388	63	69	173	301	418	198	346	168	426	320	217	124
-2	11	287	86	249	25	146	260	368	392	44	81	172	314	407	200	350	149	438	319	230	113
3	13	276	99	248	37	127	264	370	381	57	80	184	295	411	202	339	162	437	331	211	117
-4	10	294	90	236	28	145	261	367	399	48	68	175	313	408	199	357	153	425	322	229	114
11	14	275	102	235	41	134	263	371	380	60	67	188	302	410	203	338	165	424	335	218	116
-18	3	288	101	247	22	138	265	360	393	59	79	169	306	412	192	351	164	436	316	222	118
		k=13	k=4	k=11	k=1	k=6	k=12	k=17	k=18	k=2	k=3	k=8	k=14	k=19	k=9	k=16	k=7	k=20	k=15	k=10	k=5

 

                                                                       Рис. 3

 

А теперь даю эту же образующую таблицу с начальными условиями для составления программы, по которой можно получить все образующие таблицы подобного типа, а по ним и все идеальные квадраты с качелями такого вида (рис. 4).

 

 

21

I-J

I

221

J-K

J

421

K-L

K

L-M

L

M-M1

M

M1-L1

M1

231

L1-K1

L1

431

K1-J1

K1

J1-I1

J1

I1-1

I1

1-N

1

N-O

N

441

O-P

O

P-Q

P

Q-11

Q

11-Q1

11

Q1-P1

Q1

P1-O1

P1

O1-N1

O1

N1-21

N1

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=20

k=

k=10

k=

 

                                                                           Рис. 4

 

В этой образующей таблице вы видите те числа, которые известны. Это и есть начальные условия. Как видите, зафиксировано положение трёх чисел в начальной цепочке: 1, 11, 21. Проанализировав образующие таблицы имеющихся у меня идеальных квадратов данного вида, я установила следующую закономерность: I1=22-I, J1=22-J, …, Q1=22-Q. Таким образом, здесь варьируются 9 переменных: I, J, K, L, M, N, O, P, Q. Все они изменяются в интервале от 2 до 20, исключая 11. Представляете, сколько вариантов должна рассмотреть программа?! У меня не хватило терпения прогнать программу до конца, чтобы узнать, сколько же всего построится идеальных квадратов. Я поставила счётчик найденных вариантов на 100, это было выполнено за несколько секунд. Затем поставила счётчик на 300 решений, это было отработано за 2 минуты. Не стала экспериментировать дальше, потому что число решений должно быть огромным. Вывела первые 10 вариантов, поставив счётчик на 10. По-прежнему у меня решения выводятся в виде образующих таблиц. Лень писать блок для превращения образующей таблицы в идеальный квадрат. Я делаю это очень быстро вручную, то есть рисую на экране пустую таблицу 21х21, рядом копирую из файла образующую таблицу и переписываю её в матрицу для квадрата.

Ну, вот и покажу здесь два первых варианта, выданных программой, конечно, в виде готовых идеальных квадратов (рис. 5, рис. 6).

 

 

                                                          

     Рис. 5

 

Я закрасила в квадрате вместе с нулевым циклом качания качелей (начальная цепочка чисел от 1 до 21) самый последний, 20-ый, цикл. Далее следует второе решение.

 

 

 

                                                                      Рис. 6

 

В этом квадрате закрашен 10-ый цикл качания качелей. Очень хорошо видно, что каждый цикл качания качелей в точности повторяет схему начальной цепочки чисел. Напомню читателям: набор чисел в одном цикле качания качелей – это числа из одного столбца образующей таблицы. И ещё: образующую таблицу очень удобно переносить в матрицу для квадрата построчно.

Разумеется, все идеальные квадраты этого вида должны быть внесены в банк идеальных квадратов 21-ого порядка, так как они начинаются с числа 1. Самые красивые из всех идеальных квадратов! Но дело, конечно, не в их красоте. Базовые квадраты должны прежде всего начинаться с числа 1, а уже затем с других чисел.

Сравнив квадраты на рис. 5 и рис 6, я сразу увидела, что они связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. Предлагаю читателям сделать матрицу этого преобразования по аналогии с тем, как это было показано для квадратов низших порядков.

 

Ещё покажу интереснейший экземпляр квадрата (рис. 7). Посмотрите на него! Он вроде бы совсем идеальный. Но что же в нём не так? Получив это решение по начальному варианту программы (в котором я забыла вставить проверку магичности квадрата, то есть сумм по строкам и столбцам), я проверила сначала суммы по всем диагоналям – главным и разломанным. Все эти суммы оказались такие, какие и должны быть. Ассоциативность в квадрате тоже есть (потому что это в программе проверяется). В последнюю очередь я решила проверить суммы по строкам и столбцам. И каково же было моё удивление, когда я обнаружила, что эти-то суммы не во всех строках и столбцах равны магической константе квадрата – 4641. А именно: в столбцах повторяются три значения сумм – 3696, 4641 и 5586, а в строках такие три значения – 4596, 4641 и 4686. Обратите внимание: если сложить две суммы, не равные магической константе, и полученную сумму разделить на 2, то получится магическая константа.

Таким образом, программа нашла несколько тысяч ложных решений. Вот такие чудеса! Кто бы мог подумать, что в ассоциативном квадрате суммы по всем диагоналям равны магической константе, а суммы в строках и столбцах имеют отклонения. Я была очень удивлена таким квадратом. Пришлось исправить программу, добавив в неё блок проверки сумм в строках и столбцах. Решила показать один из таких квазиидеальных квадратов. Повторю, программа выдала тысячи таких квадратов.

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Как знает читатель, есть полумагические квадраты, в них суммы по строкам и столбцам равны магической константе, а суммы в главных диагоналях (в одной или в обеих) не равны магической константе. Мной написана статья о таких квадратах, она так и называется – “Полумагические квадраты”.

Здесь мы тоже имеем в некотором роде полумагический квадрат, а точнее – полуидеальный. Поэтому я и назвала его квазиидельным. Кстати, о названиях. Первая составная часть сложных слов квази- означает “мнимый, ненастоящий”. А вот в названии “пандиагональный” пан- указывает на то, что явление, выраженное второй частью слова, распространяется на всё, на всех, охватывает что-либо в целом, то есть можно сказать “вседиагональный” (толкование из “Словаря русского языка”, М.: Русский язык, 1981-1988). Некоторые авторы вместо названия “пандиагональный” (“pandiagonal”) используют такое: “panmagic”, то есть “всемагический”. Ну, всемагическими я назвала бы идеальные квадраты.

А вот в статье о количествах разных магических квадратов я встретила такое название: “ultramagic”. До сих пор не знаю, каким квадратам принадлежит это название. Там указывается, что таких квадратов пятого порядка 16. Я думала сначала, что это идеальные квадраты. Но там указано количество таких квадратов восьмого порядка, а идеальных квадратов восьмого порядка, как известно, не существует. Подумала, что это совершенные квадраты. Но там для квадратов четвёртого порядка количество таких квадратов равно 0, но для четвёртого порядка существуют совершенные квадраты. Итак, какие же квадраты авторы назвали “ultramagic”? Если кто-нибудь знает, напишите, пожалуйста. Вот ссылка на эту статью:

 

http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html

 

Примечание: (3 апреля 2008 г)

 

Совсем недавно узнала, что идеальные квадраты восьмого порядка существуют! Смотрите мою статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка”:

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

И название ultramagic как раз и относится к идеальным квадратам.

 

                                                                 ***

 

Если вы захотите получить много идеальных квадратов 21-ого порядка, напишите программу для образующей таблицы, изображённой на рис. 4 и выполните её. За несколько минут вы сможете получить очень много решений. А если вы не поленитесь вставить в программу блок, превращающий образующую таблицу в идеальный квадрат, будет совсем хорошо: программа выдаст вам готовые идеальные квадраты.

 

Напомню одно преобразование для пандиагональных квадратов: стандартную перестановку строк и/или столбцов. Применю это преобразование к квадрату с рис. 6, переставлю только столбцы. Полученный в результате пандиагональный (но не идеальный!) квадрат вы видите на рис. 8.

 

 

 

                                                   Рис. 8

 

В этом пандиагональном квадрате действуют качели с симметричными шагами качания, то есть сложение шагов такое же, как в исходном квадрате: 2+17, но ход качания другой – через 2 ячейки влево, через 17 ячеек вправо. В этом квадрате выделен только нулевой цикл качания качелей – начальная цепочка чисел от 1 до 21.

С такими же качелями можно получить идеальный квадрат, если отразить квадрат с рис. 6 (или с рис. 5) относительно горизонтальной (или вертикальной) оси симметрии.

 

Вообще для квадратов 21-ого порядка должны существовать качели девяти видов, с такими сложениями шагов качания: 1+18, 2+17, 3+16, 4+15, 5+14, 6+13, 7+12, 8+11, 9+10. Качели с симметричными шагами качания я не считаю различными. Здесь приведены образцы идеальных квадратов с такими сложениями шагов: 2+17 и 9+10. Покажу ещё один образец (рис. 9), с такими шагами: 1+18. Этот квадрат получается, если повернуть идеальный квадрат, построенный стандартными качелями (с шагами 9+10), на 90 градусов.

 

 

 

                                                   Рис. 9

 

В квадрате выделен белым цветом 11-ый цикл качания качелей.

Отразив квадрат с рис. 9 относительно горизонтальной или вертикальной оси симметрии, вы получите идеальный квадрат с симметричными шагами качания: через 1 ячейку вправо, через 18 ячеек влево.

 

Итак, я показала идеальные квадраты 21-ого порядка с качелями трёх видов. У меня нет образцов идеальных или пандиагональных квадратов с остальными шестью видами качелей. Если читателям удастся получить такие квадраты, пришлите, пожалуйста, ссылку. С интересом посмотрю.

 

                                               ***

 

Страница помещена на сайт 9 января 2008 г.

 

Продолжение  здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob10.htm

 

                                              ***

 

16 января 2008 г.

 

Совсем забыла о том, что у меня есть ссылка на пандиагональные квадраты Хендрикса:

 

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html

 

Я уже приводила пример пандиагонального квадрата Хендрикса 15-ого порядка, в котором тоже работают качели. А сейчас взяла один образец пандиагонального квадрата 21-ого порядка по этой ссылке. И, разумеется, в этом квадрате действуют качели, и главное: это как раз качели с такими шагами, которые здесь ещё не представлены: 3+16. Вот скопировала этот квадрат и показываю его читателям (рис. 10).

 

 

 

 

                                               Рис. 10

 

Я выделила в квадрате нулевой, 10-ый и 11-ый циклы качания качелей.

 

Просто удивительно! Этот квадрат построил другой человек, а в нём мои качели работают. Может быть, Хендрикс его тоже строил методом качелей? Вполне возможно, что по данной ссылке есть пандиагональные квадраты и с другими шагами. Посмотрите. Я ограничусь показом одного экземпляра.

Если повернуть квадрат Хендрикса на 90 градусов, то получится пандиагональный квадрат ещё с одним видом качелей, с такими шагами качания: 4+15.

Почти уверена, что есть идеальные или пандиагональные квадраты со всеми сложениями шагов качания, которые перечислены выше.

 

Ещё раз подчеркну, что квадрат этот не является идеальным, а только пандиагональный. В нём нет ассоциативности.

 

                                      __________

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу