ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

В предыдущей части статьи я завершила рассказ об идеальных квадратах 9-ого порядка. Они рассмотрены в свете моего метода качелей.

Теперь покажу несколько идеальных квадратов 11-ого порядка опять же применительно к методу качелей. Именно на квадратах 11-ого порядка в первой части данной статьи и был придуман этот прекрасный метод. Сначала я увидела очень простые качели, с тривиальной образующей таблицей. А увидела я их на готовом идеальном квадрате, построенном другим методом, а именно: в ассоциативном квадрате, построенном методом террас, переставлены столбцы с шагом 1 (то есть через один столбец). И всё! На рис. 1 я дублирую этот замечательный идеальный квадрат, который позволил мне увидеть качели.

 

 

 

                                                                      Рис. 1

 

Здесь качели качаются так: через 5 ячеек вправо, через 4 ячейки влево. Как уже знает читатель, если отразить этот квадрат относительно вертикальной оси симметрии, то шаги качания поменяются и будут такими: через 4 ячейки вправо, через 5 ячеек влево. Буду говорить в таких случаях, что шаги качания качелей симметричны.

 

 Для квадратов 11-ого порядка существуют качели 4 разных видов. Потому что сумма шагов качания качелей для таких квадратов равна

11-2=9, а это число можно сложить из двух ненулевых натуральных чисел четырьмя способами: 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. Вот и покажу здесь образцы идеальных квадратов для каждого вида качелей. Читатель знает, что шаги качания качелей определяют схему расположения первых 11 чисел.

 

Образец квадрата с качелями, имеющими шаги 4+5, вы видите на рис. 1. Ещё интересно посмотреть на квадрат с расположением первых 11 чисел так, что одно из этих чисел стоит в левой верхней ячейке. Для этого можно просто перенести квадрат с рис. 1 на торе. При этом он, правда, утратит ассоциативность и, значит, идеальность, но останется пандиагональным. А в пандиагональных квадратах, как я уже отмечала, качели тоже работают. Итак, на рис. 2 показываю квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 параллельным переносом на торе.

 

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Как видите, шаги качания качелей не изменились при таком преобразовании квадрата.

А теперь превращаю квадрат с рис. 2 в идеальный при помощи преобразования “строки-диагонали”. Полученный идеальный квадрат вы видите на рис. 3.

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

И перед вами прекраснейший образец идеального квадрата, в котором качели качаются с такими шагами: через 2 ячейки вправо, через 7 ячеек влево. Этот квадрат получился самым прекрасным. Даже на торе переносить его не надо, потому что в левой верхней ячейке уже стоит число 1. В этих качелях образующая таблица уже не тривиальна. Я выделила на рисунке розовым цветом первый цикл качания качелей. Совершенно так же, как я делала для квадратов предыдущих порядков, можно нарисовать образующую таблицу для этого квадрата, зафиксировать в ней положение двух чисел – 1 и 11, написать программу для получения всех квадратов, получаемых по образующим таблицам такого типа. По этой программе вы получите множество идеальных квадратов. Самых идеальных! Потому что все они будут начинаться с числа 1.

А вот образец идеального квадрата с симметричными шагами качания качелей: через 2 ячейки влево, через 7 ячеек вправо (рис. 4).

 

 

 

                                                                     Рис. 4

           

И опять в левой верхней ячейке стоит одно из первых 11 чисел – число 5.

 

Теперь покажу образец квадрата для следующего вида качелей – с шагами 3+6 (рис. 5).

 

 

 

                                                                      Рис. 5

 

Перенесу квадрат на торе, чтобы в левой верхней ячейке оказалось одно из первых 11 чисел – 6. Смотрите полученный квадрат на рис. 6.

 

 

 

                                                                      Рис. 6

 

Этот квадрат пандиагональный. Я закрасила в нём два цикла качания качелей (не считая нулевого).

 

А вот нашла в своей коллекции ещё один образец с симметричными шагами качания качелей: через 6 ячеек вправо, через 3 ячейки влево. Этот квадрат идеальный. Показываю его на рис. 7.

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Кстати, замечу, что квадратам 11-ого порядка посвящена следующая страница:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk11.htm

 

Именно на этой странице я сейчас ищу образцы квадратов, ну и, конечно, в первой части данной статьи.

 

У меня остался один вид качелей: с шагами 1+8. На рис. 8 представлен идеальный квадрат с качелями такого вида. Качели качаются через 1 ячейку вправо, через 8 ячеек влево.

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

Перенесу квадрат на торе так, чтобы число 11 оказалось в левой верхней ячейке. Схема расположения первых 11 чисел при этом параллельно сместится влево. Смотрите этот пандиагональный квадрат на рис. 9.

 

 

                                                                      Рис. 9

 

Этот квадрат элементарно превращается в идеальный применением преобразования “строки-диагонали” (предварительно квадрат повёрнут и отражён). На рис. 10 изображён новый идеальный квадрат:

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

И получился квадрат с качелями 2+7 (через 2 ячейки вправо, через 7 ячеек влево), как квадрат, изображённый на рис. 3. Но здесь в левой верхней ячейке стоит не число 1. А ещё в этом квадрате очень интересная главная диагональ, она содержит такой набор чисел: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, 111. Квадрат на рис. 3 тоже имеет такой набор чисел в другой главной диагонали, но они следуют не по порядку. На рис. 10 закрашены четыре цикла качания качелей (не считая нулевого). На рис. 11 показан чётно-нечётный рисунок этого квадрата.

 

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Оригинальный рисунок. Симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

На этом я завершаю показ идеальных квадратов 11-ого порядка. Ещё раз отмечу: читатели могут пополнить коллекцию таких квадратов, запрограммировав любой вид качелей.

 

                                                                  ***

 

Страница помещена на сайт 26 декабря 2007 г.

 

 

   28 декабря 2007 г.

 

Теперь аналогично покажу идеальные квадраты 13-ого порядка в свете метода качелей.

Поскольку 13 – число не кратное 3, то здесь тоже всё очень просто и вполне аналогично квадратам 11-ого порядка. Сначала я построила идеальный квадрат самыми простыми качелями с тривиальной образующей таблицей. Этот квадрат вы видите на рис. 12.

 

 

 

                                                  Рис. 12

 

Здесь качели качаются так: через 6 ячеек вправо, через 5 ячеек влево. Всего же для квадратов 13-ого порядка существует 5 видов качелей, с такими шагами качания: 1+10, 2+9, 3+8, 4+7, 5+6. Качели с симметричными шагами качания я не считаю различными.

Приведу квадрат с симметричными шагами качания: через 5 ячеек вправо, через 6 ячеек влево (рис. 13). Этот квадрат, в отличие от квадрата с рис. 12, начинается с числа из первых 13 чисел. В квадрате выделен оранжевым цветом первый цикл качания качелей (голубые ячейки – это нулевой цикл, начальная цепочка первых 13 чисел).

 

 

 

                                                   Рис. 13

 

Применим теперь к квадрату с рис. 12 преобразование параллельного переноса на торе так, чтобы в левой верхней ячейке оказалось число 1, а затем к полученному квадрату применим преобразование “строки-диагонали”. Полученный в результате таких преобразований идеальный квадрат вы видите на рис. 14. 

 

 

 

                                                  Рис. 14

 

В этом квадрате работают качели с такими шагами качания: через 2 ячейки вправо, через 9 ячеек влево. Самый красивый идеальный квадрат, так как начинается с числа 1. Читатели уже знают, как можно составить программу для получения множества идеальных квадратов данного типа. На рис. 15 показываю идеальный квадрат с симметричными шагами качания: через 2 ячейки влево, через 9 ячеек вправо. В этом квадрате в левой верхней ячейке стоит другое число – 13, но оно тоже из первых 13 чисел.

 

 

 

                                                  Рис. 15

 

Сразу замечу, что все квадраты 13-ого порядка, которые будут здесь представлены, получены мной из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, перестановкой строк или столбцов с последующим применением преобразований: “строки-диагонали”, нестандартная (одновременная) перестановка строк и столбцов, поворот и отражение. Если в ассоциативном квадрате переставить только столбцы с шагом 1, то получится как раз квадрат, построенный методом качелей с тривиальной образующей таблицей (самые простые качели). Этот квадрат изображён на рис. 12. Коллекция идеальных квадратов 13-ого порядка у меня не такая большая, как например, коллекция идеальных квадратов 9-ого порядка.

И ещё один экземпляр с такими же качелями, как квадрат на рис. 15. Он начинается с числа 6. Смотрите рис. 16.

 

 

 

                                                                     Рис. 16

 

Очень интересные образцы! Схема расположения первых 13 чисел совершенно одинакова, но числа в этой схеме расположились по-разному. Эти два квадрата – хороший начальный материал для исследования всех квадратов этой группы. Предлагаю читателям заняться таким исследованием.

 

А я перехожу к следующему виду качелей – 1+10. У меня нашёлся экземпляр с таким качанием: через 1 ячейку влево, через 10 ячеек вправо. Вы видите этот идеальный квадрат на рис. 17. Это квадрат с рис. 13 повёрнутый и отражённый.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Здесь тоже закрашен первый цикл качания качелей. Обратите внимание: набор чисел этого цикла совсем другой, нежели в квадрате на рис. 13.

 

Следующий квадрат я получила из квадрата с рис. 15 поворотом и отражением. Он является представителем качелей с шагами 3+8, через 3 ячейки вправо, через 8 ячеек влево. Этот квадрат изображён на рис. 18.

 

 

 

                                                                     Рис. 18

 

И последний вид качелей с шагами 4+7. На рис. 19 представлен образец идеального квадрата с такими качелями. Качели качаются так: через 4 ячейки вправо, через 7 ячеек влево. К сожалению, я не смогла получить квадрат такого вида, начинающийся с числа, входящего в начальную цепочку первых 13 чисел.

 

 

 

                                                                     Рис. 19

 

Так как любой цикл качания качелей в точности повторяет схему расположения первых 13 чисел, я закрасила второй цикл качания качелей, в котором есть ячейка, попавшая в левую верхнюю ячейку квадрата. Розовые ячейки этого цикла дают представление о начальной цепочке, если бы одно из чисел этой цепочки попало в левую верхнюю ячейку.

 

                                               КАЧЕЛИ В ДЕЙСТВИИ!

 

Методом качелей я построила множество пандиагональных квадратов, взяв за исходный квадрат с рис. 15. Эти квадраты позволили мне увидеть интереснейшие преобразования “плюс-минус …”, которые трудно сочинить, не имея перед собой готовых квадратов. Покажу два примера. Первое преобразование “плюс-минус 7” простое (некомбинированное), оно связывает квадрат с рис. 15 с квадратом, изображённым на рис. 20. Подчеркну ещё раз, что квадрат на рис. 20 не является идеальным, он только пандиагональный. Обратите внимание на то, что схема расположения первых 13 чисел в этих квадратах одинакова, и только в начальной цепочке два числа – 3 и 10 – поменялись местами. Показанное преобразование, таким образом, сохраняет пандиагональность квадрата, но не сохраняет ассоциативность.

 

 

 

                                                  Рис. 20

 

Покажу матрицу этого преобразования (рис. 21) для тех, кто не читал страницы, в которых рассказывалось о преобразованиях такого типа.

 

 

 

                                                  Рис. 21

 

Наложите эту матрицу на преобразуемый квадрат с рис. 15, к числам, попавшим в жёлтые ячейки, прибавьте 7, а от чисел, оказавшихся в оранжевых ячейках, вычтите 7 – и новый пандиагональный квадрат готов!

 

Интересно отметить, что и ассоциативность квадрата на рис. 20 нарушилась на “плюс-минус 7”. Вот, например, в центральной строке, две пары чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, не дают в сумме 170, одна пара: 50+127=177, другая пара: 94+69=163. Одна сумма на 7 больше нужной, другая – на 7 меньше. Все остальные пары чисел в этой строке дают в сумме 170. То же самое в центральном столбце, главных диагоналях.

 

Теперь покажу ещё один пандиагональный квадрат, построенный по образцу того же квадрата с рис. 15. Смотрите его на рис. 22.

 

 

 

                                                                      Рис. 22

 

Сравнивая этот квадрат с квадратом на рис. 15, я увидела ещё одно преобразование “плюс-минус …” Оно комбинированное, в нём участвуют два числа. На рис. 23 я покажу матрицу этого преобразования, а читатель сам применит его к квадрату на рис. 15 и получит квадрат, изображённый на рис. 22.

 

 

 

                                                                      Рис. 23

 

Вот такое интересное преобразование, которое тоже сохраняет пандиагональность, но не сохраняет ассоциативность. Не имея перед собой двух квадратов, связанных этим преобразованием, ни за что бы не сочинила такое сложное преобразование.

 

На этом я заканчиваю показ идеальных и пандиагональных квадратов 13-ого порядка.

В следующей части статьи планирую заняться идеальными квадратами 15-ого порядка. Это наиболее сложные квадраты. Во-первых, порядок кратен 3. Простые качели с тривиальной образующей таблицей здесь не работают. Во второй части статьи мне удалось найти другие качели для квадратов порядков кратных 3. Хочу рассмотреть эти качели более подробно, построить побольше идеальных квадратов разных видов. Ведь для квадратов 15-ого порядка должно быть 6 видов качелей, с такими сложениями шагов качания: 1+12, 2+11, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7.

Так что, ждите продолжение. Оно будет здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob8.htm

 

                                                               ***

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу