ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть V

 

                                                                                    Внимание! Оригинал.

При копировании прошу указывать

ссылку на данную страницу.

 

Итак, я начинаю исследование идеальных квадратов седьмого порядка в свете своего метода качелей. Я предвидела, что это будет интереснейшее исследование!

 

Но сначала напомню читателям, что мной уже написана статья, посвящённая магическим квадратам седьмого порядка. Смотрите статью здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk7.htm

 

В этой статье я начинала исследование с нуля. Но построила и пандиагональные, и идеальные квадраты. Кроме матричного метода, найденного по ссылке

 

                            http://www.grogono.com/magic/7x7.php

 

я нашла свой метод построения идеальных квадратов: из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, простой перестановкой строк или столбцов с постоянным шагом.

 

Теперь к этому методу добавляю ещё один – метод качелей. Более подробным рассмотрением этого метода применительно к идеальным квадратам седьмого порядка я сейчас и займусь.

 

Как помнят читатели (которые читали эту статью с самого начала), идеальный квадрат нечётного порядка не кратного 3 можно построить очень простыми качелями с тривиальной образующей таблицей. Не буду повторять здесь этот способ. Сейчас будут рассмотрены качели с нетривиальной образующей таблицей.

 

Итак, начну с идеального квадрата, построенного матричным методом. На рис. 1 вы видите этот квадрат, а рядом с ним его образующую таблицу.

 

 

 

                                               Рис. 1

 

В квадрате закрашен нулевой цикл качания качелей – это начальная цепочка из первых 7 чисел (оранжевые ячейки), и первый цикл – жёлтые ячейки. Обратите внимание на шаг качания качелей: через 1 ячейку вправо, через 4 ячейки влево, сумма шагов равна 5. Это первый вид качелей, первая схема расположения начальной цепочки. Будет ещё один вид качелей, когда сумма шагов складывается другим образом: 5=2+3.

 

Итак, идеальный квадрат имеем, образующая таблица перед нами. Теперь я хочу построить все идеальные квадраты с помощью качелей этого вида, ну, по крайней мере, те, которые начинаются с числа 1. На рис. 2 показываю начальные условия, при которых составлена программа построения идеальных квадратов такого типа. В начальной цепочке я зафиксировала два числа – 1 и 7.

 

 

 

                                               Рис. 2

 

При таких начальных условиях будет 120 вариантов расположения чисел в начальной цепочке. Кроме того, для каждой начальной цепочки будет ещё 24 варианта наборов чисел в столбцах образующей таблицы (циклы качания качелей). Итого программа рассмотрит 2880 вариантов. В программу я вставила проверку пандиагональности и ассоциативности порождаемого квадрата, чтобы получить только идеальные квадраты (как я уже отмечала в предыдущей части статьи, методом качелей строятся и пандиагональные квадраты, не являющиеся ассоциативными). И ещё вставила блок написания по образующей таблице порождаемого ею квадрата. Таким образом, программа выдала мне готовые идеальные квадраты седьмого порядка. И сделала она это в одно мгновение. Как вы думаете, сколько она мне выдала квадратов? Вполне приличное количество – 64 штуки! Вот как много идеальных квадратов сразу! Однако следует заметить, что это, наверное, ещё не все квадраты данной группы, потому что я зафиксировала в начальной цепочке положение сразу двух чисел. А если зафиксировать положение только одного числа? Предлагаю читателям исследовать этот вопрос.

 Я помещаю на сайт файл с полученными идеальными квадратами, чтобы читатели могли их видеть. Это богатейший материал для исследований. Квадраты здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ideal7.htm

 

Здесь покажу первые пять идеальных квадратов из данного файла.

 

1

 1  13  23  42  47  18  31

 28  40  46  17  29  6  9

 45  15  34  2  14  26  39

 30  7  12  25  38  43  20

 11  24  36  48  16  35  5

 41  44  21  33  4  10  22

 19  32  3  8  27  37  49

 

 2

 1  13  23  42  47  32  17

 28  40  46  31  15  6  9

 45  29  20  2  14  26  39

 16  7  12  25  38  43  34

 11  24  36  48  30  21  5

 41  44  35  19  4  10  22

 33  18  3  8  27  37  49

 

 3

 1  20  23  35  47  11  38

 28  33  46  10  36  6  16

 45  8  41  2  21  26  32

 37  7  19  25  31  43  13

 18  24  29  48  9  42  5

 34  44  14  40  4  17  22

 12  39  3  15  27  30  49

 

 4

 1  20  23  35  47  39  10

 28  33  46  38  8  6  16

 45  36  13  2  21  26  32

 9  7  19  25  31  43  41

 18  24  29  48  37  14  5

 34  44  42  12  4  17  22

 40  11  3  15  27  30  49

 

 5

 1  34  23  21  47  11  38

 28  19  46  10  36  6  30

 45  8  41  2  35  26  18

 37  7  33  25  17  43  13

 32  24  15  48  9  42  5

 20  44  14  40  4  31  22

 12  39  3  29  27  16  49

 

Так же, как и для квадратов пятого порядка, здесь я увидела самые разные преобразования “плюс-минус …”. Если для квадратов пятого порядка подобные преобразования легко было увидеть при визуальном сравнении квадратов, то с квадратами седьмого порядка это сделать сложнее. А вот качели и образующие таблицы делают эти преобразования очевидными. Начну показ с первых двух квадратов. Эти два квадрата связаны преобразованием “плюс-минус 14”. На рис. 3 показаны эти два квадрата с раскраской нулевого цикла и тех двух циклов, которые поменялись местами.

 

                                      Квадрат № 1                             Квадрат № 2

 

 

                                                                      Рис. 3

 

Нагляднее, пожалуй, нельзя представить преобразование. Заметьте, что преобразование сохраняет и пандиагональность, и ассоциативность квадрата, то есть идеальный квадрат переводит в идеальный. Я увидела среди 64 идеальных квадратов, полученных мной по программе, много подобных преобразований. Покажу ещё одно, очень интересное - “плюс-минус 7”, оно не совсем обычное. Смотрите сами! Это преобразование связывает квадраты № 62 и № 64 (смотрите указанный файл с квадратами). На рис. 4 показаны эти два квадрата с соответствующей раскраской циклов качания качелей.

 

                                Квадрат № 62                               Квадрат № 64

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Вот какое интересное преобразование! Такое вряд ли можно увидеть при визуальном сравнении квадратов. Квадрат № 62 связан с квадратом № 61 преобразованием “плюс-минус 28”. Ну и так далее. Предлагаю читателям посмотреть на все эти идеальные квадраты и найти все преобразования, связывающие их друг с другом.

 

А я перехожу к другой группе идеальных квадратов, с другим шагом качания качелей, иными словами – с другим расположением первых 7 чисел.

 

Начну опять же с того идеального квадрата, который строится с помощью самых простых качелей с тривиальной образующей таблицей. На рис. 5 вы видите этот идеальный квадрат, а рядом с ним его образующую таблицу.

 

 

 

                                               Рис. 5

 

На рис. 5 я закрасила нулевой цикл качания качелей – это начальная цепочка первых 7 чисел (оранжевые ячейки), и первый цикл – жёлтые ячейки. Не стала раскрашивать следующие циклы, чтобы картинка была яснее. Читатели сами могут раскрасить остальные циклы. Делается это очень просто: в каждой строке рядом с жёлтой ячейкой раскрасьте одну ячейку следующего цикла, а затем всё повторите уже другим цветом. Впрочем, я всё это уже очень подробно рассказывала.

 

А теперь применю к квадрату с рис. 5 комбинацию преобразований: сначала перенесу его на торе, чтобы в левой верхней ячейке оказалось число 1, а затем применю преобразование “строки-диагонали”. В результате я получаю идеальный квадрат, который начинается с 1. Он изображён на рис. 6, а рядом с ним опять же его образующая таблица. Потому что и в этом квадрате работают качели, только уже не с тривиальной образующей таблицей.

 

                                                       

 

                                               Рис. 6

 

Вот теперь какие интересные качели! Образующая таблица уже не тривиальная. Но закон её формирования сохраняется. Посмотрите, как качались качали в предыдущем случае (рис. 5) и как они качаются сейчас. Там было так: через 3 ячейки вправо, через 2 ячейки влево, а здесь наоборот – через 2 ячейки вправо, через 3 ячейки влево. А сумма шагов в обоих случаях равна 5. Как видите, новых квадратов при такой смене шагов качания мы не получаем (ведь квадрат на рис. 6 получен из квадрата на рис. 5 комбинацией преобразований). Зато мы получили новые качели по сравнению с теми, что были рассмотрены выше, с шагами качания 1+4.

 

Теперь всё надо повторить. То есть составить программу для получения идеальных квадратов такого типа. На рис. 7 показываю начальные условия для этой программы. Снова фиксирую положение двух чисел в начальной цепочке – 1 и 7.

 

 

 

                                               Рис. 7

 

Теперь надо написать программу.

 

Продолжение следует.

 

20 декабря 2007 г.

 

Продолжаю рассказ. Написала программу для построения идеальных квадратов седьмого порядка с помощью качелей второго вида с начальными условиями, изображёнными на рис. 7. Программа выдала мне 16 идеальных квадратов. Не стала исследовать вопрос, почему в этом случае квадратов оказалось в 4 раза меньше. Оставляю этот вопрос читателям.

Но это совершенно новые идеальные квадраты, отличающиеся от квадратов первой группы, которые были построены с помощью качелей первого вида. Я помещаю на сайт файл, в который программа записала эти квадраты. Смотрите:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/id7pril1.htm

 

А здесь покажу первые пять квадратов из этого файла:

 

1

 1  14  41  47  18  24  30

 45  16  22  35  6  12  39

 33  4  10  37  43  21  27

 42  48  19  25  31  2  8

 23  29  7  13  40  46  17

 11  38  44  15  28  34  5

 20  26  32  3  9  36  49

 

 2

 1  14  41  47  32  24  16

 45  30  22  21  6  12  39

 19  4  10  37  43  35  27

 42  48  33  25  17  2  8

 23  15  7  13  40  46  31

 11  38  44  29  28  20  5

 34  26  18  3  9  36  49

 

 3

 1  21  34  47  11  24  37

 45  9  22  42  6  19  32

 40  4  17  30  43  14  27

 35  48  12  25  38  2  15

 23  36  7  20  33  46  10

 18  31  44  8  28  41  5

 13  26  39  3  16  29  49

 

 4

 1  21  34  47  39  24  9

 45  37  22  14  6  19  32

 12  4  17  30  43  42  27

 35  48  40  25  10  2  15

 23  8  7  20  33  46  38

 18  31  44  36  28  13  5

 41  26  11  3  16  29  49

 

 5

 1  35  20  47  11  24  37

 45  9  22  42  6  33  18

 40  4  31  16  43  14  27

 21  48  12  25  38  2  29

 23  36  7  34  19  46  10

 32  17  44  8  28  41  5

 13  26  39  3  30  15  49

 

В этой группе также много квадратов, связанных преобразованием “плюс-минус …”. Например, первые два квадрата связаны преобразованием “плюс-минус 14”. Покажу один пример (рис. 8): квадраты № 5  и № 6 связаны преобразованием “плюс-минус 28”. Обратите внимание: здесь несколько другая структура преобразования, чем в первой группе квадратов.

 

 

                                     Квадрат № 5                            Квадрат № 6

 

 

                                                                      Рис. 8

 

Отмечу забавный факт. При составлении последней программы произошло интересное событие: построились нетрадиционные идеальные квадраты! Как это, спросите вы. Да очень просто: в некоторых квадратах получились одинаковые числа. Я как-то не подумала об этом и не вставила в программу блок проверки различности всех чисел, заполняющих квадрат (в программе с качелями первого вида такого не произошло). И программа сначала выдала 32 идеальных квадрата, ровно половина из которых оказались нетрадиционными, но абсолютно идеальными. Пришлось вставить в программу проверку различности чисел, и тогда получилось всего 16 квадратов. Вот покажу два нетрадиционных идеальных квадрата (рис. 9):

 

 

 

                                                                      Рис. 9

 

Вот такие идеальные квадратики! Всё в них абсолютно правильно, кроме того, что есть одинаковые числа, а это в традиционных магических квадратах не допускается. Когда я пыталась построить идеальный квадрат 15-ого порядка самыми разными способами (ещё до изобретения метода качелей), у меня получился аналогичный идеальный квадрат. Он показан в статье “Нетрадиционные магические квадраты”.

 

Итак, я получила методом качелей 80 идеальных квадратов седьмого порядка двух видов. Как я уже отмечала, это не максимально возможное количество. Квадратов можно получить больше, если задать другие начальные условия для составления программы (более общие). Поставленную задачу я выполнила: показала, что можно запрограммировать метод качелей и получить множество идеальных квадратов.

 

Ещё раз подчеркну, что для идеальных квадратов седьмого порядка качели качаются двумя разными способами – с различными шагами. Первый вид: через 1 ячейку вправо, через 4 ячейки влево; второй вид: через 2 ячейки вправо, через 3 ячейки влево. Сумма шагов в обоих случаях равна 5. Шаг качания качелей определяет схему расположения первых 7 чисел в квадрате. Выше было показано, что перестановка шагов качания качелей не даёт новых квадратов. Поясню это ещё раз. Возьмём качели с такими шагами качания: через 3 ячейки вправо, через 2 ячейки влево, то есть поменяем шаги качания влево и вправо. Вот пример идеального квадрата с таким качанием качелей и рядом с ним его образующая таблица (рис. 10).

 

 

 

                                               Рис. 10

 

А теперь я поверну этот квадрат на 90 градусов по часовой стрелке, а затем отражу его относительно вертикальной оси симметрии. И на рис. 11 показываю полученный в результате таких преобразований (которые, как известно, относятся к группе основных преобразований магических квадратов) квадрат вместе с его образующей таблицей.

 

 

 

                                               Рис. 11

 

Как видите, в этом квадрате качели качаются так: через 1 ячейку вправо, через 4 ячейки влево, а это первый вид качелей, и такой идеальный квадрат был построен с помощью качелей этого вида. Итак, можно сделать вывод: существует только две группы идеальных квадратов седьмого порядка.

 

И последнее существенное замечание. Здесь не были показаны идеальные квадраты седьмого порядка, в левой верхней ячейке которых стоит число отличное от 1. Такие квадраты, конечно же, существуют! Посмотрите на 16 базовых идеальных квадратов пятого порядка, которые приведены в предыдущей части статьи. Не все они начинаются с числа 1. Это вполне понятно. Если составляется банк базовых пандиагональных квадратов, то все квадраты в этом банке должны начинаться с числа 1, потому что любой пандиагональный квадрат можно сделать начинающимся с числа 1 параллельным переносом на торе. С идеальными квадратами, как я уже отмечала, это не проходит. Не всякий идеальный квадрат можно сделать начинающимся с числа 1, потому что при параллельном переносе на торе нарушается ассоциативность квадрата. Приведу для примера два идеальных квадрата седьмого порядка, начинающихся с числа отличного от 1 (рис. 12). Квадраты эти были построены в статье “Магические квадраты седьмого порядка”.

 

 

 

 

 

 

                                                                      Рис. 12

 

Посмотрите, как качаются качели в этих квадратах. Шаги качания одинаковы, через 2 ячейки вправо, через 3 ячейки влево, а схема расположения первых 7 чисел во втором квадрате как бы смещена вправо на одну ячейку. Интересное смещение! Меня заинтересовал этот квадрат, и я применила к нему преобразование нестандартной (одновременной) перестановки строк и столбцов с постоянным шагом, которое было получено мной при исследовании, кажется, идеальных квадратов 15-ого порядка. На рис. 13 вы видите идеальный квадрат, который получился у меня в результате этого преобразования.

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

Посмотрите! Начальная цепочка чисел сместилась влево на одну ячейку и приняла стандартный вид. Ну как же всё красиво! Этот квадрат точно можно считать входящим в банк базовых идеальных квадратов седьмого порядка, потому что все такие квадраты, как мне кажется, должны начинаться с чисел не больших 7 (по аналогии с идеальными квадратами пятого порядка, полный банк которых я привела). А также первый квадрат с рис. 12, который начинается с числа 2.

 

Предлагаю читателям построить для этих квадратов образующие таблицы и посмотреть, как работают качели в этих двух примерах. Думаю, что если в рассмотренных мной примерах составления программ для двух видов качелей не фиксировать положение числа 1 в начальной цепочке чисел, то можно получить квадраты, начинающиеся с других чисел. Попробуйте составить такие программы.

 

Вообще для тех, кто заинтересуется темой, здесь представлен богатый материал для исследования. 80 идеальных квадратов! Изучайте, анализируйте, ищите новые закономерности.

 

А мне не терпится поскорее начать исследование идеальных квадратов 9-ого порядка. О! В который уже раз я буду заниматься этими квадратами. И каждый раз иду по спирали, всё наращивая багаж знаний, методов построения. Я уже построила столько идеальных квадратов 9-ого порядка, что пришла пора их систематизировать. Буду рассматривать их опять же в свете метода качелей. По аналогии  с рассмотренными квадратами пятого и седьмого порядков можно сделать предположение, что здесь качели будут трёх видов, потому что сумма шагов качания качелей для квадратов 9-ого порядка равна 9-2=7, а число 7 можно сложить из двух ненулевых чисел тремя различными способами: 1+6, 2+5, 3+4. Вот и постараюсь разложить все построенные мной идеальные квадраты в эти три группы.

 

Но об этом читайте в следующей части статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob6.htm

 

                                               ***

 

                   Страница помещена на сайт 18 декабря 2007 г.

Последняя редакция 20 декабря 2007 г.

 

Жду ваши отзывы!

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу