ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ
Часть IV
Внимание! Оригинал.
При копировании прошу указывать
ссылку на данную страницу.
Продолжаю представление пар “идеальный квадрат – образующая таблица” для всех идеальных квадратов пятого порядка. Их, как известно, всего 16. В предыдущей части я уже представила 8 квадратов.
Квадрат № 9
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
21 |
9 |
13 |
17 |
|
4 |
23 |
7 |
15 |
16 |
-3 |
1 |
24 |
8 |
12 |
20 |
|
|
12 |
20 |
1 |
24 |
8 |
1 |
4 |
23 |
7 |
15 |
16 |
|
|
21 |
9 |
13 |
17 |
5 |
1 |
3 |
22 |
10 |
11 |
19 |
|
|
18 |
2 |
25 |
6 |
14 |
-3 |
2 |
25 |
6 |
14 |
18 |
|
|
10 |
11 |
19 |
3 |
22 |
|
|
k=4 |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
Квадрат № 10
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
21 |
19 |
13 |
7 |
|
4 |
23 |
17 |
15 |
6 |
-3 |
1 |
24 |
18 |
12 |
10 |
|
|
12 |
10 |
1 |
24 |
18 |
1 |
4 |
23 |
17 |
15 |
6 |
|
|
21 |
19 |
13 |
7 |
5 |
1 |
3 |
22 |
20 |
11 |
9 |
|
|
8 |
2 |
25 |
16 |
14 |
-3 |
2 |
25 |
16 |
14 |
8 |
|
|
20 |
11 |
9 |
3 |
22 |
|
|
k=4 |
k=3 |
k=2 |
k=1 |
Квадрат № 11
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
24 |
8 |
12 |
16 |
|
4 |
23 |
7 |
11 |
20 |
1 |
4 |
23 |
7 |
11 |
20 |
|
|
12 |
16 |
5 |
24 |
8 |
1 |
3 |
22 |
6 |
15 |
19 |
|
|
25 |
9 |
13 |
17 |
1 |
1 |
2 |
21 |
10 |
14 |
18 |
|
|
18 |
2 |
21 |
10 |
14 |
-4 |
1 |
25 |
9 |
13 |
17 |
|
|
6 |
15 |
19 |
3 |
22 |
|
|
k=4 |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
Квадрат № 12
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
24 |
18 |
12 |
6 |
|
4 |
23 |
17 |
11 |
10 |
1 |
4 |
23 |
17 |
11 |
10 |
|
|
12 |
6 |
5 |
24 |
18 |
1 |
3 |
22 |
16 |
15 |
9 |
|
|
25 |
19 |
13 |
7 |
1 |
1 |
2 |
21 |
20 |
14 |
8 |
|
|
8 |
2 |
21 |
20 |
14 |
-4 |
1 |
25 |
19 |
13 |
7 |
|
|
16 |
15 |
9 |
3 |
22 |
|
|
k=4 |
k=3 |
k=2 |
k=1 |
Интересно отметить, что этот квадрат можно получить из квадрата, изображённого на рис. 8 (см. часть III), поворотом на 180 градусов. Напомню, что квадрат на рис. 8 получен методом качелей по тривиальной схеме. Он также может быть получен из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, перестановкой столбцов с шагом 1.
Квадрат № 13
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
23 |
6 |
14 |
17 |
|
5 |
23 |
6 |
14 |
17 |
2 |
3 |
21 |
9 |
12 |
20 |
|
|
11 |
19 |
2 |
25 |
8 |
-3 |
1 |
24 |
7 |
15 |
18 |
|
|
22 |
10 |
13 |
16 |
4 |
2 |
4 |
22 |
10 |
13 |
16 |
|
|
18 |
1 |
24 |
7 |
15 |
-3 |
2 |
25 |
8 |
11 |
19 |
|
|
9 |
12 |
20 |
3 |
21 |
|
|
k=4 |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
Квадрат № 14
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
23 |
16 |
14 |
7 |
|
5 |
23 |
16 |
14 |
7 |
2 |
3 |
21 |
19 |
12 |
10 |
|
|
11 |
9 |
2 |
25 |
18 |
-3 |
1 |
24 |
17 |
15 |
8 |
|
|
22 |
20 |
13 |
6 |
4 |
2 |
4 |
22 |
20 |
13 |
6 |
|
|
8 |
1 |
24 |
17 |
15 |
-3 |
2 |
25 |
18 |
11 |
9 |
|
|
19 |
12 |
10 |
3 |
21 |
|
|
k=4 |
k=3 |
k=2 |
k=1 |
Квадрат № 15
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
23 |
6 |
12 |
19 |
|
5 |
23 |
6 |
12 |
19 |
2 |
3 |
21 |
7 |
14 |
20 |
|
|
11 |
17 |
4 |
25 |
8 |
-1 |
1 |
22 |
9 |
15 |
18 |
|
|
24 |
10 |
13 |
16 |
2 |
-2 |
2 |
24 |
10 |
13 |
16 |
|
|
18 |
1 |
22 |
9 |
15 |
-1 |
4 |
25 |
8 |
11 |
17 |
|
|
7 |
14 |
20 |
3 |
21 |
|
|
k=4 |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
Квадрат № 16
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
23 |
16 |
12 |
9 |
|
5 |
23 |
16 |
12 |
9 |
2 |
3 |
21 |
17 |
14 |
10 |
|
|
11 |
7 |
4 |
25 |
18 |
-1 |
1 |
22 |
19 |
15 |
8 |
|
|
24 |
20 |
13 |
6 |
2 |
-2 |
2 |
24 |
20 |
13 |
6 |
|
|
8 |
1 |
22 |
19 |
15 |
-1 |
4 |
25 |
18 |
11 |
7 |
|
|
17 |
14 |
10 |
3 |
21 |
|
|
k=4 |
k=3 |
k=2 |
k=1 |
Ещё раз подчеркну, что в этом банке идеальных квадратов пятого порядка базовым является квадрат № 1. Из него можно получить остальные 15 квадратов, применяя комбинации различных преобразований. Так что можно сказать, что идеальный квадрат пятого порядка всего один.
В квадрате № 16 я раскрасила все циклы качания качелей. Обратите внимание: пять разных цветов, соответствующих пяти циклам качания качелей (считая нулевой цикл – начальную цепочку первых 5 чисел), и в любой строке, в любом столбце, в любой диагонали (как главной, так и разломанной) каждый цвет встречается только один раз. Удивительная гармония!
Когда я исследовала пандиагональные квадраты пятого порядка, то обнаружила целый ряд интересных преобразований “плюс минус …” просто визуально сравнивая квадраты. А теперь я так хорошо вижу, например, преобразование “плюс минус 10”! Это преобразование связывает любые два квадрата, которые имеют одинаковую начальную цепочку первых 5 чисел. Покажу это на примере последних двух квадратов - № 15 и № 16. Посмотрите на образующие таблицы этих квадратов, в них поменялись местами два столбца, а столбцы, как знает читатель, – это циклы качания качелей. Я поместила рядом на рис. 1 оба эти квадрата, в которых раскрасила нулевой цикл качания качелей (это начальная цепочка первых 5 чисел, она одинаковая в этих квадратах) и те два цикла, которые поменялись местами. Видите, как хорошо здесь видно преобразование “плюс минус 10”. Просто здорово!
Квадрат № 15 Квадрат № 16
|
5 |
23 |
6 |
12 |
19 |
|
5 |
23 |
16 |
12 |
9 |
|
11 |
17 |
4 |
25 |
8 |
11 |
7 |
4 |
25 |
18 |
|
|
24 |
10 |
13 |
16 |
2 |
24 |
20 |
13 |
6 |
2 |
|
|
18 |
1 |
22 |
9 |
15 |
8 |
1 |
22 |
19 |
15 |
|
|
7 |
14 |
20 |
3 |
21 |
17 |
14 |
10 |
3 |
21 |
Рис. 1
Вот какие интересные вещи открывает мне метод качелей! Среди квадратов, имеющих разные нулевые циклы качания качелей я обнаружила два квадрата, связанных преобразованием “плюс минус 2”. Это квадраты № 13 и № 15. Впрочем, как я уже сказала, все 15 идеальных квадратов связаны различными преобразованиями или их комбинацией с квадратом № 1. Это было доказано мной при исследовании банка пандиагональных квадратов пятого порядка: не только все идеальные, но и вообще все 143 пандиагональных квадрата могут быть получены из квадрата № 1 применением комбинации различных преобразований.
Заметьте, что качели в квадратах пятого порядка качаются так: через 2 ячейки вправо, через 1 ячейку влево, сумма шагов равна 3. Я заметила во всех рассмотренных мной ранее качелях, что сумма шагов качания качелей влево-вправо всегда равна n-2 (n – порядок квадрата). А поскольку сумма шагов, равная 3, может сложиться только из двух разных чисел – 1 и 2 (шаг не может быть равен 0), то и схема расположения начальной цепочки 5 первых чисел в идеальных квадратах пятого порядка имеет только один вид. Вот и получается, что идеальный квадрат пятого порядка всего один (см. замечание выше)!
Уже совсем не так в идеальных квадратах седьмого порядка. Там сумма шагов качания качелей равна 5, а эта сумма может сложиться двумя различными способами: 1+4 и 2+3. Тогда можно предположить, что схема расположения первых 7 чисел в идеальных квадратах седьмого порядка имеет два вида.
А теперь мне пришла в голову мысль, а что если я нарисую образующую таблицу не для идеального квадрата пятого порядка, а просто для пандиагонального (то есть он не является ассоциативным). Реализовала эту идею, на рис. 2 вы видите пандиагональный квадрат рядом с его образующей таблицей. И значит, качели работают вообще для всех пандиагональных квадратов! Это уже заявка на метод построения пандиагональных квадратов, альтернативный матричному методу, который был найден мной по ссылке
http://www.grogono.com/magic/5x5.php
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
18 |
12 |
9 |
21 |
|
1 |
20 |
13 |
7 |
24 |
1 |
3 |
17 |
14 |
6 |
25 |
|
|
8 |
22 |
4 |
16 |
15 |
-2 |
2 |
19 |
11 |
10 |
23 |
|
|
19 |
11 |
10 |
23 |
2 |
3 |
4 |
16 |
15 |
8 |
22 |
|
|
25 |
3 |
17 |
14 |
6 |
-4 |
1 |
20 |
13 |
7 |
24 |
|
|
12 |
9 |
21 |
5 |
18 |
|
|
k=3 |
k=2 |
k=1 |
k=4 |
Рис. 2
Я уже писала о матричном методе построения пандиагональных квадратов, применила его для квадратов 7, 8, 9 порядков.
Напомню читателям, что, начиная своё исследование пандиагональных квадратов пятого порядка, я не знала ни одного метода их построения, и у меня было всего пять квадратов, найденных в Интернете. Эти пять квадратов я и раскрутила, нашла все 144 базовых пандиагональных квадрата, установила связи между ними. Это была увлекательнейшая работа! Я придумала около 10 различных программ для построения этих квадратов. Каждая из них дала мне свои результаты. Вы можете познакомиться с этими исследованиями в статье “Пандиагональные квадраты пятого порядка”.
И только через некоторое время, когда я уже занималась пандиагональными квадратами 9-ого порядка, был найден в Интернете матричный метод построения, который, кстати сказать, даёт абсолютно те же 144 базовых пандиагональных квадрата. Иначе и быть не могло! Это подтвердило правильность моих исследований. Хотя я затратила очень много труда и времени на эту работу, которую можно было сделать в считанные минуты, используя матричный метод построения, но зато испытала истинный восторг, всё получив самостоятельно. В процессе этой работы я нашла удивительнейшее преобразование, сохраняющее пандиагональность квадратов, – “строки-диагонали”, а также ряд других интересных преобразований, например, “плюс-минус …”.
А теперь вот нашла ещё один метод построения пандиагональных квадратов пятого порядка – это метод качелей. Итак, рисую образующую таблицу для всех пандиагональных квадратов (рис. 3) и составляю программу для получения всех таких образующих таблиц, которые порождают пандиагональные квадраты.
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
I-J |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
J-K |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
K-L |
K |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
L-5 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
k= |
k= |
k= |
k= |
Рис. 3
Как видите, я зафиксировала только одно число в начальной цепочке, это число 5. Остальные 4 числа будут принимать всевозможные значения. Понятно, что всего вариантов перестановок чисел в начальной цепочке 24. Кроме того, для каждого варианта начальной цепочки будет 24 варианта различных наборов чисел в столбцах образующей таблицы (то есть циклов качания качелей). Итого программа рассмотрит 576 вариантов, и только 144 из них будут удовлетворять условию пандиагональности порождаемого образующей таблицей квадрата.
Итак, программа быстренько написана. Прямо горит во мне азарт исследователя! Запускаю программу и – в одну секунду она выдаёт мне ровно 144 образующих таблицы! Я не стала задавать в программе блок для написания по образующей таблице самого квадрата, это и вручную делается очень просто. Помещаю на сайт файл, в который программа записала образующие таблицы, чтобы вы сами могли увидеть эти таблицы. Просто фантастика! За одну секунду получаю все 144 базовых пандиагональных квадрата, над которыми я работала месяц. Файл с таблицами здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/obraztab.htm
Приведу первые пять таблиц из этого файла и покажу, как по образующей таблице написать сам квадрат, ну, для парочки квадратов. Это я делала уже много раз и читатели уже, наверное, прекрасно сами справятся с превращением образующих таблиц в пандиагональные квадраты. Да, замечу, что 16 идеальных квадратов, конечно же, находятся среди этих 144 пандиагональных квадратов. Итак, это первые 5 образующих таблиц:
1
5 7 13 19 21
2 8 14 16 25
3 9 11 20 22
4 6 15 17 23
1 10 12 18 24
2
5 7 13 24 16
2 8 14 21 20
3 9 11 25 17
4 6 15 22 18
1 10 12 23 19
3
5 7 18 14 21
2 8 19 11 25
3 9 16 15 22
4 6 20 12 23
1 10 17 13 24
4
5 7 18 24 11
2 8 19 21 15
3 9 16 25 12
4 6 20 22 13
1 10 17 23 14
5
5 7 23 14 16
2 8 24 11 20
3 9 21 15 17
4 6 25 12 18
1 10 22 13 19
На рис. 4 вы видите пандиагональные квадраты, соответствующие первым двум таблицам.
|
1 |
10 |
12 |
18 |
24 |
|
1 |
10 |
12 |
23 |
19 |
|
17 |
23 |
4 |
6 |
15 |
22 |
18 |
4 |
6 |
15 |
|
|
9 |
11 |
20 |
22 |
3 |
9 |
11 |
25 |
17 |
3 |
|
|
25 |
2 |
8 |
14 |
16 |
20 |
2 |
8 |
14 |
21 |
|
|
13 |
19 |
21 |
5 |
7 |
13 |
24 |
16 |
5 |
7 |
Рис. 4
И посмотрите! Эти два квадрата связаны преобразованием “плюс-минус 5”, потому что в них просто поменялись местами два цикла качания качелей (два столбца образующих таблиц). Я раскрасила эти два цикла, и преобразование стало очень наглядно. Все числа в голубых ячейках левого квадрата увеличены на 5 и превратились в белые ячейки правого квадрата; а все числа в белых ячейках левого квадрата уменьшены на 5 и превратились в голубые ячейки правого квадрата. Все подобные преобразования я раньше определяла, как говорится, на глаз.
***
Мне так понравились качели для идеальных квадратов пятого порядка, что я не могла удержаться от искушения посмотреть на качели для идеальных квадратов седьмого порядка. Расскажу об этом исследовании в следующий раз. Интереснейшее должно быть исследование! Читатели могут начать его прямо сейчас, по аналогии с квадратами пятого порядка. На сайте есть прекрасное Приложение (к статье “Магические квадраты седьмого порядка”), содержащее 720 пандиагональных квадратов седьмого порядка, построенных мной матричным методом. Вчера я посмотрела это Приложение и увидела там несколько пандиагональных квадратов, которые можно превратить в идеальные применением преобразования “строки-диагонали”. Вот ссылка на это Приложение:
http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pan7pril.htm
Попробуйте самостоятельно начать исследование идеальных квадратов седьмого порядка. А потом посмотрите на мои результаты.
Кроме того, мне кажется, что, рассмотрев внимательно все образующие таблицы для идеальных квадратов пятого порядка, я проникла в тайну их формирования, и теперь могу составить программу, по которой получу все образующие таблицы для идеальных квадратов седьмого порядка. Ну, если не все, то, по крайней мере, для квадратов, начинающихся с числа 1 (число 1 находится в левой верхней ячейке). Квадраты, которые начинаются с числа 1, – это самые лучшие, самые идеальные в моём понимании квадраты. Я уже начала писать программу. Чертовски интересно, что получится!
***
Продолжение читайте в следующей части:
http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob5.htm
Пишите мне!
На главную страницу