ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть III

 

                                                                                                          Внимание! Оригинал.

                                                               При копировании прошу указывать

                                                               ссылку на данную страницу.

 

 

Во второй части статьи я остановилась на построении самого идеального квадрата 21-ого порядка, то есть такого, который начинается с числа 1. Это мои самые любимые квадраты! Для этого я сначала перенесла квадрат с рис. 24 на торе так, чтобы число 1 оказалось в левой верхней ячейке. Полученный квадрат вы видите на рис. 1

 

 

 

                                                                                  Рис. 1

 

Этот квадрат по-прежнему пандиагональный, но он утратил ассоциативность. Чтобы вернуть ему ассоциативность и сделать его идеальным, я применяю к нему преобразование “строки-диагонали”. На рис. 2 вы видите полученный идеальный (самый идеальный!) квадрат 21-ого порядка.

 

 

 

                                                                                  Рис. 2

 

О матрице преобразования “строки-диагонали” скажу кратко. Я представляла такую матрицу для квадратов порядков 5, 7, 9, 11, 15. Читатели могут самостоятельно написать эту матрицу для квадрата 21-ого порядка, используя представленный здесь пример применения преобразования. На рис. 3 я показываю заготовку для матрицы преобразования:

 

 

 

                                                                       Рис. 3

 

Заполнить эту заготовку очень просто: всё очень симметрично. Не перестаю удивляться гармонии этого преобразования!

 

Но вернёмся к идеальному квадрату, изображённому на рис. 2. В нём тоже работают качели! Только нестандартные качели. Я приводила пример таких качелей для квадратов 9-ого и 15-ого порядка (см. часть II). Приведу образующую таблицу и для этого идеального квадрата. На рисунке я раскрасила три цикла качания качелей (не считая нулевого). Обратите внимание, что качели здесь качаются влево-вправо с другим шагом. Для стандартных качелей было так: через 10 ячеек вправо, через 9 ячеек влево (сумма шагов равна 19). Здесь качели качаются так: через 2 ячейки вправо, через 17 ячеек влево (сумма шагов снова равна 19!). Итак, показываю на рис. 4 образующую таблицу для идеального квадрата, изображённого на рис. 2. Заметьте, что здесь я по готовому квадрату воссоздаю его образующую таблицу.

 

	21	279	89	238	40	135	262	378	384	47	70	187	303	409	210	342	152	427	334	219	115
-13	2	291	88	251	29	137	266	359	396	46	83	176	305	413	191	354	151	440	323	221	119
9	15	290	100	232	33	139	255	372	395	58	64	180	307	402	204	353	163	421	327	223	108
-12	6	278	91	250	30	136	273	363	383	49	82	177	304	420	195	341	154	439	324	220	126
1	18	277	104	239	32	140	254	375	382	62	71	179	308	401	207	340	167	428	326	224	107
12	17	289	85	243	34	129	267	374	394	43	75	181	297	414	206	352	148	432	328	213	120
1	5	280	103	240	31	147	258	362	385	61	72	178	315	405	194	343	166	429	325	231	111
-12	4	293	92	242	35	128	270	361	398	50	74	182	296	417	193	356	155	431	329	212	123
9	16	274	96	244	24	141	269	373	379	54	76	171	309	416	205	337	159	433	318	225	122
-13	7	292	93	241	42	132	257	364	297	51	73	189	300	404	196	355	156	430	336	216	110
19	20	281	95	245	23	144	256	377	386	53	77	170	312	403	209	344	158	434	317	228	109
-18	1	285	97	234	36	143	268	358	390	55	66	183	311	415	190	348	160	423	330	227	121
11	19	282	94	252	27	131	259	376	387	52	84	174	299	406	208	345	157	441	321	215	112
-4	8	284	98	233	39	130	272	365	389	56	65	186	298	419	197	347	161	422	333	214	125
3	12	286	87	246	38	142	253	369	391	45	78	185	310	400	201	349	150	435	332	226	106
-2	9	283	105	237	26	133	271	366	388	63	69	173	301	418	198	346	168	426	320	217	124
-2	11	287	86	249	25	146	260	368	392	44	81	172	314	407	200	350	149	438	319	230	113
3	13	276	99	248	37	127	264	370	381	57	80	184	295	411	202	339	162	437	331	211	117
-4	10	294	90	236	28	145	261	367	399	48	68	175	313	408	199	357	153	425	322	229	114
11	14	275	102	235	41	134	263	371	380	60	67	188	302	410	203	338	165	424	335	218	116
-18	3	288	101	247	22	138	265	360	393	59	79	169	306	412	192	351	164	436	316	222	118
		k=13	k=4	k=11	k=1	k=6	k=12	k=17	k=18	k=2	k=3	k=8	k=14	k=19	k=9	k=16	k=7	k=20	k=15	k=10	k=5

 

                                                                                                                      Рис. 4

 

Я анализировала образующую таблицу для нестандартных качелей на примере квадрата 15-ого порядка. Предлагаю читателям внимательно изучить образующую таблицу для нестандартных качелей квадрата 21-ого порядка, показанную на рис. 4. Основной принцип качелей здесь работает, а именно: формирование наборов чисел в циклах качания качелей (в столбцах таблицы). Однако ряд других закономерностей, установленных для стандартных качелей, здесь не соблюдается. Но, наверное, можно проникнуть и в тайну всех законов формирования этой таблицы. Например, обратите внимание, как располагаются максимальные числа, кратные порядку квадрата, в столбцах таблицы. Тоже по принципу качелей, только вверх-вниз, и даже с таким же шагом: через 2 ячейки вверх, через 17 ячеек вниз. Столбец разностей состоит из двух половинок, в каждой из которых наблюдается своя симметрия. Ну, если посмотреть внимательнее, можно найти ещё какие-нибудь закономерности. А закономерности, понятно, нужны, чтобы такую образующую таблицу можно было получить по программе (как это делается для стандартных качелей), а уже по этой таблице построить идеальный квадрат.

 

Решила посмотреть на чётно-нечётный рисунок своего самого любимого идеального квадрата 21-ого порядка. Вот он, на рис. 5.

 

 

 

                                                                      Рис. 5

 

Вот такой оригинальный рисунок, симметрия здесь относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

Далее у нас на очереди квадраты 33-ого порядка. Предлагаю читателям построить идеальный квадрат 33-ого порядка методом (стандартных) качелей. Всё надо делать совершенно аналогично построению качелей для идеального квадрата 21-ого порядка (см. часть II этой статьи). Конечно, здесь программа будет ещё больше, число переменных увеличится, и найти нужную последовательность первых 33 чисел очень быстро не получится. Ну, надо придумать какие-нибудь хитрости, подобно тому, как я придумала в программе для квадратов 21-ого порядка.

 

А я хочу подчеркнуть, что, имея много идеальных квадратов, мы легко можем строить другие идеальные квадраты на базе известных квадратов низших порядков. Например, нам надо построить идеальный квадрат 75-ого порядка. Можно, конечно, построить его методом качелей, но представляете, какая будет программа для формирования образующей таблицы! Лучше применим более простой метод: построим этот идеальный квадрат на базе идеального квадрата пятого порядка, взяв за основной квадрат идеальный квадрат 15-ого порядка (75=5*15). Идеальные квадраты пятого и 15-ого порядков у нас имеются. В качестве базового квадрата возьму идеальный квадрат, который вы видите на рис. 6. А в качестве основного – идеальный квадрат 15-ого порядка, построенный мной в части II, который начинается с числа 1 (рис. 7). В результате я получу идеальный квадрат 75-ого порядка, который тоже будет начинаться с 1. Конечно, для этого я составила программку, она выполнилась за долю секунды, и квадрат готов! Не надо составлять огромную программу и целый час или даже больше ждать от неё результатов.

 

 

                                                   Рис. 6

 

 

 

                                                                     Рис. 7

 

И вот перед вами идеальный квадрат 75-ого порядка! Он представлен здесь в виде трёх частей, как бы разрезан дважды по вертикали. Чтобы получить весь квадрат полностью, присоедините каждую следующую часть к предыдущей. Ориентиром служит центральное число, которое находится во второй части квадрата. Это число 2813 = (n² + 1)/2. Магическая константа этого квадрата равна 210975.

Время на построение этого квадрата только то, что вы затратите на написание программы, которая, разумеется, очень простая. Для её написания понадобится минут 10-20. А выполняется эта программа, как я уже сказала, долю секунды – глазом не успеете моргнуть!

Варьируя базовый и основной квадраты, по этой же программе вы можете построить несколько идеальных квадратов. Подчеркну, что и базовый, и основной квадраты должны быть идеальными.

 

 

идеальный квадрат 75-ого порядка:

 

 

Часть 1

 

1  93  27  44  70  46  168  162  194  205  121  213  147  119  85  4951  5043  4977  4994  5020  4996  5118  5112  5144  5155

 37  65  56  174  158  187  200  131  219  143  112  80  11  99  23  4987  5015  5006  5124  5108  5137  5150  5081  5169  5093

 167  154  193  210  126  212  139  118  90  6  92  19  43  75  51  5117  5104  5143  5160  5076  5162  5089  5068  5040  4956

 198  132  224  145  106  78  12  104  25  31  63  57  179  160  181  5148  5082  5174  5095  5056  5028  4962  5054  4975  4981

 140  116  84  8  97  20  41  69  53  172  155  191  204  128  217  5090  5066  5034  4958  5047  4970  4991  5019  5003  5122

 4  103  30  36  62  49  178  165  186  197  124  223  150  111  77  4954  5053  4980  4986  5012  4999  5128  5115  5136  5147

 42  74  55  166  153  192  209  130  211  138  117  89  10  91  18  4992  5024  5005  5116  5103  5142  5159  5080  5161  5088

 176  159  188  202  125  221  144  113  82  5  101  24  38  67  50  5126  5109  5138  5152  5075  5171  5094  5063  5032  4955

 208  135  216  137  109  88  15  96  17  34  73  60  171  152  184  5158  5085  5166  5087  5059  5038  4965  5046  4967  4984

 149  115  76  3  102  29  40  61  48  177  164  190  196  123  222  5099  5065  5026  4953  5052  4979  4990  5011  4998  5127

 9  98  22  35  71  54  173  157  185  206  129  218  142  110  86  4959  5048  4972  4985  5021  5004  5123  5107  5135  5156

 45  66  47  169  163  195  201  122  214  148  120  81  2  94  28  4995  5016  4997  5119  5113  5145  5151  5072  5164  5098

 175  151  183  207  134  220  136  108  87  14  100  16  33  72  59  5125  5101  5133  5157  5084  5170  5086  5058  5037  4964

 203  127  215  146  114  83  7  95  26  39  68  52  170  161  189  5153  5077  5165  5096  5064  5033  4957  5045  4976  4989

 141  107  79  13  105  21  32  64  58  180  156  182  199  133  225  5091  5057  5029  4963  5055  4971  4982  5014  5008  5130

 3151  3243  3177  3194  3220  3196  3318  3312  3344  3355  3271  3363  3297  3269  3235  4051  4143  4077  4094  4120  4096  4218  4212  4244  4255

 3187  3215  3206  3324  3308  3337  3350  3281  3369  3293  3262  3230  3161  3249  3173  4087  4115  4106  4224  4208  4237  4250  4181  4269  4193

 3317  3304  3343  3360  3276  3362  3289  3268  3240  3156  3242  3169  3193  3225  3201  4217  4204  4243  4260  4176  4262  4189  4168  4140  4056

 3348  3282  3374  3295  3256  3228  3162  3254  3175  3181  3213  3207  3329  3310  3331  4248  4182  4274  4195  4156  4128  4062  4154  4075  4081

 3290  3266  3234  3158  3247  3170  3191  3219  3203  3322  3305  3341  3354  3278  3367  4190  4166  4134  4058  4147  4070  4091  4119  4103  4222

 3154  3253  3180  3186  3212  3199  3328  3315  3336  3347  3274  3373  3300  3261  3227  4054  4153  4080  4086  4112  4099  4228  4215  4236  4247

 3192  3224  3205  3316  3303  3342  3359  3280  3361  3288  3267  3239  3160  3241  3168  4092  4124  4105  4216  4203  4242  4259  4180  4261  4188

 3326  3309  3338  3352  3275  3371  3294  3263  3232  3155  3251  3174  3188  3217  3200  4226  4209  4238  4252  4175  4271  4194  4163  4132  4055

 3358  3285  3366  3287  3259  3238  3165  3246  3167  3184  3223  3210  3321  3302  3334  4258  4185  4266  4187  4159  4138  4065  4146  4067  4084

 3299  3265  3226  3153  3252  3179  3190  3211  3198  3327  3314  3340  3346  3273  3372  4199  4165  4126  4053  4152  4079  4090  4111  4098  4227

 3159  3248  3172  3185  3221  3204  3323  3307  3335  3356  3279  3368  3292  3260  3236  4059  4148  4072  4085  4121  4104  4223  4207  4235  4256

 3195  3216  3197  3319  3313  3345  3351  3272  3364  3298  3270  3231  3152  3244  3178  4095  4116  4097  4219  4213  4245  4251  4172  4264  4198

 3325  3301  3333  3357  3284  3370  3286  3258  3237  3164  3250  3166  3183  3222  3209  4225  4201  4233  4257  4184  4270  4186  4158  4137  4064

 3353  3277  3365  3296  3264  3233  3157  3245  3176  3189  3218  3202  3320  3311  3339  4253  4177  4265  4196  4164  4133  4057  4145  4076  4089

 3291  3257  3229  3163  3255  3171  3182  3214  3208  3330  3306  3332  3349  3283  3375  4191  4157  4129  4063  4155  4071  4082  4114  4108  4230

 4726  4818  4752  4769  4795  4771  4893  4887  4919  4930  4846  4938  4872  4844  4810  1126  1218  1152  1169  1195  1171  1293  1287  1319  1330

 4762  4790  4781  4899  4883  4912  4925  4856  4944  4868  4837  4805  4736  4824  4748  1162  1190  1181  1299  1283  1312  1325  1256  1344  1268

 4892  4879  4918  4935  4851  4937  4864  4843  4815  4731  4817  4744  4768  4800  4776  1292  1279  1318  1335  1251  1337  1264  1243  1215  1131

 4923  4857  4949  4870  4831  4803  4737  4829  4750  4756  4788  4782  4904  4885  4906  1323  1257  1349  1270  1231  1203  1137  1229  1150  1156

 4865  4841  4809  4733  4822  4745  4766  4794  4778  4897  4880  4916  4929  4853  4942  1265  1241  1209  1133  1222  1145  1166  1194  1178  1297

 4729  4828  4755  4761  4787  4774  4903  4890  4911  4922  4849  4948  4875  4836  4802  1129  1228  1155  1161  1187  1174  1303  1290  1311  1322

 4767  4799  4780  4891  4878  4917  4934  4855  4936  4863  4842  4814  4735  4816  4743  1167  1199  1180  1291  1278  1317  1334  1255  1336  1263

 4901  4884  4913  4927  4850  4946  4869  4838  4807  4730  4826  4749  4763  4792  4775  1301  1284  1313  1327  1250  1346  1269  1238  1207  1130

 4933  4860  4941  4862  4834  4813  4740  4821  4742  4759  4798  4785  4896  4877  4909  1333  1260  1341  1262  1234  1213  1140  1221  1142  1159

 4874  4840  4801  4728  4827  4754  4765  4786  4773  4902  4889  4915  4921  4848  4947  1274  1240  1201  1128  1227  1154  1165  1186  1173  1302

 4734  4823  4747  4760  4796  4779  4898  4882  4910  4931  4854  4943  4867  4835  4811  1134  1223  1147  1160  1196  1179  1298  1282  1310  1331

 4770  4791  4772  4894  4888  4920  4926  4847  4939  4873  4845  4806  4727  4819  4753  1170  1191  1172  1294  1288  1320  1326  1247  1339  1273

 4900  4876  4908  4932  4859  4945  4861  4833  4812  4739  4825  4741  4758  4797  4784  1300  1276  1308  1332  1259  1345  1261  1233  1212  1139

 4928  4852  4940  4871  4839  4808  4732  4820  4751  4764  4793  4777  4895  4886  4914  1328  1252  1340  1271  1239  1208  1132  1220  1151  1164

 4866  4832  4804  4738  4830  4746  4757  4789  4783  4905  4881  4907  4924  4858  4950  1266  1232  1204  1138  1230  1146  1157  1189  1183  1305

 3826  3918  3852  3869  3895  3871  3993  3987  4019  4030  3946  4038  3972  3944  3910  901  993  927  944  970  946  1068  1062  1094  1105

 3862  3890  3881  3999  3983  4012  4025  3956  4044  3968  3937  3905  3836  3924  3848  937  965  956  1074  1058  1087  1100  1031  1119  1043

 3992  3979  4018  4035  3951  4037  3964  3943  3915  3831  3917  3844  3868  3900  3876  1067  1054  1093  1110  1026  1112  1039  1018  990  906

 4023  3957  4049  3970  3931  3903  3837  3929  3850  3856  3888  3882  4004  3985  4006  1098  1032  1124  1045  1006  978  912  1004  925  931

 3965  3941  3909  3833  3922  3845  3866  3894  3878  3997  3980  4016  4029  3953  4042  1040  1016  984  908  997  920  941  969  953  1072

 3829  3928  3855  3861  3887  3874  4003  3990  4011  4022  3949  4048  3975  3936  3902  904  1003  930  936  962  949  1078  1065  1086  1097

 3867  3899  3880  3991  3978  4017  4034  3955  4036  3963  3942  3914  3835  3916  3843  942  974  955  1066  1053  1092  1109  1030  1111  1038

 4001  3984  4013  4027  3950  4046  3969  3938  3907  3830  3926  3849  3863  3892  3875  1076  1059  1088  1102  1025  1121  1044  1013  982  905

 4033  3960  4041  3962  3934  3913  3840  3921  3842  3859  3898  3885  3996  3977  4009  1108  1035  1116  1037  1009  988  915  996  917  934

 3974  3940  3901  3828  3927  3854  3865  3886  3873  4002  3989  4015  4021  3948  4047  1049  1015  976  903  1002  929  940  961  948  1077

 3834  3923  3847  3860  3896  3879  3998  3982  4010  4031  3954  4043  3967  3935  3911  909  998  922  935  971  954  1073  1057  1085  1106

 3870  3891  3872  3994  3988  4020  4026  3947  4039  3973  3945  3906  3827  3919  3853  945  966  947  1069  1063  1095  1101  1022  1114  1048

 4000  3976  4008  4032  3959  4045  3961  3933  3912  3839  3925  3841  3858  3897  3884  1075  1051  1083  1107  1034  1120  1036  1008  987  914

 4028  3952  4040  3971  3939  3908  3832  3920  3851  3864  3893  3877  3995  3986  4014  1103  1027  1115  1046  1014  983  907  995  926  939

 3966  3932  3904  3838  3930  3846  3857  3889  3883  4005  3981  4007  4024  3958  4050  1041  1007  979  913  1005  921  932  964  958  1080

 1801  1893  1827  1844  1870  1846  1968  1962  1994  2005  1921  2013  1947  1919  1885  2476  2568  2502  2519  2545  2521  2643  2637  2669  2680

 1837  1865  1856  1974  1958  1987  2000  1931  2019  1943  1912  1880  1811  1899  1823  2512  2540  2531  2649  2633  2662  2675  2606  2694  2618

 1967  1954  1993  2010  1926  2012  1939  1918  1890  1806  1892  1819  1843  1875  1851  2642  2629  2668  2685  2601  2687  2614  2593  2565  2481

 1998  1932  2024  1945  1906  1878  1812  1904  1825  1831  1863  1857  1979  1960  1981  2673  2607  2699  2620  2581  2553  2487  2579  2500  2506

 1940  1916  1884  1808  1897  1820  1841  1869  1853  1972  1955  1991  2004  1928  2017  2615  2591  2559  2483  2572  2495  2516  2544  2528  2647

 1804  1903  1830  1836  1862  1849  1978  1965  1986  1997  1924  2023  1950  1911  1877  2479  2578  2505  2511  2537  2524  2653  2640  2661  2672

 1842  1874  1855  1966  1953  1992  2009  1930  2011  1938  1917  1889  1810  1891  1818  2517  2549  2530  2641  2628  2667  2684  2605  2686  2613

 1976  1959  1988  2002  1925  2021  1944  1913  1882  1805  1901  1824  1838  1867  1850  2651  2634  2663  2677  2600  2696  2619  2588  2557  2480

 2008  1935  2016  1937  1909  1888  1815  1896  1817  1834  1873  1860  1971  1952  1984  2683  2610  2691  2612  2584  2563  2490  2571  2492  2509

 1949  1915  1876  1803  1902  1829  1840  1861  1848  1977  1964  1990  1996  1923  2022  2624  2590  2551  2478  2577  2504  2515  2536  2523  2652

 1809  1898  1822  1835  1871  1854  1973  1957  1985  2006  1929  2018  1942  1910  1886  2484  2573  2497  2510  2546  2529  2648  2632  2660  2681

 1845  1866  1847  1969  1963  1995  2001  1922  2014  1948  1920  1881  1802  1894  1828  2520  2541  2522  2644  2638  2670  2676  2597  2689  2623

 1975  1951  1983  2007  1934  2020  1936  1908  1887  1814  1900  1816  1833  1872  1859  2650  2626  2658  2682  2609  2695  2611  2583  2562  2489

 2003  1927  2015  1946  1914  1883  1807  1895  1826  1839  1868  1852  1970  1961  1989  2678  2602  2690  2621  2589  2558  2482  2570  2501  2514

 1941  1907  1879  1813  1905  1821  1832  1864  1858  1980  1956  1982  1999  1933  2025  2616  2582  2554  2488  2580  2496  2507  2539  2533  2655

 

Часть 2

 

 5071  5163  5097  5069  5035  2026  2118  2052  2069  2095  2071  2193  2187  2219  2230  2146  2238  2172  2144  2110  2926  3018  2952  2969  2995

 5062  5030  4961  5049  4973  2062  2090  2081  2199  2183  2212  2225  2156  2244  2168  2137  2105  2036  2124  2048  2962  2990  2981  3099  3083

 5042  4969  4993  5025  5001  2192  2179  2218  2235  2151  2237  2164  2143  2115  2031  2117  2044  2068  2100  2076  3092  3079  3118  3135  3051

 5013  5007  5129  5110  5131  2223  2157  2249  2170  2131  2103  2037  2129  2050  2056  2088  2082  2204  2185  2206  3123  3057  3149  3070  3031

 5105  5141  5154  5078  5167  2165  2141  2109  2033  2122  2045  2066  2094  2078  2197  2180  2216  2229  2153  2242  3065  3041  3009  2933  3022

 5074  5173  5100  5061  5027  2029  2128  2055  2061  2087  2074  2203  2190  2211  2222  2149  2248  2175  2136  2102  2929  3028  2955  2961  2987

 5067  5039  4960  5041  4968  2067  2099  2080  2191  2178  2217  2234  2155  2236  2163  2142  2114  2035  2116  2043  2967  2999  2980  3091  3078

 5051  4974  4988  5017  5000  2201  2184  2213  2227  2150  2246  2169  2138  2107  2030  2126  2049  2063  2092  2075  3101  3084  3113  3127  3050

 5023  5010  5121  5102  5134  2233  2160  2241  2162  2134  2113  2040  2121  2042  2059  2098  2085  2196  2177  2209  3133  3060  3141  3062  3034

 5114  5140  5146  5073  5172  2174  2140  2101  2028  2127  2054  2065  2086  2073  2202  2189  2215  2221  2148  2247  3074  3040  3001  2928  3027

 5079  5168  5092  5060  5036  2034  2123  2047  2060  2096  2079  2198  2182  2210  2231  2154  2243  2167  2135  2111  2934  3023  2947  2960  2996

 5070  5031  4952  5044  4978  2070  2091  2072  2194  2188  2220  2226  2147  2239  2173  2145  2106  2027  2119  2053  2970  2991  2972  3094  3088

 5050  4966  4983  5022  5009  2200  2176  2208  2232  2159  2245  2161  2133  2112  2039  2125  2041  2058  2097  2084  3100  3076  3108  3132  3059

 5018  5002  5120  5111  5139  2228  2152  2240  2171  2139  2108  2032  2120  2051  2064  2093  2077  2195  2186  2214  3128  3052  3140  3071  3039

 5106  5132  5149  5083  5175  2166  2132  2104  2038  2130  2046  2057  2089  2083  2205  2181  2207  2224  2158  2250  3066  3032  3004  2938  3030

 4171  4263  4197  4169  4135  226  318  252  269  295  271  393  387  419  430  346  438  372  344  310  4501  4593  4527  4544  4570

 4162  4130  4061  4149  4073  262  290  281  399  383  412  425  356  444  368  337  305  236  324  248  4537  4565  4556  4674  4658

 4142  4069  4093  4125  4101  392  379  418  435  351  437  364  343  315  231  317  244  268  300  276  4667  4654  4693  4710  4626

 4113  4107  4229  4210  4231  423  357  449  370  331  303  237  329  250  256  288  282  404  385  406  4698  4632  4724  4645  4606

 4205  4241  4254  4178  4267  365  341  309  233  322  245  266  294  278  397  380  416  429  353  442  4640  4616  4584  4508  4597

 4174  4273  4200  4161  4127  229  328  255  261  287  274  403  390  411  422  349  448  375  336  302  4504  4603  4530  4536  4562

 4167  4139  4060  4141  4068  267  299  280  391  378  417  434  355  436  363  342  314  235  316  243  4542  4574  4555  4666  4653

 4151  4074  4088  4117  4100  401  384  413  427  350  446  369  338  307  230  326  249  263  292  275  4676  4659  4688  4702  4625

 4123  4110  4221  4202  4234  433  360  441  362  334  313  240  321  242  259  298  285  396  377  409  4708  4635  4716  4637  4609

 4214  4240  4246  4173  4272  374  340  301  228  327  254  265  286  273  402  389  415  421  348  447  4649  4615  4576  4503  4602

 4179  4268  4192  4160  4136  234  323  247  260  296  279  398  382  410  431  354  443  367  335  311  4509  4598  4522  4535  4571

 4170  4131  4052  4144  4078  270  291  272  394  388  420  426  347  439  373  345  306  227  319  253  4545  4566  4547  4669  4663

 4150  4066  4083  4122  4109  400  376  408  432  359  445  361  333  312  239  325  241  258  297  284  4675  4651  4683  4707  4634

 4118  4102  4220  4211  4239  428  352  440  371  339  308  232  320  251  264  293  277  395  386  414  4703  4627  4715  4646  4614

 4206  4232  4249  4183  4275  366  332  304  238  330  246  257  289  283  405  381  407  424  358  450  4641  4607  4579  4513  4605

 1246  1338  1272  1244  1210  2701  2793  2727  2744  2770  2746  2868  2862  2894  2905  2821  2913  2847  2819  2785  4276  4368  4302  4319  4345

 1237  1205  1136  1224  1148  2737  2765  2756  2874  2858  2887  2900  2831  2919  2843  2812  2780  2711  2799  2723  4312  4340  4331  4449  4433

 1217  1144  1168  1200  1176  2867  2854  2893  2910  2826  2912  2839  2818  2790  2706  2792  2719  2743  2775  2751  4442  4429  4468  4485  4401

 1188  1182  1304  1285  1306  2898  2832  2924  2845  2806  2778  2712  2804  2725  2731  2763  2757  2879  2860  2881  4473  4407  4499  4420  4381

 1280  1316  1329  1253  1342  2840  2816  2784  2708  2797  2720  2741  2769  2753  2872  2855  2891  2904  2828  2917  4415  4391  4359  4283  4372

 1249  1348  1275  1236  1202  2704  2803  2730  2736  2762  2749  2878  2865  2886  2897  2824  2923  2850  2811  2777  4279  4378  4305  4311  4337

 1242  1214  1135  1216  1143  2742  2774  2755  2866  2853  2892  2909  2830  2911  2838  2817  2789  2710  2791  2718  4317  4349  4330  4441  4428

 1226  1149  1163  1192  1175  2876  2859  2888  2902  2825  2921  2844  2813  2782  2705  2801  2724  2738  2767  2750  4451  4434  4463  4477  4400

 1198  1185  1296  1277  1309  2908  2835  2916  2837  2809  2788  2715  2796  2717  2734  2773  2760  2871  2852  2884  4483  4410  4491  4412  4384

 1289  1315  1321  1248  1347  2849  2815  2776  2703  2802  2729  2740  2761  2748  2877  2864  2890  2896  2823  2922  4424  4390  4351  4278  4377

 1254  1343  1267  1235  1211  2709  2798  2722  2735  2771  2754  2873  2857  2885  2906  2829  2918  2842  2810  2786  4284  4373  4297  4310  4346

 1245  1206  1127  1219  1153  2745  2766  2747  2869  2863  2895  2901  2822  2914  2848  2820  2781  2702  2794  2728  4320  4341  4322  4444  4438

 1225  1141  1158  1197  1184  2875  2851  2883  2907  2834  2920  2836  2808  2787  2714  2800  2716  2733  2772  2759  4450  4426  4458  4482  4409

 1193  1177  1295  1286  1314  2903  2827  2915  2846  2814  2783  2707  2795  2726  2739  2768  2752  2870  2861  2889  4478  4402  4490  4421  4389

 1281  1307  1324  1258  1350  2841  2807  2779  2713  2805  2721  2732  2764  2758  2880  2856  2882  2899  2833  2925  4416  4382  4354  4288  4380

 1021  1113  1047  1019  985  5176  5268  5202  5219  5245  5221  5343  5337  5369  5380  5296  5388  5322  5294  5260  1351  1443  1377  1394  1420

 1012  980  911  999  923  5212  5240  5231  5349  5333  5362  5375  5306  5394  5318  5287  5255  5186  5274  5198  1387  1415  1406  1524  1508

 992  919  943  975  951  5342  5329  5368  5385  5301  5387  5314  5293  5265  5181  5267  5194  5218  5250  5226  1517  1504  1543  1560  1476

 963  957  1079  1060  1081  5373  5307  5399  5320  5281  5253  5187  5279  5200  5206  5238  5232  5354  5335  5356  1548  1482  1574  1495  1456

 1055  1091  1104  1028  1117  5315  5291  5259  5183  5272  5195  5216  5244  5228  5347  5330  5366  5379  5303  5392  1490  1466  1434  1358  1447

 1024  1123  1050  1011  977  5179  5278  5205  5211  5237  5224  5353  5340  5361  5372  5299  5398  5325  5286  5252  1354  1453  1380  1386  1412

 1017  989  910  991  918  5217  5249  5230  5341  5328  5367  5384  5305  5386  5313  5292  5264  5185  5266  5193  1392  1424  1405  1516  1503

 1001  924  938  967  950  5351  5334  5363  5377  5300  5396  5319  5288  5257  5180  5276  5199  5213  5242  5225  1526  1509  1538  1552  1475

 973  960  1071  1052  1084  5383  5310  5391  5312  5284  5263  5190  5271  5192  5209  5248  5235  5346  5327  5359  1558  1485  1566  1487  1459

 1064  1090  1096  1023  1122  5324  5290  5251  5178  5277  5204  5215  5236  5223  5352  5339  5365  5371  5298  5397  1499  1465  1426  1353  1452

 1029  1118  1042  1010  986  5184  5273  5197  5210  5246  5229  5348  5332  5360  5381  5304  5393  5317  5285  5261  1359  1448  1372  1385  1421

 1020  981  902  994  928  5220  5241  5222  5344  5338  5370  5376  5297  5389  5323  5295  5256  5177  5269  5203  1395  1416  1397  1519  1513

 1000  916  933  972  959  5350  5326  5358  5382  5309  5395  5311  5283  5262  5189  5275  5191  5208  5247  5234  1525  1501  1533  1557  1484

 968  952  1070  1061  1089  5378  5302  5390  5321  5289  5258  5182  5270  5201  5214  5243  5227  5345  5336  5364  1553  1477  1565  1496  1464

 1056  1082  1099  1033  1125  5316  5282  5254  5188  5280  5196  5207  5239  5233  5355  5331  5357  5374  5308  5400  1491  1457  1429  1363  1455

 2596  2688  2622  2594  2560  3376  3468  3402  3419  3445  3421  3543  3537  3569  3580  3496  3588  3522  3494  3460  451  543  477  494  520

 2587  2555  2486  2574  2498  3412  3440  3431  3549  3533  3562  3575  3506  3594  3518  3487  3455  3386  3474  3398  487  515  506  624  608

 2567  2494  2518  2550  2526  3542  3529  3568  3585  3501  3587  3514  3493  3465  3381  3467  3394  3418  3450  3426  617  604  643  660  576

 2538  2532  2654  2635  2656  3573  3507  3599  3520  3481  3453  3387  3479  3400  3406  3438  3432  3554  3535  3556  648  582  674  595  556

 2630  2666  2679  2603  2692  3515  3491  3459  3383  3472  3395  3416  3444  3428  3547  3530  3566  3579  3503  3592  590  566  534  458  547

 2599  2698  2625  2586  2552  3379  3478  3405  3411  3437  3424  3553  3540  3561  3572  3499  3598  3525  3486  3452  454  553  480  486  512

 2592  2564  2485  2566  2493  3417  3449  3430  3541  3528  3567  3584  3505  3586  3513  3492  3464  3385  3466  3393  492  524  505  616  603

 2576  2499  2513  2542  2525  3551  3534  3563  3577  3500  3596  3519  3488  3457  3380  3476  3399  3413  3442  3425  626  609  638  652  575

 2548  2535  2646  2627  2659  3583  3510  3591  3512  3484  3463  3390  3471  3392  3409  3448  3435  3546  3527  3559  658  585  666  587  559

 2639  2665  2671  2598  2697  3524  3490  3451  3378  3477  3404  3415  3436  3423  3552  3539  3565  3571  3498  3597  599  565  526  453  552

 2604  2693  2617  2585  2561  3384  3473  3397  3410  3446  3429  3548  3532  3560  3581  3504  3593  3517  3485  3461  459  548  472  485  521

 2595  2556  2477  2569  2503  3420  3441  3422  3544  3538  3570  3576  3497  3589  3523  3495  3456  3377  3469  3403  495  516  497  619  613

 2575  2491  2508  2547  2534  3550  3526  3558  3582  3509  3595  3511  3483  3462  3389  3475  3391  3408  3447  3434  625  601  633  657  584

 2543  2527  2645  2636  2664  3578  3502  3590  3521  3489  3458  3382  3470  3401  3414  3443  3427  3545  3536  3564  653  577  665  596  564

 2631  2657  2674  2608  2700  3516  3482  3454  3388  3480  3396  3407  3439  3433  3555  3531  3557  3574  3508  3600  591  557  529  463  555

 

Часть 3

 

 2971  3093  3087  3119  3130  3046  3138  3072  3044  3010  3601  3693  3627  3644  3670  3646  3768  3762  3794  3805  3721  3813  3747  3719  3685

 3112  3125  3056  3144  3068  3037  3005  2936  3024  2948  3637  3665  3656  3774  3758  3787  3800  3731  3819  3743  3712  3680  3611  3699  3623

 3137  3064  3043  3015  2931  3017  2944  2968  3000  2976  3767  3754  3793  3810  3726  3812  3739  3718  3690  3606  3692  3619  3643  3675  3651

 3003  2937  3029  2950  2956  2988  2982  3104  3085  3106  3798  3732  3824  3745  3706  3678  3612  3704  3625  3631  3663  3657  3779  3760  3781

 2945  2966  2994  2978  3097  3080  3116  3129  3053  3142  3740  3716  3684  3608  3697  3620  3641  3669  3653  3772  3755  3791  3804  3728  3817

 2974  3103  3090  3111  3122  3049  3148  3075  3036  3002  3604  3703  3630  3636  3662  3649  3778  3765  3786  3797  3724  3823  3750  3711  3677

 3117  3134  3055  3136  3063  3042  3014  2935  3016  2943  3642  3674  3655  3766  3753  3792  3809  3730  3811  3738  3717  3689  3610  3691  3618

 3146  3069  3038  3007  2930  3026  2949  2963  2992  2975  3776  3759  3788  3802  3725  3821  3744  3713  3682  3605  3701  3624  3638  3667  3650

 3013  2940  3021  2942  2959  2998  2985  3096  3077  3109  3808  3735  3816  3737  3709  3688  3615  3696  3617  3634  3673  3660  3771  3752  3784

 2954  2965  2986  2973  3102  3089  3115  3121  3048  3147  3749  3715  3676  3603  3702  3629  3640  3661  3648  3777  3764  3790  3796  3723  3822

 2979  3098  3082  3110  3131  3054  3143  3067  3035  3011  3609  3698  3622  3635  3671  3654  3773  3757  3785  3806  3729  3818  3742  3710  3686

 3120  3126  3047  3139  3073  3045  3006  2927  3019  2953  3645  3666  3647  3769  3763  3795  3801  3722  3814  3748  3720  3681  3602  3694  3628

 3145  3061  3033  3012  2939  3025  2941  2958  2997  2984  3775  3751  3783  3807  3734  3820  3736  3708  3687  3614  3700  3616  3633  3672  3659

 3008  2932  3020  2951  2964  2993  2977  3095  3086  3114  3803  3727  3815  3746  3714  3683  3607  3695  3626  3639  3668  3652  3770  3761  3789

 2946  2957  2989  2983  3105  3081  3107  3124  3058  3150  3741  3707  3679  3613  3705  3621  3632  3664  3658  3780  3756  3782  3799  3733  3825

 4546  4668  4662  4694  4705  4621  4713  4647  4619  4585  1576  1668  1602  1619  1645  1621  1743  1737  1769  1780  1696  1788  1722  1694  1660

 4687  4700  4631  4719  4643  4612  4580  4511  4599  4523  1612  1640  1631  1749  1733  1762  1775  1706  1794  1718  1687  1655  1586  1674  1598

 4712  4639  4618  4590  4506  4592  4519  4543  4575  4551  1742  1729  1768  1785  1701  1787  1714  1693  1665  1581  1667  1594  1618  1650  1626

 4578  4512  4604  4525  4531  4563  4557  4679  4660  4681  1773  1707  1799  1720  1681  1653  1587  1679  1600  1606  1638  1632  1754  1735  1756

 4520  4541  4569  4553  4672  4655  4691  4704  4628  4717  1715  1691  1659  1583  1672  1595  1616  1644  1628  1747  1730  1766  1779  1703  1792

 4549  4678  4665  4686  4697  4624  4723  4650  4611  4577  1579  1678  1605  1611  1637  1624  1753  1740  1761  1772  1699  1798  1725  1686  1652

 4692  4709  4630  4711  4638  4617  4589  4510  4591  4518  1617  1649  1630  1741  1728  1767  1784  1705  1786  1713  1692  1664  1585  1666  1593

 4721  4644  4613  4582  4505  4601  4524  4538  4567  4550  1751  1734  1763  1777  1700  1796  1719  1688  1657  1580  1676  1599  1613  1642  1625

 4588  4515  4596  4517  4534  4573  4560  4671  4652  4684  1783  1710  1791  1712  1684  1663  1590  1671  1592  1609  1648  1635  1746  1727  1759

 4529  4540  4561  4548  4677  4664  4690  4696  4623  4722  1724  1690  1651  1578  1677  1604  1615  1636  1623  1752  1739  1765  1771  1698  1797

 4554  4673  4657  4685  4706  4629  4718  4642  4610  4586  1584  1673  1597  1610  1646  1629  1748  1732  1760  1781  1704  1793  1717  1685  1661

 4695  4701  4622  4714  4648  4620  4581  4502  4594  4528  1620  1641  1622  1744  1738  1770  1776  1697  1789  1723  1695  1656  1577  1669  1603

 4720  4636  4608  4587  4514  4600  4516  4533  4572  4559  1750  1726  1758  1782  1709  1795  1711  1683  1662  1589  1675  1591  1608  1647  1634

 4583  4507  4595  4526  4539  4568  4552  4670  4661  4689  1778  1702  1790  1721  1689  1658  1582  1670  1601  1614  1643  1627  1745  1736  1764

 4521  4532  4564  4558  4680  4656  4682  4699  4633  4725  1716  1682  1654  1588  1680  1596  1607  1639  1633  1755  1731  1757  1774  1708  1800

 4321  4443  4437  4469  4480  4396  4488  4422  4394  4360  676  768  702  719  745  721  843  837  869  880  796  888  822  794  760

 4462  4475  4406  4494  4418  4387  4355  4286  4374  4298  712  740  731  849  833  862  875  806  894  818  787  755  686  774  698

 4487  4414  4393  4365  4281  4367  4294  4318  4350  4326  842  829  868  885  801  887  814  793  765  681  767  694  718  750  726

 4353  4287  4379  4300  4306  4338  4332  4454  4435  4456  873  807  899  820  781  753  687  779  700  706  738  732  854  835  856

 4295  4316  4344  4328  4447  4430  4466  4479  4403  4492  815  791  759  683  772  695  716  744  728  847  830  866  879  803  892

 4324  4453  4440  4461  4472  4399  4498  4425  4386  4352  679  778  705  711  737  724  853  840  861  872  799  898  825  786  752

 4467  4484  4405  4486  4413  4392  4364  4285  4366  4293  717  749  730  841  828  867  884  805  886  813  792  764  685  766  693

 4496  4419  4388  4357  4280  4376  4299  4313  4342  4325  851  834  863  877  800  896  819  788  757  680  776  699  713  742  725

 4363  4290  4371  4292  4309  4348  4335  4446  4427  4459  883  810  891  812  784  763  690  771  692  709  748  735  846  827  859

 4304  4315  4336  4323  4452  4439  4465  4471  4398  4497  824  790  751  678  777  704  715  736  723  852  839  865  871  798  897

 4329  4448  4432  4460  4481  4404  4493  4417  4385  4361  684  773  697  710  746  729  848  832  860  881  804  893  817  785  761

 4470  4476  4397  4489  4423  4395  4356  4277  4369  4303  720  741  722  844  838  870  876  797  889  823  795  756  677  769  703

 4495  4411  4383  4362  4289  4375  4291  4308  4347  4334  850  826  858  882  809  895  811  783  762  689  775  691  708  747  734

 4358  4282  4370  4301  4314  4343  4327  4445  4436  4464  878  802  890  821  789  758  682  770  701  714  743  727  845  836  864

 4296  4307  4339  4333  4455  4431  4457  4474  4408  4500  816  782  754  688  780  696  707  739  733  855  831  857  874  808  900

 1396  1518  1512  1544  1555  1471  1563  1497  1469  1435  2251  2343  2277  2294  2320  2296  2418  2412  2444  2455  2371  2463  2397  2369  2335

 1537  1550  1481  1569  1493  1462  1430  1361  1449  1373  2287  2315  2306  2424  2408  2437  2450  2381  2469  2393  2362  2330  2261  2349  2273

 1562  1489  1468  1440  1356  1442  1369  1393  1425  1401  2417  2404  2443  2460  2376  2462  2389  2368  2340  2256  2342  2269  2293  2325  2301

 1428  1362  1454  1375  1381  1413  1407  1529  1510  1531  2448  2382  2474  2395  2356  2328  2262  2354  2275  2281  2313  2307  2429  2410  2431

 1370  1391  1419  1403  1522  1505  1541  1554  1478  1567  2390  2366  2334  2258  2347  2270  2291  2319  2303  2422  2405  2441  2454  2378  2467

 1399  1528  1515  1536  1547  1474  1573  1500  1461  1427  2254  2353  2280  2286  2312  2299  2428  2415  2436  2447  2374  2473  2400  2361  2327

 1542  1559  1480  1561  1488  1467  1439  1360  1441  1368  2292  2324  2305  2416  2403  2442  2459  2380  2461  2388  2367  2339  2260  2341  2268

 1571  1494  1463  1432  1355  1451  1374  1388  1417  1400  2426  2409  2438  2452  2375  2471  2394  2363  2332  2255  2351  2274  2288  2317  2300

 1438  1365  1446  1367  1384  1423  1410  1521  1502  1534  2458  2385  2466  2387  2359  2338  2265  2346  2267  2284  2323  2310  2421  2402  2434

 1379  1390  1411  1398  1527  1514  1540  1546  1473  1572  2399  2365  2326  2253  2352  2279  2290  2311  2298  2427  2414  2440  2446  2373  2472

 1404  1523  1507  1535  1556  1479  1568  1492  1460  1436  2259  2348  2272  2285  2321  2304  2423  2407  2435  2456  2379  2468  2392  2360  2336

 1545  1551  1472  1564  1498  1470  1431  1352  1444  1378  2295  2316  2297  2419  2413  2445  2451  2372  2464  2398  2370  2331  2252  2344  2278

 1570  1486  1458  1437  1364  1450  1366  1383  1422  1409  2425  2401  2433  2457  2384  2470  2386  2358  2337  2264  2350  2266  2283  2322  2309

 1433  1357  1445  1376  1389  1418  1402  1520  1511  1539  2453  2377  2465  2396  2364  2333  2257  2345  2276  2289  2318  2302  2420  2411  2439

 1371  1382  1414  1408  1530  1506  1532  1549  1483  1575  2391  2357  2329  2263  2355  2271  2282  2314  2308  2430  2406  2432  2449  2383  2475

 496  618  612  644  655  571  663  597  569  535  5401  5493  5427  5444  5470  5446  5568  5562  5594  5605  5521  5613  5547  5519  5485

 637  650  581  669  593  562  530  461  549  473  5437  5465  5456  5574  5558  5587  5600  5531  5619  5543  5512  5480  5411  5499  5423

 662  589  568  540  456  542  469  493  525  501  5567  5554  5593  5610  5526  5612  5539  5518  5490  5406  5492  5419  5443  5475  5451

 528  462  554  475  481  513  507  629  610  631  5598  5532  5624  5545  5506  5478  5412  5504  5425  5431  5463  5457  5579  5560  5581

 470  491  519  503  622  605  641  654  578  667  5540  5516  5484  5408  5497  5420  5441  5469  5453  5572  5555  5591  5604  5528  5617

 499  628  615  636  647  574  673  600  561  527  5404  5503  5430  5436  5462  5449  5578  5565  5586  5597  5524  5623  5550  5511  5477

 642  659  580  661  588  567  539  460  541  468  5442  5474  5455  5566  5553  5592  5609  5530  5611  5538  5517  5489  5410  5491  5418

 671  594  563  532  455  551  474  488  517  500  5576  5559  5588  5602  5525  5621  5544  5513  5482  5405  5501  5424  5438  5467  5450

 538  465  546  467  484  523  510  621  602  634  5608  5535  5616  5537  5509  5488  5415  5496  5417  5434  5473  5460  5571  5552  5584

 479  490  511  498  627  614  640  646  573  672  5549  5515  5476  5403  5502  5429  5440  5461  5448  5577  5564  5590  5596  5523  5622

 504  623  607  635  656  579  668  592  560  536  5409  5498  5422  5435  5471  5454  5573  5557  5585  5606  5529  5618  5542  5510  5486

 645  651  572  664  598  570  531  452  544  478  5445  5466  5447  5569  5563  5595  5601  5522  5614  5548  5520  5481  5402  5494  5428

 670  586  558  537  464  550  466  483  522  509  5575  5551  5583  5607  5534  5620  5536  5508  5487  5414  5500  5416  5433  5472  5459

 533  457  545  476  489  518  502  620  611  639  5603  5527  5615  5546  5514  5483  5407  5495  5426  5439  5468  5452  5570  5561  5589

 471  482  514  508  630  606  632  649  583  675  5541  5507  5479  5413  5505  5421  5432  5464  5458  5580  5556  5582  5599  5533  5625

 

 

Напомню читателям, что я несколько раз подробно рассказывала в других статьях о том, как строить магические квадраты на базе квадратов низших порядков. Так, например, в статье “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9” таким методом были построены идеальные квадраты 45-ого и 81-ого порядков.

Ещё замечу, что для порядков, являющихся степенью числа 3, есть свой метод построения идеальных квадратов. В указанной статье этот метод рассматривался на примере квадратов 9, 27 и 81-ого порядков.

Итак, запишу последовательный ряд нечётных порядков в первой сотне (идеальные квадраты, как известно, существуют только для нечётных порядков, начиная с 5):

 

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43,

45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81,

83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99

 

В этом ряду для меня представляют сложность следующие порядки: 33, 39, 51, 57, 69, 87, 93. Идеальные квадраты этих порядков, конечно, можно построить методом качелей, но, как я уже сказала, не так просто найти последовательность первых n чисел. Конечно, если программу написать не лень, быстродействие компьютера хорошее, то нет проблем. Всё это я наглядно продемонстрировала на примерах построения идеальных квадратов 9-ого, 15-ого и 21-ого порядков.

 

А вот эти порядки: 45, 63, 75, 81, 99 хотя тоже находятся в ряду порядков кратных 3, но они раскладываются на произведение таких порядков, для которых известны идеальные квадраты, и поэтому для них тоже очень просто построить идеальные квадраты. Это было показано выше на примере квадрата 75-ого порядка. Итак, в первой сотне порядков я затрудняюсь построить идеальные квадраты всего для семи порядков. Для всех остальных порядков строю идеальные квадраты в два счёта!

 

Задача читателям: найти оптимизацию моего метода качелей для порядков кратных 3. То есть такой путь определения начальной цепочки чисел, который не вызывал бы никаких затруднений в техническом исполнении. Мне не хочется писать программу даже для квадрата 33-ого порядка, не говоря уже о высших порядках.

 

                                               ***

 

15 декабря 2007 г.

 

А я спускаюсь вниз, то есть к квадратам пятого порядка. Вспомнила, что в статье “Ассоциативные квадраты” я очень подробно исследовала пандиагональные и ассоциативные квадраты пятого порядка. Тогда мне ещё не встретилось название идеальные квадраты. Но это были именно идеальные квадраты. Идеальных квадратов пятого порядка всего 16 штук, ну, разумеется, с точностью до всех основных преобразований и параллельных переносов на торе. Более того, я доказала, что 15 идеальных квадратов можно получить из одного, применяя к нему комбинации различных преобразований. Но сейчас я хочу привести здесь все 16 идеальных квадратов и показать, как в них работают мои качели. Вот что очень интересно! Качели работают во всех квадратах. Я не поленилась нарисовать для каждого квадрата его образующую таблицу. Это такой интересный материал для анализа!

Но прежде чем показать эти квадраты, напомню читателям, что для квадратов пятого порядка работают очень простые качели с тривиальной образующей таблицей, как для всех порядков не кратных 3. На рис. 8 слева вы видите идеальный квадрат, построенный методом качелей, а справа – тривиальную образующую таблицу для этого квадрата. Совершенно понятно, почему я называю эту таблицу тривиальной.

 

 

 

                                               Рис. 8

 

Я выделила в квадрате на рис. 8 начальную цепочку первых пяти чисел (нулевой цикл качания качелей) и первый цикл качания качелей. В первой части статьи метод качелей для квадратов порядков не кратных 3 рассматривался очень подробно. Это самые простые качели, для которых не нужно делать образующую таблицу: всё и без таблицы понятно. Поэтому и образующая таблица тривиальна. Напомню также, что идеальный квадрат, построенный методом качелей (рис. 8), можно получить из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, перестановкой столбцов с шагом 1.

 

А теперь я покажу точно такую же пару “идеальный квадрат – его образующая таблица” для всех 16 идеальных квадратов пятого порядка. Посмотрите на эти пары внимательно. Качели работают абсолютно чётко во всех квадратах! Закономерности прослеживаются. Изменяются начальные цепочки чисел, и циклы качания качелей (столбцы в образующей таблице) переставляются. Я получила истинное наслаждение от созерцания этих пар. Так всё чётко, так красиво! Нумерация идеальных квадратов в точности соответствует нумерации в статье “Ассоциативные квадраты”.

 

Квадрат № 1

 

 

 

Напомню, что основной закон, действующий во всех видах качелей, – это формирование наборов чисел в столбцах образующей таблицы, то есть циклов качания качелей. Этот набор начинает формироваться с максимального числа в столбце (это число кратно порядку квадрата), двигаемся снизу вверх; каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему разности из самого левого столбца таблицы. Вот, например, для первого и второго столбцов образующей таблицы квадрата № 1:

 

23 = 25 + (-2)               8 = 10 + (-2)

21 = 23 + (-2)               6 = 8 + (-2)

22 = 21 + 1                   7 = 6 + 1

24 = 22 + 2                   9 = 7 + 2

 

Квадрат № 2

 

 

 

Вот как здесь прекрасно видно моё преобразование “плюс-минус 10”! В третьем столбце образующей таблицы все числа увеличены на 10 (по сравнению с квадратом № 1), а в пятом столбце все числа уменьшены на 10.

 

                                                        Квадрат № 3

 

 

 

 

Квадрат № 4

 

 

 

 

Квадрат № 5

 

 

 

 

Квадрат № 6

 

 

 

 

Квадрат № 7

 

 

 

 

Квадрат № 8

 

 

 

 

                                                                           ***

 

Уважаемые читатели! К сожалению, приходится продолжить в следующей части. Страница “разбухла” и стала неудобной для обновления. Читайте продолжение здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob4.htm

 

                                                                  _______

 

 

Страница помещена на сайт 14 декабря 2007.

 

Обратите внимание: это третья часть статьи. Прочтите

первые две части. А ещё лучше – все статьи о магических квадратах, которые есть на этом сайте

 

Пожалуйста, пишите мне свои замечания и пожелания!

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу