ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть XIII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 6 февраля 2008 г.

 

В предыдущей части я обещала построить идеальный квадрат 39-ого порядка (частное решение, стандартные качели). Показываю этот квадрат (рис. 1-3). Для лучшего изображения я “разрезала” квадрат по вертикали на три равных части. Для получения полного квадрата соедините три части, приложив левый край следующей части к правому краю предыдущей. Я опускаю образующую таблицу квадрата, которая, как знают читатели, очень легко восстанавливается по самому квадрату.

 

      Идеальный квадрат 39-ого порядка – часть 1

 

421

496

383

543

698

579

626

736

622

780

898

783

864

1062

1220

1378

1336

1262

57

1302

1421

1501

16

98

219

1464

497

382

535

695

582

659

735

587

775

934

819

859

939

1221

1374

1337

1261

49

1301

1422

1497

17

97

211

1463

258

378

536

694

574

656

738

620

774

899

814

895

975

820

1373

1338

1257

50

1300

1414

1496

18

93

212

1462

250

176

537

690

575

655

730

617

777

932

813

860

970

856

1014

1330

1256

51

1296

1415

1495

10

92

213

1458

251

175

133

689

576

651

731

616

769

929

816

893

969

821

1009

1168

1253

43

1295

1416

1491

11

91

205

1457

252

171

134

292

568

650

732

612

770

928

808

890

972

854

1008

1133

1048

46

1292

1408

1490

12

87

206

1456

244

170

135

288

446

649

724

611

771

924

809

889

964

851

1011

1166

1047

1094

1325

1411

1487

4

86

207

1452

245

169

127

287

447

327

725

610

763

923

810

885

965

850

1003

1163

1050

1127

1203

1410

1520

7

83

199

1451

246

165

128

286

439

326

408

606

764

922

802

884

966

846

1004

1162

1042

1124

1206

1088

1485

6

116

202

1448

238

164

129

282

440

325

400

482

765

918

803

883

958

845

1005

1158

1043

1123

1198

1085

1245

1

81

201

1481

241

161

121

281

441

321

401

481

361

917

804

879

959

844

997

1157

1044

1119

1199

1084

1237

1397

117

196

1446

240

194

124

278

433

320

402

477

362

520

796

878

960

840

998

1156

1036

1118

1200

1080

1238

1396

1354

232

1482

235

159

123

311

436

317

394

476

363

516

674

877

952

839

999

1152

1037

1117

1192

1079

1239

1392

1355

1279

1477

271

195

118

276

435

350

397

473

355

515

675

555

953

838

991

1151

1038

1113

1193

1078

1231

1391

1356

1275

68

236

190

154

312

430

315

396

506

358

512

667

554

636

834

992

1150

1030

1112

1194

1074

1232

1390

1348

1274

69

1314

189

119

307

466

351

391

471

357

545

670

551

628

710

993

1146

1031

1111

1186

1073

1233

1386

1349

1273

61

1313

1434

152

306

431

346

427

507

352

510

669

584

631

707

589

1145

1032

1107

1187

1072

1225

1385

1350

1269

62

1312

1426

1508

309

464

345

392

502

388

546

664

549

630

740

592

746

1024

1106

1188

1068

1226

1384

1342

1268

63

1308

1427

1507

22

461

348

425

501

353

541

700

585

625

705

591

779

904

1105

1180

1067

1227

1380

1343

1267

55

1307

1428

1503

23

103

340

422

504

386

540

665

580

661

741

586

744

903

818

1181

1066

1219

1379

1344

1263

56

1306

1420

1502

24

99

218

 

                                                                      Рис. 1

 

                                     Идеальный квадрат 39-ого порядка – часть 2

 

974

826

980

1135

1022

1104

1179

1064

1222

1375

1340

1266

54

257

181

139

299

459

339

419

499

379

539

699

581

657

825

1013

1138

1019

1096

1178

1065

1218

1376

1339

1258

53

1305

177

140

298

451

338

420

495

380

538

691

578

660

737

978

1137

1052

1099

1175

1057

1217

1377

1335

1259

52

1297

1418

141

294

452

337

412

494

381

534

692

577

652

734

621

1132

1017

1098

1208

1060

1214

1369

1334

1260

48

1298

1417

1492

293

453

333

413

493

373

533

693

573

653

733

613

773

1053

1093

1173

1059

1247

1372

1331

1252

47

1299

1413

1493

13

445

332

414

489

374

532

685

572

654

729

614

772

925

1129

1209

1054

1212

1371

1364

1255

44

1291

1412

1494

9

89

331

406

488

375

528

686

571

646

728

615

768

926

811

1204

1090

1248

1366

1329

1254

77

1294

1409

1486

8

90

204

407

487

367

527

687

567

647

727

607

767

927

807

887

1055

1243

1402

1365

1249

42

1293

1442

1489

5

82

203

1455

483

368

526

679

566

648

723

608

766

919

806

888

963

1242

1367

1360

1285

78

1288

1407

1488

38

85

200

1447

242

369

522

680

565

640

722

609

762

920

805

880

962

849

1400

1359

1250

73

1324

1443

1483

3

84

233

1450

239

160

521

681

561

641

721

601

761

921

801

881

961

841

1001

1362

1283

72

1289

1438

1519

39

79

198

1449

272

163

122

673

560

642

717

602

760

913

800

882

957

842

1000

1153

1280

75

1322

1437

1484

34

115

234

1444

237

162

155

280

559

634

716

603

756

914

799

874

956

843

996

1154

1039

67

1319

1440

1517

33

80

229

1480

273

157

120

279

467

635

715

595

755

915

795

875

955

835

995

1155

1035

1115

1318

1432

1514

36

113

228

1445

268

193

156

274

432

318

711

596

754

907

794

876

951

836

994

1147

1034

1116

1191

1433

1513

28

110

231

1478

267

158

151

310

468

313

393

597

750

908

793

868

950

837

990

1148

1033

1108

1190

1077

1509

29

109

223

1475

270

191

150

275

463

349

429

469

749

909

789

869

949

829

989

1149

1029

1109

1189

1069

1229

30

105

224

1474

262

188

153

308

462

314

424

505

390

901

788

870

945

830

988

1141

1028

1110

1185

1070

1228

1381

104

225

1470

263

187

145

305

465

347

423

470

385

544

785

862

944

831

984

1142

1027

1102

1184

1071

1224

1382

1345

217

1469

264

183

146

304

457

344

426

503

384

509

697

865

941

823

983

1143

1023

1103

1183

1063

1223

1383

1341

1265

1468

256

182

147

300

458

343

418

500

387

542

696

548

 

Рис. 2

 

                                      Идеальный квадрат 39-ого порядка – часть 3

 

1304

1423

1498

20

102

216

1466

259

178

143

303

456

341

704

619

778

936

781

861

942

857

982

1136

1018

1100

1182

1419

1499

19

94

215

1467

255

179

142

295

455

342

417

618

743

931

817

897

937

822

981

1169

1021

1097

1174

1061

1500

15

95

214

1459

254

180

138

296

454

334

416

498

776

930

782

892

973

858

976

1134

1020

1130

1177

1058

1213

14

96

210

1460

253

172

137

297

450

335

415

490

377

933

815

891

938

853

1012

1170

1015

1095

1176

1091

1216

1370

88

209

1461

249

173

136

289

449

336

411

491

376

529

812

894

971

852

977

1165

1051

1131

1171

1056

1215

1403

1333

208

1453

248

174

132

290

448

328

410

492

372

530

688

886

968

855

1010

1164

1016

1126

1207

1092

1210

1368

1332

1286

1454

247

166

131

291

444

329

409

484

371

531

684

569

967

847

1007

1167

1049

1125

1172

1087

1246

1404

1327

1251

45

243

167

130

283

443

330

405

485

370

523

683

570

645

848

1006

1159

1046

1128

1205

1086

1211

1399

1363

1287

40

1290

168

126

284

442

322

404

486

366

524

682

562

644

726

1002

1160

1045

1120

1202

1089

1244

1398

1328

1282

76

1326

1405

125

285

438

323

403

478

365

525

678

563

643

718

605

1161

1041

1121

1201

1081

1241

1401

1361

1281

41

1321

1441

1521

277

437

324

399

479

364

517

677

564

639

719

604

757

1040

1122

1197

1082

1240

1393

1358

1284

74

1320

1406

1516

37

434

316

398

480

360

518

676

556

638

720

600

758

916

1114

1196

1083

1236

1394

1357

1276

71

1323

1439

1515

2

112

319

395

472

359

519

672

557

637

712

599

759

912

797

1195

1075

1235

1395

1353

1277

70

1315

1436

1518

35

111

197

428

475

356

511

671

558

633

713

598

751

911

798

873

1076

1234

1387

1352

1278

66

1316

1435

1510

32

114

230

1476

474

389

514

668

550

632

714

594

752

910

790

872

954

1230

1388

1351

1270

65

1317

1431

1511

31

106

227

1479

269

354

513

701

553

629

706

593

753

906

791

871

946

833

1389

1347

1271

64

1309

1430

1512

27

107

226

1471

266

192

508

666

552

662

709

590

745

905

792

867

947

832

985

1346

1272

60

1310

1429

1504

26

108

222

1472

265

184

149

702

547

627

708

623

748

902

784

866

948

828

986

1144

1264

59

1311

1425

1505

25

100

221

1473

261

185

148

301

583

663

703

588

747

935

787

863

940

827

987

1140

1025

58

1303

1424

1506

21

101

220

1465

260

186

144

302

460

658

739

624

742

900

786

896

943

824

979

1139

1026

1101

 

                                                                      Рис. 3

 

Теперь предлагаю читателям построить идеальный квадрат 39-ого порядка, начинающийся с числа 1, используя приведённый квадрат.

 

Следующий у нас идёт квадрат 45-ого порядка. Но такой идеальный квадрат очень легко построить, применяя метод построения составных квадратов. И он уже был мной построен в одной из предыдущих статей. Можно строить его на базе идеального квадрата пятого порядка, взяв за основной идеальный квадрат 9-ого порядка. Можно, наоборот, в качестве базового взять идеальный квадрат 9-ого порядка, а в качестве основного – идеальный квадрат пятого порядка.

Итак, в первой полусотне порядков я построила все пандиагональные и идеальные квадраты. Теперь надо строить идеальный квадрат 51-ого порядка. Подожду вдохновения!

А сейчас хочу рассказать о преобразованиях идеальных квадратов.

 

                                               ***

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Буду показывать все преобразования на идеальном квадрате 9-ого порядка. Я очень подробно исследовала и построила много таких квадратов.

Начну с основных преобразований. Как известно, таких преобразований 7. Это повороты и отражения относительно осей симметрии квадрата. Все эти преобразования сохраняют идеальность квадрата. На рис. 4 изображён идеальный квадрат 9-ого порядка, а на рис. 5 – квадрат, полученный одним из 7 основных преобразований – поворот на 180 градусов.

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

48

61

77

66

43

14

3

25

32

67

45

11

4

27

29

49

63

74

6

26

28

51

62

73

69

44

10

52

59

75

70

41

12

7

23

30

72

38

13

9

20

31

54

56

76

8

19

33

53

55

78

71

37

15

50

57

79

68

39

16

5

21

34

65

40

18

2

22

36

47

58

81

 

                                                   Рис. 4

 

 

81

58

47

36

22

2

18

40

65

34

21

5

16

39

68

79

57

50

15

37

71

78

55

53

33

19

8

76

56

54

31

20

9

13

38

72

30

23

7

12

41

70

75

59

52

10

44

69

73

62

51

28

26

6

74

63

49

29

27

4

11

45

67

32

25

3

14

43

66

77

61

48

17

42

64

80

60

46

35

24

1

 

                                                                       Рис. 5

 

Преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов применимо к идеальным квадратам, но не сохраняет идеальность, так как при сохранении пандиагональности нарушается ассоциативность квадрата. На рис. 6 дан пример применения к квадрату с рис. 4 стандартной перестановки строк.

 

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

65

40

18

2

22

36

47

58

81

50

57

79

68

39

16

5

21

34

8

19

33

53

55

78

71

37

15

72

38

13

9

20

31

54

56

76

52

59

75

70

41

12

7

23

30

6

26

28

51

62

73

69

44

10

67

45

11

4

27

29

49

63

74

48

61

77

66

43

14

3

25

32

 

                                                                      Рис. 6

 

Конечно, очень легко вернуть этому квадрату ассоциативность (и идеальность), перенеся его на торе.

Есть ещё преобразование нестандартной (одновременной) перестановки строк и столбцов, которое сохраняет идеальность квадрата. Это преобразование я обнаружила, дважды применив к пандиагональному квадрату преобразование “строки-диагонали”. А вот однократное применение этого преобразования не сохраняет идеальность квадрата, но, конечно, сохраняет пандиагональность. На рис. 7 показан квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 двукратным применением преобразования “строки-диагонали”. Надеюсь, читателям понятно, что значит двукратное применение преобразования? Применяется преобразование один раз, а затем к полученному в результате квадрату снова применяется это преобразование.

 

 

1

52

65

6

50

67

8

48

72

80

12

36

73

16

29

78

14

31

24

59

40

26

57

45

19

61

38

64

7

47

69

5

49

71

3

54

35

75

18

28

79

11

33

77

13

42

23

58

44

21

63

37

25

56

46

70

2

51

68

4

53

66

9

17

30

81

10

34

74

15

32

76

60

41

22

62

39

27

55

43

20

 

                                                                       Рис. 7

 

Этот квадрат пандиагональный, но не идеальный, так как нет ассоциативности. Однако его легко превратить в идеальный параллельным переносом на торе. На рис. 8 вы видите этот идеальный квадрат.

 

 

33

77

13

35

75

18

28

79

11

37

25

56

42

23

58

44

21

63

53

66

9

46

70

2

51

68

4

15

32

76

17

30

81

10

34

74

55

43

20

60

41

22

62

39

27

8

48

72

1

52

65

6

50

67

78

14

31

80

12

36

73

16

29

19

61

38

24

59

40

26

57

45

71

3

54

64

7

47

69

5

49

 

                                                                       Рис. 8

 

Осталось повернуть квадрат на 90 градусов по часовой стрелке, и полученный в результате квадрат, который вы видите на рис. 9, есть не что иное, как квадрат с рис. 4, преобразованный нестандартной (одновременной) перестановкой строк и столбцов с шагом 3.

 

 

71

19

78

8

55

15

53

37

33

3

61

14

48

43

32

66

25

77

54

38

31

72

20

76

9

56

13

64

24

80

1

60

17

46

42

35

7

59

12

52

41

30

70

23

75

47

40

36

65

22

81

2

58

18

69

26

73

6

62

10

51

44

28

5

57

16

50

39

34

68

21

79

49

45

29

67

27

74

4

63

11

 

                                                                       Рис. 9

 

Можно переставить строки и столбцы ещё с шагом 1 или с шагом 4, причём это можно сделать и в квадрате с рис. 4, и в квадрате с рис. 9. А в квадрате с рис. 9 можно снова переставить строки и столбцы с шагом 3. Попробуйте применить такие преобразования. Если вы сделаете перестановку в квадрате с рис. 4 с шагом 1, а в квадрате с рис. 9 с шагом 4, то получите один и тот же квадрат. Замечу, что перестановка начинается от центральной строки вверх и от центрального столбца вправо. Центральные строка и столбец остаются на месте.

В статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка” я показывала применение этого преобразования к идеальным квадратам 15-ого порядка.

После основных преобразований описанное преобразование – первое, которое сохраняет идеальность квадрата.

И последнее из известных мне преобразований, сохраняющее идеальность квадрата, это преобразование типа “плюс-минус”. Я много раз показывала такие преобразования и в настоящей статье, и в других статьях. Покажу здесь один пример. На рис. 10 вы видите матрицу преобразования “плюс-минус 18”, а на рис. 11 два идеальных квадрата 9-ого порядка, связанных этим преобразованием.

 

 

 

 

+18

-18

 

 

+18

 

-18

-18

 

 

+18

 

-18

 

 

+18

+18

 

-18

 

 

+18

-18

 

 

 

 

+18

-18

 

 

+18

 

-18

-18

 

 

+18

 

-18

 

 

+18

+18

 

-18

 

 

+18

-18

 

 

 

 

+18

-18

 

 

+18

 

-18

-18

 

 

+18

 

-18

 

 

+18

+18

 

-18

 

 

+18

-18

 

 

 

                                                    Рис. 10

 

 

1

24

17

64

60

80

46

42

35

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

70

57

77

52

39

32

7

21

14

 

52

57

77

70

39

14

7

21

32

49

45

29

4

27

11

67

63

74

 

67

45

11

4

27

29

49

63

74

6

26

10

69

62

73

51

44

28

 

6

26

28

51

62

73

69

44

10

66

59

79

48

41

34

3

23

16

->

48

59

79

66

41

16

3

23

34

54

38

31

9

20

13

72

56

76

 

72

38

13

9

20

31

54

56

76

8

19

15

71

55

78

53

37

33

 

8

19

33

53

55

78

71

37

15

68

61

75

50

43

30

5

25

12

 

50

61

75

68

43

12

5

25

30

47

40

36

2

22

18

65

58

81

 

65

40

18

2

22

36

47

58

81

 

                                                                      Рис. 11

 

Параллельный перенос на торе нарушает ассоциативность квадрата, а значит, идеальность.

Итак, на сегодня мне известны три группы преобразований, сохраняющих идеальность квадрата:

 

1.     основные преобразования;

2.     нестандартная перестановка строк и столбцов (одновременно) с постоянным шагом;

3.     преобразования типа “плюс-минус”.

 

Возможно, есть ещё какие-либо преобразования, сохраняющие идеальность квадрата. Если вы знаете такие преобразования, напишите мне, пожалуйста.

 

                                                           ***

 

7 февраля 2008 г.

 

Возвращаюсь к построению идеальных квадратов порядков, кратных 3. Как помнят читатели, я строю частные решения методом стандартных качелей, то есть единичные экземпляры с совершенно аналогичными образующими таблицами. И я уже показала такие квадраты порядков: 15, 21, 27, 33, 39. Это очень красивые квадраты! А ещё можно найти, используя эти квадраты, частные решения из другой группы квадратов – с нестандартными качелями. Эти идеальные квадраты начинаются с числа 1. Такие квадраты я показала для порядков 15, 21, 27 и 33. Для квадрата 39-ого порядка предлагается читателям построить такой экземпляр идеального квадрата (начинающийся с числа 1) по аналогии с тем, как это делала я. Образующие таблицы этих двух групп частных решений находятся в определённой зависимости, которую легко установить.

 

А я перехожу к построению квадрата 51-ого порядка. Идеальный квадрат 45-ого порядка не буду строить методом качелей, так он очень просто строится другим методом. Предлагаю читателям построить этот квадрат также и методом качелей. Это будет прекрасной тренировкой в деле освоения данного метода. Тем более что я собираюсь дать подсказку для тех, кто ещё плохо понял, как строятся образующие таблицы этих частных решений. Сейчас покажу первый столбец образующей таблицы (если не считать столбца разностей) для построения идеальных квадратов порядков с 15 по 111 включительно. В этом столбце помещается, как вы знаете, начальная цепочка первых n чисел (n – порядок квадрата). По расположению этих чисел далее всё и вычисляется в образующей таблице совершенно элементарно. Для порядков с 15 по 57 я пишу всю цепочку, а для порядков с 63 по 111 только до середины её, вторая половина цепочки определяется числами первой половины. Эту закономерность просто нельзя не увидеть! И похожесть всех этих начальных цепочек для данной группы частных решений тоже невозможно не рассмотреть.

 

Итак, в таблице на рис. 12 приведены начальные цепочки первых n чисел для частных решений метода стандартных качелей для порядков от 15 до 111.

 

15

21

27

33

39

45

51

57

63

69

75

81

87

93

99

105

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

14

20

26

32

38

44

50

56

62

68

74

80

86

92

98

104

110

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

11

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

2

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

13

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

 

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

 

17

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

 

15

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

 

2

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

 

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

 

19

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

 

 

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

 

 

23

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

 

 

21

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

 

 

2

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

 

 

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

 

 

25

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

 

 

 

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

 

 

 

29

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

 

 

 

27

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

 

 

 

2

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

 

 

 

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

 

 

 

31

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

 

 

 

 

36

36

36

36

…

36

36

36

36

36

36

36

36

 

 

 

 

35

33

33

33

 

33

33

33

33

33

33

33

33

 

 

 

 

33

35

35

35

 

35

35

35

35

35

35

35

35

 

 

 

 

2

37

37

37

 

…

37

37

37

37

37

37

37

 

 

 

 

34

34

34

34

 

 

34

34

34

34

34

34

34

 

 

 

 

37

38

38

38

 

 

38

38

38

38

38

38

38

 

 

 

 

 

42

42

42

 

 

…

42

42

42

42

42

42

 

 

 

 

 

41

39

39

 

 

 

39

39

39

39

39

39

 

 

 

 

 

39

41

41

 

 

 

41

41

41

41

41

41

 

 

 

 

 

2

43

43

 

 

 

…

43

43

43

43

43

 

 

 

 

 

40

40

40

 

 

 

 

40

40

40

40

40

 

 

 

 

 

43

44

44

 

 

 

 

44

44

44

44

44

 

 

 

 

 

 

48

48

 

 

 

 

…

48

48

48

48

 

 

 

 

 

 

47

45

 

 

 

 

 

45

45

45

45

 

 

 

 

 

 

45

47

 

 

 

 

 

47

47

47

47

 

 

 

 

 

 

2

49

 

 

 

 

 

…

49

49

49

 

 

 

 

 

 

46

46

 

 

 

 

 

 

46

46

46

 

 

 

 

 

 

49

50

 

 

 

 

 

 

50

50

50

 

 

 

 

 

 

 

54

 

 

 

 

 

 

…

54

54

 

 

 

 

 

 

 

53

 

 

 

 

 

 

 

51

51

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

 

 

 

 

53

53

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

…

55

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

 

 

 

 

 

55

 

 

 

 

 

 

 

 

56

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

 

                                                     Рис. 12

 

Понятно, что можно продолжить составление начальных цепочек первых n чисел для всех аналогичных частных решений (идеальных квадратов со стандартными качелями) следующих порядков, кратных 3. Все закономерности уже налицо.

А столбцом первых n чисел в образующей таблице для стандартных качелей определяется абсолютно всё! Ну, понятно, как вычисляются разности, это самый левый столбец образующей таблицы. Значения k для циклов качания качелей (самая нижняя строка образующей таблицы) вычисляются так: (показываю на примере квадрата 51-ого порядка, точно так же для всех других порядков):

 

                            первый цикл – k=51-49=2

                            второй цикл – k=51-46=5

                            третий цикл – k=51-2=49

                            четвёртый цикл – k=51-45=6 и т. д.

 

то есть от порядка квадрата вычитаются числа начальной цепочки, начиная с нижнего, самого последнего в столбце.

Значения k определяют максимальные числа в столбцах образующей таблицы. Максимальное число в столбце вычисляется так: max=n*(k+1), где n – порядок квадрата. Расположение максимальных чисел в столбцах для любого порядка в стандартных качелях одинаково – по диагонали. Ну, и наконец, в столбцах формируются наборы чисел каждого цикла качания качелей. Это делается по одному и тому же закону для всех видов качелей: начиная от максимального числа, двигаемся вверх по столбцу, прибавляя каждый раз к предыдущему числу число из столбца разностей, начиная с самого нижнего в столбце разностей. Этот процесс я показывала не один раз в предыдущих частях статьи. Вот такая схема формирования образующей таблицы. Совершенно очевидно, что это можно очень просто сделать с помощью калькулятора.

Замечу попутно, что при формировании образующей таблицы для нестандартных качелей есть только два отличия: значения k вычисляются по-другому и максимальные числа в столбцах расположены по-другому и для разных порядков по-разному. Всё остальное точно так же, как в стандартных качелях.

Теперь покажу начало образующей таблицы для построения идеального квадрата 51-ого порядка и это, надеюсь, окончательно прояснит процесс её формирования (рис. 13).

 

 

51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-44

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

43

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-4

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…

3

43

 

 

 

 

 

 

 

 

459

…

-4

40

 

 

 

 

 

 

 

612

 

…

-4

44

 

 

 

 

 

 

408

 

 

…

1

48

 

 

 

 

 

204

 

 

 

…

2

47

 

 

 

 

255

 

 

 

 

…

43

45

 

 

 

357

 

 

 

 

 

…

-44

2

 

 

2550

 

 

 

 

 

 

…

-3

46

 

306

 

 

 

 

 

 

 

…

-2

49

153

 

 

 

 

 

 

 

 

…

 

 

k=2

k=5

k=49

k=6

k=4

k=3

k=7

k=11

k=8

…

 

                                                                  Рис. 13

 

Не помещаю в таблице числа в циклах качания качелей, они будут даны ниже.

При построении всех идеальных квадратов предыдущих порядков я писала маленькую программку для формирования чисел в столбцах образующей таблицы, хотя можно сделать это и без программы, с помощью калькулятора. Но процесс очень длинный и утомительный. А программа моментально выдаёт образующую таблицу, и что самое важное – без ошибок. Кстати, посмотрите на столбец разностей. В нём чередуется одна и та же группа разностей: -4, -4, 3, -2, -2, 3. И только в начале и в конце столбца есть несколько других разностей. Удивительно! И так для всех порядков.

 

Итак, сделала программку для формирования образующей таблицы для идеального квадрата 51-ого порядка. Программа эта очень простая и пишется за 5 минут. Выполнила программу, и она в долю секунды выдала мне готовую образующую таблицу. Покажу её прямо так, как программа записала её в файл. Она представлена в двух частях (“разрезана” по вертикали). Замечу, что в образующей таблице, полученной по программе, нет столбца разностей (самый левый столбец) и строки с номерами циклов качания качелей (самая нижняя строка).

 

Образующая таблица идеального квадрата 51-ого порядка – часть 1

 

51  103  258  2505  356  211  158  361  569  420  519  623  472  673  881  732  831  935  784  985  1193  1044  1143  1247  1096

 1  105  261  2549  313  209  157  365  573  417  521  625  469  677  885  729  833  937  781  989  1197  1041  1145  1249  1093

 3  108  305  2506  311  208  161  369  570  419  523  622  473  681  882  731  835  934  785  993  1194  1043  1147  1246  1097

 6  152  262  2504  310  212  165  366  572  421  520  626  477  678  884  733  832  938  789  990  1196  1045  1144  1250  1101

 50  109  260  2503  314  216  162  368  574  418  524  630  474  680  886  730  836  942  786  992  1198  1042  1148  1254  1098

 7  107  259  2507  318  213  164  370  571  422  528  627  476  682  883  734  840  939  788  994  1195  1046  1152  1251  1100

 5  106  263  2511  315  215  166  367  575  426  525  629  478  679  887  738  837  941  790  991  1199  1050  1149  1253  1102

 4  110  267  2508  317  217  163  371  579  423  527  631  475  683  891  735  839  943  787  995  1203  1047  1151  1255  1099

 8  114  264  2510  319  214  167  375  576  425  529  628  479  687  888  737  841  940  791  999  1200  1049  1153  1252  1103

 12  111  266  2512  316  218  171  372  578  427  526  632  483  684  890  739  838  944  795  996  1202  1051  1150  1256  1107

 9  113  268  2509  320  222  168  374  580  424  530  636  480  686  892  736  842  948  792  998  1204  1048  1154  1260  1104

 11  115  265  2513  324  219  170  376  577  428  534  633  482  688  889  740  846  945  794  1000  1201  1052  1158  1257  1106

 13  112  269  2517  321  221  172  373  581  432  531  635  484  685  893  744  843  947  796  997  1205  1056  1155  1259  1108

 10  116  273  2514  323  223  169  377  585  429  533  637  481  689  897  741  845  949  793  1001  1209  1053  1157  1261  1105

 14  120  270  2516  325  220  173  381  582  431  535  634  485  693  894  743  847  946  797  1005  1206  1055  1159  1258  1109

 18  117  272  2518  322  224  177  378  584  433  532  638  489  690  896  745  844  950  801  1002  1208  1057  1156  1262  1113

 15  119  274  2515  326  228  174  380  586  430  536  642  486  692  898  742  848  954  798  1004  1210  1054  1160  1266  1110

 17  121  271  2519  330  225  176  382  583  434  540  639  488  694  895  746  852  951  800  1006  1207  1058  1164  1263  1112

 19  118  275  2523  327  227  178  379  587  438  537  641  490  691  899  750  849  953  802  1003  1211  1062  1161  1265  1114

 16  122  279  2520  329  229  175  383  591  435  539  643  487  695  903  747  851  955  799  1007  1215  1059  1163  1267  1111

 20  126  276  2522  331  226  179  387  588  437  541  640  491  699  900  749  853  952  803  1011  1212  1061  1165  1264  1115

 24  123  278  2524  328  230  183  384  590  439  538  644  495  696  902  751  850  956  807  1008  1214  1063  1162  1268  1119

 21  125  280  2521  332  234  180  386  592  436  542  648  492  698  904  748  854  960  804  1010  1216  1060  1166  1272  1118

 23  127  277  2525  336  231  182  388  589  440  546  645  494  700  901  752  858  957  806  1012  1213  1064  1170  1271  1116

 25  124  281  2529  333  233  184  385  593  444  543  647  496  697  905  756  855  959  808  1009  1217  1068  1169  1269  1073

 22  128  285  2526  335  235  181  389  597  441  545  649  493  701  909  753  857  961  805  1013  1221  1067  1167  1226  1117

 26  132  282  2528  337  232  185  393  594  443  547  646  497  705  906  755  859  958  809  1017  1220  1065  1124  1270  1120

 30  129  284  2530  334  236  189  390  596  445  544  650  501  702  908  757  856  962  813  1016  1218  1022  1168  1273  1122

 27  131  286  2527  338  240  186  392  598  442  548  654  498  704  910  754  860  966  812  1014  1175  1066  1171  1275  1072

 29  133  283  2531  342  237  188  394  595  446  552  651  500  706  907  758  864  965  810  971  1219  1069  1173  1225  1074

 31  130  287  2535  339  239  190  391  599  450  549  653  502  703  911  762  863  963  767  1015  1222  1071  1123  1227  1077

 28  134  291  2532  341  241  187  395  603  447  551  655  499  707  915  761  861  920  811  1018  1224  1021  1125  1230  1121

 32  138  288  2534  343  238  191  399  600  449  553  652  503  711  914  759  818  964  814  1020  1174  1023  1128  1274  1078

 36  135  290  2536  340  242  195  396  602  451  550  656  507  710  912  716  862  967  816  970  1176  1026  1172  1231  1076

 33  137  292  2533  344  246  192  398  604  448  554  660  506  708  869  760  865  969  766  972  1179  1070  1129  1229  1075

 35  139  289  2537  348  243  194  400  601  452  558  659  504  665  913  763  867  919  768  975  1223  1027  1127  1228  1079

 37  136  293  2541  345  245  196  397  605  456  557  657  461  709  916  765  817  921  771  1019  1180  1025  1126  1232  1083

 34  140  297  2538  347  247  193  401  609  455  555  614  505  712  918  715  819  924  815  976  1178  1024  1130  1236  1080

 38  144  294  2540  349  244  197  405  608  453  512  658  508  714  868  717  822  968  772  974  1177  1028  1134  1233  1082

 42  141  296  2542  346  248  201  404  606  410  556  661  510  664  870  720  866  925  770  973  1181  1032  1131  1235  1084

 39  143  298  2539  350  252  200  402  563  454  559  663  460  666  873  764  823  923  769  977  1185  1029  1133  1237  1081

 41  145  295  2543  354  251  198  359  607  457  561  613  462  669  917  721  821  922  773  981  1182  1031  1135  1234  1085

 43  142  299  2547  353  249  155  403  610  459  511  615  465  713  874  719  820  926  777  978  1184  1033  1132  1238  1089

 40  146  303  2546  351  206  199  406  612  409  513  618  509  670  872  718  824  930  774  980  1186  1030  1136  1242  1086

 44  150  302  2544  308  250  202  408  562  411  516  662  466  668  871  722  828  927  776  982  1183  1034  1140  1239  1088

 48  149  300  2501  352  253  204  358  564  414  560  619  464  667  875  726  825  929  778  979  1187  1038  1137  1241  1090

 47  147  257  2545  355  255  154  360  567  458  517  617  463  671  879  723  827  931  775  983  1191  1035  1139  1243  1087

 45  104  301  2548  357  205  156  363  611  415  515  616  467  675  876  725  829  928  779  987  1188  1037  1141  1240  1091

 2  148  304  2550  307  207  159  407  568  413  514  620  471  672  878  727  826  932  783  984  1190  1039  1138  1244  1095

 46  151  306  2500  309  210  203  364  566  412  518  624  468  674  880  724  830  936  780  986  1192  1036  1142  1248  1092

 49  153  256  2502  312  254  160  362  565  416  522  621  470  676  877  728  834  933  782  988  1189  1040  1146  1245  1094

 

 

Образующая таблица идеального квадрата 51-ого порядка – часть 2

 

1297  1505  1356  1455  1559  1408  1609  1817  1668  1767  1871  1720  1921  2129  1980  2079  2183  2032  2233  2441  2394  2291  96  2297  2494  2599

 1301  1509  1353  1457  1561  1405  1613  1821  1665  1769  1873  1717  1925  2133  1977  2081  2185  2029  2237  2445  2393  2289  53  2341  2497  2601

 1305  1506  1355  1459  1558  1409  1617  1818  1667  1771  1870  1721  1929  2130  1979  2083  2182  2033  2241  2444  2391  2246  97  2344  2499  2551

 1302  1508  1357  1456  1562  1413  1614  1820  1669  1768  1874  1725  1926  2132  1981  2080  2186  2037  2240  2442  2348  2290  100  2346  2449  2553

 1304  1510  1354  1460  1566  1410  1616  1822  1666  1772  1878  1722  1928  2134  1978  2084  2190  2036  2238  2399  2392  2293  102  2296  2451  2556

 1306  1507  1358  1464  1563  1412  1618  1819  1670  1776  1875  1724  1930  2131  1982  2088  2189  2034  2195  2443  2395  2295  52  2298  2454  2600

 1303  1511  1362  1461  1565  1414  1615  1823  1674  1773  1877  1726  1927  2135  1986  2087  2187  1991  2239  2446  2397  2245  54  2301  2498  2557

 1307  1515  1359  1463  1567  1411  1619  1827  1671  1775  1879  1723  1931  2139  1985  2085  2144  2035  2242  2448  2347  2247  57  2345  2455  2555

 1311  1512  1361  1465  1564  1415  1623  1824  1673  1777  1876  1727  1935  2138  1983  2042  2188  2038  2244  2398  2349  2250  101  2302  2453  2554

 1308  1514  1363  1462  1568  1419  1620  1826  1675  1774  1880  1731  1934  2136  1940  2086  2191  2040  2194  2400  2352  2294  58  2300  2452  2558

 1310  1516  1360  1466  1572  1416  1622  1828  1672  1778  1884  1730  1932  2093  1984  2089  2193  1990  2196  2403  2396  2251  56  2299  2456  2562

 1312  1513  1364  1470  1569  1418  1624  1825  1676  1782  1883  1728  1889  2137  1987  2091  2143  1992  2199  2447  2353  2249  55  2303  2460  2559

 1309  1517  1368  1467  1571  1420  1621  1829  1680  1781  1881  1685  1933  2140  1989  2041  2145  1995  2243  2404  2351  2248  59  2307  2457  2561

 1313  1521  1365  1469  1573  1417  1625  1833  1679  1779  1838  1729  1936  2142  1939  2043  2148  2039  2200  2402  2350  2252  63  2304  2459  2563

 1317  1518  1367  1471  1570  1421  1629  1832  1677  1736  1882  1732  1938  2092  1941  2046  2192  1996  2198  2401  2354  2256  60  2306  2461  2560

 1314  1520  1369  1468  1574  1425  1628  1830  1634  1780  1885  1734  1888  2094  1944  2090  2149  1994  2197  2405  2358  2253  62  2308  2458  2564

 1316  1522  1366  1472  1578  1424  1626  1787  1678  1783  1887  1684  1890  2097  1988  2047  2147  1993  2201  2409  2355  2255  64  2305  2462  2568

 1318  1519  1370  1476  1577  1422  1583  1831  1681  1785  1837  1686  1893  2141  1945  2045  2146  1997  2205  2406  2357  2257  61  2309  2466  2565

 1315  1523  1374  1475  1575  1379  1627  1834  1683  1735  1839  1689  1937  2098  1943  2044  2150  2001  2202  2408  2359  2254  65  2313  2463  2567

 1319  1527  1373  1473  1532  1423  1630  1836  1633  1737  1842  1733  1894  2096  1942  2048  2154  1998  2204  2410  2356  2258  69  2310  2465  2569

 1323  1526  1371  1430  1576  1426  1632  1786  1635  1740  1886  1690  1892  2095  1946  2052  2151  2000  2206  2407  2360  2262  66  2312  2467  2566

 1322  1524  1328  1474  1579  1428  1582  1788  1638  1784  1843  1688  1891  2099  1950  2049  2153  2002  2203  2411  2364  2259  68  2314  2464  2570

 1320  1481  1372  1477  1581  1378  1584  1791  1682  1741  1841  1687  1895  2103  1947  2051  2155  1999  2207  2415  2361  2261  70  2311  2468  2574

 1277  1525  1375  1479  1531  1380  1587  1835  1639  1739  1840  1691  1899  2100  1949  2053  2152  2003  2211  2412  2363  2263  67  2315  2472  2571

 1321  1528  1377  1429  1533  1383  1631  1792  1637  1738  1844  1695  1896  2102  1951  2050  2156  2007  2208  2414  2365  2260  71  2319  2469  2573

 1324  1530  1327  1431  1536  1427  1588  1790  1636  1742  1848  1692  1898  2104  1948  2054  2160  2004  2210  2416  2362  2264  75  2316  2471  2575

 1326  1480  1329  1434  1580  1384  1586  1789  1640  1746  1845  1694  1900  2101  1952  2058  2157  2006  2212  2413  2366  2268  72  2318  2473  2572

 1276  1482  1332  1478  1537  1382  1585  1793  1644  1743  1847  1696  1897  2105  1956  2055  2159  2008  2209  2417  2370  2265  74  2320  2470  2576

 1278  1485  1376  1435  1535  1381  1589  1797  1641  1745  1849  1693  1901  2109  1953  2057  2161  2005  2213  2421  2367  2267  76  2317  2474  2580

 1281  1529  1333  1433  1534  1385  1593  1794  1643  1747  1846  1697  1905  2106  1955  2059  2158  2009  2217  2418  2369  2269  73  2321  2478  2577

 1325  1486  1331  1432  1538  1389  1590  1796  1645  1744  1850  1701  1902  2108  1957  2056  2162  2013  2214  2420  2371  2266  77  2325  2475  2579

 1282  1484  1330  1436  1542  1386  1592  1798  1642  1748  1854  1698  1904  2110  1954  2060  2166  2010  2216  2422  2368  2270  81  2322  2477  2581

 1280  1483  1334  1440  1539  1388  1594  1795  1646  1752  1851  1700  1906  2107  1958  2064  2163  2012  2218  2419  2372  2274  78  2324  2479  2578

 1279  1487  1338  1437  1541  1390  1591  1799  1650  1749  1853  1702  1903  2111  1962  2061  2165  2014  2215  2423  2376  2271  80  2326  2476  2582

 1283  1491  1335  1439  1543  1387  1595  1803  1647  1751  1855  1699  1907  2115  1959  2063  2167  2011  2219  2427  2373  2273  82  2323  2480  2586

 1287  1488  1337  1441  1540  1391  1599  1800  1649  1753  1852  1703  1911  2112  1961  2065  2164  2015  2223  2424  2375  2275  79  2327  2484  2583

 1284  1490  1339  1438  1544  1395  1596  1802  1651  1750  1856  1707  1908  2114  1963  2062  2168  2019  2220  2426  2377  2272  83  2331  2481  2585

 1286  1492  1336  1442  1548  1392  1598  1804  1648  1754  1860  1704  1910  2116  1960  2066  2172  2016  2222  2428  2374  2276  87  2328  2483  2587

 1288  1489  1340  1446  1545  1394  1600  1801  1652  1758  1857  1706  1912  2113  1964  2070  2169  2018  2224  2425  2378  2280  84  2330  2485  2584

 1285  1493  1344  1443  1547  1396  1597  1805  1656  1755  1859  1708  1909  2117  1968  2067  2171  2020  2221  2429  2382  2277  86  2332  2482  2588

 1289  1497  1341  1445  1549  1393  1601  1809  1653  1757  1861  1705  1913  2121  1965  2069  2173  2017  2225  2433  2379  2279  88  2329  2486  2592

 1293  1494  1343  1447  1546  1397  1605  1806  1655  1759  1858  1709  1917  2118  1967  2071  2170  2021  2229  2430  2381  2281  85  2333  2490  2589

 1290  1496  1345  1444  1550  1401  1602  1808  1657  1756  1862  1713  1914  2120  1969  2068  2174  2025  2226  2432  2383  2278  89  2337  2487  2591

 1292  1498  1342  1448  1554  1398  1604  1810  1654  1760  1866  1710  1916  2122  1966  2072  2178  2022  2228  2434  2380  2282  93  2334  2489  2593

 1294  1495  1346  1452  1551  1400  1606  1807  1658  1764  1863  1712  1918  2119  1970  2076  2175  2024  2230  2431  2384  2286  90  2336  2491  2590

 1291  1499  1350  1449  1553  1402  1603  1811  1662  1761  1865  1714  1915  2123  1974  2073  2177  2026  2227  2435  2388  2283  92  2338  2488  2594

 1295  1503  1347  1451  1555  1399  1607  1815  1659  1763  1867  1711  1919  2127  1971  2075  2179  2023  2231  2439  2385  2285  94  2335  2492  2598

 1299  1500  1349  1453  1552  1403  1611  1812  1661  1765  1864  1715  1923  2124  1973  2077  2176  2027  2235  2436  2387  2287  91  2339  2496  2597

 1296  1502  1351  1450  1556  1407  1608  1814  1663  1762  1868  1719  1920  2126  1975  2074  2180  2031  2232  2438  2389  2284  95  2343  2495  2595

 1298  1504  1348  1454  1560  1404  1610  1816  1660  1766  1872  1716  1922  2128  1972  2078  2184  2028  2234  2440  2386  2288  99  2342  2493  2552

 1300  1501  1352  1458  1557  1406  1612  1813  1664  1770  1869  1718  1924  2125  1976  2082  2181  2030  2236  2437  2390  2292  98  2340  2450  2596

 

Чтобы получить целую таблицу, распечатайте первую часть, затем вторую часть, и склейте обе части, приложив левый край второй части к правому краю первой.

Красным цветом выделена начальная цепочка чисел, а синим цветом – максимальные числа в столбцах.

 

Вот и всё готово для построения идеального квадрата! Буквально за пять минут. Я уже много раз объясняла и показывала, как образующая таблица превращается в идеальный квадрат. Нарисуйте матрицу для квадрата и впишите в неё первые числа от 1 до 51 (начальная цепочка чисел, первый столбец образующей таблицы); число 1 пишется в начале центральной строки, а дальше качаются качели: через 25 ячеек вправо, через 24 ячейки влево. А теперь построчно перепишите строки из образующей таблицы в матрицу для квадрата, начиная с соответствующего числа начальной цепочки. Разумеется, можно написать программу превращения образующей таблицы в идеальный квадрат или прямо вставить этот блок в программу формирования образующей таблицы. Но мне всё как-то лень. Может быть, вот сейчас сделаю это: не хочется переписывать такую большую таблицу в матрицу для квадрата. Для всех предыдущих порядков (до 39-ого включительно) я выполнила этот этап построения вручную.

 

Думаю, что теперь процесс построения идеального квадрата 51-ого порядка показан очень подробно и понятно. Мне написал один товарищ, что не понял метод качелей и не может построить этим методом квадрат 51-ого порядка. Вот я и решила подробнейшим образом показать построение этого квадрата.

Теперь напишу блок превращения образующей таблицы в идеальный квадрат и покажу готовый идеальный квадрат. Предлагаю читателям выполнить этот этап построения самостоятельно.

 

                                               ***

 

Поскольку страница получается большая по объёму и неудобно её обновлять, перехожу на следующую страницу:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob14.htm

 

         8 февраля 2008 г.

            г. Саратов

 

       Пишите мне!

Рейтинг@Mail.ru

На главную страницу

 

 



Сайт создан в системе uCoz