ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ
Часть XII
Внимание! Оригинал.
При копировании прошу
указывать ссылку
на данную страницу.
Страница начата 31 января 2008 г.
В предыдущей части статьи я нашла две группы частных решений для идеальных квадратов порядков, кратных 3. Для квадратов 15-ого и 21-ого порядка были показаны решения из обеих групп. Читателям предлагалось построить таким способом соответствующие идеальные квадраты для 27-ого и 33-ого порядка. Я решила показать эти квадраты, мне самой было интересно их построить. Для квадрата 27-ого порядка приводится и образующая таблица, чтобы читатели лучше поняли все закономерности этой таблицы и сравнили её с образующей таблицей соответствующего идеального квадрата первой группы. Итак, на рис. 1 вы видите образующую таблицу, а на рис. 2 порождаемый ею идеальный квадрат 27-ого порядка. Напомню, что в этом квадрате, как и в следующем квадрате 33-ого порядка, действуют нестандартные качели. Идеальные квадраты этой группы (группы с нестандартными качелями) хороши тем, что они начинаются с числа 1.
|
27 |
213 |
477 |
606 |
60 |
299 |
397 |
553 |
140 |
243 |
456 |
45 |
687 |
276 |
488 |
586 |
175 |
329 |
432 |
672 |
126 |
255 |
519 |
704 |
100 |
364 |
626 |
|
3 |
210 |
476 |
605 |
61 |
322 |
398 |
554 |
143 |
219 |
453 |
44 |
686 |
277 |
511 |
587 |
176 |
332 |
408 |
669 |
125 |
254 |
520 |
727 |
101 |
365 |
629 |
|
26 |
211 |
475 |
604 |
58 |
298 |
401 |
555 |
144 |
242 |
454 |
43 |
685 |
274 |
487 |
590 |
177 |
333 |
431 |
670 |
124 |
253 |
517 |
703 |
104 |
366 |
630 |
|
5 |
216 |
483 |
612 |
66 |
303 |
380 |
559 |
148 |
221 |
459 |
51 |
693 |
282 |
492 |
569 |
181 |
337 |
410 |
675 |
132 |
261 |
525 |
708 |
83 |
370 |
634 |
|
8 |
192 |
480 |
611 |
65 |
304 |
403 |
560 |
149 |
224 |
435 |
48 |
692 |
281 |
493 |
592 |
182 |
338 |
413 |
651 |
129 |
260 |
524 |
709 |
106 |
371 |
635 |
|
9 |
215 |
481 |
610 |
64 |
301 |
379 |
563 |
150 |
225 |
458 |
49 |
691 |
280 |
490 |
568 |
185 |
339 |
414 |
674 |
130 |
259 |
523 |
706 |
82 |
374 |
636 |
|
13 |
194 |
486 |
618 |
72 |
309 |
384 |
542 |
154 |
229 |
437 |
54 |
699 |
288 |
498 |
573 |
164 |
343 |
418 |
653 |
135 |
267 |
531 |
714 |
87 |
353 |
640 |
|
14 |
197 |
462 |
615 |
71 |
308 |
385 |
565 |
155 |
230 |
440 |
30 |
696 |
287 |
497 |
574 |
187 |
344 |
419 |
656 |
111 |
264 |
530 |
713 |
88 |
376 |
641 |
|
15 |
198 |
485 |
616 |
70 |
307 |
382 |
541 |
158 |
231 |
441 |
53 |
697 |
286 |
496 |
571 |
163 |
347 |
420 |
657 |
134 |
265 |
529 |
712 |
85 |
352 |
644 |
|
19 |
202 |
464 |
621 |
78 |
315 |
390 |
546 |
137 |
235 |
445 |
32 |
702 |
294 |
504 |
579 |
168 |
326 |
424 |
661 |
113 |
270 |
537 |
720 |
93 |
357 |
623 |
|
20 |
203 |
467 |
597 |
75 |
314 |
389 |
547 |
160 |
236 |
446 |
35 |
678 |
291 |
503 |
578 |
169 |
349 |
425 |
662 |
116 |
246 |
534 |
719 |
92 |
358 |
646 |
|
23 |
204 |
468 |
620 |
76 |
313 |
388 |
544 |
136 |
239 |
447 |
36 |
701 |
292 |
502 |
577 |
166 |
325 |
428 |
663 |
117 |
269 |
535 |
718 |
91 |
355 |
622 |
|
2 |
208 |
472 |
599 |
81 |
321 |
396 |
552 |
141 |
218 |
451 |
40 |
680 |
297 |
510 |
585 |
174 |
330 |
407 |
667 |
121 |
248 |
540 |
726 |
99 |
363 |
627 |
|
25 |
209 |
473 |
602 |
57 |
318 |
395 |
551 |
142 |
241 |
452 |
41 |
683 |
273 |
507 |
584 |
173 |
331 |
430 |
668 |
122 |
251 |
516 |
723 |
98 |
362 |
628 |
|
1 |
212 |
474 |
603 |
80 |
319 |
394 |
550 |
139 |
217 |
455 |
42 |
684 |
296 |
508 |
583 |
172 |
328 |
406 |
671 |
123 |
252 |
539 |
724 |
97 |
361 |
625 |
|
6 |
191 |
478 |
607 |
59 |
324 |
402 |
558 |
147 |
222 |
434 |
46 |
688 |
275 |
513 |
591 |
180 |
336 |
411 |
650 |
127 |
256 |
518 |
729 |
105 |
369 |
633 |
|
7 |
214 |
479 |
608 |
62 |
300 |
399 |
557 |
146 |
223 |
457 |
47 |
689 |
278 |
489 |
588 |
179 |
335 |
412 |
673 |
128 |
257 |
521 |
705 |
102 |
368 |
632 |
|
4 |
190 |
482 |
609 |
63 |
323 |
400 |
556 |
145 |
220 |
433 |
50 |
690 |
279 |
512 |
589 |
178 |
334 |
409 |
649 |
131 |
258 |
522 |
728 |
103 |
367 |
631 |
|
12 |
195 |
461 |
613 |
67 |
302 |
405 |
564 |
153 |
228 |
438 |
29 |
694 |
283 |
491 |
594 |
186 |
342 |
417 |
654 |
110 |
262 |
526 |
707 |
108 |
375 |
639 |
|
11 |
196 |
484 |
614 |
68 |
305 |
381 |
561 |
152 |
227 |
439 |
52 |
695 |
284 |
494 |
570 |
183 |
341 |
416 |
655 |
133 |
263 |
527 |
710 |
84 |
372 |
638 |
|
10 |
193 |
460 |
617 |
69 |
306 |
404 |
562 |
151 |
226 |
436 |
28 |
698 |
285 |
495 |
593 |
184 |
340 |
415 |
652 |
109 |
266 |
528 |
711 |
107 |
373 |
637 |
|
18 |
201 |
465 |
596 |
73 |
310 |
383 |
567 |
159 |
234 |
444 |
33 |
677 |
289 |
499 |
572 |
189 |
348 |
423 |
660 |
114 |
245 |
532 |
715 |
86 |
378 |
645 |
|
17 |
200 |
466 |
619 |
74 |
311 |
386 |
543 |
156 |
233 |
443 |
34 |
700 |
290 |
500 |
575 |
165 |
345 |
422 |
659 |
115 |
268 |
533 |
716 |
89 |
354 |
642 |
|
16 |
199 |
463 |
595 |
77 |
312 |
387 |
566 |
157 |
232 |
442 |
31 |
676 |
293 |
501 |
576 |
188 |
346 |
421 |
658 |
112 |
244 |
536 |
717 |
90 |
377 |
643 |
|
24 |
207 |
471 |
600 |
56 |
316 |
391 |
545 |
162 |
240 |
450 |
39 |
681 |
272 |
505 |
580 |
167 |
351 |
429 |
666 |
120 |
249 |
515 |
721 |
94 |
356 |
648 |
|
21 |
206 |
470 |
601 |
79 |
317 |
392 |
548 |
138 |
237 |
449 |
38 |
682 |
295 |
506 |
581 |
170 |
327 |
426 |
665 |
119 |
250 |
538 |
722 |
95 |
359 |
624 |
|
22 |
205 |
469 |
598 |
55 |
320 |
393 |
549 |
161 |
238 |
448 |
37 |
679 |
271 |
509 |
582 |
171 |
350 |
427 |
664 |
118 |
247 |
514 |
725 |
96 |
360 |
647 |
Рис. 1
Примечание: в образующей таблице не изображён столбец разностей и строка с номерами циклов качания качелей. Это легко написать по имеющимся в таблице данным.
|
1 |
212 |
474 |
603 |
80 |
319 |
394 |
550 |
139 |
217 |
455 |
42 |
684 |
296 |
508 |
583 |
172 |
328 |
406 |
671 |
123 |
252 |
539 |
724 |
97 |
361 |
625 |
|
602 |
57 |
318 |
395 |
551 |
142 |
241 |
452 |
41 |
683 |
273 |
507 |
584 |
173 |
331 |
430 |
668 |
122 |
251 |
516 |
723 |
98 |
362 |
628 |
25 |
209 |
473 |
|
396 |
552 |
141 |
218 |
451 |
40 |
680 |
297 |
510 |
585 |
174 |
330 |
407 |
667 |
121 |
248 |
540 |
726 |
99 |
363 |
627 |
2 |
208 |
472 |
599 |
81 |
321 |
|
239 |
447 |
36 |
701 |
292 |
502 |
577 |
166 |
325 |
428 |
663 |
117 |
269 |
535 |
718 |
91 |
355 |
622 |
23 |
204 |
468 |
620 |
76 |
313 |
388 |
544 |
136 |
|
678 |
291 |
503 |
578 |
169 |
349 |
425 |
662 |
116 |
246 |
534 |
719 |
92 |
358 |
646 |
20 |
203 |
467 |
597 |
75 |
314 |
389 |
547 |
160 |
236 |
446 |
35 |
|
579 |
168 |
326 |
424 |
661 |
113 |
270 |
537 |
720 |
93 |
357 |
623 |
19 |
202 |
464 |
621 |
78 |
315 |
390 |
546 |
137 |
235 |
445 |
32 |
702 |
294 |
504 |
|
420 |
657 |
134 |
265 |
529 |
712 |
85 |
352 |
644 |
15 |
198 |
485 |
616 |
70 |
307 |
382 |
541 |
158 |
231 |
441 |
53 |
697 |
286 |
496 |
571 |
163 |
347 |
|
264 |
530 |
713 |
88 |
376 |
641 |
14 |
197 |
462 |
615 |
71 |
308 |
385 |
565 |
155 |
230 |
440 |
30 |
696 |
287 |
497 |
574 |
187 |
344 |
419 |
656 |
111 |
|
87 |
353 |
640 |
13 |
194 |
486 |
618 |
72 |
309 |
384 |
542 |
154 |
229 |
437 |
54 |
699 |
288 |
498 |
573 |
164 |
343 |
418 |
653 |
135 |
267 |
531 |
714 |
|
9 |
215 |
481 |
610 |
64 |
301 |
379 |
563 |
150 |
225 |
458 |
49 |
691 |
280 |
490 |
568 |
185 |
339 |
414 |
674 |
130 |
259 |
523 |
706 |
82 |
374 |
636 |
|
611 |
65 |
304 |
403 |
560 |
149 |
224 |
435 |
48 |
692 |
281 |
493 |
592 |
182 |
338 |
413 |
651 |
129 |
260 |
524 |
709 |
106 |
371 |
635 |
8 |
192 |
480 |
|
380 |
559 |
148 |
221 |
459 |
51 |
693 |
282 |
492 |
569 |
181 |
337 |
410 |
675 |
132 |
261 |
525 |
708 |
83 |
370 |
634 |
5 |
216 |
483 |
612 |
66 |
303 |
|
242 |
454 |
43 |
685 |
274 |
487 |
590 |
177 |
333 |
431 |
670 |
124 |
253 |
517 |
703 |
104 |
366 |
630 |
26 |
211 |
475 |
604 |
58 |
298 |
401 |
555 |
144 |
|
686 |
277 |
511 |
587 |
176 |
332 |
408 |
669 |
125 |
254 |
520 |
727 |
101 |
365 |
629 |
3 |
210 |
476 |
605 |
61 |
322 |
398 |
554 |
143 |
219 |
453 |
44 |
|
586 |
175 |
329 |
432 |
672 |
126 |
255 |
519 |
704 |
100 |
364 |
626 |
27 |
213 |
477 |
606 |
60 |
299 |
397 |
553 |
140 |
243 |
456 |
45 |
687 |
276 |
488 |
|
427 |
664 |
118 |
247 |
514 |
725 |
96 |
360 |
647 |
22 |
205 |
469 |
598 |
55 |
320 |
393 |
549 |
161 |
238 |
448 |
37 |
679 |
271 |
509 |
582 |
171 |
350 |
|
250 |
538 |
722 |
95 |
359 |
624 |
21 |
206 |
470 |
601 |
79 |
317 |
392 |
548 |
138 |
237 |
449 |
38 |
682 |
295 |
506 |
581 |
170 |
327 |
426 |
665 |
119 |
|
94 |
356 |
648 |
24 |
207 |
471 |
600 |
56 |
316 |
391 |
545 |
162 |
240 |
450 |
39 |
681 |
272 |
505 |
580 |
167 |
351 |
429 |
666 |
120 |
249 |
515 |
721 |
|
16 |
199 |
463 |
595 |
77 |
312 |
387 |
566 |
157 |
232 |
442 |
31 |
676 |
293 |
501 |
576 |
188 |
346 |
421 |
658 |
112 |
244 |
536 |
717 |
90 |
377 |
643 |
|
619 |
74 |
311 |
386 |
543 |
156 |
233 |
443 |
34 |
700 |
290 |
500 |
575 |
165 |
345 |
422 |
659 |
115 |
268 |
533 |
716 |
89 |
354 |
642 |
17 |
200 |
466 |
|
383 |
567 |
159 |
234 |
444 |
33 |
677 |
289 |
499 |
572 |
189 |
348 |
423 |
660 |
114 |
245 |
532 |
715 |
86 |
378 |
645 |
18 |
201 |
465 |
596 |
73 |
310 |
|
226 |
436 |
28 |
698 |
285 |
495 |
593 |
184 |
340 |
415 |
652 |
109 |
266 |
528 |
711 |
107 |
373 |
637 |
10 |
193 |
460 |
617 |
69 |
306 |
404 |
562 |
151 |
|
695 |
284 |
494 |
570 |
183 |
341 |
416 |
655 |
133 |
263 |
527 |
710 |
84 |
372 |
638 |
11 |
196 |
484 |
614 |
68 |
305 |
381 |
561 |
152 |
227 |
439 |
52 |
|
594 |
186 |
342 |
417 |
654 |
110 |
262 |
526 |
707 |
108 |
375 |
639 |
12 |
195 |
461 |
613 |
67 |
302 |
405 |
564 |
153 |
228 |
438 |
29 |
694 |
283 |
491 |
|
409 |
649 |
131 |
258 |
522 |
728 |
103 |
367 |
631 |
4 |
190 |
482 |
609 |
63 |
323 |
400 |
556 |
145 |
220 |
433 |
50 |
690 |
279 |
512 |
589 |
178 |
334 |
|
257 |
521 |
705 |
102 |
368 |
632 |
7 |
214 |
479 |
608 |
62 |
300 |
399 |
557 |
146 |
223 |
457 |
47 |
689 |
278 |
489 |
588 |
179 |
335 |
412 |
673 |
128 |
|
105 |
369 |
633 |
6 |
191 |
478 |
607 |
59 |
324 |
402 |
558 |
147 |
222 |
434 |
46 |
688 |
275 |
513 |
591 |
180 |
336 |
411 |
650 |
127 |
256 |
518 |
729 |
Рис. 2
Теперь покажу идеальный квадрат 33-ого порядка из этой же группы. Опускаю образующую таблицу этого квадрата, при желании её очень легко восстановить по самому квадрату. Квадрат представлен в виде двух половинок, он “разрезан” по вертикали. Для получения полной картинки соедините две половинки (рис. 3-4).
Идеальный квадрат 33-ого порядка – часть I
|
1 |
834 |
610 |
293 |
98 |
967 |
516 |
358 |
169 |
939 |
649 |
397 |
1032 |
874 |
788 |
329 |
208 |
|
290 |
69 |
968 |
515 |
357 |
172 |
938 |
650 |
427 |
1031 |
875 |
785 |
300 |
209 |
53 |
687 |
436 |
|
514 |
360 |
171 |
937 |
651 |
398 |
1028 |
876 |
784 |
330 |
210 |
52 |
690 |
435 |
145 |
915 |
728 |
|
933 |
643 |
425 |
1055 |
868 |
780 |
325 |
202 |
48 |
682 |
430 |
141 |
907 |
755 |
593 |
109 |
1011 |
|
1026 |
869 |
779 |
324 |
205 |
47 |
683 |
460 |
140 |
908 |
752 |
564 |
110 |
1010 |
819 |
469 |
245 |
|
327 |
204 |
46 |
684 |
431 |
137 |
909 |
751 |
594 |
111 |
1009 |
822 |
468 |
244 |
1080 |
695 |
533 |
|
676 |
458 |
164 |
901 |
747 |
589 |
103 |
1005 |
814 |
463 |
240 |
1072 |
722 |
560 |
373 |
21 |
853 |
|
902 |
746 |
588 |
106 |
1004 |
815 |
493 |
239 |
1073 |
719 |
531 |
374 |
20 |
852 |
601 |
278 |
89 |
|
105 |
1003 |
816 |
464 |
236 |
1074 |
718 |
561 |
375 |
19 |
855 |
600 |
277 |
90 |
959 |
500 |
348 |
|
491 |
263 |
1066 |
714 |
556 |
367 |
15 |
847 |
595 |
273 |
82 |
986 |
527 |
340 |
186 |
952 |
631 |
|
713 |
555 |
370 |
14 |
848 |
625 |
272 |
83 |
983 |
498 |
341 |
185 |
951 |
634 |
410 |
1046 |
889 |
|
13 |
849 |
596 |
269 |
84 |
982 |
528 |
342 |
184 |
954 |
633 |
409 |
1047 |
860 |
764 |
315 |
223 |
|
296 |
76 |
978 |
523 |
334 |
180 |
946 |
628 |
405 |
1039 |
887 |
791 |
307 |
219 |
61 |
664 |
444 |
|
522 |
337 |
179 |
947 |
658 |
404 |
1040 |
884 |
762 |
308 |
218 |
60 |
667 |
443 |
155 |
922 |
734 |
|
948 |
629 |
401 |
1041 |
883 |
792 |
309 |
217 |
63 |
666 |
442 |
156 |
893 |
731 |
579 |
124 |
1023 |
|
1033 |
879 |
787 |
301 |
213 |
55 |
661 |
438 |
148 |
920 |
758 |
571 |
120 |
1018 |
796 |
477 |
253 |
|
304 |
212 |
56 |
691 |
437 |
149 |
917 |
729 |
572 |
119 |
1017 |
799 |
476 |
254 |
1087 |
701 |
545 |
|
662 |
434 |
150 |
916 |
759 |
573 |
118 |
1020 |
798 |
475 |
255 |
1058 |
698 |
546 |
388 |
33 |
837 |
|
912 |
754 |
565 |
114 |
1012 |
793 |
471 |
247 |
1085 |
725 |
538 |
384 |
28 |
829 |
609 |
286 |
67 |
|
113 |
1013 |
823 |
470 |
248 |
1082 |
696 |
539 |
383 |
27 |
832 |
608 |
287 |
97 |
965 |
512 |
356 |
|
467 |
249 |
1081 |
726 |
540 |
382 |
30 |
831 |
607 |
288 |
68 |
962 |
513 |
355 |
198 |
936 |
646 |
|
721 |
532 |
378 |
22 |
826 |
603 |
280 |
95 |
989 |
505 |
351 |
193 |
928 |
642 |
418 |
1024 |
867 |
|
23 |
856 |
602 |
281 |
92 |
960 |
506 |
350 |
192 |
931 |
641 |
419 |
1054 |
866 |
776 |
323 |
201 |
|
282 |
91 |
990 |
507 |
349 |
195 |
930 |
640 |
420 |
1025 |
863 |
777 |
322 |
231 |
45 |
679 |
459 |
|
499 |
345 |
187 |
925 |
636 |
412 |
1052 |
890 |
769 |
318 |
226 |
37 |
675 |
451 |
133 |
900 |
742 |
|
955 |
635 |
413 |
1049 |
861 |
770 |
317 |
225 |
40 |
674 |
452 |
163 |
899 |
743 |
587 |
102 |
1001 |
|
1048 |
891 |
771 |
316 |
228 |
39 |
673 |
453 |
134 |
896 |
744 |
586 |
132 |
1002 |
811 |
492 |
237 |
|
312 |
220 |
34 |
669 |
445 |
161 |
923 |
736 |
582 |
127 |
994 |
807 |
484 |
232 |
1065 |
709 |
557 |
|
668 |
446 |
158 |
894 |
737 |
581 |
126 |
997 |
806 |
485 |
262 |
1064 |
710 |
554 |
366 |
11 |
845 |
|
924 |
738 |
580 |
129 |
996 |
805 |
486 |
233 |
1061 |
711 |
553 |
396 |
12 |
844 |
624 |
270 |
79 |
|
121 |
991 |
801 |
478 |
260 |
1088 |
703 |
549 |
391 |
4 |
840 |
616 |
265 |
75 |
973 |
524 |
362 |
|
479 |
257 |
1059 |
704 |
548 |
390 |
7 |
839 |
617 |
295 |
74 |
974 |
521 |
333 |
176 |
944 |
654 |
|
705 |
547 |
393 |
6 |
838 |
618 |
266 |
71 |
975 |
520 |
363 |
177 |
943 |
657 |
402 |
1036 |
882 |
Рис. 3
Идеальный квадрат 33-ого порядка – часть II
|
54 |
688 |
433 |
147 |
913 |
727 |
570 |
115 |
1019 |
824 |
472 |
252 |
1084 |
697 |
543 |
385 |
|
146 |
914 |
757 |
569 |
116 |
1016 |
795 |
473 |
251 |
1083 |
700 |
542 |
386 |
31 |
833 |
611 |
|
566 |
117 |
1015 |
825 |
474 |
250 |
1086 |
699 |
541 |
387 |
2 |
830 |
612 |
289 |
99 |
969 |
|
820 |
466 |
246 |
1078 |
694 |
537 |
379 |
29 |
857 |
604 |
285 |
94 |
961 |
510 |
352 |
166 |
|
1079 |
724 |
536 |
380 |
26 |
828 |
605 |
284 |
93 |
964 |
509 |
353 |
196 |
932 |
644 |
422 |
|
381 |
25 |
858 |
606 |
283 |
96 |
963 |
508 |
354 |
167 |
929 |
645 |
421 |
1056 |
870 |
778 |
|
598 |
279 |
88 |
958 |
504 |
346 |
194 |
956 |
637 |
417 |
1051 |
862 |
774 |
319 |
199 |
42 |
|
988 |
503 |
347 |
191 |
927 |
638 |
416 |
1050 |
865 |
773 |
320 |
229 |
41 |
677 |
455 |
135 |
|
190 |
957 |
639 |
415 |
1053 |
864 |
772 |
321 |
200 |
38 |
678 |
454 |
165 |
903 |
745 |
591 |
|
411 |
1045 |
859 |
768 |
313 |
227 |
65 |
670 |
450 |
160 |
895 |
741 |
583 |
100 |
999 |
808 |
|
767 |
314 |
224 |
36 |
671 |
449 |
159 |
898 |
740 |
584 |
130 |
998 |
809 |
488 |
234 |
1067 |
|
66 |
672 |
448 |
162 |
897 |
739 |
585 |
101 |
995 |
810 |
487 |
264 |
1068 |
712 |
558 |
369 |
|
154 |
892 |
735 |
577 |
128 |
1022 |
802 |
483 |
259 |
1060 |
708 |
550 |
364 |
9 |
841 |
623 |
|
578 |
125 |
993 |
803 |
482 |
258 |
1063 |
707 |
551 |
394 |
8 |
842 |
620 |
267 |
77 |
977 |
|
804 |
481 |
261 |
1062 |
706 |
552 |
365 |
5 |
843 |
619 |
297 |
78 |
976 |
525 |
336 |
178 |
|
1057 |
702 |
544 |
392 |
32 |
835 |
615 |
292 |
70 |
972 |
517 |
331 |
174 |
940 |
656 |
428 |
|
389 |
3 |
836 |
614 |
291 |
73 |
971 |
518 |
361 |
173 |
941 |
653 |
399 |
1034 |
878 |
786 |
|
613 |
294 |
72 |
970 |
519 |
332 |
170 |
942 |
652 |
429 |
1035 |
877 |
789 |
303 |
211 |
57 |
|
966 |
511 |
359 |
197 |
934 |
648 |
424 |
1027 |
873 |
781 |
298 |
207 |
49 |
689 |
461 |
142 |
|
168 |
935 |
647 |
423 |
1030 |
872 |
782 |
328 |
206 |
50 |
686 |
432 |
143 |
911 |
753 |
568 |
|
426 |
1029 |
871 |
783 |
299 |
203 |
51 |
685 |
462 |
144 |
910 |
756 |
567 |
112 |
1014 |
794 |
|
775 |
326 |
230 |
43 |
681 |
457 |
136 |
906 |
748 |
562 |
108 |
1006 |
821 |
494 |
241 |
1077 |
|
44 |
680 |
456 |
139 |
905 |
749 |
592 |
107 |
1007 |
818 |
465 |
242 |
1076 |
720 |
535 |
377 |
|
138 |
904 |
750 |
563 |
104 |
1008 |
817 |
495 |
243 |
1075 |
723 |
534 |
376 |
24 |
827 |
599 |
|
590 |
131 |
1000 |
813 |
490 |
235 |
1071 |
715 |
529 |
372 |
16 |
854 |
626 |
274 |
87 |
985 |
|
812 |
489 |
238 |
1070 |
716 |
559 |
371 |
17 |
851 |
597 |
275 |
86 |
984 |
502 |
344 |
188 |
|
1069 |
717 |
530 |
368 |
18 |
850 |
627 |
276 |
85 |
987 |
501 |
343 |
189 |
926 |
632 |
414 |
|
395 |
10 |
846 |
622 |
268 |
81 |
979 |
496 |
339 |
181 |
953 |
659 |
406 |
1044 |
886 |
763 |
|
621 |
271 |
80 |
980 |
526 |
338 |
182 |
950 |
630 |
407 |
1043 |
885 |
766 |
311 |
221 |
64 |
|
981 |
497 |
335 |
183 |
949 |
660 |
408 |
1042 |
888 |
765 |
310 |
222 |
35 |
665 |
447 |
157 |
|
175 |
945 |
655 |
400 |
1038 |
880 |
760 |
306 |
214 |
62 |
692 |
439 |
153 |
919 |
730 |
576 |
|
403 |
1037 |
881 |
790 |
305 |
215 |
59 |
663 |
440 |
152 |
918 |
733 |
575 |
122 |
1021 |
800 |
|
761 |
302 |
216 |
58 |
693 |
441 |
151 |
921 |
732 |
574 |
123 |
992 |
797 |
480 |
256 |
1089 |
Рис. 4
В квадрате выделен белым цветом первый цикл качания качелей.
Великолепный идеальный квадрат! Это пока самый сложный из всех магических квадратов, построенных мной. И самый прекрасный! Как знают читатели, я больше всего люблю идеальные квадраты, которые начинаются с числа 1.
Ещё раз замечу, что для квадратов 33-ого порядка я ещё не сочинила матрицу преобразования “строки-диагонали” и потому не могла применить его к квадрату, построенному в предыдущей части статьи методом стандартных качелей. Но я посмотрела на центральную строку этого квадрата и убедилась, что она превратилась в главную диагональ квадрата, изображённого на рис. 3-4. Вот так по аналогичной образующей таблице я получила этот квадрат из группы квадратов с нестандартными качелями.
***
3 февраля 2008 г.
Хочу показать аналогичные группы частных решений для идеальных квадратов порядков, не кратных 3. Сделаю это подробно, начиная с самого минимального порядка идеального квадрата. Покажу все образующие таблицы. Во-первых, это поможет тем, кто ещё не совсем понял метод качелей и закон формирования образующей таблицы. Во-вторых, эти две группы частных решений, аналогичные показанным выше двум группам частных решений для идеальных квадратов порядков, кратных 3, интересны сами по себе. Рассматривая их, я увидела один сложный момент при формировании образующих таблиц для второй группы частных решений (нестандартные качели). Этот момент возник и в группе с нестандартными качелями для квадратов порядков, кратных 3. То есть это общий сложный момент для нестандартных качелей (в стандартных качелях эта сложность отсутствует). Я, конечно, нашла хитрый путь преодоления этой сложности, который, однако, не буду излагать здесь. Пусть читатели сами проанализируют все образующие таблицы и найдут свой способ решения возникающей проблемы. Вполне возможно, что он будет проще моего способа.
Напомню, о каких двух группах частных решений я собираюсь рассказать. Первая группа – это частное решение, получаемое самыми простыми качелями с тривиальной образующей таблицей (эти таблицы я тоже покажу, чтобы читатели поняли, почему я называю их тривиальными). Эта группа идеальных квадратов относится к стандартным качелям. Построив такой идеальный квадрат, я затем применяю к нему комбинацию двух преобразований: сначала параллельный перенос на торе, а затем “строки-диагонали”. Таким образом я получаю частное решение из другой группы квадратов – с нестандартными качелями. Идеальные квадраты этой группы начинаются с числа 1. Между этими двумя частными решениями существует жёсткая зависимость, которая, разумеется, отражается на их образующих таблицах. Очень интересен факт, что зависимость между начальными цепочками первых n чисел точно такая же, как в двух группах идеальных квадратов порядков, кратных 3, а именно: числа в начальной цепочке второй группы квадратов следуют точно через одно. Но всё станет понятнее, когда вы увидите наглядные примеры. Итак, я начинаю с идеального квадрата пятого порядка. На рис. 5 изображена тривиальная образующая таблица, а на рис. 6 порождаемый ею идеальный квадрат пятого порядка. Совершенно понятно, почему образующие таблицы этих частных решений я называю тривиальными. Потому что в них всё совсем просто и ничего не надо вычислять, да и таблицу эту можно вообще не составлять, так как матрица идеального квадрата заполняется элементарно без всяких вычислений: числа в начальной цепочке следуют по порядку, числа в циклах качания качелей тоже следуют по порядку, наконец, и номера циклов качания качелей следуют по порядку (k=1, k=2, …). Показываю эти тривиальные таблицы только для того, чтобы вы могли сравнить их с образующими таблицами квадратов второй группы (с нестандартными качелями).
|
|
5 |
6 |
12 |
18 |
24 |
|
-1 |
1 |
7 |
13 |
19 |
25 |
|
-1 |
2 |
8 |
14 |
20 |
21 |
|
-1 |
3 |
9 |
15 |
16 |
22 |
|
-1 |
4 |
10 |
11 |
17 |
23 |
|
|
|
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
Рис. 5
|
22 |
3 |
9 |
15 |
16 |
|
14 |
20 |
21 |
2 |
8 |
|
1 |
7 |
13 |
19 |
25 |
|
18 |
24 |
5 |
6 |
12 |
|
10 |
11 |
17 |
23 |
4 |
Рис. 6
Перед вами частное решение первой группы (стандартные качели). Качели здесь качаются так: через 2 ячейки вправо, через 1 ячейку влево. Сумма шагов качания, как всегда (для всех видов качелей), на 2 меньше порядка квадрата.
Теперь показываю соответствующее частное решение из второй группы (нестандартные качели). Этот квадрат получается, как я уже говорила, если квадрат с рис. 6 перенести на торе, так чтобы центральная строка оказалась первой, а затем применить к полученному квадрату преобразование “строки-диагонали”. На рис. 7 – образующая таблица, на рис. 8 – порождаемый ею квадрат. Сравнивайте образующие таблицы здесь и далее! Суть в том, что я строю квадраты этой группы, не применяя указанные преобразования, а именно по образующей таблице, которую формирую, имея образующую таблицу соответствующего квадрата первой группы.
|
|
5 |
22 |
19 |
11 |
8 |
|
-2 |
2 |
24 |
16 |
13 |
10 |
|
3 |
4 |
21 |
18 |
15 |
7 |
|
-2 |
1 |
23 |
20 |
12 |
9 |
|
-2 |
3 |
25 |
17 |
14 |
6 |
|
|
|
k=4 |
k=3 |
k=2 |
k=1 |
Рис. 7
|
1 |
23 |
20 |
12 |
9 |
|
15 |
7 |
4 |
21 |
18 |
|
24 |
16 |
13 |
10 |
2 |
|
8 |
5 |
22 |
19 |
11 |
|
17 |
14 |
6 |
3 |
25 |
Рис. 8
Обратите внимание: шаги качания качелей здесь не изменились, как и в квадрате первой группы – через 2 ячейки вправо, через 1 ячейку влево.
Далее показываю в такой же последовательности идеальные квадраты двух групп с их образующими таблицами для следующих порядков, не кратных 3.
На рис. 9-10 – для идеального квадрата седьмого порядка первой группы.
|
|
7 |
8 |
16 |
24 |
32 |
40 |
48 |
|
-1 |
1 |
9 |
17 |
25 |
33 |
41 |
49 |
|
-1 |
2 |
10 |
18 |
26 |
34 |
42 |
43 |
|
-1 |
3 |
11 |
19 |
27 |
35 |
36 |
44 |
|
-1 |
4 |
12 |
20 |
28 |
29 |
37 |
45 |
|
-1 |
5 |
13 |
21 |
22 |
30 |
38 |
46 |
|
-1 |
6 |
14 |
15 |
23 |
31 |
39 |
47 |
|
|
|
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
Рис. 9
|
20 |
28 |
29 |
37 |
45 |
4 |
12 |
|
44 |
3 |
11 |
19 |
27 |
35 |
36 |
|
26 |
34 |
42 |
43 |
2 |
10 |
18 |
|
1 |
9 |
17 |
25 |
33 |
41 |
49 |
|
32 |
40 |
48 |
7 |
8 |
16 |
24 |
|
14 |
15 |
23 |
31 |
39 |
47 |
6 |
|
38 |
46 |
5 |
13 |
21 |
22 |
30 |
Рис. 10
Здесь качели качаются так: через 3 ячейки вправо, через 2 ячейки влево.
На рис. 11-12 образующая таблица и порождаемый ею идеальный квадрат соответствующего частного решения второй группы.
|
|
7 |
20 |
33 |
46 |
10 |
23 |
36 |
|
-2 |
2 |
15 |
35 |
48 |
12 |
25 |
38 |
|
-2 |
4 |
17 |
30 |
43 |
14 |
27 |
40 |
|
5 |
6 |
19 |
32 |
45 |
9 |
22 |
42 |
|
-2 |
1 |
21 |
34 |
47 |
11 |
24 |
37 |
|
-2 |
3 |
16 |
29 |
49 |
13 |
26 |
39 |
|
-2 |
5 |
18 |
31 |
44 |
8 |
28 |
41 |
|
|
|
k=2 |
k=4 |
k=6 |
k=1 |
k=3 |
k=5 |
Рис. 11
|
1 |
21 |
34 |
47 |
11 |
24 |
37 |
|
45 |
9 |
22 |
42 |
6 |
19 |
32 |
|
40 |
4 |
17 |
30 |
43 |
14 |
27 |
|
35 |
48 |
12 |
25 |
38 |
2 |
15 |
|
23 |
36 |
7 |
20 |
33 |
46 |
10 |
|
18 |
31 |
44 |
8 |
28 |
41 |
5 |
|
13 |
26 |
39 |
3 |
16 |
29 |
49 |
Рис. 12
Здесь шаги качания сменились на симметричные: через 2 ячейки вправо, через 3 ячейки влево.
На очереди у нас идеальные квадраты 11-ого порядка. На рис. 13-14 вы видите тривиальную образующую таблицу и её идеальный квадрат, а на рис. 15-16 соответствующую образующую таблицу и порождаемый ею идеальный квадрат второй группы. Сравнивайте и анализируйте!
|
|
11 |
12 |
24 |
36 |
48 |
60 |
72 |
84 |
96 |
108 |
120 |
|
-1 |
1 |
13 |
25 |
37 |
49 |
61 |
73 |
85 |
97 |
109 |
121 |
|
-1 |
2 |
14 |
26 |
38 |
50 |
62 |
74 |
86 |
98 |
110 |
111 |
|
-1 |
3 |
15 |
27 |
39 |
51 |
63 |
75 |
87 |
99 |
100 |
112 |
|
-1 |
4 |
16 |
28 |
40 |
52 |
64 |
76 |
88 |
89 |
101 |
113 |
|
-1 |
5 |
17 |
29 |
41 |
53 |
65 |
77 |
78 |
90 |
102 |
114 |
|
-1 |
6 |
18 |
30 |
42 |
54 |
66 |
67 |
79 |
91 |
103 |
115 |
|
-1 |
7 |
19 |
31 |
43 |
55 |
56 |
68 |
80 |
92 |
104 |
116 |
|
-1 |
8 |
20 |
32 |
44 |
45 |
57 |
69 |
81 |
93 |
105 |
117 |
|
-1 |
9 |
21 |
33 |
34 |
46 |
58 |
70 |
82 |
94 |
106 |
118 |
|
-1 |
10 |
22 |
23 |
35 |
47 |
59 |
71 |
83 |
95 |
107 |
119 |
|
|
|
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
k=7 |
k=8 |
k=9 |
k=10 |
Рис. 13
|
42 |
54 |
66 |
67 |
79 |
91 |
103 |
115 |
6 |
18 |
30 |
|
102 |
114 |
5 |
17 |
29 |
41 |
53 |
65 |
77 |
78 |
90 |
|
52 |
64 |
76 |
88 |
89 |
101 |
113 |
4 |
16 |
28 |
40 |
|
112 |
3 |
15 |
27 |
39 |
51 |
63 |
75 |
87 |
99 |
100 |
|
62 |
74 |
86 |
98 |
110 |
111 |
2 |
14 |
26 |
38 |
50 |
|
1 |
13 |
25 |
37 |
49 |
61 |
73 |
85 |
97 |
109 |
121 |
|
72 |
84 |
96 |
108 |
120 |
11 |
12 |
24 |
36 |
48 |
60 |
|
22 |
23 |
35 |
47 |
59 |
71 |
83 |
95 |
107 |
119 |
10 |
|
82 |
94 |
106 |
118 |
9 |
21 |
33 |
34 |
46 |
58 |
70 |
|
32 |
44 |
45 |
57 |
69 |
81 |
93 |
105 |
117 |
8 |
20 |
|
92 |
104 |
116 |
7 |
19 |
31 |
43 |
55 |
56 |
68 |
80 |
Рис. 14
|
|
11 |
42 |
73 |
104 |
14 |
45 |
87 |
118 |
28 |
59 |
90 |
|
-2 |
2 |
44 |
75 |
106 |
16 |
47 |
78 |
120 |
30 |
61 |
92 |
|
-2 |
4 |
35 |
77 |
108 |
18 |
49 |
80 |
111 |
32 |
63 |
94 |
|
-2 |
6 |
37 |
68 |
110 |
20 |
51 |
82 |
113 |
23 |
65 |
96 |
|
-2 |
8 |
39 |
70 |
101 |
22 |
53 |
84 |
115 |
25 |
56 |
98 |
|
9 |
10 |
41 |
72 |
103 |
13 |
55 |
86 |
117 |
27 |
58 |
89 |
|
-2 |
1 |
43 |
74 |
105 |
15 |
46 |
88 |
119 |
29 |
60 |
91 |
|
-2 |
3 |
34 |
76 |
107 |
17 |
48 |
79 |
121 |
31 |
62 |
93 |
|
-2 |
5 |
36 |
67 |
109 |
19 |
50 |
81 |
112 |
33 |
64 |
95 |
|
-2 |
7 |
38 |
69 |
100 |
21 |
52 |
83 |
114 |
24 |
66 |
97 |
|
-2 |
9 |
40 |
71 |
102 |
12 |
54 |
85 |
116 |
26 |
57 |
99 |
|
|
|
k=3 |
k=6 |
k=9 |
k=1 |
k=4 |
k=7 |
k=10 |
k=2 |
k=5 |
k=8 |
Рис. 15
|
1 |
43 |
74 |
105 |
15 |
46 |
88 |
119 |
29 |
60 |
91 |
|
103 |
13 |
55 |
86 |
117 |
27 |
58 |
89 |
10 |
41 |
72 |
|
84 |
115 |
25 |
56 |
98 |
8 |
39 |
70 |
101 |
22 |
53 |
|
65 |
96 |
6 |
37 |
68 |
110 |
20 |
51 |
82 |
113 |
23 |
|
35 |
77 |
108 |
18 |
49 |
80 |
111 |
32 |
63 |
94 |
4 |
|
16 |
47 |
78 |
120 |
30 |
61 |
92 |
2 |
44 |
75 |
106 |
|
118 |
28 |
59 |
90 |
11 |
42 |
73 |
104 |
14 |
45 |
87 |
|
99 |
9 |
40 |
71 |
102 |
12 |
54 |
85 |
116 |
26 |
57 |
|
69 |
100 |
21 |
52 |
83 |
114 |
24 |
66 |
97 |
7 |
38 |
|
50 |
81 |
112 |
33 |
64 |
95 |
5 |
36 |
67 |
109 |
19 |
|
31 |
62 |
93 |
3 |
34 |
76 |
107 |
17 |
48 |
79 |
121 |
Рис. 16
Напомню читателям, что в предыдущих частях настоящей статьи были запрограммированы образующие таблицы данных групп идеальных квадратов и получено множество решений, среди которых, конечно, находятся и приведённые здесь частные решения.
Далее всё точно так же для идеальных квадратов 13-ого порядка. Рис. 17-18 для квадрата первой группы, рис. 19-20 для квадрата второй группы. Предлагаю читателям попробовать строить квадраты и затем сравнивать свои результаты с приведёнными здесь квадратами.
|
|
13 |
14 |
28 |
42 |
56 |
70 |
84 |
98 |
112 |
126 |
140 |
154 |
168 |
|
-1 |
1 |
15 |
29 |
43 |
57 |
71 |
85 |
99 |
113 |
127 |
141 |
155 |
169 |
|
-1 |
2 |
16 |
30 |
44 |
58 |
72 |
86 |
100 |
114 |
128 |
142 |
156 |
157 |
|
-1 |
3 |
17 |
31 |
45 |
59 |
73 |
87 |
101 |
115 |
129 |
143 |
144 |
158 |
|
-1 |
4 |
18 |
32 |
46 |
60 |
74 |
88 |
102 |
116 |
130 |
131 |
145 |
159 |
|
-1 |
5 |
19 |
33 |
47 |
61 |
75 |
89 |
103 |
117 |
118 |
132 |
146 |
160 |
|
-1 |
6 |
20 |
34 |
48 |
62 |
76 |
90 |
104 |
105 |
119 |
133 |
147 |
161 |
|
-1 |
7 |
21 |
35 |
49 |
63 |
77 |
91 |
92 |
106 |
120 |
134 |
148 |
162 |
|
-1 |
8 |
22 |
36 |
50 |
64 |
78 |
79 |
93 |
107 |
121 |
135 |
149 |
163 |
|
-1 |
9 |
23 |
37 |
51 |
65 |
66 |
80 |
94 |
108 |
122 |
136 |
150 |
164 |
|
-1 |
10 |
24 |
38 |
52 |
53 |
67 |
81 |
95 |
109 |
123 |
137 |
151 |
165 |
|
-1 |
11 |
25 |
39 |
40 |
54 |
68 |
82 |
96 |
110 |
124 |
138 |
152 |
166 |
|
-1 |
12 |
26 |
27 |
41 |
55 |
69 |
83 |
97 |
111 |
125 |
139 |
153 |
167 |
|
|
|
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
k=7 |
k=8 |
k=9 |
k=10 |
k=11 |
k=12 |
Рис. 17
|
134 |
148 |
162 |
7 |
21 |
35 |
49 |
63 |
77 |
91 |
92 |
106 |
120 |
|
62 |
76 |
90 |
104 |
105 |
119 |
133 |
147 |
161 |
6 |
20 |
34 |
48 |
|
146 |
160 |
5 |
19 |
33 |
47 |
61 |
75 |
89 |
103 |
117 |
118 |
132 |
|
74 |
88 |
102 |
116 |
130 |
131 |
145 |
159 |
4 |
18 |
32 |
46 |
60 |
|
158 |
3 |
17 |
31 |
45 |
59 |
73 |
87 |
101 |
115 |
129 |
143 |
144 |
|
86 |
100 |
114 |
128 |
142 |
156 |
157 |
2 |
16 |
30 |
44 |
58 |
72 |
|
1 |
15 |
29 |
43 |
57 |
71 |
85 |
99 |
113 |
127 |
141 |
155 |
169 |
|
98 |
112 |
126 |
140 |
154 |
168 |
13 |
14 |
28 |
42 |
56 |
70 |
84 |
|
26 |
27 |
41 |
55 |
69 |
83 |
97 |
111 |
125 |
139 |
153 |
167 |
12 |
|
110 |
124 |
138 |
152 |
166 |
11 |
25 |
39 |
40 |
54 |
68 |
82 |
96 |
|
38 |
52 |
53 |
67 |
81 |
95 |
109 |
123 |
137 |
151 |
165 |
10 |
24 |
|
122 |
136 |
150 |
164 |
9 |
23 |
37 |
51 |
65 |
66 |
80 |
94 |
108 |
|
50 |
64 |
78 |
79 |
93 |
107 |
121 |
135 |
149 |
163 |
8 |
22 |
36 |
Рис. 18
|
|
13 |
134 |
99 |
64 |
16 |
150 |
115 |
67 |
32 |
166 |
118 |
83 |
48 |
|
-2 |
2 |
136 |
101 |
53 |
18 |
152 |
117 |
69 |
34 |
168 |
120 |
85 |
50 |
|
-2 |
4 |
138 |
103 |
55 |
20 |
154 |
106 |
71 |
36 |
157 |
122 |
87 |
52 |
|
-2 |
6 |
140 |
92 |
57 |
22 |
156 |
108 |
73 |
38 |
159 |
124 |
89 |
41 |
|
-2 |
8 |
142 |
94 |
59 |
24 |
145 |
110 |
75 |
27 |
161 |
126 |
91 |
43 |
|
-2 |
10 |
131 |
96 |
61 |
26 |
147 |
112 |
77 |
29 |
163 |
128 |
80 |
45 |
|
11 |
12 |
133 |
98 |
63 |
15 |
149 |
114 |
66 |
31 |
165 |
130 |
82 |
47 |
|
-2 |
1 |
135 |
100 |
65 |
17 |
151 |
116 |
68 |
33 |
167 |
119 |
84 |
49 |
|
-2 |
3 |
137 |
102 |
54 |
19 |
153 |
105 |
70 |
35 |
169 |
121 |
86 |
51 |
|
-2 |
5 |
139 |
104 |
56 |
21 |
155 |
107 |
72 |
37 |
158 |
123 |
88 |
40 |
|
-2 |
7 |
141 |
93 |
58 |
23 |
144 |
109 |
74 |
39 |
160 |
125 |
90 |
42 |
|
-2 |
9 |
143 |
95 |
60 |
25 |
146 |
111 |
76 |
28 |
162 |
127 |
79 |
44 |
|
-2 |
11 |
132 |
97 |
62 |
14 |
148 |
113 |
78 |
30 |
164 |
129 |
81 |
46 |
|
|
|
k=10 |
k=7 |
k=4 |
k=1 |
k=11 |
k=8 |
k=5 |
k=2 |
k=12 |
k=9 |
k=6 |
k=3 |
Рис. 19
|
1 |
135 |
100 |
65 |
17 |
151 |
116 |
68 |
33 |
167 |
119 |
84 |
49 |
|
63 |
15 |
149 |
114 |
66 |
31 |
165 |
130 |
82 |
47 |
12 |
133 |
98 |
|
112 |
77 |
29 |
163 |
128 |
80 |
45 |
10 |
131 |
96 |
61 |
26 |
147 |
|
161 |
126 |
91 |
43 |
8 |
142 |
94 |
59 |
24 |
145 |
110 |
75 |
27 |
|
41 |
6 |
140 |
92 |
57 |
22 |
156 |
108 |
73 |
38 |
159 |
124 |
89 |
|
103 |
55 |
20 |
154 |
106 |
71 |
36 |
157 |
122 |
87 |
52 |
4 |
138 |
|
152 |
117 |
69 |
34 |
168 |
120 |
85 |
50 |
2 |
136 |
101 |
53 |
18 |
|
32 |
166 |
118 |
83 |
48 |
13 |
134 |
99 |
64 |
16 |
150 |
115 |
67 |
|
81 |
46 |
11 |
132 |
97 |
62 |
14 |
148 |
113 |
78 |
30 |
164 |
129 |
|
143 |
95 |
60 |
25 |
146 |
111 |
76 |
28 |
162 |
127 |
79 |
44 |
9 |
|
23 |
144 |
109 |
74 |
39 |
160 |
125 |
90 |
42 |
7 |
141 |
93 |
58 |
|
72 |
37 |
158 |
123 |
88 |
40 |
5 |
139 |
104 |
56 |
21 |
155 |
107 |
|
121 |
86 |
51 |
3 |
137 |
102 |
54 |
19 |
153 |
105 |
70 |
35 |
169 |
Рис. 20
Итак, вы посмотрели внимательно на все частные решения двух групп идеальных квадратов. Думаю, ни у кого не вызывает затруднений построение идеальных квадратов первой группы. А вот в построении квадратов второй группы, как я уже отметила выше, есть одна изюминка, которую надо раскусить. Столбец с начальной цепочкой чисел пишется элементарно (через одно число по сравнению с образующей таблицей квадрата первой группы), разности, естественно, тоже вычисляются сразу. Вся сложность в определении номеров циклов качания качелей (самая нижняя строка таблицы) и положения максимальных чисел в столбцах таблицы. Я нашла способ определения этих данных образующей таблицы, но не буду его излагать, так как он довольно сложный. А вот простой закономерности в этом пока не вижу. Может быть, после анализа примерно полсотни таких образующих таблиц закономерность эта и проявится. Раскусите и вы, уважаемые читатели, эту изюминку! Уверяю вас – она очень сладкая.
Ну, вы же видите, что квадраты обеих групп я строю запросто, без всяких программ, вычислений и даже без калькулятора. Вот уже сколько вам представила квадратов. Продолжить? Пожалуй, пропущу несколько порядков и покажу сразу идеальный квадрат 25-ого порядка. Сначала, как всегда, квадрат из первой группы (рис. 21). Опускаю и тривиальную образующую таблицу.
|
482 |
508 |
534 |
560 |
586 |
612 |
13 |
39 |
65 |
91 |
117 |
143 |
169 |
195 |
221 |
247 |
273 |
299 |
325 |
326 |
352 |
378 |
404 |
430 |
456 |
|
194 |
220 |
246 |
272 |
298 |
324 |
350 |
351 |
377 |
403 |
429 |
455 |
481 |
507 |
533 |
559 |
585 |
611 |
12 |
38 |
64 |
90 |
116 |
142 |
168 |
|
506 |
532 |
558 |
584 |
610 |
11 |
37 |
63 |
89 |
115 |
141 |
167 |
193 |
219 |
245 |
271 |
297 |
323 |
349 |
375 |
376 |
402 |
428 |
454 |
480 |
|
218 |
244 |
270 |
296 |
322 |
348 |
374 |
400 |
401 |
427 |
453 |
479 |
505 |
531 |
557 |
583 |
609 |
10 |
36 |
62 |
88 |
114 |
140 |
166 |
192 |
|
530 |
556 |
582 |
608 |
9 |
35 |
61 |
87 |
113 |
139 |
165 |
191 |
217 |
243 |
269 |
295 |
321 |
347 |
373 |
399 |
425 |
426 |
452 |
478 |
504 |
|
242 |
268 |
294 |
320 |
346 |
372 |
398 |
424 |
450 |
451 |
477 |
503 |
529 |
555 |
581 |
607 |
8 |
34 |
60 |
86 |
112 |
138 |
164 |
190 |
216 |
|
554 |
580 |
606 |
7 |
33 |
59 |
85 |
111 |
137 |
163 |
189 |
215 |
241 |
267 |
293 |
319 |
345 |
371 |
397 |
423 |
449 |
475 |
476 |
502 |
528 |
|
266 |
292 |
318 |
344 |
370 |
396 |
422 |
448 |
474 |
500 |
501 |
527 |
553 |
579 |
605 |
6 |
32 |
58 |
84 |
110 |
136 |
162 |
188 |
214 |
240 |
|
578 |
604 |
5 |
31 |
57 |
83 |
109 |
135 |
161 |
187 |
213 |
239 |
265 |
291 |
317 |
343 |
369 |
395 |
421 |
447 |
473 |
499 |
525 |
526 |
552 |
|
290 |
316 |
342 |
368 |
394 |
420 |
446 |
472 |
498 |
524 |
550 |
551 |
577 |
603 |
4 |
30 |
56 |
82 |
108 |
134 |
160 |
186 |
212 |
238 |
264 |
|
602 |
3 |
29 |
55 |
81 |
107 |
133 |
159 |
185 |
211 |
237 |
263 |
289 |
315 |
341 |
367 |
393 |
419 |
445 |
471 |
497 |
523 |
549 |
575 |
576 |
|
314 |
340 |
366 |
392 |
418 |
444 |
470 |
496 |
522 |
548 |
574 |
600 |
601 |
2 |
28 |
54 |
80 |
106 |
132 |
158 |
184 |
210 |
236 |
262 |
288 |
|
1 |
27 |
53 |
79 |
105 |
131 |
157 |
183 |
209 |
235 |
261 |
287 |
313 |
339 |
365 |
391 |
417 |
443 |
469 |
495 |
521 |
547 |
573 |
599 |
625 |
|
338 |
364 |
390 |
416 |
442 |
468 |
494 |
520 |
546 |
572 |
598 |
624 |
25 |
26 |
52 |
78 |
104 |
130 |
156 |
182 |
208 |
234 |
260 |
286 |
312 |
|
50 |
51 |
77 |
103 |
129 |
155 |
181 |
207 |
233 |
259 |
285 |
311 |
337 |
363 |
389 |
415 |
441 |
467 |
493 |
519 |
545 |
571 |
597 |
623 |
24 |
|
362 |
388 |
414 |
440 |
466 |
492 |
518 |
544 |
570 |
596 |
622 |
23 |
49 |
75 |
76 |
102 |
128 |
154 |
180 |
206 |
232 |
258 |
284 |
310 |
336 |
|
74 |
100 |
101 |
127 |
153 |
179 |
205 |
231 |
257 |
283 |
309 |
335 |
361 |
387 |
413 |
439 |
465 |
491 |
517 |
543 |
569 |
595 |
621 |
22 |
48 |
|
386 |
412 |
438 |
464 |
490 |
516 |
542 |
568 |
594 |
620 |
21 |
47 |
73 |
99 |
125 |
126 |
152 |
178 |
204 |
230 |
256 |
282 |
308 |
334 |
360 |
|
98 |
124 |
150 |
151 |
177 |
203 |
229 |
255 |
281 |
307 |
333 |
359 |
385 |
411 |
437 |
463 |
489 |
515 |
541 |
567 |
593 |
619 |
20 |
46 |
72 |
|
410 |
436 |
462 |
488 |
514 |
540 |
566 |
592 |
618 |
19 |
45 |
71 |
97 |
123 |
149 |
175 |
176 |
202 |
228 |
254 |
280 |
306 |
332 |
358 |
384 |
|
122 |
148 |
174 |
200 |
201 |
227 |
253 |
279 |
305 |
331 |
357 |
383 |
409 |
435 |
461 |
487 |
513 |
539 |
565 |
591 |
617 |
18 |
44 |
70 |
96 |
|
434 |
460 |
486 |
512 |
538 |
564 |
590 |
616 |
17 |
43 |
69 |
95 |
121 |
147 |
173 |
199 |
225 |
226 |
252 |
278 |
304 |
330 |
356 |
382 |
408 |
|
146 |
172 |
198 |
224 |
250 |
251 |
277 |
303 |
329 |
355 |
381 |
407 |
433 |
459 |
485 |
511 |
537 |
563 |
589 |
615 |
16 |
42 |
68 |
94 |
120 |
|
458 |
484 |
510 |
536 |
562 |
588 |
614 |
15 |
41 |
67 |
93 |
119 |
145 |
171 |
197 |
223 |
249 |
275 |
276 |
302 |
328 |
354 |
380 |
406 |
432 |
|
170 |
196 |
222 |
248 |
274 |
300 |
301 |
327 |
353 |
379 |
405 |
431 |
457 |
483 |
509 |
535 |
561 |
587 |
613 |
14 |
40 |
66 |
92 |
118 |
144 |
Рис. 21
Этот идеальный квадрат был построен в самой первой части настоящей статьи, откуда я его и скопировала. Но он не был преобразован в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Вот теперь делаю это описанным здесь методом. Не показываю образующую таблицу и для этого квадрата. Если кто-то захочет посмотреть эту таблицу, то легко восстановит её по квадрату. Итак, на рис. 22 вы видите идеальный квадрат 25-ого порядка, начинающийся с числа 1. Прекрасный экземпляр!
|
1 |
483 |
340 |
197 |
29 |
511 |
368 |
225 |
57 |
539 |
396 |
228 |
85 |
567 |
424 |
256 |
113 |
595 |
427 |
284 |
141 |
623 |
455 |
312 |
169 |
|
195 |
27 |
509 |
366 |
223 |
55 |
537 |
394 |
226 |
83 |
565 |
422 |
254 |
111 |
593 |
450 |
282 |
139 |
621 |
453 |
310 |
167 |
24 |
481 |
338 |
|
364 |
221 |
53 |
535 |
392 |
249 |
81 |
563 |
420 |
252 |
109 |
591 |
448 |
280 |
137 |
619 |
451 |
308 |
165 |
22 |
479 |
336 |
193 |
50 |
507 |
|
533 |
390 |
247 |
79 |
561 |
418 |
275 |
107 |
589 |
446 |
278 |
135 |
617 |
474 |
306 |
163 |
20 |
477 |
334 |
191 |
48 |
505 |
362 |
219 |
51 |
|
77 |
559 |
416 |
273 |
105 |
587 |
444 |
276 |
133 |
615 |
472 |
304 |
161 |
18 |
500 |
332 |
189 |
46 |
503 |
360 |
217 |
74 |
531 |
388 |
245 |
|
271 |
103 |
585 |
442 |
299 |
131 |
613 |
470 |
302 |
159 |
16 |
498 |
330 |
187 |
44 |
501 |
358 |
215 |
72 |
529 |
386 |
243 |
100 |
557 |
414 |
|
440 |
297 |
129 |
611 |
468 |
325 |
157 |
14 |
496 |
328 |
185 |
42 |
524 |
356 |
213 |
70 |
527 |
384 |
241 |
98 |
555 |
412 |
269 |
101 |
583 |
|
609 |
466 |
323 |
155 |
12 |
494 |
326 |
183 |
40 |
522 |
354 |
211 |
68 |
550 |
382 |
239 |
96 |
553 |
410 |
267 |
124 |
581 |
438 |
295 |
127 |
|
153 |
10 |
492 |
349 |
181 |
38 |
520 |
352 |
209 |
66 |
548 |
380 |
237 |
94 |
551 |
408 |
265 |
122 |
579 |
436 |
293 |
150 |
607 |
464 |
321 |
|
347 |
179 |
36 |
518 |
375 |
207 |
64 |
546 |
378 |
235 |
92 |
574 |
406 |
263 |
120 |
577 |
434 |
291 |
148 |
605 |
462 |
319 |
151 |
8 |
490 |
|
516 |
373 |
205 |
62 |
544 |
376 |
233 |
90 |
572 |
404 |
261 |
118 |
600 |
432 |
289 |
146 |
603 |
460 |
317 |
174 |
6 |
488 |
345 |
177 |
34 |
|
60 |
542 |
399 |
231 |
88 |
570 |
402 |
259 |
116 |
598 |
430 |
287 |
144 |
601 |
458 |
315 |
172 |
4 |
486 |
343 |
200 |
32 |
514 |
371 |
203 |
|
229 |
86 |
568 |
425 |
257 |
114 |
596 |
428 |
285 |
142 |
624 |
456 |
313 |
170 |
2 |
484 |
341 |
198 |
30 |
512 |
369 |
201 |
58 |
540 |
397 |
|
423 |
255 |
112 |
594 |
426 |
283 |
140 |
622 |
454 |
311 |
168 |
25 |
482 |
339 |
196 |
28 |
510 |
367 |
224 |
56 |
538 |
395 |
227 |
84 |
566 |
|
592 |
449 |
281 |
138 |
620 |
452 |
309 |
166 |
23 |
480 |
337 |
194 |
26 |
508 |
365 |
222 |
54 |
536 |
393 |
250 |
82 |
564 |
421 |
253 |
110 |
|
136 |
618 |
475 |
307 |
164 |
21 |
478 |
335 |
192 |
49 |
506 |
363 |
220 |
52 |
534 |
391 |
248 |
80 |
562 |
419 |
251 |
108 |
590 |
447 |
279 |
|
305 |
162 |
19 |
476 |
333 |
190 |
47 |
504 |
361 |
218 |
75 |
532 |
389 |
246 |
78 |
560 |
417 |
274 |
106 |
588 |
445 |
277 |
134 |
616 |
473 |
|
499 |
331 |
188 |
45 |
502 |
359 |
216 |
73 |
530 |
387 |
244 |
76 |
558 |
415 |
272 |
104 |
586 |
443 |
300 |
132 |
614 |
471 |
303 |
160 |
17 |
|
43 |
525 |
357 |
214 |
71 |
528 |
385 |
242 |
99 |
556 |
413 |
270 |
102 |
584 |
441 |
298 |
130 |
612 |
469 |
301 |
158 |
15 |
497 |
329 |
186 |
|
212 |
69 |
526 |
383 |
240 |
97 |
554 |
411 |
268 |
125 |
582 |
439 |
296 |
128 |
610 |
467 |
324 |
156 |
13 |
495 |
327 |
184 |
41 |
523 |
355 |
|
381 |
238 |
95 |
552 |
409 |
266 |
123 |
580 |
437 |
294 |
126 |
608 |
465 |
322 |
154 |
11 |
493 |
350 |
182 |
39 |
521 |
353 |
210 |
67 |
549 |
|
575 |
407 |
264 |
121 |
578 |
435 |
292 |
149 |
606 |
463 |
320 |
152 |
9 |
491 |
348 |
180 |
37 |
519 |
351 |
208 |
65 |
547 |
379 |
236 |
93 |
|
119 |
576 |
433 |
290 |
147 |
604 |
461 |
318 |
175 |
7 |
489 |
346 |
178 |
35 |
517 |
374 |
206 |
63 |
545 |
377 |
234 |
91 |
573 |
405 |
262 |
|
288 |
145 |
602 |
459 |
316 |
173 |
5 |
487 |
344 |
176 |
33 |
515 |
372 |
204 |
61 |
543 |
400 |
232 |
89 |
571 |
403 |
260 |
117 |
599 |
431 |
|
457 |
314 |
171 |
3 |
485 |
342 |
199 |
31 |
513 |
370 |
202 |
59 |
541 |
398 |
230 |
87 |
569 |
401 |
258 |
115 |
597 |
429 |
286 |
143 |
625 |
Рис. 22
Имея такой прекрасный идеальный квадрат 25-ого порядка, вы без труда можете построить, например, идеальный квадрат 125-ого порядка на базе идеального квадрата пятого порядка, а за основной взяв этот квадрат (125=5*25). Ну, а также методом построения составных идеальных квадратов вы можете построить множество других идеальных квадратов с использованием данного квадрата. Всё это можно формализовать и запрограммировать.
Теперь вы можете приступать к построению идеального квадрата следующего – 29-ого – порядка. Не забывайте, что здесь рассматривается построение идеальных квадратов порядков, не кратных 3. Не сомневаюсь, что квадрат первой группы вы построите без всяких затруднений. А вот квадрат второй группы, наверное, дастся вам не сразу. Придумайте маленькую хитрость, какую придумала я. А может быть, вы придумаете свою хитрость. Если же этот путь вам всё-таки не удастся пройти, тогда преобразуйте квадрат первой группы двумя преобразованиями, и вы получите тот же самый квадрат. Но для этого вам придётся сочинить матрицу преобразования “строки-диагонали”. Тут нет никаких сложностей, технически всё очень просто. Но долго это преобразование применять к квадрату.
Желаю удачных построений!
***
А я хочу построить идеальный квадрат следующего порядка, кратного 3, – 39-ого. Сначала намеревалась построить сразу квадрат второй группы, то есть начинающийся с числа 1. Но вряд ли это получится. Тут та же сложность, о которой сказала выше. Маленькая хитрость работает и для таких квадратов, но! Надо посмотреть (хоть одним глазком) на соответствующий квадрат первой группы. Так я построила квадраты 27-ого и 33-ого порядков.
Ну, а квадрат первой группы (стандартные качели) строится очень просто. И я ушла строить этот квадрат.
_______
Продолжение будет здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob13.htm
Страница помещена на сайт 3 февраля 2008 г.
Пишите мне!