ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ
Часть XI
Внимание! Оригинал.
При копировании материалов
прошу указывать ссылку
на данную страницу.
Какой удачный экскурс я совершила в мир пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка! Во-первых, сделала новое открытие: мой метод качелей годится и для построения указанных квадратов. А во-вторых, обнаружила оригинальные частные решения среди всех общих решений. Это единичные экземпляры пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка, которые можно строить без программы и даже без компьютера, а можно и без калькулятора. Прекрасные экземпляры! Я восхищаюсь такими произведениями математического искусства! Как тут не вспомнить пушкинское “гармонией упьюсь”. Кто сказал, что математика – скучная наука?
А теперь, внимание! Нелишённая способности аналитически мыслить, я подумала: а не существуют ли такие же красивые частные решения для идеальных квадратов? Как помнят читатели, я остановилась на построении идеального квадрата 33-ого порядка. Мне не хочется писать ещё одну очень длинную программу. Ну, вот и решила проверить свою гипотезу насчёт единичных и очень похожих частных решений, которые можно получать без программы.
Гипотеза оказалась очень заманчивой! Опять возник научный азарт. Не пью, не ем, не сплю. Ищу подтверждение гипотезы.
Это оказалось совсем непросто. Как знают читатели, для квадратов 9-ого, 15-ого, 21-ого и 27-ого порядков я уже составила программы и нашла решения, то есть построила много идеальных квадратов. Сразу скажу, что ищу частные решения только для порядков, кратных 3, так как для других порядков такие частные решения уже найдены – это квадраты, строящиеся методом простых качелей с тривиальной образующей таблицей. Ещё раз напомню, что этот метод работает безотказно для любого нечётного порядка, не кратного 3, ибо он равнозначен простой перестановке столбцов с шагом 1 в ассоциативном квадрате, построенном методом террас. Равнозначен в том смысле, что оба эти метода дают абсолютно одинаковый идеальный квадрат. Зачем искать сложности там, где всё очень просто! Для таких квадратов, как я показала ранее, можно найти и множество других решений, составив программу для качелей с нетривиальной образующей таблицей.
Итак, я приступаю к поиску частных решений для идеальных квадратов порядков, кратных 3.
Делаю это технически очень просто. Во всех образующих таблицах у меня зафиксированы два числа в начальной цепочке – n и 1 (n – порядок квадрата). Ну, а следующее число в столбце первых n чисел уже варьируется. Вот я и начала задавать в двух программах, для 15-ого и 21-ого порядка, конкретные значения для этой переменной и смотреть на получаемые образующие таблицы. Занятие, как я уже сказала, непростое. При значении 2 не увидела похожих образующих таблиц, а может, просто просмотрела – слишком много решений. А вот при значении 3 удача! Сразу бросились в глаза две очень похожие образующие таблицы. Тут же распечатала их и переписала в готовые идеальные квадраты. Вот взгляните на эти образующие таблицы и на порождаемые ими идеальные квадраты. Сначала приводится образующая таблица, а следом порождаемый ею идеальный квадрат (рис. 1-4). Замечу, что работала я с программами для стандартных качелей. У меня ведь есть и нестандартные качели. И ещё: в образующих таблицах я не изобразила столбец разностей и строку с номерами циклов качания качелей. Это вы можете сделать сами.
Образующая таблица для идеального квадрата 15-ого порядка
|
15 |
31 |
78 |
201 |
104 |
67 |
50 |
109 |
173 |
162 |
131 |
24 |
137 |
190 |
223 |
|
1 |
33 |
81 |
209 |
97 |
65 |
49 |
113 |
177 |
161 |
129 |
17 |
145 |
193 |
225 |
|
3 |
36 |
89 |
202 |
95 |
64 |
53 |
117 |
176 |
159 |
122 |
25 |
148 |
195 |
211 |
|
6 |
44 |
82 |
200 |
94 |
68 |
57 |
116 |
174 |
152 |
130 |
28 |
150 |
181 |
213 |
|
14 |
37 |
80 |
199 |
98 |
72 |
56 |
114 |
167 |
160 |
133 |
30 |
136 |
183 |
216 |
|
7 |
35 |
79 |
203 |
102 |
71 |
54 |
107 |
175 |
163 |
135 |
16 |
138 |
186 |
224 |
|
5 |
34 |
83 |
207 |
101 |
69 |
47 |
115 |
178 |
165 |
121 |
18 |
141 |
194 |
217 |
|
4 |
38 |
87 |
206 |
99 |
62 |
55 |
118 |
180 |
151 |
123 |
21 |
149 |
187 |
215 |
|
8 |
42 |
86 |
204 |
92 |
70 |
58 |
120 |
166 |
153 |
126 |
29 |
142 |
185 |
214 |
|
12 |
41 |
84 |
197 |
100 |
73 |
60 |
106 |
168 |
156 |
134 |
22 |
140 |
184 |
218 |
|
11 |
39 |
77 |
205 |
103 |
75 |
46 |
108 |
171 |
164 |
127 |
20 |
139 |
188 |
222 |
|
9 |
32 |
85 |
208 |
105 |
61 |
48 |
111 |
179 |
157 |
125 |
19 |
143 |
192 |
221 |
|
2 |
40 |
88 |
210 |
91 |
63 |
51 |
119 |
172 |
155 |
124 |
23 |
147 |
191 |
219 |
|
10 |
43 |
90 |
196 |
93 |
66 |
59 |
112 |
170 |
154 |
128 |
27 |
146 |
189 |
212 |
|
13 |
45 |
76 |
198 |
96 |
74 |
52 |
110 |
169 |
158 |
132 |
26 |
144 |
182 |
220 |
Рис. 1
Идеальный квадрат 15-ого порядка
|
92 |
70 |
58 |
120 |
166 |
153 |
126 |
29 |
142 |
185 |
214 |
8 |
42 |
86 |
204 |
|
149 |
187 |
215 |
4 |
38 |
87 |
206 |
99 |
62 |
55 |
118 |
180 |
151 |
123 |
21 |
|
69 |
47 |
115 |
178 |
165 |
121 |
18 |
141 |
194 |
217 |
5 |
34 |
83 |
207 |
101 |
|
186 |
224 |
7 |
35 |
79 |
203 |
102 |
71 |
54 |
107 |
175 |
163 |
135 |
16 |
138 |
|
56 |
114 |
167 |
160 |
133 |
30 |
136 |
183 |
216 |
14 |
37 |
80 |
199 |
98 |
72 |
|
213 |
6 |
44 |
82 |
200 |
94 |
68 |
57 |
116 |
174 |
152 |
130 |
28 |
150 |
181 |
|
117 |
176 |
159 |
122 |
25 |
148 |
195 |
211 |
3 |
36 |
89 |
202 |
95 |
64 |
53 |
|
1 |
33 |
81 |
209 |
97 |
65 |
49 |
113 |
177 |
161 |
129 |
17 |
145 |
193 |
225 |
|
173 |
162 |
131 |
24 |
137 |
190 |
223 |
15 |
31 |
78 |
201 |
104 |
67 |
50 |
109 |
|
45 |
76 |
198 |
96 |
74 |
52 |
110 |
169 |
158 |
132 |
26 |
144 |
182 |
220 |
13 |
|
154 |
128 |
27 |
146 |
189 |
212 |
10 |
43 |
90 |
196 |
93 |
66 |
59 |
112 |
170 |
|
88 |
210 |
91 |
63 |
51 |
119 |
172 |
155 |
124 |
23 |
147 |
191 |
219 |
2 |
40 |
|
125 |
19 |
143 |
192 |
221 |
9 |
32 |
85 |
208 |
105 |
61 |
48 |
111 |
179 |
157 |
|
205 |
103 |
75 |
46 |
108 |
171 |
164 |
127 |
20 |
139 |
188 |
222 |
11 |
39 |
77 |
|
22 |
140 |
184 |
218 |
12 |
41 |
84 |
197 |
100 |
73 |
60 |
106 |
168 |
156 |
134 |
Рис. 2
Образующая таблица для идеального квадрата 21-ого порядка
|
21 |
43 |
108 |
405 |
146 |
91 |
68 |
151 |
239 |
180 |
219 |
263 |
202 |
283 |
371 |
354 |
311 |
36 |
317 |
394 |
439 |
|
1 |
45 |
111 |
419 |
133 |
89 |
67 |
155 |
243 |
177 |
221 |
265 |
199 |
287 |
375 |
353 |
309 |
23 |
331 |
397 |
441 |
|
3 |
48 |
125 |
406 |
131 |
88 |
71 |
159 |
240 |
179 |
223 |
262 |
203 |
291 |
374 |
351 |
296 |
37 |
334 |
399 |
421 |
|
6 |
62 |
112 |
404 |
130 |
92 |
75 |
156 |
242 |
181 |
220 |
266 |
207 |
290 |
372 |
338 |
310 |
40 |
336 |
379 |
423 |
|
20 |
49 |
110 |
403 |
134 |
96 |
72 |
158 |
244 |
178 |
224 |
270 |
206 |
288 |
359 |
352 |
313 |
42 |
316 |
381 |
426 |
|
7 |
47 |
109 |
407 |
138 |
93 |
74 |
160 |
241 |
182 |
228 |
269 |
204 |
275 |
373 |
355 |
315 |
22 |
318 |
384 |
440 |
|
5 |
46 |
113 |
411 |
135 |
95 |
76 |
157 |
245 |
186 |
227 |
267 |
191 |
289 |
376 |
357 |
295 |
24 |
321 |
398 |
427 |
|
4 |
50 |
117 |
408 |
137 |
97 |
73 |
161 |
249 |
185 |
225 |
254 |
205 |
292 |
378 |
337 |
297 |
27 |
335 |
385 |
425 |
|
8 |
54 |
114 |
410 |
139 |
94 |
77 |
165 |
248 |
183 |
212 |
268 |
208 |
294 |
358 |
339 |
300 |
41 |
322 |
383 |
424 |
|
12 |
51 |
116 |
412 |
136 |
98 |
81 |
164 |
246 |
170 |
226 |
271 |
210 |
274 |
360 |
342 |
314 |
28 |
320 |
382 |
428 |
|
9 |
53 |
118 |
409 |
140 |
102 |
80 |
162 |
233 |
184 |
229 |
273 |
190 |
276 |
363 |
356 |
301 |
26 |
319 |
386 |
432 |
|
11 |
55 |
115 |
413 |
144 |
101 |
78 |
149 |
247 |
187 |
231 |
253 |
192 |
279 |
377 |
343 |
299 |
25 |
323 |
390 |
429 |
|
13 |
52 |
119 |
417 |
143 |
99 |
65 |
163 |
250 |
189 |
211 |
255 |
195 |
293 |
364 |
341 |
298 |
29 |
327 |
387 |
431 |
|
10 |
56 |
123 |
416 |
141 |
86 |
79 |
166 |
252 |
169 |
213 |
258 |
209 |
280 |
362 |
340 |
302 |
33 |
324 |
389 |
433 |
|
14 |
60 |
122 |
414 |
128 |
100 |
82 |
168 |
232 |
171 |
216 |
272 |
196 |
278 |
361 |
344 |
306 |
30 |
326 |
391 |
430 |
|
18 |
59 |
120 |
401 |
142 |
103 |
84 |
148 |
234 |
174 |
230 |
259 |
194 |
277 |
365 |
348 |
303 |
32 |
328 |
388 |
434 |
|
17 |
57 |
107 |
415 |
145 |
105 |
64 |
150 |
237 |
188 |
217 |
257 |
193 |
281 |
369 |
345 |
305 |
34 |
325 |
392 |
438 |
|
15 |
44 |
121 |
418 |
147 |
85 |
66 |
153 |
251 |
175 |
215 |
256 |
197 |
285 |
366 |
347 |
307 |
31 |
329 |
396 |
437 |
|
2 |
58 |
124 |
420 |
127 |
87 |
69 |
167 |
238 |
173 |
214 |
260 |
201 |
282 |
368 |
349 |
304 |
35 |
333 |
395 |
435 |
|
16 |
61 |
126 |
400 |
129 |
90 |
83 |
154 |
236 |
172 |
218 |
264 |
198 |
284 |
370 |
346 |
308 |
39 |
332 |
393 |
422 |
|
19 |
63 |
106 |
402 |
132 |
104 |
70 |
152 |
235 |
176 |
222 |
261 |
200 |
286 |
367 |
350 |
312 |
38 |
330 |
380 |
436 |
Рис. 3
Идеальный квадрат 21-ого порядка
|
299 |
25 |
323 |
390 |
429 |
11 |
55 |
115 |
413 |
144 |
101 |
78 |
149 |
247 |
187 |
231 |
253 |
192 |
279 |
377 |
343 |
|
80 |
162 |
233 |
184 |
229 |
273 |
190 |
276 |
363 |
356 |
301 |
26 |
319 |
386 |
432 |
9 |
53 |
118 |
409 |
140 |
102 |
|
28 |
320 |
382 |
428 |
12 |
51 |
116 |
412 |
136 |
98 |
81 |
164 |
246 |
170 |
226 |
271 |
210 |
274 |
360 |
342 |
314 |
|
165 |
248 |
183 |
212 |
268 |
208 |
294 |
358 |
339 |
300 |
41 |
322 |
383 |
424 |
8 |
54 |
114 |
410 |
139 |
94 |
77 |
|
335 |
385 |
425 |
4 |
50 |
117 |
408 |
137 |
97 |
73 |
161 |
249 |
185 |
225 |
254 |
205 |
292 |
378 |
337 |
297 |
27 |
|
245 |
186 |
227 |
267 |
191 |
289 |
376 |
357 |
295 |
24 |
321 |
398 |
427 |
5 |
46 |
113 |
411 |
135 |
95 |
76 |
157 |
|
384 |
440 |
7 |
47 |
109 |
407 |
138 |
93 |
74 |
160 |
241 |
182 |
228 |
269 |
204 |
275 |
373 |
355 |
315 |
22 |
318 |
|
178 |
224 |
270 |
206 |
288 |
359 |
352 |
313 |
42 |
316 |
381 |
426 |
20 |
49 |
110 |
403 |
134 |
96 |
72 |
158 |
244 |
|
423 |
6 |
62 |
112 |
404 |
130 |
92 |
75 |
156 |
242 |
181 |
220 |
266 |
207 |
290 |
372 |
338 |
310 |
40 |
336 |
379 |
|
223 |
262 |
203 |
291 |
374 |
351 |
296 |
37 |
334 |
399 |
421 |
3 |
48 |
125 |
406 |
131 |
88 |
71 |
159 |
240 |
179 |
|
1 |
45 |
111 |
419 |
133 |
89 |
67 |
155 |
243 |
177 |
221 |
265 |
199 |
287 |
375 |
353 |
309 |
23 |
331 |
397 |
441 |
|
263 |
202 |
283 |
371 |
354 |
311 |
36 |
317 |
394 |
439 |
21 |
43 |
108 |
405 |
146 |
91 |
68 |
151 |
239 |
180 |
219 |
|
63 |
106 |
402 |
132 |
104 |
70 |
152 |
235 |
176 |
222 |
261 |
200 |
286 |
367 |
350 |
312 |
38 |
330 |
380 |
436 |
19 |
|
198 |
284 |
370 |
346 |
308 |
39 |
332 |
393 |
422 |
16 |
61 |
126 |
400 |
129 |
90 |
83 |
154 |
236 |
172 |
218 |
264 |
|
124 |
420 |
127 |
87 |
69 |
167 |
238 |
173 |
214 |
260 |
201 |
282 |
368 |
349 |
304 |
35 |
333 |
395 |
435 |
2 |
58 |
|
285 |
366 |
347 |
307 |
31 |
329 |
396 |
437 |
15 |
44 |
121 |
418 |
147 |
85 |
66 |
153 |
251 |
175 |
215 |
256 |
197 |
|
415 |
145 |
105 |
64 |
150 |
237 |
188 |
217 |
257 |
193 |
281 |
369 |
345 |
305 |
34 |
325 |
392 |
438 |
17 |
57 |
107 |
|
365 |
348 |
303 |
32 |
328 |
388 |
434 |
18 |
59 |
120 |
401 |
142 |
103 |
84 |
148 |
234 |
174 |
230 |
259 |
194 |
277 |
|
128 |
100 |
82 |
168 |
232 |
171 |
216 |
272 |
196 |
278 |
361 |
344 |
306 |
30 |
326 |
391 |
430 |
14 |
60 |
122 |
414 |
|
340 |
302 |
33 |
324 |
389 |
433 |
10 |
56 |
123 |
416 |
141 |
86 |
79 |
166 |
252 |
169 |
213 |
258 |
209 |
280 |
362 |
|
99 |
65 |
163 |
250 |
189 |
211 |
255 |
195 |
293 |
364 |
341 |
298 |
29 |
327 |
387 |
431 |
13 |
52 |
119 |
417 |
143 |
Рис. 4
Ещё раз подчеркну, что эти квадраты получены мной по двум программам, как одно из множества решений. Ну, а дальше, как понимает читатель, я перешла к программе стандартных качелей для идеальных квадратов 27-ого порядка. Просто не верилось, что здесь тоже получится аналогичный идеальный квадрат с похожей образующей таблицей. Искусственным образом задаю в программе нужные значения переменных в начальной цепочке первых 27 чисел, и – программа выдаёт образующую таблицу! Значит, квадрат, порождаемый этой таблицей идеальный. Невероятно! Переписываю образующую таблицу в готовый идеальный квадрат и показываю его на рис. 5. Пропускаю образующую таблицу для этого квадрата, она очень легко восстанавливается по самому квадрату.
|
213 |
320 |
237 |
272 |
346 |
268 |
378 |
460 |
381 |
438 |
512 |
412 |
518 |
625 |
602 |
552 |
36 |
578 |
661 |
712 |
14 |
72 |
150 |
692 |
181 |
124 |
101 |
|
598 |
548 |
39 |
576 |
659 |
715 |
10 |
68 |
153 |
690 |
179 |
127 |
97 |
209 |
321 |
239 |
291 |
326 |
265 |
376 |
486 |
379 |
435 |
492 |
431 |
520 |
626 |
|
317 |
240 |
293 |
345 |
245 |
373 |
484 |
405 |
433 |
489 |
411 |
539 |
628 |
599 |
544 |
35 |
579 |
657 |
713 |
13 |
64 |
149 |
693 |
177 |
125 |
100 |
205 |
|
545 |
31 |
575 |
660 |
711 |
11 |
67 |
145 |
689 |
180 |
123 |
98 |
208 |
313 |
236 |
294 |
347 |
264 |
353 |
481 |
403 |
459 |
487 |
408 |
519 |
647 |
601 |
|
232 |
290 |
348 |
266 |
372 |
461 |
400 |
457 |
513 |
406 |
516 |
627 |
620 |
547 |
32 |
571 |
656 |
714 |
9 |
65 |
148 |
685 |
176 |
126 |
96 |
206 |
316 |
|
34 |
572 |
652 |
710 |
12 |
63 |
146 |
688 |
172 |
122 |
99 |
204 |
314 |
235 |
286 |
344 |
267 |
374 |
480 |
380 |
454 |
511 |
432 |
514 |
624 |
600 |
566 |
|
289 |
340 |
263 |
375 |
482 |
399 |
434 |
508 |
430 |
540 |
622 |
597 |
546 |
53 |
574 |
653 |
706 |
8 |
66 |
144 |
686 |
175 |
118 |
95 |
207 |
312 |
233 |
|
593 |
655 |
707 |
4 |
62 |
147 |
684 |
173 |
121 |
91 |
203 |
315 |
231 |
287 |
343 |
259 |
371 |
483 |
401 |
453 |
488 |
427 |
538 |
648 |
595 |
543 |
33 |
|
341 |
262 |
367 |
479 |
402 |
455 |
507 |
407 |
535 |
646 |
621 |
541 |
30 |
573 |
674 |
709 |
5 |
58 |
143 |
687 |
171 |
119 |
94 |
199 |
311 |
234 |
285 |
|
654 |
728 |
7 |
59 |
139 |
683 |
174 |
117 |
92 |
202 |
307 |
230 |
288 |
339 |
260 |
370 |
475 |
398 |
456 |
509 |
426 |
515 |
643 |
619 |
567 |
28 |
570 |
|
258 |
368 |
478 |
394 |
452 |
510 |
428 |
534 |
623 |
616 |
565 |
54 |
568 |
651 |
708 |
26 |
61 |
140 |
679 |
170 |
120 |
90 |
200 |
310 |
226 |
284 |
342 |
|
705 |
6 |
80 |
142 |
680 |
166 |
116 |
93 |
198 |
308 |
229 |
280 |
338 |
261 |
366 |
476 |
397 |
448 |
506 |
429 |
536 |
642 |
596 |
562 |
52 |
594 |
649 |
|
369 |
474 |
395 |
451 |
502 |
425 |
537 |
644 |
615 |
542 |
49 |
592 |
675 |
703 |
3 |
60 |
161 |
682 |
167 |
112 |
89 |
201 |
306 |
227 |
283 |
334 |
257 |
|
1 |
57 |
141 |
701 |
169 |
113 |
85 |
197 |
309 |
225 |
281 |
337 |
253 |
365 |
477 |
393 |
449 |
505 |
421 |
533 |
645 |
617 |
561 |
29 |
589 |
673 |
729 |
|
473 |
396 |
447 |
503 |
424 |
529 |
641 |
618 |
563 |
48 |
569 |
670 |
727 |
27 |
55 |
138 |
681 |
188 |
115 |
86 |
193 |
305 |
228 |
279 |
335 |
256 |
361 |
|
81 |
136 |
678 |
168 |
134 |
88 |
194 |
301 |
224 |
282 |
333 |
254 |
364 |
469 |
392 |
450 |
501 |
422 |
532 |
637 |
614 |
564 |
50 |
588 |
650 |
724 |
25 |
|
388 |
446 |
504 |
420 |
530 |
640 |
610 |
560 |
51 |
590 |
669 |
704 |
22 |
79 |
162 |
676 |
165 |
114 |
107 |
196 |
302 |
220 |
278 |
336 |
252 |
362 |
472 |
|
160 |
702 |
163 |
111 |
87 |
215 |
304 |
221 |
274 |
332 |
255 |
360 |
470 |
391 |
442 |
500 |
423 |
528 |
638 |
613 |
556 |
47 |
591 |
671 |
723 |
2 |
76 |
|
445 |
496 |
419 |
531 |
636 |
611 |
559 |
43 |
587 |
672 |
725 |
21 |
56 |
157 |
700 |
189 |
109 |
84 |
195 |
323 |
223 |
275 |
328 |
251 |
363 |
468 |
389 |
|
697 |
187 |
135 |
82 |
192 |
303 |
242 |
277 |
329 |
247 |
359 |
471 |
387 |
443 |
499 |
415 |
527 |
639 |
609 |
557 |
46 |
583 |
668 |
726 |
23 |
75 |
137 |
|
497 |
418 |
523 |
635 |
612 |
555 |
44 |
586 |
664 |
722 |
24 |
77 |
156 |
677 |
184 |
133 |
108 |
190 |
300 |
222 |
296 |
331 |
248 |
355 |
467 |
390 |
441 |
|
164 |
130 |
106 |
216 |
298 |
219 |
276 |
350 |
250 |
356 |
463 |
386 |
444 |
495 |
416 |
526 |
631 |
608 |
558 |
42 |
584 |
667 |
718 |
20 |
78 |
158 |
696 |
|
414 |
524 |
634 |
604 |
554 |
45 |
582 |
665 |
721 |
16 |
74 |
159 |
698 |
183 |
110 |
103 |
214 |
324 |
217 |
273 |
330 |
269 |
358 |
464 |
382 |
440 |
498 |
|
129 |
83 |
211 |
322 |
243 |
271 |
327 |
249 |
377 |
466 |
383 |
436 |
494 |
417 |
522 |
632 |
607 |
550 |
41 |
585 |
663 |
719 |
19 |
70 |
155 |
699 |
185 |
|
525 |
630 |
605 |
553 |
37 |
581 |
666 |
717 |
17 |
73 |
151 |
695 |
186 |
131 |
102 |
191 |
319 |
241 |
297 |
325 |
246 |
357 |
485 |
385 |
437 |
490 |
413 |
|
104 |
210 |
299 |
238 |
295 |
351 |
244 |
354 |
465 |
404 |
439 |
491 |
409 |
521 |
633 |
603 |
551 |
40 |
577 |
662 |
720 |
15 |
71 |
154 |
691 |
182 |
132 |
|
629 |
606 |
549 |
38 |
580 |
658 |
716 |
18 |
69 |
152 |
694 |
178 |
128 |
105 |
212 |
318 |
218 |
292 |
349 |
270 |
352 |
462 |
384 |
458 |
493 |
410 |
517 |
Рис. 5
Итак, частное решение найдено для трёх порядков: 15-ого, 21-ого, 27-ого. Индуцирую на следующий порядок – 33. Но для квадратов 33-ого порядка у меня нет программы! Я её ещё не написала. Поэтому рисую аналогичную образующую таблицу, формирую её (конечно, для формирования таблицы напишу маленькую программку, это очень простая программка). Хотя таблица элементарно заполняется вручную. Потому что посмотрите, какие здесь разности:
-2 -3 -26 25 2 1 -4 -4 3 -2 -2 3 -4 -4 3 -2 -2 3 -4 -4 3 -2 -2 3 -4 -4 1 2 25 -26 -3 -2
***
Итак, я заполнила образующую таблицу для квадрата 33-ого порядка и переписываю её в матрицу для квадрата. В связи с тем, что квадрат очень большой, для лучшего изображения я “разрезала” его по вертикали на две части. Для получения полной картинки соедините две части, приложив левый край второй части к правому краю первой (рис. 6-7).
Часть первая
|
837 |
966 |
935 |
871 |
43 |
905 |
1008 |
1071 |
17 |
85 |
181 |
1043 |
222 |
153 |
122 |
256 |
385 |
|
286 |
356 |
426 |
326 |
456 |
563 |
490 |
559 |
627 |
496 |
630 |
765 |
692 |
733 |
797 |
697 |
833 |
|
965 |
936 |
867 |
44 |
904 |
1000 |
1070 |
18 |
81 |
182 |
1042 |
214 |
152 |
123 |
252 |
386 |
289 |
|
355 |
418 |
323 |
459 |
590 |
489 |
530 |
622 |
526 |
660 |
760 |
663 |
732 |
824 |
700 |
830 |
961 |
|
928 |
866 |
45 |
900 |
1001 |
1069 |
10 |
80 |
183 |
1038 |
215 |
151 |
115 |
251 |
387 |
285 |
353 |
|
419 |
322 |
451 |
587 |
492 |
557 |
621 |
497 |
655 |
790 |
693 |
727 |
795 |
699 |
857 |
964 |
929 |
|
863 |
37 |
899 |
1002 |
1065 |
11 |
79 |
175 |
1037 |
216 |
147 |
116 |
250 |
379 |
284 |
354 |
417 |
|
318 |
452 |
586 |
484 |
554 |
624 |
524 |
654 |
761 |
688 |
757 |
825 |
694 |
828 |
963 |
956 |
865 |
|
40 |
896 |
994 |
1064 |
12 |
75 |
176 |
1036 |
208 |
146 |
117 |
246 |
380 |
283 |
346 |
416 |
321 |
|
453 |
582 |
485 |
553 |
616 |
521 |
657 |
788 |
687 |
728 |
820 |
724 |
858 |
958 |
927 |
864 |
65 |
|
923 |
997 |
1061 |
4 |
74 |
177 |
1032 |
209 |
145 |
109 |
245 |
381 |
279 |
347 |
415 |
313 |
449 |
|
581 |
486 |
549 |
617 |
520 |
649 |
785 |
690 |
755 |
819 |
695 |
853 |
988 |
957 |
859 |
36 |
897 |
|
996 |
1088 |
7 |
71 |
169 |
1031 |
210 |
141 |
110 |
244 |
373 |
278 |
348 |
411 |
314 |
448 |
577 |
|
478 |
548 |
618 |
516 |
650 |
784 |
682 |
752 |
822 |
722 |
852 |
959 |
952 |
889 |
66 |
892 |
993 |
|
1059 |
6 |
98 |
172 |
1028 |
202 |
140 |
111 |
240 |
374 |
277 |
340 |
410 |
315 |
444 |
578 |
481 |
|
547 |
610 |
515 |
651 |
780 |
683 |
751 |
814 |
719 |
855 |
986 |
951 |
860 |
61 |
922 |
1023 |
1057 |
|
1 |
69 |
171 |
1055 |
205 |
137 |
103 |
239 |
375 |
273 |
341 |
409 |
307 |
443 |
579 |
477 |
545 |
|
611 |
514 |
643 |
779 |
684 |
747 |
815 |
718 |
847 |
983 |
954 |
887 |
60 |
893 |
1018 |
1087 |
33 |
|
99 |
166 |
1026 |
204 |
164 |
106 |
236 |
367 |
272 |
342 |
405 |
308 |
442 |
571 |
476 |
546 |
609 |
|
510 |
644 |
778 |
676 |
746 |
816 |
714 |
848 |
982 |
946 |
884 |
63 |
920 |
1017 |
1058 |
28 |
97 |
|
196 |
1056 |
199 |
135 |
105 |
263 |
370 |
269 |
334 |
404 |
309 |
438 |
572 |
475 |
538 |
608 |
513 |
|
645 |
774 |
677 |
745 |
808 |
713 |
849 |
978 |
947 |
883 |
55 |
917 |
1020 |
1085 |
27 |
68 |
193 |
|
1051 |
229 |
165 |
100 |
234 |
369 |
296 |
337 |
401 |
301 |
437 |
573 |
471 |
539 |
607 |
505 |
641 |
|
773 |
678 |
741 |
809 |
712 |
841 |
977 |
948 |
879 |
56 |
916 |
1012 |
1082 |
30 |
95 |
192 |
1025 |
|
200 |
160 |
130 |
264 |
364 |
267 |
336 |
428 |
304 |
434 |
565 |
470 |
540 |
603 |
506 |
640 |
769 |
|
670 |
740 |
810 |
708 |
842 |
976 |
940 |
878 |
57 |
912 |
1013 |
1081 |
22 |
92 |
195 |
1052 |
225 |
|
159 |
101 |
259 |
394 |
297 |
331 |
399 |
303 |
461 |
568 |
467 |
532 |
602 |
507 |
636 |
770 |
673 |
|
739 |
802 |
707 |
843 |
972 |
941 |
877 |
49 |
911 |
1014 |
1077 |
23 |
91 |
187 |
1049 |
228 |
161 |
|
128 |
258 |
365 |
292 |
361 |
429 |
298 |
432 |
567 |
494 |
535 |
599 |
499 |
635 |
771 |
669 |
737 |
|
803 |
706 |
835 |
971 |
942 |
873 |
50 |
910 |
1006 |
1076 |
24 |
87 |
188 |
1048 |
220 |
158 |
129 |
|
261 |
392 |
291 |
332 |
424 |
328 |
462 |
562 |
465 |
534 |
626 |
502 |
632 |
763 |
668 |
738 |
801 |
|
702 |
836 |
970 |
934 |
872 |
51 |
906 |
1007 |
1075 |
16 |
86 |
189 |
1044 |
221 |
157 |
121 |
257 |
|
389 |
294 |
359 |
423 |
299 |
457 |
592 |
495 |
529 |
597 |
501 |
659 |
766 |
665 |
730 |
800 |
705 |
Рис. 6
Часть вторая
|
290 |
360 |
425 |
324 |
431 |
589 |
493 |
561 |
595 |
498 |
633 |
791 |
667 |
731 |
796 |
701 |
|
969 |
933 |
869 |
46 |
901 |
1004 |
1074 |
15 |
83 |
184 |
1039 |
218 |
156 |
120 |
254 |
388 |
|
352 |
422 |
327 |
458 |
588 |
464 |
556 |
625 |
528 |
628 |
762 |
666 |
758 |
799 |
698 |
829 |
|
932 |
870 |
42 |
902 |
1003 |
1066 |
14 |
84 |
180 |
1040 |
217 |
148 |
119 |
255 |
384 |
287 |
|
421 |
319 |
455 |
591 |
491 |
555 |
596 |
523 |
658 |
792 |
661 |
729 |
798 |
725 |
832 |
962 |
|
862 |
41 |
903 |
999 |
1067 |
13 |
76 |
179 |
1041 |
213 |
149 |
118 |
247 |
383 |
288 |
351 |
|
320 |
454 |
583 |
488 |
558 |
623 |
522 |
629 |
787 |
691 |
759 |
793 |
696 |
831 |
989 |
931 |
|
38 |
895 |
998 |
1068 |
9 |
77 |
178 |
1033 |
212 |
150 |
114 |
248 |
382 |
280 |
350 |
420 |
|
450 |
584 |
487 |
550 |
620 |
525 |
656 |
786 |
662 |
754 |
823 |
726 |
826 |
960 |
930 |
890 |
|
898 |
995 |
1060 |
8 |
78 |
174 |
1034 |
211 |
142 |
113 |
249 |
378 |
281 |
349 |
412 |
317 |
|
585 |
483 |
551 |
619 |
517 |
653 |
789 |
689 |
753 |
794 |
721 |
856 |
990 |
925 |
861 |
39 |
|
1022 |
1063 |
5 |
70 |
173 |
1035 |
207 |
143 |
112 |
241 |
377 |
282 |
345 |
413 |
316 |
445 |
|
482 |
552 |
615 |
518 |
652 |
781 |
686 |
756 |
821 |
720 |
827 |
985 |
955 |
891 |
34 |
894 |
|
1062 |
32 |
73 |
170 |
1027 |
206 |
144 |
108 |
242 |
376 |
274 |
344 |
414 |
312 |
446 |
580 |
|
544 |
614 |
519 |
648 |
782 |
685 |
748 |
818 |
723 |
854 |
984 |
926 |
886 |
64 |
924 |
991 |
|
3 |
72 |
197 |
1030 |
203 |
136 |
107 |
243 |
372 |
275 |
343 |
406 |
311 |
447 |
576 |
479 |
|
613 |
511 |
647 |
783 |
681 |
749 |
817 |
715 |
851 |
987 |
953 |
885 |
35 |
919 |
1021 |
1089 |
|
67 |
168 |
1029 |
230 |
139 |
104 |
235 |
371 |
276 |
339 |
407 |
310 |
439 |
575 |
480 |
543 |
|
512 |
646 |
775 |
680 |
750 |
813 |
716 |
850 |
979 |
950 |
888 |
62 |
918 |
992 |
1084 |
31 |
|
198 |
1024 |
201 |
138 |
131 |
238 |
368 |
268 |
338 |
408 |
306 |
440 |
574 |
472 |
542 |
612 |
|
642 |
776 |
679 |
742 |
812 |
717 |
846 |
980 |
949 |
880 |
59 |
921 |
1019 |
1083 |
2 |
94 |
|
1054 |
231 |
133 |
102 |
237 |
395 |
271 |
335 |
400 |
305 |
441 |
570 |
473 |
541 |
604 |
509 |
|
777 |
675 |
743 |
811 |
709 |
845 |
981 |
945 |
881 |
58 |
913 |
1016 |
1086 |
29 |
93 |
167 |
|
226 |
163 |
132 |
232 |
366 |
270 |
362 |
403 |
302 |
433 |
569 |
474 |
537 |
605 |
508 |
637 |
|
674 |
744 |
807 |
710 |
844 |
973 |
944 |
882 |
54 |
914 |
1015 |
1078 |
26 |
96 |
194 |
1050 |
|
134 |
127 |
262 |
396 |
265 |
333 |
402 |
329 |
436 |
566 |
466 |
536 |
606 |
504 |
638 |
772 |
|
736 |
806 |
711 |
840 |
974 |
943 |
874 |
53 |
915 |
1011 |
1079 |
25 |
88 |
191 |
1053 |
227 |
|
126 |
233 |
391 |
295 |
363 |
397 |
300 |
435 |
593 |
469 |
533 |
598 |
503 |
639 |
768 |
671 |
|
805 |
703 |
839 |
975 |
939 |
875 |
52 |
907 |
1010 |
1080 |
21 |
89 |
190 |
1045 |
224 |
162 |
|
260 |
390 |
266 |
358 |
427 |
330 |
430 |
564 |
468 |
560 |
601 |
500 |
631 |
767 |
672 |
735 |
|
704 |
838 |
967 |
938 |
876 |
48 |
908 |
1009 |
1072 |
20 |
90 |
186 |
1046 |
223 |
154 |
125 |
|
393 |
293 |
357 |
398 |
325 |
460 |
594 |
463 |
531 |
600 |
527 |
634 |
764 |
664 |
734 |
804 |
|
834 |
968 |
937 |
868 |
47 |
909 |
1005 |
1073 |
19 |
82 |
185 |
1047 |
219 |
155 |
124 |
253 |
Рис. 7
И вот он – идеальный квадрат 33-ого порядка! Настоящий шедевр!
Мне не пришлось писать длинную программу для построения такого квадрата, я нашла частное решение, аналогичное частным решениям для квадратов предыдущих порядков: 15-ого, 21-ого и 27-ого. Невероятно, но факт. Все четыре квадрата имеют аналогичные образующие таблицы. Ну, что во всех действуют стандартные качели – это я уже говорила. Например, в квадрате 33-ого порядка качели качаются так: через 16 ячеек вправо, через 15 ячеек влево, сумма шагов качания, как всегда, на 2 меньше порядка квадрата.
Долго ли я создавала этот шедевр? Нет. Сначала написала маленькую программку для формирования образующей таблицы, это 5 минут. Выполнила эту программку, это 1 минута. Распечатала образующую таблицу. А дальше пошло просто переписывание чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата. Здесь, конечно, нужна сосредоточенность, ибо очень просто сделать ошибку при переписывании очень большого массива чисел. Ну, а в целом это заняло около часа. И идеальный квадрат готов! Конечно, можно написать программу, превращающую образующую таблицу в идеальный квадрат, но мне не хочется. Я сделала это вручную. Для сравнения: программу для построения идеального квадрата 27-ого порядка я писала полдня. Вот почему так важны найденные частные решения. Они строятся очень быстро!
Теперь, как мне кажется, точно так же я могу построить идеальный квадрат следующего порядка, кратного 3 – 39-ого. А затем следующего и так далее. Конечно, надо ещё доказать, что метод не даст сбой, скажем, на 687-ом порядке. Но доказательство не лежит на поверхности. Надо очень хорошо подумать, как это доказать. А пока просто стройте квадраты этим методом, и проверяйте их идеальность. Если же написать программу, как я сделала это для порядков 9, 15, 21, 27, то вы найдёте не одно частное решение, а очень много решений, и проверять квадраты вам не придётся, потому что это сделает программа.
***
Страница помещена на сайт 25 января 2008 г.
_________
27 января 2008 г.
Итак, я построила идеальный квадрат 33-ого порядка, который вы видите на рис. 7. Читатели уже знают, как из этого квадрата получить идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке). Надо сначала перенести квадрат на торе, так чтобы центральная строка оказалась первой, а затем применить к полученному квадрату преобразование “строки-диагонали”. Как было показано в одной из предыдущих частей статьи, в группе идеальных квадратов, начинающихся с числа 1, действуют нестандартные качели. И ещё было показано, что между этими двумя группами – квадратов со стандартными и нестандартными качелями – существует взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, все найденные частные решения, которые находятся в группе со стандартными качелями, имеют соответствующие частные решения в группе с нестандартными качелями. Очень интересный момент! Я решила найти эти частные решения не путём, который описан выше (комбинация двух преобразований), а через похожие образующие таблицы. И у меня это получилось! Покажу результат для квадратов 15-ого и 21-ого порядка. На рис. 8 вы видите идеальный квадрат 15-ого порядка, начинающийся с числа 1, соответствующий идеальному квадрату с рис. 2, а на рис. 9 изображён идеальный квадрат 21-ого порядка, начинающийся с числа 1 и соответствующий идеальному квадрату с рис. 4.
|
1 |
100 |
176 |
139 |
44 |
61 |
160 |
191 |
79 |
59 |
121 |
220 |
206 |
109 |
29 |
|
142 |
33 |
73 |
159 |
188 |
82 |
48 |
133 |
219 |
203 |
112 |
18 |
13 |
99 |
173 |
|
162 |
185 |
81 |
60 |
122 |
222 |
200 |
111 |
30 |
2 |
102 |
170 |
141 |
45 |
62 |
|
55 |
131 |
214 |
209 |
106 |
25 |
11 |
94 |
179 |
136 |
40 |
71 |
154 |
194 |
76 |
|
198 |
118 |
24 |
8 |
97 |
168 |
148 |
39 |
68 |
157 |
183 |
88 |
54 |
128 |
217 |
|
5 |
96 |
180 |
137 |
42 |
65 |
156 |
195 |
77 |
57 |
125 |
216 |
210 |
107 |
27 |
|
146 |
34 |
74 |
151 |
190 |
86 |
49 |
134 |
211 |
205 |
116 |
19 |
14 |
91 |
175 |
|
163 |
189 |
83 |
52 |
123 |
223 |
204 |
113 |
22 |
3 |
103 |
174 |
143 |
37 |
63 |
|
51 |
135 |
212 |
207 |
110 |
21 |
15 |
92 |
177 |
140 |
36 |
75 |
152 |
192 |
80 |
|
199 |
119 |
16 |
10 |
101 |
169 |
149 |
31 |
70 |
161 |
184 |
89 |
46 |
130 |
221 |
|
9 |
98 |
172 |
138 |
43 |
69 |
158 |
187 |
78 |
58 |
129 |
218 |
202 |
108 |
28 |
|
150 |
32 |
72 |
155 |
186 |
90 |
47 |
132 |
215 |
201 |
120 |
17 |
12 |
95 |
171 |
|
164 |
181 |
85 |
56 |
124 |
224 |
196 |
115 |
26 |
4 |
104 |
166 |
145 |
41 |
64 |
|
53 |
127 |
213 |
208 |
114 |
23 |
7 |
93 |
178 |
144 |
38 |
67 |
153 |
193 |
84 |
|
197 |
117 |
20 |
6 |
105 |
167 |
147 |
35 |
66 |
165 |
182 |
87 |
50 |
126 |
225 |
Рис. 8
|
1 |
298 |
262 |
79 |
62 |
30 |
206 |
148 |
109 |
325 |
289 |
251 |
408 |
395 |
358 |
172 |
136 |
436 |
356 |
219 |
101 |
|
78 |
45 |
29 |
203 |
166 |
112 |
326 |
288 |
234 |
407 |
392 |
376 |
175 |
137 |
435 |
339 |
218 |
98 |
19 |
301 |
263 |
|
202 |
149 |
111 |
327 |
291 |
252 |
404 |
391 |
359 |
174 |
138 |
438 |
357 |
215 |
97 |
2 |
300 |
264 |
81 |
63 |
26 |
|
319 |
283 |
247 |
419 |
387 |
374 |
169 |
130 |
430 |
352 |
230 |
93 |
17 |
295 |
256 |
73 |
58 |
41 |
198 |
164 |
106 |
|
402 |
386 |
371 |
187 |
133 |
431 |
351 |
213 |
92 |
14 |
313 |
259 |
74 |
57 |
24 |
197 |
161 |
124 |
322 |
284 |
246 |
|
170 |
132 |
432 |
354 |
231 |
89 |
13 |
296 |
258 |
75 |
60 |
42 |
194 |
160 |
107 |
321 |
285 |
249 |
420 |
383 |
370 |
|
346 |
226 |
104 |
9 |
311 |
253 |
67 |
52 |
37 |
209 |
156 |
122 |
316 |
277 |
241 |
415 |
398 |
366 |
185 |
127 |
424 |
|
8 |
308 |
271 |
70 |
53 |
36 |
192 |
155 |
119 |
334 |
280 |
242 |
414 |
381 |
365 |
182 |
145 |
427 |
347 |
225 |
87 |
|
69 |
54 |
39 |
210 |
152 |
118 |
317 |
279 |
243 |
417 |
399 |
362 |
181 |
128 |
426 |
348 |
228 |
105 |
5 |
307 |
254 |
|
205 |
167 |
114 |
332 |
274 |
235 |
409 |
394 |
377 |
177 |
143 |
421 |
340 |
220 |
100 |
20 |
303 |
269 |
64 |
46 |
31 |
|
329 |
292 |
238 |
410 |
393 |
360 |
176 |
140 |
439 |
343 |
221 |
99 |
3 |
302 |
266 |
82 |
49 |
32 |
204 |
150 |
113 |
|
411 |
396 |
378 |
173 |
139 |
422 |
342 |
222 |
102 |
21 |
299 |
265 |
65 |
48 |
33 |
207 |
168 |
110 |
328 |
275 |
237 |
|
188 |
135 |
437 |
337 |
214 |
94 |
16 |
314 |
261 |
80 |
43 |
25 |
199 |
163 |
125 |
324 |
290 |
232 |
403 |
388 |
373 |
|
355 |
217 |
95 |
15 |
297 |
260 |
77 |
61 |
28 |
200 |
162 |
108 |
323 |
287 |
250 |
406 |
389 |
372 |
171 |
134 |
434 |
|
18 |
315 |
257 |
76 |
44 |
27 |
201 |
165 |
126 |
320 |
286 |
233 |
405 |
390 |
375 |
189 |
131 |
433 |
338 |
216 |
96 |
|
72 |
59 |
22 |
193 |
157 |
121 |
335 |
282 |
248 |
400 |
382 |
367 |
184 |
146 |
429 |
353 |
211 |
88 |
10 |
310 |
272 |
|
196 |
158 |
120 |
318 |
281 |
245 |
418 |
385 |
368 |
183 |
129 |
428 |
350 |
229 |
91 |
11 |
309 |
255 |
71 |
56 |
40 |
|
336 |
278 |
244 |
401 |
384 |
369 |
186 |
147 |
425 |
349 |
212 |
90 |
12 |
312 |
273 |
68 |
55 |
23 |
195 |
159 |
123 |
|
416 |
379 |
361 |
178 |
142 |
440 |
345 |
227 |
85 |
4 |
304 |
268 |
83 |
51 |
38 |
190 |
151 |
115 |
331 |
293 |
240 |
|
179 |
141 |
423 |
344 |
224 |
103 |
7 |
305 |
267 |
66 |
50 |
35 |
208 |
154 |
116 |
330 |
276 |
239 |
413 |
397 |
364 |
|
341 |
223 |
86 |
6 |
306 |
270 |
84 |
47 |
34 |
191 |
153 |
117 |
333 |
294 |
236 |
412 |
380 |
363 |
180 |
144 |
441 |
Рис. 9
А теперь посмотрите на образующую таблицу этого идеального квадрата (рис. 10), сравните её с образующей таблицей на рис. 3.
|
21 |
299 |
265 |
65 |
48 |
33 |
207 |
168 |
110 |
328 |
275 |
237 |
411 |
396 |
378 |
173 |
139 |
422 |
342 |
222 |
102 |
|
3 |
302 |
266 |
82 |
49 |
32 |
204 |
150 |
113 |
329 |
292 |
238 |
410 |
393 |
360 |
176 |
140 |
439 |
343 |
221 |
99 |
|
20 |
303 |
269 |
64 |
46 |
31 |
205 |
167 |
114 |
332 |
274 |
235 |
409 |
394 |
377 |
177 |
143 |
421 |
340 |
220 |
100 |
|
5 |
307 |
254 |
69 |
54 |
39 |
210 |
152 |
118 |
317 |
279 |
243 |
417 |
399 |
362 |
181 |
128 |
426 |
348 |
228 |
105 |
|
8 |
308 |
271 |
70 |
53 |
36 |
192 |
155 |
119 |
334 |
280 |
242 |
414 |
381 |
365 |
182 |
145 |
427 |
347 |
225 |
87 |
|
9 |
311 |
253 |
67 |
52 |
37 |
209 |
156 |
122 |
316 |
277 |
241 |
415 |
398 |
366 |
185 |
127 |
424 |
346 |
226 |
104 |
|
13 |
296 |
258 |
75 |
60 |
42 |
194 |
160 |
107 |
321 |
285 |
249 |
420 |
383 |
370 |
170 |
132 |
432 |
354 |
231 |
89 |
|
14 |
313 |
259 |
74 |
57 |
24 |
197 |
161 |
124 |
322 |
284 |
246 |
402 |
386 |
371 |
187 |
133 |
431 |
351 |
213 |
92 |
|
17 |
295 |
256 |
73 |
58 |
41 |
198 |
164 |
106 |
319 |
283 |
247 |
419 |
387 |
374 |
169 |
130 |
430 |
352 |
230 |
93 |
|
2 |
300 |
264 |
81 |
63 |
26 |
202 |
149 |
111 |
327 |
291 |
252 |
404 |
391 |
359 |
174 |
138 |
438 |
357 |
215 |
97 |
|
19 |
301 |
263 |
78 |
45 |
29 |
203 |
166 |
112 |
326 |
288 |
234 |
407 |
392 |
376 |
175 |
137 |
435 |
339 |
218 |
98 |
|
1 |
298 |
262 |
79 |
62 |
30 |
206 |
148 |
109 |
325 |
289 |
251 |
408 |
395 |
358 |
172 |
136 |
436 |
356 |
219 |
101 |
|
6 |
306 |
270 |
84 |
47 |
34 |
191 |
153 |
117 |
333 |
294 |
236 |
412 |
380 |
363 |
180 |
144 |
441 |
341 |
223 |
86 |
|
7 |
305 |
267 |
66 |
50 |
35 |
208 |
154 |
116 |
330 |
276 |
239 |
413 |
397 |
364 |
179 |
141 |
423 |
344 |
224 |
103 |
|
4 |
304 |
268 |
83 |
51 |
38 |
190 |
151 |
115 |
331 |
293 |
240 |
416 |
379 |
361 |
178 |
142 |
440 |
345 |
227 |
85 |
|
12 |
312 |
273 |
68 |
55 |
23 |
195 |
159 |
123 |
336 |
278 |
244 |
401 |
384 |
369 |
186 |
147 |
425 |
349 |
212 |
90 |
|
11 |
309 |
255 |
71 |
56 |
40 |
196 |
158 |
120 |
318 |
281 |
245 |
418 |
385 |
368 |
183 |
129 |
428 |
350 |
229 |
91 |
|
10 |
310 |
272 |
72 |
59 |
22 |
193 |
157 |
121 |
335 |
282 |
248 |
400 |
382 |
367 |
184 |
146 |
429 |
353 |
211 |
88 |
|
18 |
315 |
257 |
76 |
44 |
27 |
201 |
165 |
126 |
320 |
286 |
233 |
405 |
390 |
375 |
189 |
131 |
433 |
338 |
216 |
96 |
|
15 |
297 |
260 |
77 |
61 |
28 |
200 |
162 |
108 |
323 |
287 |
250 |
406 |
389 |
372 |
171 |
134 |
434 |
355 |
217 |
95 |
|
16 |
314 |
261 |
80 |
43 |
25 |
199 |
163 |
125 |
324 |
290 |
232 |
403 |
388 |
373 |
188 |
135 |
437 |
337 |
214 |
94 |
Рис. 10
Обратите особое внимание на первый столбец таблицы, в котором расположена начальная цепочка чисел. Числа в этой цепочке по сравнению с предыдущей таблицей следуют точно через одно! Вот такая закономерность связывает эти две группы частных решений. Конечно, чтобы увидеть эту закономерность, мне пришлось применить к квадрату 15-ого порядка комбинацию преобразований: перенос на торе и “строки-диагонали”. А уже для квадрата 21-ого порядка я написала образующую таблицу по аналогии, то есть расположила числа в начальной цепочке через одно, и идеальный квадрат по такой образующей таблице получился, и он в точности такой, как если бы я применила к квадрату с рис. 4 ту же комбинацию преобразований (это я проверила).
Предлагаю читателям построить таким же способом идеальные квадраты 27-ого и 33-ого порядков, начинающиеся с числа 1, взяв за исходные те квадраты, что представлены здесь.
Если придёт вдохновение, попробую построить идеальный квадрат 39-ого порядка, начинающийся с числа 1. Попробуйте и вы построить такой квадрат.
***
Я немного подумала о доказательстве того факта, что построенные здесь частные решения для идеальных квадратов 15-ого, 21-ого, 27-ого и 33-ого порядка существуют для любого порядка n=3(2k+1), k=2, 3, 4, 5, …, что метод, описанный здесь, не даст сбой, скажем, на квадрате 687-ого порядка (то есть при k=114). Как мне кажется, здесь вполне подойдёт метод математической индукции. Но мне пока не хочется заниматься этим вопросом, то есть сделать все выкладки.
Рассуждаем так. Представленный математический факт имеет место для четырёх частных случаев: при k=2, 3, 4, 5. Предположим, что он имеет место при k=m, и докажем, что тогда он имеет место и для k=m+1. В этом суть метода математической индукции. А дальше дело техники. Надо написать образующую таблицу в общем виде для k=m, а затем для k=m+1. Уверена, что написав идеальные квадраты по этим образующим таблицам, можно доказать, что из пандиагональности и ассоциативности первого обязательно следует пандиагональность и ассоциативность второго. Попробуйте!
***
Продолжение будет здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob12.htm
Пишите мне!
На главную страницу