ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть I

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу указывать

ссылку на данную страницу.

 

 

Об идеальных квадратах я уже рассказывала много в других статьях. Это будет как бы обобщающая статья.

 

Определение:

 

Идеальным квадратом называется такой магический квадрат, который является одновременно ассоциативным и пандиагональным.

 

Как известно, пандиагональные квадраты существуют для квадратов нечётных (больше 3) и чётно-чётных порядков. Ассоциативные тоже (квадрат третьего порядка ассоциативен, но не пандиагонален). А вот одновременно и ассоциативные, и пандиагональные, то есть идеальные, возможны только для квадратов нечётных порядков (больше 3). Самый первый идеальный квадрат – магический квадрат пятого порядка.

 

Примечание: несколько месяцев спустя после написания этой статьи я зарегистрировалась на одном математическом форуме. И там мне дали ссылку, где приведён идеальный квадрат восьмого порядка. Для порядка n=4 идеальные квадраты действительно не существуют (это доказано в одной из моих статей – “Ассоциативные квадраты”). А вот восьмого порядка есть. Смотрите этот квадрат по ссылке:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

Я пока не знаю, существуют ли идеальные квадраты других чётно-чётных порядков. Собираюсь исследовать этот вопрос. Смотрите мою статью:

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

В силу ассоциативности в идеальном квадрате сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу: n²+1, где n – порядок квадрата. В центральной ячейке идеального квадрата порядка n стоит число (n²+1)/2.

 

Итак, покажу самый первый идеальный квадрат – пятого порядка (рис. 1).

 

 

                                                                      Рис. 1

 

О пандиагональных квадратах пятого порядка мной написано очень много (см. статьи “Пандиагональные квадраты” и “Пандиагональные квадраты пятого порядка”). Доказано, что идеальный квадрат, изображённый на рис.1, является самым базовым квадратом, в том смысле, что из него можно получить остальные 143 пандиагональных квадрата, применяя к нему различные преобразования. Вот какой это удивительный идеальный квадрат!

 

Далее показываю идеальный квадрат седьмого порядка (рис. 2).

 

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Этот квадрат я построила матричным методом, найденным по ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/7x7.php

 

А вот другой идеальный квадрат, построенный перестановкой строк из ассоциативного квадрата, построенного методом террас (рис. 3):

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

Из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, можно получить ещё несколько идеальных квадратов, переставляя строки с другим шагом (на рис. 3 строки переставлены с шагом 1, то есть через одну строку). А можно точно так же переставлять столбцы, оставляя строки на месте.

Замечу здесь, что из двух идеальных квадратов седьмого порядка (рис. 2 и рис. 3) я отдаю предпочтение квадрату, изображённому на рис. 2, потому что у него в левой верхней ячейке стоит число 1. Мне очень нравятся именно квадраты, начинающиеся с числа 1, они выглядят самыми совершенными. Поэтому я всегда в дальнейшем буду стараться получить идеальный квадрат, начинающийся с единицы.

Метод построения идеального квадрата из ассоциативного путём перестановки строк (или столбцов) годится для всех нечётных порядков не кратных 3. Очень простой метод!

 

А вот теперь у нас как раз на очереди квадрат девятого порядка, то есть кратного 3. Первый идеальный квадрат девятого порядка я построила матричным методом (см. ссылку выше). Смотрите его на рис. 4.

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Но это я уже преобразовала квадрат, построенный матричным методом, чтобы получить в верхней левой ячейке число 1. Первоначально квадрат был таким (рис. 5):

 

 

 

                                                                     Рис. 5

 

Идеальный квадрат на рис. 5 обладает замечательным свойством: сумма чисел в любом квадрате 3х3, расположенном внутри него, равна магической константе квадрата – 369. На рис. 5 выделено 4 таких квадрата 3х3 для примера. Идеальный квадрат на рис. 4, полученный из квадрата с рис. 5 комбинацией различных преобразований, утратил это свойство.

 

Я очень долго пыталась построить идеальный квадрат девятого порядка из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, но мне это не удавалось. А потом совершенно случайно я переставила строки в другом ассоциативном квадрате, построенном на базе магического квадрата третьего порядка. И идеальный квадрат получился! Подробно об этом рассказано в статье “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”. Здесь я покажу идеальный квадрат, построенный этим методом (рис. 6).

 

 

 

                                                                     Рис. 6

 

Идеальный квадрат на рис. 6 тоже обладает таким же свойством, как и квадрат на рис. 5.

 

Я построила очень много идеальных квадратов девятого порядка разными методами (см. статьи: “Магические квадраты девятого порядка”, “Идеальные квадраты девятого порядка”, “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”). Мной введено понятие “прототип идеального квадрата”, именно на примере идеальных квадратов девятого порядка.

 

А теперь перехожу к идеальным квадратам 11-ого порядка, о которых, кажется, нигде ещё подробно не рассказала. По указанной выше ссылке, где даны матричные методы построения пандиагональных квадратов, о квадратах 11-ого порядка написано очень мало, приведена какая-то матрица в самом общем виде, но ни одного квадрата не построено, и как вообще такой квадрат построить – совершенно непонятно. Да плюс к тому статья написана по-английски, а я не знаю языка. Для тех, кто заинтересуется, повторю ссылку:

 

http://www.grogono.com/magic/11x11.php

 

Но у меня есть прекрасный метод построения пандиагональных квадратов нечётных порядков, не кратных 3 (а 11 как раз такой порядок) из ассоциативного квадрата, построенного методом террас. Я уже сказала об этом методе выше. Вот этим методом я и воспользуюсь. Сначала покажу квадрат 11-ого порядка, построенный методом террас (рис. 7). Этот квадрат ассоциативен, но не пандиагонален.

 

 

 

                                                  Рис. 7

 

Теперь начну делать из этого ассоциативного квадрата идеальные. Сначала переставлю строки, оставляя на месте столбцы. Как я уже говорила, строки можно переставлять с разным шагом: 1 (через одну строку), 2 (через две строки), 3 (через три строки) и т. д.  На рис. 8 показан идеальный квадрат, полученный перестановкой строк с шагом 2, а на рис. 9 – с шагом 3.

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

 

 

                                                                     Рис. 9

 

На рис. 9 изображён чётно-нечётный рисунок квадрата. Он симметричен относительно обеих осей симметрии – горизонтальной и вертикальной и относительно центра квадрата.

 

Как для всех пандиагональных квадратов нечётного порядка, в квадратах 11-ого порядка можно применить стандартную перестановку строк и/или столбцов. Это преобразование я называю “диагонали-диагонали”, потому что оно не изменяет наборов чисел в строках и столбцах, а переводит все 22 диагонали (2 главные и 20 разломанных) исходного квадрата в другие 22 диагонали нового квадрата. На рис. 10 вы видите квадрат с рис. 8 со стандартно переставленными столбцами, на рис. 11 – со стандартно переставленными строками, а на рис. 12 переставлены и строки, и столбцы.

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

 

 

                                                                     Рис. 11

 

 

 

                                                                     Рис. 12

 

На рис. 10 выделены цветом разломанные диагонали, в которые перешли главные диагонали исходного квадрата с рис. 8. Преобразование одновременной перестановки строк и столбцов сохраняет ещё набор чисел в одной из главных диагоналей. Очевидно, что преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов не сохраняет ассоциативность квадрата. Все три квадрата (рис. 10, 11, 12) не являются ассоциативными, но их очень просто превратить в ассоциативные, а значит, в идеальные, параллельным переносом на торе. Новых идеальных квадратов при этом не получится.

 

Далее  я получаю новый идеальный квадрат из ассоциативного (с рис. 7), переставляя столбцы с шагом 1 (через один столбец) и оставляя на месте строки. Смотрите этот квадрат на рис. 13.

 

 

 

                                                                     Рис. 13

 

(Примечание: на рисунке выделены первые 11 чисел, смотрите об этом далее).

 

Этот квадрат мне понадобится, чтобы сделать самый красивый идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Сначала я перенесу квадрат с рис. 13 на торе (см. рис. 14):

 

 

 

                                                                     Рис. 14

 

А вот сейчас мне понадобится преобразование “строки-диагонали”. Я уже много раз рассказывала об этом преобразовании: для пандиагональных квадратов пятого, седьмого, девятого и пятнадцатого порядков. Поэтому сразу приведу матрицу преобразования для квадрата 11-ого порядка. Пусть исходный пандиагональный квадрат имеет матрицу А(a_i,j). Тогда квадрат, преобразованный преобразованием “строки-диагонали”, будет иметь следующую матрицу (рис. 15):

 

 

 

                                                                    Рис. 15

 

Применяю это преобразование к пандиагональному квадрату с рис. 14. В результате получаю идеальный квадрат, который показан на рис. 16. Это самый лучший идеальный квадрат для меня, потому что он начинается с числа 1!

 

 

 

                                                                     Рис. 16

 

Посмотрите, какой оригинальный чётно-нечётный рисунок у этого идеального квадрата. Симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

А сейчас применю преобразование “строки-диагонали” к идеальному квадрату с рис. 8. Полученный пандиагональный квадрат изображён на рис. 17.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Этот квадрат пандиагональный, но не ассоциативный. Превращаю его в ассоциативный (а значит, в идеальный) параллельным переносом на торе. Смотрите на рис. 18.

 

 

 

                                                                    Рис. 18

 

Применю к этому квадрату (с рис. 18) преобразование “строки-диагонали”. Получился пандиагональный квадрат, который вы видите на рис. 19.

 

 

 

                                                                     Рис. 19

 

Интереснейший получился квадрат! Во-первых, очень гармонично расположены первые 11 чисел (я выделила их). Во-вторых, числа в строках почти всегда отличаются друг от друга на 20 (за редкими исключениями). Прямо чудо-квадрат! Чувствую, что в этом квадрате можно найти какой-то ключ к построению пандиагональных квадратов 11-ого порядка. Из этого квадрата я элементарно получаю идеальный квадрат параллельным переносом на торе (см. рис. 20).

 

 

 

                                                                     Рис. 20

 

Повернём этот квадрат (рис. 20) на 90 градусов против часовой стрелки (см. рис. 21):

 

 

 

                                                                     Рис. 21

 

Сравните этот идеальный квадрат с квадратом, изображённым на рис. 8! Вы увидите, что он получен из него перестановками строк и столбцов по определённой схеме. Об этом преобразовании нестандартной перестановки одновременно строк и столбцов я уже рассказала в статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка”. Красивое преобразование! Оно не изменяет наборов чисел в строках, столбцах и главных диагоналях, а все разломанные диагонали исходного квадрата переводит в другие разломанные диагонали нового квадрата. Читатели могут самостоятельно написать матрицу этого преобразования по аналогии с тем, как это показано для квадратов 15-ого порядка (см. указанную выше статью). Замечательно то, что преобразование переводит идеальный квадрат в идеальный. К идеальному квадрату на рис. 21 можно снова применить это преобразование, тогда получится идеальный квадрат, в котором строки и столбцы переставлены по другой схеме относительно квадрата с рис. 8. Таким образом, это преобразование имеет несколько вариантов.

 

И, наконец, надо рассказать о том, что все построенные здесь идеальные квадраты 11-ого порядка имеют пандиагональный прототип  и сами порождаются пандиагональным прототипом (понятие прототипа идеального квадрата я ввела при рассмотрении идеальных квадратов девятого порядка). Покажу это на примере самого лучшего идеального квадрата, который начинается с числа 1 (рис. 16). На рис. 22 вы видите прототип этого квадрата, который является пандиагональным квадратом.

 

 

 

                                                                     Рис. 22

 

Квадрат легко превратить в идеальный параллельным переносом на торе. В свою очередь квадрат с рис. 16 является прототипом другого пандиагонального квадрата, его вы видите на рис. 23.

 

 

 

                                                                  Рис. 23

 

Этот квадрат тоже элементарно превращается в идеальный параллельным переносом на торе.

 

На этом я завершаю рассказ о пандиагональных и идеальных квадратах 11-ого порядка и перехожу к квадратам 13-ого порядка.

 

Примечание: просматривая написанные статьи, я обнаружила, что у меня уже есть статья, посвящённая квадратам 11-ого порядка. Ну, ничего, здесь приведено несколько новых квадратов.

 

Здесь всё совершенно аналогично квадратам 11-ого порядка, поэтому расскажу очень кратко, предоставляя читателям возможность построить несколько идеальных квадратов самостоятельно.

Прежде всего, покажу ассоциативный квадрат 13-ого порядка, построенный методом террас, из которого и буду получать идеальные квадраты (рис. 24).

 

 

 

                                                  Рис. 24

 

Переставляю в этом ассоциативном квадрате столбцы с шагом 1 (через один столбец), оставляя строки на месте. И идеальный квадрат 13-ого порядка готов! Всем понятно, что этот метод построения пандиагональных (и идеальных) квадратов для квадратов нечётных порядков, не кратных 3, самый простой. На рис. 25 вы видите полученный идеальный квадрат.

 

 

 

                                                  Рис. 25

 

Посмотрите на этот идеальный квадрат. Я выделила первые 13 чисел. Сразу бросается в глаза определённая закономерность в расположении этих чисел. Я посмотрела на все идеальные квадраты низших нечётных порядков, построенные этим методом. И во всех увидела ту же закономерность! Кроме квадратов нечётных порядков, кратных 3, которые, как я уже говорила, этим методом не строятся. Этот результат показался мне очень интересным. Покажу здесь все эти идеальные квадраты, чтобы наглядно продемонстрировать этот результат. На рис. 26 вы видите идеальные квадраты 5, 7, 11 порядков, построенные данным методом. Я так же выделила в каждом квадрате первые n чисел (n – порядок квадрата). Квадрат 11-ого порядка уже был показан выше (см. рис. 13).

 

 

 

 

 

 

 

                                                                     Рис. 26

 

Вот такая карусель! Вы видите карусель? Дьявольски красивая закономерность! Вот она – начальная цепочка!

 

Маленькое отступление. Если есть ряд некоторых сущностей, подчиняющихся какой-то закономерности, которую вы пока не знаете, то положите перед собой каждую такую сущность, десять сущностей, двадцать, тридцать… И вы обязательно увидите закономерность, она сама бросится вам в глаза. Это непреложный закон всех исследований. А отыскивать такие закономерности –  высшее наслаждение для исследователя.

 

Но вернусь к идеальным квадратам 13-ого порядка. Из идеального квадрата, изображённого на рис. 25 я хочу получить идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 – самый красивый по моим понятиям. Для этого сначала перенесу этот квадрат на торе (рис. 27), а затем применю к полученному квадрату преобразование “строки-диагонали”. Я не буду давать матрицу этого преобразования, ибо она совершенно аналогична матрице для квадрата 11-ого порядка (см. рис. 15). Полученный в результате идеальный квадрат вы видите на рис. 28.

 

 

 

                                                  Рис. 27

 

 

 

                                                  Рис. 28

 

Всё, что было показано для квадратов 11-ого порядка, можно повторить и для квадратов 13-ого порядка. Здесь полная аналогия.

 

Далее у нас следуют квадраты 15-ого порядка. Этот порядок кратен 3. И описанный метод построения пандиагонального квадрата из ассоциативного здесь не работает. Мне так и не удалось построить ни идеальный, ни пандиагональный квадрат 15-ого порядка. В статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка” я показала несколько преобразований на примере идеальных квадратов, построенных Г. Александровым. Однако меня не оставляет чувство, что должен быть более простой метод построения таких квадратов, нежели метод, предложенный Александровым.

В этом же ряду находятся квадраты следующих нечётных порядков, которые кратны 3, но не кратны 9: 21, 33, 39, 51…

Пандиагональные квадраты таких порядков я строить не могу. Александров в своей статье показал только идеальный квадрат 15-ого порядка, сказав, что может таким же методом построить и квадраты следующих порядков. Однако не мешало бы показать хотя бы ещё один квадрат, например, 21-ого порядка. Ссылку на статью Александрова смотрите в статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка”.

 

Примечание: Александров изменил название страницы. Смотрите новую ссылку далее. Кроме того, он, видимо, прочёл мою критику и написал целую страницу, на которой показывает мне (!) идеальные квадраты 21-ого порядка. Такова сила критики! Вот ссылка на страницу с идеальными квадратами 21-ого порядка:

 

http://renuar911.narod.ru/IMS21_5.html

 

 

                                               ***

 

Для квадратов порядка 17, 19, 23 всё точно так же, как для квадратов порядка 11 или 13, так как это тоже нечётные порядки, не кратные 3.

Рассмотрю более подробно квадраты 25-ого порядка. Здесь интересно показать два метода построения. Во-первых, так же работает описанный метод построения пандиагонального квадрата из ассоциативного путём простой перестановки строк или столбцов. Во-вторых, идеальный квадрат 25-ого порядка можно построить на базе идеального квадрата  пятого порядка, взяв в качестве основного этот же либо какой-нибудь другой идеальный квадрат пятого порядка (25=5*5).

Сначала продемонстрирую первый метод. Но опускаю подробности. Путь тот же самый: строю ассоциативный квадрат методом террас, переставляю в нём столбцы с шагом 1, оставляя на месте строки. И идеальный квадрат готов! Можно перенести его на торе, а затем применить преобразование “строки-диагонали”. Тогда получится идеальный квадрат, начинающийся с 1. Но я не буду это делать. Идеальный квадрат, начинающийся с 1, я получу вторым методом. На рис. 29 изображён идеальный квадрат 25-ого порядка, полученный из ассоциативного перестановкой столбцов. Я выделила в нём первые 25 чисел. Посмотрите, закономерность сохраняется!

 

 

 

                                                                                Рис. 29

 

Я заметила ещё одну закономерность: рядом с последним числом n (n – порядок квадрата, здесь n=25) справа ставится число (n+1), здесь это число 26, а далее вся эта строка заполняется произведениями этого числа на 2, 3, 4,…24. Проверьте сами! Ну, а в силу ассоциативности можно заполнить и ещё одну строку. И вот я уже имею начальную цепочку и две строки. Ну, а ещё можно проставить числа, симметричные первым 25 числам. Так матрица уже начинает заполняться… Число в центральной ячейке тоже известно. Хотя зачем нам в данном случае ещё один метод построения, когда есть такой простой метод.

 Эта закономерность есть во всех квадратах, построенных этим методом (см. на рис. 25 и рис. 26). Вот я и говорю: если построить идеальных квадратов так сто или двести, то все закономерности сами вылезут. Но как, однако, красиво!

 

Теперь представлю идеальный квадрат 25-ого порядка, построенный на базе идеального квадрата пятого порядка, изображённого на рис. 1. В качестве основного квадрата можно взять тот же самый квадрат, а можно другой идеальный квадрат пятого порядка. Я возьму другой, см. рис. 30.

 

 

 

                                                                    Рис. 30

 

Как строить магический квадрат на базе квадрата низшего порядка, я рассказывала в статьях “Ассоциативные квадрата”, “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”. В последней статье этим методом были построены идеальные квадраты 45-ого и 81-ого порядка. На рис 31. показан идеальный квадрат 25-ого порядка, который построен этим методом.

 

 

                                                                                  Рис. 31

 

Варьируя базовый и основной квадраты, можно построить этим методом много разных идеальных квадратов 25-ого порядка. Этот квадрат имеет в левой верхней ячейке число 1 – самые мои любимые идеальные квадраты. На рис. 31 квадрат разделён на 25 квадратов 5х5, чтобы было понятно построение квадрата на базе квадрата пятого порядка.

 

А теперь вернусь к квадрату, изображённому на рис. 29. Очень красивый квадрат! Рассматривая его внимательно (очень люблю любоваться красивыми квадратами!), я обнаружила, что закономерность с расстановкой начальных 25 чисел затем повторяется и дальше. Вот! Выше я назвала эту закономерность каруселью, это не совсем точно, точнее будет – качели. Потому что мы “качаемся” туда-сюда, влево, вправо, причём вправо с шагом 12 (через 12 ячеек), а влево – с шагом 11 (через 11 ячеек). Чудесные качели! И я назову этот свой метод построения идеальных квадратов методом качелей. Замечу, что он даёт тот же самый идеальный квадрат, который строится изложенным здесь методом: из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, перестановкой столбцов с шагом 1. Но для метода качелей не надо предварительно строить ассоциативный квадрат, а затем переставлять в нём столбцы. Сразу строим идеальный квадрат! А потом – какое наслаждение я испытала, заполняя матрицу этим методом! Не могу даже рассказать. Итак, я строю идеальный квадрат 17-ого порядка (который я здесь ещё не строила) методом качелей. Ну, известно, что в центральной ячейке такого квадрата должно стоять число (17²+1)/2=145. Далее вписываю первые 17 чисел, а заодно и симметричные им числа (число 1 вписывается в самой левой ячейке центральной строки). Ещё заполняю строку, расположенную ниже центральной (я уже писала, какая закономерность в этой строке наблюдается), а заодно и симметричные числа вписываю. На рис. 32 вы видите то, что у меня получилось после этого начального этапа заполнения матрицы.

 

 

                                                  Рис. 32

 

Можно и не вписывать симметричные числа, а также числа в строке, следующей за центральной. Но это для ориентиров, чтобы не ошибиться, качаясь на качелях. Теперь только одно правило: за каждым числом, кратным порядку квадрата, качели останавливаются, следующее число вписывается рядом (справа). Первым таким числом является 17, рядом с ним вписывается следующее число – 18, а затем опять работают качели. Дойдя до числа 34, снова останавливаем качели, пишем рядом с ним число 35, и снова запускаем качели. Некоторые трудности возникают при переходах через края таблицы, но при определённых навыках всё быстро усваивается. Итак, мы вписали число 18 и запускаем качели. На рис. 33 я покажу один цикл работы качелей – до числа 34. Здесь качели останавливаются.

 

 

 

                                                  Рис. 33

 

Обратите внимание: число 34 должно вписываться рядом с числом 16, но поскольку там уже край таблицы, то число переносится в левый край таблицы. Аналогично надо поступать при всех переходах через край таблицы. Заметьте, что через верхний край таблицы мы переходим в нижний край.

 

Вписываем рядом с числом 34 число 35 и снова запускаем качели. Следующий цикл на рис. 34. Качели останавливаются на следующем числе, кратном 17, – 51.

 

 

 

                                                                      Рис. 34

 

Итак, мы вписали число 52 и снова запускаем качели. Я покажу ещё один цикл, а затем дострою квадрат. Надеюсь, что читателям понятен принцип работы качелей. На рис. 35 вы видите готовый идеальный квадрат. Просто чудо! А как красиво качели работают! Качнулись влево, качнулись вправо… Жаль, что метод этот не работает для нечётных порядков, кратных 3. Но я почти уверена, что и для таких квадратов существуют свои качели, только принцип их действия другой. Кто найдёт такие качели? Полцарства за качели!

 

 

 

                                                                      Рис. 35

 

Когда вы сами будете заполнять матрицу, быстро усвоите схему. Она предельно простая! Обратите внимание: 17 разных цветов; и в каждой строке, каждом столбце, каждой диагонали (как в главных, так и в разломанных) каждый цвет встречается только один раз.

 Ничего красивее этого квадрата я ещё не строила. Мне так понравилось, что я решила показать ещё заполнение этим методом матрицы 11х11. Квадрат этот я уже здесь строила (см. рис.26). копирую его с расположением первых 11 чисел, пишу в центральную ячейку число 61 и запускаю качели. На рис. 36 вы видите готовый идеальный квадрат.

 

 

 

                                                                    Рис. 36

 

В этом квадрате качели останавливаются на числах, кратных 11, во время остановки качелей надо поменять цвет. Каждому циклу качания соответствует свой цвет. В новом цикле в каждой строке к ячейке предыдущего цвета пристраивается (справа) ячейка нового цвета (если достигнут край таблицы, то ячейка этого цвета помещается в этой же строке в самое начало её, то есть в самый левый край таблицы). Это уже так просто получается, что и считать шаг не надо (то есть качаться вправо-влево).

 

Предлагаю читателям построить методом качелей идеальный квадрат 19-ого порядка. Даю заготовку, в ней вписаны первые 19 чисел и число в центральной ячейке квадрата. Если у вас не сразу получится, то сделайте так: постройте этот же квадрат из ассоциативного квадрата (построенного методом террас), переставив в нём столбцы с шагом 1. А затем заполните матрицу с помощью качелей, сверяясь при этом с готовым квадратом. Заготовка на рис. 37.

 

 

 

                                                                     Рис. 37

 

В этом квадрате качели останавливаются на числах, кратных 19. Можно заполнить ячейки, симметричные заполненным, а ещё строку, следующую за центральной, и симметричную ей. Эти числа будут служить вам маяками при заполнении матрицы и не дадут ошибиться. Более полная заготовка на рис. 38.

 

 

 

                                                  Рис. 38

 

Имея такую заготовку, вы без труда заполните матрицу и получите идеальный квадрат 19-ого порядка. Запускайте качели с числа 20.

 Магическая константа такого квадрата равна 3439. Проверьте построенный вами квадрат, суммы чисел во всех строках, столбцах, главных диагоналях и в 36 разломанных диагоналях должны быть равны магической константе.

 

Мне непонятно, почему такие качели не работают для квадратов порядков, кратных 3. Ах, если бы мне дали хотя бы квадратов 10 таких порядков, разных: 15-ого, 21-ого, 33-ого и т. д. Я бы их рассмотрела внимательно и, может быть, нашла бы такой же простой метод построения. Но у меня есть только идеальный квадрат 15-ого порядка (взятый из статьи Александрова). Надо ещё на него посмотреть, может быть, увижу что-нибудь. Не может быть, чтобы не было простого метода построения, вот подобных же качелей. А метод Александрова уж очень сложен! Я в него даже вникать не стала. Может быть, кто-нибудь из читателей вникнет и построит этим методом идеальные квадраты 21-ого, 33-ого и т. д. порядков. Даю ссылку на его статью:

 

http://renuar911.narod.ru/IMS1.html

 

Внимание! Александров изменил название страницы, поэтому даю новую ссылку:

 

http://renuar911.narod.ru/IMSb.html

 

         Возможно, старая страница тоже сохранилась, я не проверяла.

         (Вообще-то, изменение названия страниц, которые пользуются популярностью, не совсем хороший приём.)

 

                                                                  ***

 

Интересно отметить, что метод качелей является общим для построения ассоциативных квадратов любого нечётного порядка, начиная с третьего. Хотя для порядков кратных 3 пандиагональный квадрат не получается, но ассоциативный-то получается! Значит, этот метод является альтернативным для метода террас. Метод террас, конечно, тоже очень простой (смотрите этот метод в статье “Методы построения магических квадратов”). А метод качелей, как мне кажется, более интересный, забавный. На рис. 39 показываю ассоциативный квадрат 9-ого порядка, а на рис. 40 – ассоциативный квадрат 15-ого порядка. Оба они построены методом качелей. Как понимает читатель, ассоциативные квадраты, построенные методом качелей, отличаются от ассоциативных квадратов, построенных методом террас, только переставленными столбцами (с шагом 1).

 

 

 

                                                  Рис. 39

 

 

 

                                                  Рис. 40

 

Ну почему такие красивые квадраты не получаются пандиагональными для порядков кратных 3? Где тут собака зарыта? Кто знает? Расскажите!

 

                                                        ***

 

Осталось добавить, что идеальный квадрат 27-ого порядка я построила в статье “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”. Он строится точно таким же методом, как и идеальный квадрат 9-ого порядка (см. начало этой статьи). И точно таким же методом строятся все квадраты, порядок которых является степенью числа 3, то есть: 9, 27, 81, 243 и т. д.

 

                                                        ***

 

Читайте вторую часть статьи здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob2.htm

 

                                               ________

 

Жду ваших отзывов о статье!

 

Страница помещена на сайт 7 декабря 2007 г.

Редактирована 10 декабря 2007 г.

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу