МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=8k
Часть II
Внимание! Оригинал.
При копировании
прошу указывать ссылку
на данную страницу.
Я продолжаю свой рассказ.
Вы уже построили идеальный квадрат 40-ого порядка из пандиагонального квадрата, представленного в предыдущей части этой статьи? Если построили, очень хорошо! А если нет, то сейчас увидите этот квадрат. Я, конечно же, не могла остановиться на пандиагональном квадрате, не превратив его в идеальный.
Для подбора нужного расклада начальной цепочки программу писать было лень, и решила сделать это без программы. Ну, пришлось повозиться минут 30. Вот какой расклад я получила (это числа начальной цепочки, расположенные в левой половине идеального квадрата):
1 7 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 22 24 33 35 36 37 38 39
Дальше всё очень просто. Я уже рассказывала, как заполнять матрицу для идеального квадрата, перенося в неё строки из пандиагонального квадрата.
На рис. 1-2 вы видите две половинки идеального квадрата 40-ого порядка, построенного по схеме Франклина с применением метода качелей. Чтобы получить полный квадрат, соедините эти две половинки, часть 1, понятно, будет левая половинка, а часть 2 – правая половинка.
Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 1
|
1 |
1560 |
1521 |
1519 |
1482 |
159 |
122 |
200 |
161 |
1400 |
1361 |
1359 |
1322 |
319 |
282 |
360 |
321 |
1240 |
1201 |
1199 |
|
1598 |
43 |
78 |
84 |
117 |
1444 |
1477 |
1403 |
1438 |
203 |
238 |
244 |
277 |
1284 |
1317 |
1243 |
1278 |
363 |
398 |
404 |
|
10 |
792 |
769 |
872 |
849 |
911 |
890 |
671 |
650 |
632 |
609 |
1032 |
1009 |
1071 |
1050 |
511 |
490 |
472 |
449 |
1192 |
|
1599 |
801 |
840 |
721 |
760 |
682 |
719 |
922 |
959 |
961 |
1000 |
561 |
600 |
522 |
559 |
1082 |
1119 |
1121 |
1160 |
401 |
|
7 |
1554 |
1527 |
1513 |
1488 |
153 |
128 |
194 |
167 |
1394 |
1367 |
1353 |
1328 |
313 |
288 |
354 |
327 |
1234 |
1207 |
1193 |
|
1596 |
45 |
76 |
86 |
115 |
1446 |
1475 |
1405 |
1436 |
205 |
236 |
246 |
275 |
1286 |
1315 |
1245 |
1276 |
365 |
396 |
406 |
|
12 |
790 |
771 |
870 |
851 |
909 |
892 |
669 |
652 |
630 |
611 |
1030 |
1011 |
1069 |
1052 |
509 |
492 |
470 |
451 |
1190 |
|
1597 |
803 |
838 |
723 |
758 |
684 |
717 |
924 |
957 |
963 |
998 |
563 |
598 |
524 |
557 |
1084 |
1117 |
1123 |
1158 |
403 |
|
9 |
1552 |
1529 |
1511 |
1490 |
151 |
130 |
192 |
169 |
1392 |
1369 |
1351 |
1330 |
311 |
290 |
352 |
329 |
1232 |
1209 |
1191 |
|
1584 |
57 |
64 |
98 |
103 |
1458 |
1463 |
1417 |
1424 |
217 |
224 |
258 |
263 |
1298 |
1303 |
1257 |
1264 |
377 |
384 |
418 |
|
14 |
788 |
773 |
868 |
853 |
907 |
894 |
667 |
654 |
628 |
613 |
1028 |
1013 |
1067 |
1054 |
507 |
494 |
468 |
453 |
1188 |
|
1595 |
805 |
836 |
725 |
756 |
686 |
715 |
926 |
955 |
965 |
996 |
565 |
596 |
526 |
555 |
1086 |
1115 |
1125 |
1156 |
405 |
|
11 |
1550 |
1531 |
1509 |
1492 |
149 |
132 |
190 |
171 |
1390 |
1371 |
1349 |
1332 |
309 |
292 |
350 |
331 |
1230 |
1211 |
1189 |
|
1582 |
59 |
62 |
100 |
101 |
1460 |
1461 |
1419 |
1422 |
219 |
222 |
260 |
261 |
1300 |
1301 |
1259 |
1262 |
379 |
382 |
420 |
|
16 |
786 |
775 |
866 |
855 |
905 |
896 |
665 |
656 |
626 |
615 |
1026 |
1015 |
1065 |
1056 |
505 |
496 |
466 |
455 |
1186 |
|
1593 |
807 |
834 |
727 |
754 |
688 |
713 |
928 |
953 |
967 |
994 |
567 |
594 |
528 |
553 |
1088 |
1113 |
1127 |
1154 |
407 |
|
13 |
1548 |
1533 |
1507 |
1494 |
147 |
134 |
188 |
173 |
1388 |
1373 |
1347 |
1334 |
307 |
294 |
348 |
333 |
1228 |
1213 |
1187 |
|
1580 |
61 |
60 |
102 |
99 |
1462 |
1459 |
1421 |
1420 |
221 |
220 |
262 |
259 |
1302 |
1299 |
1261 |
1260 |
381 |
380 |
422 |
|
18 |
784 |
777 |
864 |
857 |
903 |
898 |
663 |
658 |
624 |
617 |
1024 |
1017 |
1063 |
1058 |
503 |
498 |
464 |
457 |
1184 |
|
1575 |
825 |
816 |
745 |
736 |
706 |
695 |
946 |
935 |
985 |
976 |
585 |
576 |
546 |
535 |
1106 |
1095 |
1145 |
1136 |
425 |
|
15 |
1546 |
1535 |
1505 |
1496 |
145 |
136 |
186 |
175 |
1386 |
1375 |
1345 |
1336 |
305 |
296 |
346 |
335 |
1226 |
1215 |
1185 |
|
1578 |
63 |
58 |
104 |
97 |
1464 |
1457 |
1423 |
1418 |
223 |
218 |
264 |
257 |
1304 |
1297 |
1263 |
1258 |
383 |
378 |
424 |
|
20 |
782 |
779 |
862 |
859 |
901 |
900 |
661 |
660 |
622 |
619 |
1022 |
1019 |
1061 |
1060 |
501 |
500 |
462 |
459 |
1182 |
|
1573 |
827 |
814 |
747 |
734 |
708 |
693 |
948 |
933 |
987 |
974 |
587 |
574 |
548 |
533 |
1108 |
1093 |
1147 |
1134 |
427 |
|
33 |
1528 |
1553 |
1487 |
1514 |
127 |
154 |
168 |
193 |
1368 |
1393 |
1327 |
1354 |
287 |
314 |
328 |
353 |
1208 |
1233 |
1167 |
|
1576 |
65 |
56 |
106 |
95 |
1466 |
1455 |
1425 |
1416 |
225 |
216 |
266 |
255 |
1306 |
1295 |
1265 |
1256 |
385 |
376 |
426 |
|
22 |
780 |
781 |
860 |
861 |
899 |
902 |
659 |
662 |
620 |
621 |
1020 |
1021 |
1059 |
1062 |
499 |
502 |
460 |
461 |
1180 |
|
1571 |
829 |
812 |
749 |
732 |
710 |
691 |
950 |
931 |
989 |
972 |
589 |
572 |
550 |
531 |
1110 |
1091 |
1149 |
1132 |
429 |
|
35 |
1526 |
1555 |
1485 |
1516 |
125 |
156 |
166 |
195 |
1366 |
1395 |
1325 |
1356 |
285 |
316 |
326 |
355 |
1206 |
1235 |
1165 |
|
1574 |
67 |
54 |
108 |
93 |
1468 |
1453 |
1427 |
1414 |
227 |
214 |
268 |
253 |
1308 |
1293 |
1267 |
1254 |
387 |
374 |
428 |
|
24 |
778 |
783 |
858 |
863 |
897 |
904 |
657 |
664 |
618 |
623 |
1018 |
1023 |
1057 |
1064 |
497 |
504 |
458 |
463 |
1178 |
|
1569 |
831 |
810 |
751 |
730 |
712 |
689 |
952 |
929 |
991 |
970 |
591 |
570 |
552 |
529 |
1112 |
1089 |
1151 |
1130 |
431 |
|
37 |
1524 |
1557 |
1483 |
1518 |
123 |
158 |
164 |
197 |
1364 |
1397 |
1323 |
1358 |
283 |
318 |
324 |
357 |
1204 |
1237 |
1163 |
|
1572 |
69 |
52 |
110 |
91 |
1470 |
1451 |
1429 |
1412 |
229 |
212 |
270 |
251 |
1310 |
1291 |
1269 |
1252 |
389 |
372 |
430 |
|
36 |
766 |
795 |
846 |
875 |
885 |
916 |
645 |
676 |
606 |
635 |
1006 |
1035 |
1045 |
1076 |
485 |
516 |
446 |
475 |
1166 |
|
1567 |
833 |
808 |
753 |
728 |
714 |
687 |
954 |
927 |
993 |
968 |
593 |
568 |
554 |
527 |
1114 |
1087 |
1153 |
1128 |
433 |
|
39 |
1522 |
1559 |
1481 |
1520 |
121 |
160 |
162 |
199 |
1362 |
1399 |
1321 |
1360 |
281 |
320 |
322 |
359 |
1202 |
1239 |
1161 |
|
1570 |
71 |
50 |
112 |
89 |
1472 |
1449 |
1431 |
1410 |
231 |
210 |
272 |
249 |
1312 |
1289 |
1271 |
1250 |
391 |
370 |
432 |
|
38 |
764 |
797 |
844 |
877 |
883 |
918 |
643 |
678 |
604 |
637 |
1004 |
1037 |
1043 |
1078 |
483 |
518 |
444 |
477 |
1164 |
|
1561 |
839 |
802 |
759 |
722 |
720 |
681 |
960 |
921 |
999 |
962 |
599 |
562 |
560 |
521 |
1120 |
1081 |
1159 |
1122 |
439 |
Рис. 1
Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 2
|
1162 |
479 |
442 |
520 |
481 |
1080 |
1041 |
1039 |
1002 |
639 |
602 |
680 |
641 |
920 |
881 |
879 |
842 |
799 |
762 |
40 |
|
437 |
1124 |
1157 |
1083 |
1118 |
523 |
558 |
564 |
597 |
964 |
997 |
923 |
958 |
683 |
718 |
724 |
757 |
804 |
837 |
1563 |
|
1169 |
1231 |
1210 |
351 |
330 |
312 |
289 |
1352 |
1329 |
1391 |
1370 |
191 |
170 |
152 |
129 |
1512 |
1489 |
1551 |
1530 |
31 |
|
440 |
362 |
399 |
1242 |
1279 |
1281 |
1320 |
241 |
280 |
202 |
239 |
1402 |
1439 |
1441 |
1480 |
81 |
120 |
42 |
79 |
1562 |
|
1168 |
473 |
448 |
514 |
487 |
1074 |
1047 |
1033 |
1008 |
633 |
608 |
674 |
647 |
914 |
887 |
873 |
848 |
793 |
768 |
34 |
|
435 |
1126 |
1155 |
1085 |
1116 |
525 |
556 |
566 |
595 |
966 |
995 |
925 |
956 |
685 |
716 |
726 |
755 |
806 |
835 |
1565 |
|
1171 |
1229 |
1212 |
349 |
332 |
310 |
291 |
1350 |
1331 |
1389 |
1372 |
189 |
172 |
150 |
131 |
1510 |
1491 |
1549 |
1532 |
29 |
|
438 |
364 |
397 |
1244 |
1277 |
1283 |
1318 |
243 |
278 |
204 |
237 |
1404 |
1437 |
1443 |
1478 |
83 |
118 |
44 |
77 |
1564 |
|
1170 |
471 |
450 |
512 |
489 |
1072 |
1049 |
1031 |
1010 |
631 |
610 |
672 |
649 |
912 |
889 |
871 |
850 |
791 |
770 |
32 |
|
423 |
1138 |
1143 |
1097 |
1104 |
537 |
544 |
578 |
583 |
978 |
983 |
937 |
944 |
697 |
704 |
738 |
743 |
818 |
823 |
1577 |
|
1173 |
1227 |
1214 |
347 |
334 |
308 |
293 |
1348 |
1333 |
1387 |
1374 |
187 |
174 |
148 |
133 |
1508 |
1493 |
1547 |
1534 |
27 |
|
436 |
366 |
395 |
1246 |
1275 |
1285 |
1316 |
245 |
276 |
206 |
235 |
1406 |
1435 |
1445 |
1476 |
85 |
116 |
46 |
75 |
1566 |
|
1172 |
469 |
452 |
510 |
491 |
1070 |
1051 |
1029 |
1012 |
629 |
612 |
670 |
651 |
910 |
891 |
869 |
852 |
789 |
772 |
30 |
|
421 |
1140 |
1141 |
1099 |
1102 |
539 |
542 |
580 |
581 |
980 |
981 |
939 |
942 |
699 |
702 |
740 |
741 |
820 |
821 |
1579 |
|
1175 |
1225 |
1216 |
345 |
336 |
306 |
295 |
1346 |
1335 |
1385 |
1376 |
185 |
176 |
146 |
135 |
1506 |
1495 |
1545 |
1536 |
25 |
|
434 |
368 |
393 |
1248 |
1273 |
1287 |
1314 |
247 |
274 |
208 |
233 |
1408 |
1433 |
1447 |
1474 |
87 |
114 |
48 |
73 |
1568 |
|
1174 |
467 |
454 |
508 |
493 |
1068 |
1053 |
1027 |
1014 |
627 |
614 |
668 |
653 |
908 |
893 |
867 |
854 |
787 |
774 |
28 |
|
419 |
1142 |
1139 |
1101 |
1100 |
541 |
540 |
582 |
579 |
982 |
979 |
941 |
940 |
701 |
700 |
742 |
739 |
822 |
819 |
1581 |
|
1177 |
1223 |
1218 |
343 |
338 |
304 |
297 |
1344 |
1337 |
1383 |
1378 |
183 |
178 |
144 |
137 |
1504 |
1497 |
1543 |
1538 |
23 |
|
416 |
386 |
375 |
1266 |
1255 |
1305 |
1296 |
265 |
256 |
226 |
215 |
1426 |
1415 |
1465 |
1456 |
105 |
96 |
66 |
55 |
1586 |
|
1176 |
465 |
456 |
506 |
495 |
1066 |
1055 |
1025 |
1016 |
625 |
616 |
666 |
655 |
906 |
895 |
865 |
856 |
785 |
776 |
26 |
|
417 |
1144 |
1137 |
1103 |
1098 |
543 |
538 |
584 |
577 |
984 |
977 |
943 |
938 |
703 |
698 |
744 |
737 |
824 |
817 |
1583 |
|
1179 |
1221 |
1220 |
341 |
340 |
302 |
299 |
1342 |
1339 |
1381 |
1380 |
181 |
180 |
142 |
139 |
1502 |
1499 |
1541 |
1540 |
21 |
|
414 |
388 |
373 |
1268 |
1253 |
1307 |
1294 |
267 |
254 |
228 |
213 |
1428 |
1413 |
1467 |
1454 |
107 |
94 |
68 |
53 |
1588 |
|
1194 |
447 |
474 |
488 |
513 |
1048 |
1073 |
1007 |
1034 |
607 |
634 |
648 |
673 |
888 |
913 |
847 |
874 |
767 |
794 |
8 |
|
415 |
1146 |
1135 |
1105 |
1096 |
545 |
536 |
586 |
575 |
986 |
975 |
945 |
936 |
705 |
696 |
746 |
735 |
826 |
815 |
1585 |
|
1181 |
1219 |
1222 |
339 |
342 |
300 |
301 |
1340 |
1341 |
1379 |
1382 |
179 |
182 |
140 |
141 |
1500 |
1501 |
1539 |
1542 |
19 |
|
412 |
390 |
371 |
1270 |
1251 |
1309 |
1292 |
269 |
252 |
230 |
211 |
1430 |
1411 |
1469 |
1452 |
109 |
92 |
70 |
51 |
1590 |
|
1196 |
445 |
476 |
486 |
515 |
1046 |
1075 |
1005 |
1036 |
605 |
636 |
646 |
675 |
886 |
915 |
845 |
876 |
765 |
796 |
6 |
|
413 |
1148 |
1133 |
1107 |
1094 |
547 |
534 |
588 |
573 |
988 |
973 |
947 |
934 |
707 |
694 |
748 |
733 |
828 |
813 |
1587 |
|
1183 |
1217 |
1224 |
337 |
344 |
298 |
303 |
1338 |
1343 |
1377 |
1384 |
177 |
184 |
138 |
143 |
1498 |
1503 |
1537 |
1544 |
17 |
|
410 |
392 |
369 |
1272 |
1249 |
1311 |
1290 |
271 |
250 |
232 |
209 |
1432 |
1409 |
1471 |
1450 |
111 |
90 |
72 |
49 |
1592 |
|
1198 |
443 |
478 |
484 |
517 |
1044 |
1077 |
1003 |
1038 |
603 |
638 |
644 |
677 |
884 |
917 |
843 |
878 |
763 |
798 |
4 |
|
411 |
1150 |
1131 |
1109 |
1092 |
549 |
532 |
590 |
571 |
990 |
971 |
949 |
932 |
709 |
692 |
750 |
731 |
830 |
811 |
1589 |
|
1195 |
1205 |
1236 |
325 |
356 |
286 |
315 |
1326 |
1355 |
1365 |
1396 |
165 |
196 |
126 |
155 |
1486 |
1515 |
1525 |
1556 |
5 |
|
408 |
394 |
367 |
1274 |
1247 |
1313 |
1288 |
273 |
248 |
234 |
207 |
1434 |
1407 |
1473 |
1448 |
113 |
88 |
74 |
47 |
1594 |
|
1200 |
441 |
480 |
482 |
519 |
1042 |
1079 |
1001 |
1040 |
601 |
640 |
642 |
679 |
882 |
919 |
841 |
880 |
761 |
800 |
2 |
|
409 |
1152 |
1129 |
1111 |
1090 |
551 |
530 |
592 |
569 |
992 |
969 |
951 |
930 |
711 |
690 |
752 |
729 |
832 |
809 |
1591 |
|
1197 |
1203 |
1238 |
323 |
358 |
284 |
317 |
1324 |
1357 |
1363 |
1398 |
163 |
198 |
124 |
157 |
1484 |
1517 |
1523 |
1558 |
3 |
|
402 |
400 |
361 |
1280 |
1241 |
1319 |
1282 |
279 |
242 |
240 |
201 |
1440 |
1401 |
1479 |
1442 |
119 |
82 |
80 |
41 |
1600 |
Рис. 2
Ну, как квадратик? По-моему просто великолепный! Открою, так и быть, секрет расположения начальной цепочки в идеальном квадрате. Всё очень просто: надо разбить весь набор чисел (набор расклада для левой половины квадрата, который приведён в самом начале статьи) на две группы – чётные и нечётные числа и располагать эти числа в порядке возрастания, чередуя нечётные и чётные числа. Вот и вся хитрость!
Теперь нет никаких тайн в этом методе, и вы легко построите пандиагональный и идеальный квадраты следующего – 48-ого – порядка. Тем более что в предыдущей части статьи дана подсказка для построения этих квадратов. Единственная сложность – подобрать нужный расклад начальной цепочки для идеального квадрата. А не придумает ли кто-нибудь общий метод подбора такого расклада, чтобы можно было его формализовать и запрограммировать? По-моему, это можно сделать. Ну, это как раз будет один из блоков конкурсной программы, если таковую кто-то будет составлять (см. о конкурсной программе в предыдущей части статьи). В большинстве случаев я подобрала нужный расклад без программы.
Следует заметить, что это второй идеальный квадрат 40-ого порядка. Первый я построила в статье “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка” методом построения составных квадратов на базе идеального квадрата восьмого порядка, найденного в Интернете. Понятно, что это два разных квадрата.
У меня не осталось ни малейшего сомнения в том, что описанный метод построения пандиагональных и идеальных квадратов по схеме Франклина работает для любого порядка n=8k, k=1, 2, 3, 4…
В статье показаны квадраты порядков 8, 16, 24, 32 и 40. Я вывела общие формулы (для любого порядка данной группы порядков) для суммы в первом столбце и в первой строке построенного этим методом пандиагонального квадрата. Обе эти формулы дают выражение, выражающее магическую константу квадрата, то есть
S = n*(n2 + 1)/2
***
21 апреля 2008 г.
г. Саратов
22 апреля 2008 г.
Теперь хочу применить метод качелей к идеальному квадрату восьмого порядка, построенному описанным методом, как это было сделано для идеального квадрата восьмого порядка, найденного в Интернете (см. статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть I)”. Была построена группа подобных идеальных квадратов (36 штук).
Воспроизвожу на рис. 3 идеальный квадрат восьмого порядка, построенный по схеме Франклина с применением метода качелей.
|
1 |
56 |
49 |
47 |
42 |
31 |
26 |
8 |
|
62 |
11 |
14 |
20 |
21 |
36 |
37 |
59 |
|
4 |
30 |
27 |
46 |
43 |
53 |
52 |
5 |
|
63 |
33 |
40 |
17 |
24 |
10 |
15 |
58 |
|
7 |
50 |
55 |
41 |
48 |
25 |
32 |
2 |
|
60 |
13 |
12 |
22 |
19 |
38 |
35 |
61 |
|
6 |
28 |
29 |
44 |
45 |
51 |
54 |
3 |
|
57 |
39 |
34 |
23 |
18 |
16 |
9 |
64 |
Рис. 3
Составляю образующую таблицу для этого квадрата (рис. 4):
|
|
|
1 |
56 |
47 |
31 |
57 |
9 |
18 |
34 |
|
-6 |
-6 |
7 |
50 |
41 |
25 |
63 |
15 |
24 |
40 |
|
4 |
4 |
3 |
54 |
45 |
29 |
59 |
11 |
20 |
36 |
|
-2 |
-2 |
5 |
52 |
43 |
27 |
61 |
13 |
22 |
38 |
|
3 |
1 |
4 |
53 |
46 |
30 |
60 |
12 |
19 |
35 |
|
-2 |
-2 |
6 |
51 |
44 |
28 |
62 |
14 |
21 |
37 |
|
4 |
4 |
2 |
55 |
48 |
32 |
58 |
10 |
17 |
33 |
|
-6 |
-6 |
8 |
49 |
42 |
26 |
64 |
16 |
23 |
39 |
|
|
|
|
k=6 |
k=5 |
k=3 |
k=7 |
k=1 |
k=2 |
k=4 |
Рис. 4
Образующая таблица очень похожа на образующую таблицу для построения пандиагонального квадрата по схеме Франклина, однако имеет несколько особенностей. Не буду останавливаться на этих особенностях (любознательные читатели найдут их сами), а покажу процесс переноса чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата. Начинать надо с расположения в матрице начальной цепочки. Как её надо расположить, видно на рис. 3 (начальная цепочка выделена сиреневым цветом). Ну, а далее переносятся числа по столбцам образующей таблицы, сначала из первого столбца – первый цикл качания качелей (k=6), затем из второго столбца (k=5) и так далее. Перенос чисел тоже несколько необычен, поэтому покажу его подробно для первых двух циклов (рис. 5 и рис. 6).
|
1 |
56 |
49 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
53 |
52 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
50 |
55 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
51 |
54 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5
|
1 |
56 |
49 |
47 |
42 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
46 |
43 |
53 |
52 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
50 |
55 |
41 |
48 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
44 |
45 |
51 |
54 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6
Вы поняли схему переноса чисел? Не забывайте, что следование чисел в каждом цикле качания качелей повторяет следование чисел в начальной цепочке. Это поможет вам понять, как записываются числа из столбца образующей таблицы в матрицу для квадрата. Далее показываю завершение заполнения матрицы, раскрашивая циклы качания качелей, но не меняя картинку при каждом новом цикле (рис. 7).
|
1 |
56 |
49 |
47 |
42 |
31 |
26 |
8 |
|
62 |
11 |
14 |
20 |
21 |
36 |
37 |
59 |
|
4 |
30 |
27 |
46 |
43 |
53 |
52 |
5 |
|
63 |
33 |
40 |
17 |
24 |
10 |
15 |
58 |
|
7 |
50 |
55 |
41 |
48 |
25 |
32 |
2 |
|
60 |
13 |
12 |
22 |
19 |
38 |
35 |
61 |
|
6 |
28 |
29 |
44 |
45 |
51 |
54 |
3 |
|
57 |
39 |
34 |
23 |
18 |
16 |
9 |
64 |
Рис. 7
Ну, а теперь надо написать образующую таблицу в общем виде с некоторыми начальными условиями и запрограммировать её. Пишу таблицу (рис. 8):
|
|
|
1 |
|
|
|
57 |
|
|
|
|
1-I |
1-I |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
I-J |
I-J |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
J-K |
J-K |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
K-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K-1-L |
K-1-L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
L-M |
L-M |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
M-8 |
M-8 |
8 |
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
k= |
k= |
k= |
k=7 |
k= |
k= |
k= |
Рис. 8
Составив и выполнив программу для этой образующей таблицы, я получила всего 6 идеальных квадратов. Сложная схема формирования таблицы накладывает жёсткие условия, поэтому так мало получилось вариантов. Вспомните, для идеального квадрата, найденного в Интернете, я построила группу из 36 квадратов, подобных исходному квадрату.
Показываю все шесть квадратов, записанных программой в файл:
№ 1 № 2
1 32 25 47 42 55 50 8 1 32 25 55 50 47 42 8
62 35 38 20 21 12 13 59 62 35 38 12 13 20 21 59
4 54 51 46 43 29 28 5 4 46 43 54 51 29 28 5
63 9 16 17 24 34 39 58 63 17 24 9 16 34 39 58
7 26 31 41 48 49 56 2 7 26 31 49 56 41 48 2
60 37 36 22 19 14 11 61 60 37 36 14 11 22 19 61
6 52 53 44 45 27 30 3 6 44 45 52 53 27 30 3
57 15 10 23 18 40 33 64 57 23 18 15 10 40 33 64
№ 3 № 4
1 48 41 31 26 55 50 8 1 48 41 55 50 31 26 8
62 19 22 36 37 12 13 59 62 19 22 12 13 36 37 59
4 54 51 30 27 45 44 5 4 30 27 54 51 45 44 5
63 9 16 33 40 18 23 58 63 33 40 9 16 18 23 58
7 42 47 25 32 49 56 2 7 42 47 49 56 25 32 2
60 21 20 38 35 14 11 61 60 21 20 14 11 38 35 61
6 52 53 28 29 43 46 3 6 28 29 52 53 43 46 3
57 15 10 39 34 24 17 64 57 39 34 15 10 24 17 64
№ 5 № 6
1 56 49 31 26 47 42 8 1 56 49 47 42 31 26 8
62 11 14 36 37 20 21 59 62 11 14 20 21 36 37 59
4 46 43 30 27 53 52 5 4 30 27 46 43 53 52 5
63 17 24 33 40 10 15 58 63 33 40 17 24 10 15 58
7 50 55 25 32 41 48 2 7 50 55 41 48 25 32 2
60 13 12 38 35 22 19 61 60 13 12 22 19 38 35 61
6 44 45 28 29 51 54 3 6 28 29 44 45 51 54 3
57 23 18 39 34 16 9 64 57 39 34 23 18 16 9 64
Этих идеальных квадратов мало, но они прекрасны!
Покажу одно преобразование “плюс-минус 16”, связывающее квадраты № 5 и № 6. На рис. 9 изображена матрица этого преобразования.
|
|
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
|
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
|
|
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
|
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
Рис. 6
Вы видели где-нибудь такое преобразование? Наверняка не видели. Это преобразование сохраняет идеальность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Как пользоваться матрицей преобразования, мои читатели, конечно, уже знают.
Подобную процедуру применения метода качелей можно выполнить и для идеального квадрата 16-ого (а также других) порядка. Но, как я уже отметила, схема формирования образующей таблицы и переноса чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата очень непростая, поэтому программа получается сложная и длинная. Кто не боится сложностей, попробуйте! По программе вы получите группу идеальных квадратов, подобных тому, который построен мной.
На этом я пока завершаю рассказ об идеальных квадратах порядка n=8k, k=1, 2, 3, 4…
Буду решать вторую часть задачи, то есть займусь построением идеальных квадратов порядка n=4*(2k+1), k=1, 2, 3, 4…
***
24 апреля 2008 г.
Небольшое литературное отступление. Однажды я прочла в каком-то лермонтовском произведении такую фразу: “Я хочу рассказать вам…”. Такая простая фраза! Но она почему-то потрясла меня до глубины души и осталась в памяти навсегда. Может быть, в ней была какая-то особенная – лермонтовская – интонация? Уже и не помню, какое это было произведение, а фраза запомнилась. Лермонтов был, вне всякого сомнения, гениальным писателем. На моём сайте вы можете посмотреть некоторые его произведения и несколько картин.
Сегодняшнюю запись начну с этой фразы –
Я хочу рассказать вам, как работаю над построением идеального квадрата 12-ого порядка. Знаете, как захватывает работа, и по ночам даже изобретаются какие-то схемы и методы. Но, увы! Пока поиск не дал результатов. Покажу здесь один замечательный ассоциативный квадрат, который мне удалось построить (пытаюсь идти путём, похожим на путь построения идеальных квадратов порядка n=8k). Смотрите этот квадрат на рис. 7.
|
1 |
72 |
109 |
108 |
13 |
60 |
96 |
121 |
48 |
25 |
84 |
133 |
|
141 |
76 |
33 |
40 |
129 |
88 |
52 |
21 |
100 |
117 |
64 |
9 |
|
2 |
71 |
110 |
107 |
14 |
59 |
95 |
122 |
47 |
26 |
83 |
134 |
|
140 |
77 |
32 |
41 |
128 |
89 |
53 |
20 |
101 |
116 |
65 |
8 |
|
3 |
70 |
111 |
106 |
15 |
58 |
94 |
123 |
46 |
27 |
82 |
135 |
|
139 |
78 |
31 |
42 |
127 |
90 |
54 |
19 |
102 |
115 |
66 |
7 |
|
138 |
79 |
30 |
43 |
126 |
91 |
55 |
18 |
103 |
114 |
67 |
6 |
|
10 |
63 |
118 |
99 |
22 |
51 |
87 |
130 |
39 |
34 |
75 |
142 |
|
137 |
80 |
29 |
44 |
125 |
92 |
56 |
17 |
104 |
113 |
68 |
5 |
|
11 |
62 |
119 |
98 |
23 |
50 |
86 |
131 |
38 |
35 |
74 |
143 |
|
136 |
81 |
28 |
45 |
124 |
93 |
57 |
16 |
105 |
112 |
69 |
4 |
|
12 |
61 |
120 |
97 |
24 |
49 |
85 |
132 |
37 |
36 |
73 |
144 |
Рис. 7
Чудесный ассоциативный квадрат! Посмотрите, какое оригинальное расположение начальной цепочки первых 12 чисел. И метод качелей в квадрате действует. Вот вам образующая таблица этого квадрата в подтверждение действия метода качелей (рис. 8):
|
|
1 |
72 |
109 |
108 |
13 |
60 |
144 |
96 |
121 |
48 |
25 |
84 |
|
-1 |
2 |
71 |
110 |
107 |
14 |
59 |
143 |
95 |
122 |
47 |
26 |
83 |
|
-1 |
3 |
70 |
111 |
106 |
15 |
58 |
142 |
94 |
123 |
46 |
27 |
82 |
|
-7 |
10 |
63 |
118 |
99 |
22 |
51 |
135 |
87 |
130 |
39 |
34 |
75 |
|
-1 |
11 |
62 |
119 |
98 |
23 |
50 |
134 |
86 |
131 |
38 |
35 |
74 |
|
-1 |
12 |
61 |
120 |
97 |
24 |
49 |
133 |
85 |
132 |
37 |
36 |
73 |
|
8 |
4 |
69 |
112 |
105 |
16 |
57 |
141 |
93 |
124 |
45 |
28 |
81 |
|
-1 |
5 |
68 |
113 |
104 |
17 |
56 |
140 |
92 |
125 |
44 |
29 |
80 |
|
-1 |
6 |
67 |
114 |
103 |
18 |
55 |
139 |
91 |
126 |
43 |
30 |
79 |
|
-1 |
7 |
66 |
115 |
102 |
19 |
54 |
138 |
90 |
127 |
42 |
31 |
78 |
|
-1 |
8 |
65 |
116 |
101 |
20 |
53 |
137 |
89 |
128 |
41 |
32 |
77 |
|
-1 |
9 |
64 |
117 |
100 |
21 |
52 |
136 |
88 |
129 |
40 |
33 |
76 |
|
|
|
k=5 |
k=9 |
k=8 |
k=1 |
k=4 |
k=11 |
k=7 |
k=10 |
k=3 |
k=2 |
k=6 |
Рис. 8
И перед вами очень простой и оригинальный алгоритм построения ассоциативных квадратов 12-ого порядка. На рис. 7 выделен первый цикл качания качелей (столбец образующей таблицы при k=5).
Но меня сейчас не интересует построение ассоциативных квадратов. Ищу идеальный квадрат! Попробовала превратить в идеальный представленный ассоциативный квадрат (рис. 7). Но это, к сожалению, оказалось невозможно, потому что в раскладе начальной цепочки числа 1 и 12 обязательно должны находиться в одной половине квадрата (число 144, комплементарное к числу 1, находится в строке с числом 12). А в идеальном квадрате числа 1 и 12 должны находиться в разных половинах квадрата, так как они дополняют друг друга до 13. Во всех построенных мной идеальных квадратах порядка n числа начальной цепочки в левой половине квадрата являются комплементарными к числам в правой половине квадрата в том смысле, что для каждого числа в одной половине есть число в другой половине, дающее в сумме с ним n+1. Возможно ли построить идеальный квадрат с нарушением этого правила, я пока не знаю.
Итак, вот вам один экземпляр кандидата в идеальные квадраты. В нём всё есть – и магичность, и ассоциативность. Не хватает только пандиагональности. Есть ещё путь перестановки строк и столбцов. Ведь, как известно, в ассоциативном квадрате можно переставлять симметричные строки и столбцы. И таких перестановок будет очень много. Но даст ли это хоть один идеальный квадрат? У меня есть программа перестановки строк и столбцов в квадрате 12-ого порядка, но выполнить её до конца не могу – очень долго выполняется.
К тому же строки ещё можно переворачивать, то есть записывать в обратном порядке. Это увеличивает число рассматриваемых вариантов в несколько раз. Задача получается аналогичной задаче Френикля. Там тоже был дан магический квадрат восьмого порядка и требовалось превратить его в пандиагональный таким же путём: переставляя строки и некоторые из них переворачивая. Эту задачу я решила, поскольку программа для квадрата восьмого порядка не так долго выполняется. Квадрат Френикля не превращается в пандиагональный таким способом.
Предлагаю заинтересовавшимся читателям попробовать решить задачу превращения ассоциативного квадрата с рис. 7 в идеальный. Но мне всё-таки кажется, что это тупиковый путь.
Покажу ещё два ассоциативных квадрата 12-ого порядка, которые построены другими методами и поэтому принципиально отличаются от приведённого выше квадрата. Первый из них (рис. 9) построен методом квадратных рамок, а второй – методом Рауз-Болла (рис. 10).
|
1 |
134 |
34 |
117 |
53 |
90 |
91 |
56 |
112 |
27 |
143 |
12 |
|
24 |
35 |
135 |
52 |
116 |
79 |
78 |
113 |
57 |
142 |
26 |
13 |
|
36 |
23 |
51 |
136 |
80 |
115 |
114 |
77 |
141 |
58 |
14 |
25 |
|
37 |
50 |
22 |
81 |
137 |
102 |
103 |
140 |
76 |
15 |
59 |
48 |
|
49 |
38 |
82 |
21 |
101 |
138 |
139 |
104 |
16 |
75 |
47 |
60 |
|
72 |
83 |
39 |
100 |
20 |
127 |
126 |
17 |
105 |
46 |
74 |
61 |
|
84 |
71 |
99 |
40 |
128 |
19 |
18 |
125 |
45 |
106 |
62 |
73 |
|
85 |
98 |
70 |
129 |
41 |
6 |
7 |
44 |
124 |
63 |
107 |
96 |
|
97 |
86 |
130 |
69 |
5 |
42 |
43 |
8 |
64 |
123 |
95 |
108 |
|
120 |
131 |
87 |
4 |
68 |
31 |
30 |
65 |
9 |
94 |
122 |
109 |
|
132 |
119 |
3 |
88 |
32 |
67 |
66 |
29 |
93 |
10 |
110 |
121 |
|
133 |
2 |
118 |
33 |
89 |
54 |
55 |
92 |
28 |
111 |
11 |
144 |
Рис. 9
Посмотрите, как необычно здесь расположены первые 12 чисел. И заметьте: все числа начальной цепочки в левой половине квадрата комплементарны числам начальной цепочки в правой половине квадрата (до 13). У этого квадрата, как мне кажется, больше шансов превратиться в идеальный, чем у квадрата с рис. 7. Попробуйте, уважаемые читатели! У меня уже голова идёт кругом от этой задачи. Может быть, есть какой-то очень простой метод, но я его не вижу.
|
1 |
143 |
142 |
4 |
5 |
139 |
138 |
8 |
9 |
135 |
134 |
12 |
|
132 |
14 |
15 |
129 |
128 |
18 |
19 |
125 |
124 |
22 |
23 |
121 |
|
120 |
26 |
27 |
117 |
116 |
30 |
31 |
113 |
112 |
34 |
35 |
109 |
|
37 |
107 |
106 |
40 |
41 |
103 |
102 |
44 |
45 |
99 |
98 |
48 |
|
49 |
95 |
94 |
52 |
53 |
91 |
90 |
56 |
57 |
87 |
86 |
60 |
|
84 |
62 |
63 |
81 |
80 |
66 |
67 |
77 |
76 |
70 |
71 |
73 |
|
72 |
74 |
75 |
69 |
68 |
78 |
79 |
65 |
64 |
82 |
83 |
61 |
|
85 |
59 |
58 |
88 |
89 |
55 |
54 |
92 |
93 |
51 |
50 |
96 |
|
97 |
47 |
46 |
100 |
101 |
43 |
42 |
104 |
105 |
39 |
38 |
108 |
|
36 |
110 |
111 |
33 |
32 |
114 |
115 |
29 |
28 |
118 |
119 |
25 |
|
24 |
122 |
123 |
21 |
20 |
126 |
127 |
17 |
16 |
130 |
131 |
13 |
|
133 |
11 |
10 |
136 |
137 |
7 |
6 |
140 |
141 |
3 |
2 |
144 |
Рис. 10
Это принципиально новый ассоциативный квадрат с другой схемой расположения первых 12 чисел.
И, наконец, ещё один кандидат в идеальные квадраты – это ассоциативный квадрат, построенный на базе магического квадрата третьего порядка, в качестве основного я взяла ассоциативный квадрат четвёртого порядка, который изображён на рис. 11.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Рис. 11
А на рис. 12 вы видите базовый квадрат третьего порядка.
|
2 |
7 |
6 |
|
9 |
5 |
1 |
|
4 |
3 |
8 |
Рис. 12
На рис. 13 показываю готовый составной ассоциативный квадрат 12-ого порядка.
|
17 |
30 |
31 |
20 |
97 |
110 |
111 |
100 |
81 |
94 |
95 |
84 |
|
24 |
27 |
26 |
21 |
104 |
107 |
106 |
101 |
88 |
91 |
90 |
85 |
|
28 |
23 |
22 |
25 |
108 |
103 |
102 |
105 |
92 |
87 |
86 |
89 |
|
29 |
18 |
19 |
32 |
109 |
98 |
99 |
112 |
93 |
82 |
83 |
96 |
|
129 |
142 |
143 |
132 |
65 |
78 |
79 |
68 |
1 |
14 |
15 |
4 |
|
136 |
139 |
138 |
133 |
72 |
75 |
74 |
69 |
8 |
11 |
10 |
5 |
|
140 |
135 |
134 |
137 |
76 |
71 |
70 |
73 |
12 |
7 |
6 |
9 |
|
141 |
130 |
131 |
144 |
77 |
66 |
67 |
80 |
13 |
2 |
3 |
16 |
|
49 |
62 |
63 |
52 |
33 |
46 |
47 |
36 |
113 |
126 |
127 |
116 |
|
56 |
59 |
58 |
53 |
40 |
43 |
42 |
37 |
120 |
123 |
122 |
117 |
|
60 |
55 |
54 |
57 |
44 |
39 |
38 |
41 |
124 |
119 |
118 |
121 |
|
61 |
50 |
51 |
64 |
45 |
34 |
35 |
48 |
125 |
114 |
115 |
128 |
Рис. 13
В этом составном квадрате тоже есть начальная цепочка первых 12 чисел. Посмотрите на неё, она выделена жёлтым цветом. Не правда ли, очень оригинальна?
Покажу и ещё один составной ассоциативный квадрат, в котором базовый и основной квадраты поменяю местами. Смотрите этот квадрат на рис. 14.
|
2 |
7 |
6 |
119 |
124 |
123 |
128 |
133 |
132 |
29 |
34 |
33 |
|
9 |
5 |
1 |
126 |
122 |
118 |
135 |
131 |
127 |
36 |
32 |
28 |
|
4 |
3 |
8 |
121 |
120 |
125 |
130 |
129 |
134 |
31 |
30 |
35 |
|
65 |
70 |
69 |
92 |
97 |
96 |
83 |
88 |
87 |
38 |
43 |
42 |
|
72 |
68 |
64 |
99 |
95 |
91 |
90 |
86 |
82 |
45 |
41 |
37 |
|
67 |
66 |
71 |
94 |
93 |
98 |
85 |
84 |
89 |
40 |
39 |
44 |
|
101 |
106 |
105 |
56 |
61 |
60 |
47 |
52 |
51 |
74 |
79 |
78 |
|
108 |
104 |
100 |
63 |
59 |
55 |
54 |
50 |
46 |
81 |
77 |
73 |
|
103 |
102 |
107 |
58 |
57 |
62 |
49 |
48 |
53 |
76 |
75 |
80 |
|
110 |
115 |
114 |
11 |
16 |
15 |
20 |
25 |
24 |
137 |
142 |
141 |
|
117 |
113 |
109 |
18 |
14 |
10 |
27 |
23 |
19 |
144 |
140 |
136 |
|
112 |
111 |
116 |
13 |
12 |
17 |
22 |
21 |
26 |
139 |
138 |
143 |
Рис. 14
А в этом квадрате вот как расположились первые 12 чисел (выделены зелёным цветом). Причудливо и не похоже ни на одну прежнюю схему.
Ну, вот я привела здесь несколько разных ассоциативных квадратов 12-ого порядка, каждый из которых можно попробовать превратить в идеальный.
Напомню читателям, что точно такой путь был пройден мной при построении идеального квадрата 9-ого порядка. Свой первый идеальный квадрат я построила матричным методом, найденным в Интернете. А потом пыталась превратить в идеальный хоть один из ассоциативных квадратов. Понятно, почему за исходный материал брались именно ассоциативные квадраты, ведь для идеальности им не хватает только пандиагональности. Было сделано невероятное количество попыток. Что только я ни делала с ассоциативными квадратами. И, наконец, нашла метод! В составном ассоциативном квадрате просто переставила столбцы по определённой схеме. И так получила свой второй идеальный квадрат 9-ого порядка. Этот метод описан в статье “Идеальные квадраты порядков кратных 9”. Он работает для любого порядка n=3p, p=2, 3, 4…
Замечу, что всё это было задолго до изобретения мной метода качелей, а также гораздо раньше опубликования Александровым его метода построения идеальных квадратов нечётного порядка.
А потом я построила точно так же из ассоциативных квадратов нечётного порядка не кратного 3 (построенных методом террас) идеальные квадраты путём простой перестановки столбцов с постоянным шагом. И тут-то на примере идеального квадрата 11-ого порядка увидела впервые качели (с тривиальной образующей таблицей). Весь этот путь очень подробно описан в статье “Идеальные квадраты. Метод качелей”, которая написана в 14 частях. И после такой титанической работы, проделанной мной при разработке этого уникального метода, Н. Громов (друг Александрова и популяризатор математических знаний, как он сам себя называет) может обвинять меня в плагиате.
Теперь напомню читателям, что любой из приведённых выше ассоциативных квадратов элементарно превращается в пандиагональный преобразованием трёх квадратов, которое обнаружено мной при работе с ассоциативными квадратами. Не буду повторять суть этого преобразования, а просто покажу все пандиагональные квадраты, которые получаются из приведённых здесь ассоциативных квадратов. Но при этом квадраты теряют ассоциативность!
Итак, превращаю квадрат с рис. 7 в пандиагональный (рис. 15).
|
1 |
72 |
109 |
108 |
13 |
60 |
133 |
84 |
25 |
48 |
121 |
96 |
|
141 |
76 |
33 |
40 |
129 |
88 |
9 |
64 |
117 |
100 |
21 |
52 |
|
2 |
71 |
110 |
107 |
14 |
59 |
134 |
83 |
26 |
47 |
122 |
95 |
|
140 |
77 |
32 |
41 |
128 |
89 |
8 |
65 |
116 |
101 |
20 |
53 |
|
3 |
70 |
111 |
106 |
15 |
58 |
135 |
82 |
27 |
46 |
123 |
94 |
|
139 |
78 |
31 |
42 |
127 |
90 |
7 |
66 |
115 |
102 |
19 |
54 |
|
12 |
61 |
120 |
97 |
24 |
49 |
144 |
73 |
36 |
37 |
132 |
85 |
|
136 |
81 |
28 |
45 |
124 |
93 |
4 |
69 |
112 |
105 |
16 |
57 |
|
11 |
62 |
119 |
98 |
23 |
50 |
143 |
74 |
35 |
38 |
131 |
86 |
|
137 |
80 |
29 |
44 |
125 |
92 |
5 |
68 |
113 |
104 |
17 |
56 |
|
10 |
63 |
118 |
99 |
22 |
51 |
142 |
75 |
34 |
39 |
130 |
87 |
|
138 |
79 |
30 |
43 |
126 |
91 |
6 |
67 |
114 |
103 |
18 |
55 |
Рис. 15
Теперь показываю пандиагональный квадрат, полученный из квадрата с рис. 9 (рис. 16).
|
1 |
134 |
34 |
117 |
53 |
90 |
12 |
143 |
27 |
112 |
56 |
91 |
|
24 |
35 |
135 |
52 |
116 |
79 |
13 |
26 |
142 |
57 |
113 |
78 |
|
36 |
23 |
51 |
136 |
80 |
115 |
25 |
14 |
58 |
141 |
77 |
114 |
|
37 |
50 |
22 |
81 |
137 |
102 |
48 |
59 |
15 |
76 |
140 |
103 |
|
49 |
38 |
82 |
21 |
101 |
138 |
60 |
47 |
75 |
16 |
104 |
139 |
|
72 |
83 |
39 |
100 |
20 |
127 |
61 |
74 |
46 |
105 |
17 |
126 |
|
133 |
2 |
118 |
33 |
89 |
54 |
144 |
11 |
111 |
28 |
92 |
55 |
|
132 |
119 |
3 |
88 |
32 |
67 |
121 |
110 |
10 |
93 |
29 |
66 |
|
120 |
131 |
87 |
4 |
68 |
31 |
109 |
122 |
94 |
9 |
65 |
30 |
|
97 |
86 |
130 |
69 |
5 |
42 |
108 |
95 |
123 |
64 |
8 |
43 |
|
85 |
98 |
70 |
129 |
41 |
6 |
96 |
107 |
63 |
124 |
44 |
7 |
|
84 |
71 |
99 |
40 |
128 |
19 |
73 |
62 |
106 |
45 |
125 |
18 |
Рис. 16
Следующий квадрат с рис. 10. Полученный из него пандиагональный квадрат вы видите на рис. 17.
|
1 |
143 |
142 |
4 |
5 |
139 |
12 |
134 |
135 |
9 |
8 |
138 |
|
132 |
14 |
15 |
129 |
128 |
18 |
121 |
23 |
22 |
124 |
125 |
19 |
|
120 |
26 |
27 |
117 |
116 |
30 |
109 |
35 |
34 |
112 |
113 |
31 |
|
37 |
107 |
106 |
40 |
41 |
103 |
48 |
98 |
99 |
45 |
44 |
102 |
|
49 |
95 |
94 |
52 |
53 |
91 |
60 |
86 |
87 |
57 |
56 |
90 |
|
84 |
62 |
63 |
81 |
80 |
66 |
73 |
71 |
70 |
76 |
77 |
67 |
|
133 |
11 |
10 |
136 |
137 |
7 |
144 |
2 |
3 |
141 |
140 |
6 |
|
24 |
122 |
123 |
21 |
20 |
126 |
13 |
131 |
130 |
16 |
17 |
127 |
|
36 |
110 |
111 |
33 |
32 |
114 |
25 |
119 |
118 |
28 |
29 |
115 |
|
97 |
47 |
46 |
100 |
101 |
43 |
108 |
38 |
39 |
105 |
104 |
42 |
|
85 |
59 |
58 |
88 |
89 |
55 |
96 |
50 |
51 |
93 |
92 |
54 |
|
72 |
74 |
75 |
69 |
68 |
78 |
61 |
83 |
82 |
64 |
65 |
79 |
Рис. 17
Остались два составных ассоциативных квадрата. Посмотрим и на пандиагональные квадраты, полученные из этих квадратов. Сначала превращаю квадрат с рис. 13. Пандиагональный квадрат, полученный из этого квадрата, вы видите на рис. 18.
|
17 |
30 |
31 |
20 |
97 |
110 |
84 |
95 |
94 |
81 |
100 |
111 |
|
24 |
27 |
26 |
21 |
104 |
107 |
85 |
90 |
91 |
88 |
101 |
106 |
|
28 |
23 |
22 |
25 |
108 |
103 |
89 |
86 |
87 |
92 |
105 |
102 |
|
29 |
18 |
19 |
32 |
109 |
98 |
96 |
83 |
82 |
93 |
112 |
99 |
|
129 |
142 |
143 |
132 |
65 |
78 |
4 |
15 |
14 |
1 |
68 |
79 |
|
136 |
139 |
138 |
133 |
72 |
75 |
5 |
10 |
11 |
8 |
69 |
74 |
|
61 |
50 |
51 |
64 |
45 |
34 |
128 |
115 |
114 |
125 |
48 |
35 |
|
60 |
55 |
54 |
57 |
44 |
39 |
121 |
118 |
119 |
124 |
41 |
38 |
|
56 |
59 |
58 |
53 |
40 |
43 |
117 |
122 |
123 |
120 |
37 |
42 |
|
49 |
62 |
63 |
52 |
33 |
46 |
116 |
127 |
126 |
113 |
36 |
47 |
|
141 |
130 |
131 |
144 |
77 |
66 |
16 |
3 |
2 |
13 |
80 |
67 |
|
140 |
135 |
134 |
137 |
76 |
71 |
9 |
6 |
7 |
12 |
73 |
70 |
Рис. 18
Смотрите, как интересно расположились в этом пандиагональном квадрате первые 12 чисел.
Наконец, последний составной квадрат – с рис. 14. На рис. 19 показываю полученный из него пандиагональный квадрат.
|
2 |
7 |
6 |
119 |
124 |
123 |
33 |
34 |
29 |
132 |
133 |
128 |
|
9 |
5 |
1 |
126 |
122 |
118 |
28 |
32 |
36 |
127 |
131 |
135 |
|
4 |
3 |
8 |
121 |
120 |
125 |
35 |
30 |
31 |
134 |
129 |
130 |
|
65 |
70 |
69 |
92 |
97 |
96 |
42 |
43 |
38 |
87 |
88 |
83 |
|
72 |
68 |
64 |
99 |
95 |
91 |
37 |
41 |
45 |
82 |
86 |
90 |
|
67 |
66 |
71 |
94 |
93 |
98 |
44 |
39 |
40 |
89 |
84 |
85 |
|
112 |
111 |
116 |
13 |
12 |
17 |
143 |
138 |
139 |
26 |
21 |
22 |
|
117 |
113 |
109 |
18 |
14 |
10 |
136 |
140 |
144 |
19 |
23 |
27 |
|
110 |
115 |
114 |
11 |
16 |
15 |
141 |
142 |
137 |
24 |
25 |
20 |
|
103 |
102 |
107 |
58 |
57 |
62 |
80 |
75 |
76 |
53 |
48 |
49 |
|
108 |
104 |
100 |
63 |
59 |
55 |
73 |
77 |
81 |
46 |
50 |
54 |
|
101 |
106 |
105 |
56 |
61 |
60 |
78 |
79 |
74 |
51 |
52 |
47 |
Рис. 14
Как видите, метод сработал для всех принципиально различных ассоциативных квадратов. Давно собираюсь доказать, что преобразование трёх квадратов превращает любой ассоциативный квадрат порядка n=4k, k=1, 2, 3… в пандиагональный, да всё никак руки не доходят. Должно быть очень простое и изящное доказательство! Во всех частных случаях применения этого преобразования оно ни разу не дало сбой.
Ну, вот показала пять пандиагональных квадратов 12-ого порядка с разными схемами расположения начальной цепочки. Может быть, эти квадраты наведут моих читателей на хорошую идею построения идеального квадрата.
А я попробую поработать с ассоциативным квадратом с рис. 9.
Неужели идеальных квадратов порядка n=4*(2k+1), k=1, 2, 3… не существует? А вспомните, что сначала математики считали, что идеальных квадратов нечётных порядков кратных 3 (n=9, 15, 21, 27…) не существует. Но совсем недавно эти квадраты были построены.
Думаю, что когда-нибудь будут построены и идеальные квадраты порядка n=4*(2k+1). Не исключено, что это сделают читатели настоящей статьи, заинтересовавшись задачей. Тогда расскажите, пожалуйста, мне о своих результатах, я перестану ломать голову над этой задачей.
***
26 апреля 2008 г.
Итак, я обещала поработать с ассоциативным квадратом 12-ого порядка с рис. 9 с целью превратить его в идеальный квадрат. Полдня крутила-вертела этот квадрат, но идеальный квадрат у меня так и не получился. На рис. 15 покажу один из полученных квадратов, он тоже ассоциативный, в нём очень красивая начальная цепочка первых 12 чисел, но, увы, он не пандиагональный, а значит, не идеальный. Суммы в пяти разломанных диагоналях каждого направления равны магической константе квадрата, а в шести разломанных диагоналях каждого направления очень близки к магической константе. На рис. 15 я показываю также все суммы в разломанных диагоналях квадрата. Вот такой максимально близкий к идеальному квадрат я получила. Не хватает чуть-чуть. Замечу, что этот квадрат я построила перестановкой строк в исходном квадрате вручную. Дальше, как я уже говорила, есть программная перестановка строк и/или столбцов. Но мне кажется, что и она не приведёт к идеальному квадрату. Предлагаю читателям попробовать этот путь решения задачи. Смотрите на мой почти идеальный квадрат:
|
810 |
1 |
134 |
34 |
117 |
53 |
90 |
91 |
56 |
112 |
27 |
143 |
12 |
882 |
|
870 |
132 |
119 |
3 |
88 |
32 |
67 |
66 |
29 |
93 |
10 |
110 |
121 |
870 |
|
882 |
36 |
23 |
51 |
136 |
80 |
115 |
114 |
77 |
141 |
58 |
14 |
25 |
810 |
|
870 |
97 |
86 |
130 |
69 |
5 |
42 |
43 |
8 |
64 |
123 |
95 |
108 |
870 |
|
810 |
49 |
38 |
82 |
21 |
101 |
138 |
139 |
104 |
16 |
75 |
47 |
60 |
882 |
|
870 |
84 |
71 |
99 |
40 |
128 |
19 |
18 |
125 |
45 |
106 |
62 |
73 |
870 |
|
930 |
72 |
83 |
39 |
100 |
20 |
127 |
126 |
17 |
105 |
46 |
74 |
61 |
858 |
|
870 |
85 |
98 |
70 |
129 |
41 |
6 |
7 |
44 |
124 |
63 |
107 |
96 |
870 |
|
858 |
37 |
50 |
22 |
81 |
137 |
102 |
103 |
140 |
76 |
15 |
59 |
48 |
930 |
|
870 |
120 |
131 |
87 |
4 |
68 |
31 |
30 |
65 |
9 |
94 |
122 |
109 |
870 |
|
930 |
24 |
35 |
135 |
52 |
116 |
79 |
78 |
113 |
57 |
142 |
26 |
13 |
858 |
|
|
133 |
2 |
118 |
33 |
89 |
54 |
55 |
92 |
28 |
111 |
11 |
144 |
|
Рис. 15
Я построила аналогичный ассоциативный квадрат восьмого порядка (рис. 16). Он тоже оказался почти идеальным, нет магических сумм всего в 4 разломанных диагоналях. На рис. 16 тоже показаны суммы по разломанным диагоналям.
|
228 |
1 |
58 |
22 |
45 |
44 |
19 |
63 |
8 |
260 |
|
260 |
56 |
47 |
3 |
28 |
29 |
6 |
42 |
49 |
260 |
|
260 |
24 |
15 |
35 |
60 |
61 |
38 |
10 |
17 |
228 |
|
260 |
33 |
26 |
54 |
13 |
12 |
51 |
31 |
40 |
260 |
|
260 |
25 |
34 |
14 |
53 |
52 |
11 |
39 |
32 |
292 |
|
260 |
48 |
55 |
27 |
4 |
5 |
30 |
50 |
41 |
260 |
|
292 |
16 |
23 |
59 |
36 |
37 |
62 |
18 |
9 |
260 |
|
|
57 |
2 |
46 |
21 |
20 |
43 |
7 |
64 |
|
Рис. 16
Однако работа над построением идеального квадрата 12-ого порядка из ассоциативного квадрата всё-таки не была совсем безрезультатной. Я попробовала применить к другому ассоциативному квадрату (составному, см. рис. 13 и рис. 14) метод, которым мне удалось построить идеальные квадраты порядка n=3k, k=2, 3, 4… Но, увы, здесь тоже ничего не получилось. Зато это навело меня на мысль построить таким методом идеальный квадрат 16-ого порядка. Ведь когда я строила идеальный квадрат 9-ого (а также 27-ого, 81-ого) порядка таким методом, мне и в голову не пришло попробовать этот метод для квадрата 16-ого порядка, потому что я тогда считала, что идеальные квадраты существуют только нечётного порядка. И вот теперь я развиваю метод дальше. Не знаю, был ли известен этот метод построения идеальных квадратов до того, как я его изобрела. По крайней мере, мне он нигде не встречался.
О новом методе построения идеальных квадратов порядка n=kp, k>2 и не равно 4m+2, p=2,3,4… читайте следующую страницу:
http://www.klassikpoez.narod.ru/idealst.htm
Задачу построения идеальных квадратов порядка n=4*(2k+1), k=1,2,3… отложу на время. Пока не вижу хорошей идеи. Жду помощи в решении этой задачи от вас, уважаемые читатели.
***
2 мая 2008 г.
Предприняла ещё одну попытку построить идеальный квадрат 12-ого порядка. И снова неудача. Но расскажу и об этом опыте, потому что отрицательный результат – это тоже результат. Бывает так, что кто-то увидит в чьём-либо отрицательном опыте совершенно неожиданное решение.
Итак, я вспомнила ещё один замечательный пандиагональный квадрат 12-ого порядка, построенный мной методом качелей. Он, конечно, был построен не один, а целая группа подобных квадратов по составленной программе, в которой была запрограммирована образующая таблица подобных пандиагональных квадратов. Но я нашла частные решения всех пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка, которые очень похожи и строятся аналогично. На рис. 17 показываю частное решение для квадрата 12-ого порядка (см. об этих квадратах статью “Метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка” http://www.klassikpoez.narod.ru/pan4kach.htm ).
|
1 |
75 |
89 |
108 |
118 |
128 |
133 |
63 |
53 |
48 |
34 |
20 |
|
33 |
19 |
2 |
76 |
90 |
107 |
117 |
127 |
134 |
64 |
54 |
47 |
|
60 |
46 |
32 |
13 |
3 |
77 |
96 |
106 |
116 |
121 |
135 |
65 |
|
136 |
66 |
59 |
45 |
31 |
14 |
4 |
78 |
95 |
105 |
115 |
122 |
|
109 |
123 |
137 |
72 |
58 |
44 |
25 |
15 |
5 |
84 |
94 |
104 |
|
93 |
103 |
110 |
124 |
138 |
71 |
57 |
43 |
26 |
16 |
6 |
83 |
|
12 |
82 |
92 |
97 |
111 |
125 |
144 |
70 |
56 |
37 |
27 |
17 |
|
28 |
18 |
11 |
81 |
91 |
98 |
112 |
126 |
143 |
69 |
55 |
38 |
|
49 |
39 |
29 |
24 |
10 |
80 |
85 |
99 |
113 |
132 |
142 |
68 |
|
141 |
67 |
50 |
40 |
30 |
23 |
9 |
79 |
86 |
100 |
114 |
131 |
|
120 |
130 |
140 |
61 |
51 |
41 |
36 |
22 |
8 |
73 |
87 |
101 |
|
88 |
102 |
119 |
129 |
139 |
62 |
52 |
42 |
35 |
21 |
7 |
74 |
Рис. 17
Вот такой очень красивый пандиагональный квадрат. Это одно из множества решений, которые я получила по составленной программе для квадратов 12-ого порядка. Решений получается очень много, я даже не выполнила программу до конца, в момент прерывания программа уже построила 1512 квадратов. Обратите внимание на начальную цепочку в этом квадрате, числа в ней следуют по порядку. В этом красота и гармония всех аналогичных частных решений для чётно-чётных порядков. Эти частные решения можно строить и без программы, потому что их образующая таблица очень проста.
Чего же не хватает этому квадрату до идеальности? Не хватает ассоциативности. Тогда я применила к этому квадрату преобразование, обратное преобразованию трёх квадратов и получила ассоциативный квадрат, который вы видите на рис. 18.
|
1 |
75 |
89 |
108 |
118 |
128 |
20 |
34 |
48 |
53 |
63 |
133 |
|
33 |
19 |
2 |
76 |
90 |
107 |
47 |
54 |
64 |
134 |
127 |
117 |
|
60 |
46 |
32 |
13 |
3 |
77 |
65 |
135 |
121 |
116 |
106 |
96 |
|
136 |
66 |
59 |
45 |
31 |
14 |
122 |
115 |
105 |
95 |
78 |
4 |
|
109 |
123 |
137 |
72 |
58 |
44 |
104 |
94 |
84 |
5 |
15 |
25 |
|
93 |
103 |
110 |
124 |
138 |
71 |
83 |
6 |
16 |
26 |
43 |
57 |
|
88 |
102 |
119 |
129 |
139 |
62 |
74 |
7 |
21 |
35 |
42 |
52 |
|
120 |
130 |
140 |
61 |
51 |
41 |
101 |
87 |
73 |
8 |
22 |
36 |
|
141 |
67 |
50 |
40 |
30 |
23 |
131 |
114 |
100 |
86 |
79 |
9 |
|
49 |
39 |
29 |
24 |
10 |
80 |
68 |
142 |
132 |
113 |
99 |
85 |
|
28 |
18 |
11 |
81 |
91 |
98 |
38 |
55 |
69 |
143 |
126 |
112 |
|
12 |
82 |
92 |
97 |
111 |
125 |
17 |
27 |
37 |
56 |
70 |
144 |
Рис. 18
Теперь квадрат ассоциативный, но не пандиагональный. Что я делаю дальше? Корректирую программу, составленную ранее для построения пандиагональных квадратов (типа того, что изображён на рис. 17), чтобы она строила ассоциативные и заодно пандиагональные квадраты типа квадрата, изображённого на рис. 18. Но, увы! Программа была составлена и полностью выполнена, но идеального квадрата она не построила. Когда программа получила квадрат, в первой разломанной диагонали которого сумма чисел была равна 870 (магическая константа квадрата 12-ого порядка), я подумала, что цель достигнута и уже обрадовалась. Однако, посмотрев на суммы в следующих разломанных диагоналях, поняла, что радовалась рано. Суммы равны магической константе только в двух разломанных диагоналях каждого направления. Покажу и этот квадрат. Таких квадратов программа построила очень много (я не ставила счётчик и не знаю, сколько именно).
Итак, смотрите на рис. 19 ассоциативный квадрат очень близкий к идеальному. Суммы по другим разломанным диагоналям в этом квадрате близки к магической константе. Не могу никак понять, почему не получается идеальный квадрат. Существует ли вообще идеальный квадрат 12-ого порядка? Вопрос остаётся открытым.
Зато я получила группу ассоциативных квадратов с очень оригинальной начальной цепочкой. Эти квадраты тоже строятся методом качелей.
|
1 |
124 |
111 |
96 |
105 |
82 |
70 |
45 |
60 |
27 |
16 |
133 |
|
44 |
71 |
6 |
125 |
110 |
91 |
55 |
26 |
17 |
138 |
83 |
104 |
|
36 |
57 |
46 |
61 |
4 |
123 |
15 |
136 |
73 |
106 |
93 |
120 |
|
137 |
14 |
31 |
56 |
47 |
66 |
78 |
107 |
92 |
115 |
122 |
5 |
|
97 |
76 |
135 |
24 |
33 |
58 |
94 |
117 |
132 |
3 |
64 |
37 |
|
116 |
95 |
102 |
77 |
134 |
19 |
127 |
2 |
65 |
42 |
59 |
32 |
|
113 |
86 |
103 |
80 |
143 |
18 |
126 |
11 |
68 |
43 |
50 |
29 |
|
108 |
81 |
142 |
13 |
28 |
51 |
87 |
112 |
121 |
10 |
69 |
48 |
|
140 |
23 |
30 |
53 |
38 |
67 |
79 |
98 |
89 |
114 |
131 |
8 |
|
25 |
52 |
39 |
72 |
9 |
130 |
22 |
141 |
84 |
99 |
88 |
109 |
|
41 |
62 |
7 |
128 |
119 |
90 |
54 |
35 |
20 |
139 |
74 |
101 |
|
12 |
129 |
118 |
85 |
100 |
75 |
63 |
40 |
49 |
34 |
21 |
144 |
Рис. 19
Попробовала превратить в идеальный квадрат аналогичное частное решение для квадрата восьмого порядка точно таким же способом. И тоже ничего не получилось. Ну, для порядка n=8 идеальные квадраты уже построены, как и вообще для любого порядка, кратного 8. А вот для порядка n=12 пока нет у меня ни одного идеального квадрата. А у вас?
***
Пишите мне!
На главную страницу