МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=8k

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Эта страница является продолжением двух страниц:

“Квадраты Франклина (часть VI)”

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin6.htm

 

“Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)”

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

 

Наконец я совсем проникла в закономерности алгоритма Франклина, по которому построен его пандиагональный квадрат 16-ого порядка, и теперь должна начать всё сначала, чтобы мои читатели тоже поняли этот алгоритм. Последовательность изложения будет такова: сначала расскажу о построении пандиагональных квадратов, подобных пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка, а затем покажу, как из пандиагональных квадратов я получила идеальные квадраты.

 

                            ПОСТРОЕНИЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Начать придётся с квадрата восьмого порядка. Когда я попробовала применить алгоритм Франклина к квадрату восьмого порядка первый раз, у меня не получился пандиагональный квадрат, а только дьявольски полумагический. Об этом подробно рассказано в одной из частей статьи “Квадраты Франклина”. Вот он – метод проб и ошибок! У меня был всего один образец – пандиагональный квадрат 16-ого порядка. Я применила к нему свой метод качелей, составила для данного квадрата образующую таблицу. Но закономерности формирования образующей таблицы очень хитрые, и я не смогла сразу уловить их. Повторю здесь ту образующую таблицу, которую я составила для квадрата восьмого порядка в первой попытке (рис. 1), и сам дьявольски полумагический квадрат, порождаемый этой образующей таблицей (рис. 2).

 

 

 

                                                        Рис. 1

 

Следует отметить, что формирование этой образующей таблицы имеет несколько особенностей по сравнению со стандартным методом качелей (что и затрудняет быстрое распознавание всех её закономерностей). Одной из таких особенностей является наличие двух столбцов разностей, которые отличаются всего одним числом (в первом столбце это число 3, а во втором – число 1). Одни столбцы таблицы формируются по первому столбцу разностей, а другие – по второму.

 

 

 

                                                   Рис. 2

 

Повторю: этот квадрат дьявольски полумагический.

 

Только после того, как я построила сама по этому алгоритму пандиагональный квадрат 32-ого порядка (смотрите его в указанной выше статье “Квадраты Франклина (часть VI)”), мне удалось выявить все закономерности формирования образующей таблицы. Тогда я возвратилась к квадрату восьмого порядка и внимательно посмотрела на его образующую таблицу. На рис. 3 вы видите правильную образующую таблицу, которая порождает пандиагональный квадрат. Сравните эти две таблицы и определите, где я допустила ошибку, строя таблицу в первый раз. Задачка из серии “найдите различия”.

 

 

 

                                                        Рис. 3

 

Нашли различия? Моя ошибка была единственная – я неправильно расположила максимальные числа в столбцах образующей таблицы. Всё остальное было сделано правильно. Эта ошибка привела к тому, что я получила не пандиагональный квадрат, а дьявольски полумагичекий.

На рис. 4 показываю пандиагональный квадрат, порождаемый образующей таблицей с рис. 3.

 

 

 

                                                   Рис. 4

 

В квадрате раскрашены все циклы качания качелей. Сравните каждый цикл с набором чисел в соответствующем столбце образующей таблицы, чтобы понять, как числа из образующей таблицы переносятся в матрицу для квадрата.

 

Почти уверена в том, что такой пандиагональный квадрат был построен Франклином, просто он потерялся. Иначе непонятно, почему Франклин построил пандиагональный квадрат 16-ого порядка и не построил по такому же алгоритму пандиагональный квадрат восьмого порядка.

 

Ну, дублировать пандиагональный квадрат Франклина 16-ого порядка не буду. Я уже показывала его несколько раз. Подчеркну только, что первозданный квадрат Франклина, найденный мной в Интернете (ссылка указана в статье “Квадраты Франклина”), я несколько преобразовала, чтобы он стал удобным для применения метода качелей.

 Сразу перехожу к квадрату 24-ого порядка.

Мне удалось установить, что по данному алгоритму Франклина строятся квадраты порядка n=8k, k=1, 2, 3… Об этом будет рассказано ниже.

Пандиагональный квадрат 24-ого порядка я уже построила без затруднений, на одном дыхании. Хотя по-прежнему вручную, то есть без программы (с частичной автоматизацией – при формировании наборов чисел в столбцах образующей таблицы). Как я уже сказала, все закономерности формирования образующей таблицы мне стали понятны, а это значит, что можно формализовать алгоритм и полностью автоматизировать построение квадратов.

 

Не буду показывать образующую таблицу для пандиагонального квадрата 24-ого порядка полностью, покажу только начальную цепочку и номера циклов качания качелей.

Начальная цепочка:

 

1        23  3  21  5  19  7  17  9  15  11  13  12  14  10  16  8  18  6  20  4  22  2  24

 

Номера циклов качания качелей:

 

k=22 k=21 k=3 k=4 k=18 k=17 k=7 k=8 k=14 k=13 k=11 k=23 k=1 k=2 k=20 k=19 k=5 k=6 k=16 k=15 k=9 k=10 k=12

 

Осталось расположить максимальные числа в столбцах образующей таблицы. Как это сделать, видно из образующих таблиц для квадратов восьмого (рис. 3) и 16-ого порядка. Теперь вы можете сформировать образующую таблицу самостоятельно.

На рис. 5 показываю готовый пандиагональный квадрат 24-ого порядка.

 

 

 

                                                                                                                      Рис. 5

 

Просто гениальный алгоритм придумал Франклин! Нет предела совершенству.

 

Пандиагональный квадрат 32-ого порядка я построила самым первым. Он показан в статье “Квадраты Франклина (часть VI)” (см. ссылку в начале данной статьи). Квадрат 40-ого порядка пока не строила. Кстати сказать, такой идеальный квадрат построен мной другим методом – методом построения составных квадратов (см. статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть I)”).

 

А теперь покажу две основные закономерности для составления образующих таблиц при построении таких квадратов. Первая закономерность – это начальная цепочка первых n чисел (n – порядок квадрата). Приведу начальные цепочки для квадратов порядков 8-40, и вы наверняка сами увидите закономерность в составлении начальной цепочки, ибо она очевидна.

 

n=8:               1  7  3  5  4  6  2  8

n=16:             1  15  3  13  5  11  7  9  8  10  6  12  4  14  2  16

n=24:             1  23  3  21  5  19  7  17  9  15  11  13  12  14  10  16  8  18  6  20  4  22  2  24

n=32:             1  31  3  29  5  27  7  25  9  23  11  21  13  19  15  17  16  18  14  20  12  22  10  24  8  26  6  28  4  30  2  32

n=40:             1  39  3  37  5  35  7  33  9  31  11  29  13  27  15  25  17  23  19  21  20  22  18  24  16  26  14  28  12  30  10  32  8  34  6  36  4  38  2  40

 

Увидеть эту закономерность было не очень сложно. Уверена, что и вы увидели её сразу. Теперь вы сможете написать начальную цепочку для построения пандиагонального квадрата любого порядка n=8k.

 

Сложнее было с номерами циклов качания качелей. Эту закономерность я увидела не сразу, а только после построения квадрата 32-ого порядка. Сначала приведу все строки образующих таблиц, содержащие номера циклов качания качелей, тоже для порядков 8-40.

 

n=8:               k=6  k=5  k=3  k=7  k=1  k=2  k=4

n=16:             k=14  k=13  k=3  k=4  k=10  k=9  k=7  k=15  k=1  k=2  k=12  k=11  k=5  k=6  k=8

n=24:             k=22  k=21 k=3  k=4  k=18  k=17  k=7  k=8  k=14  k=13  k=11  k=23  k=1  k=2  k=20  k=19  k=5  k=6  k=16  k=15  k=9  k=10  k=12

n=32:             k=30  k=29 k=3  k=4  k=26  k=25  k=7  k=8  k=22  k=21  k=11  k=12  k=18  k=17  k=15  k=31  k=1  k=2  k=28  k=27  k=5  k=6  k=24  k=23  k=9  k=10  k=20  k=19  k=13  k=14  k=16

n=40:             k=38  k=37 k=3  k=4  k=34  k=33  k=7  k=8  k=30  k=29  k=11  k=12  k=26  k=25  k=15  k=16  k=22  k=21  k=19  k=39  k=1  k=2  k=36  k=35  k=5  k=6  k=32  k=31  k=9  k=10  k=28  k=27  k=13  k=14  k=24  k=23  k=17  k=18  k=20

 

В общем виде (для любого порядка n) эту строку образующей таблицы можно записать так:

 

k=n-2  k=n-3  k=3  k=4  k=(n-2)-4  k=(n-3)-4  k=7  k=8  k=(n-2)-8  k=(n-3)-8  k=11  k=12  …  k=(n-2)/2  k=n-1  k=(n-1)-(n-2)  k=(n-1)-(n-3)  k=(n-1)-3  k=(n-1)-4  …  k=(n-1)-(n-2)/2

 

Вот такие хитрые последовательности. Посмотрите на них внимательно. Видите закономерность? Номера циклов слева и справа от центрального столбца образующей таблицы (соответствующий цикл выделен красным цветом) представляют две группы пар чисел (эти группы выделены двумя цветами). В одной группе идёт прибавление числа 4, а в другой группе вычитание числа 4. Суммы значений номеров циклов слева и справа от центрального столбца равны значению номера цикла в центральном столбце. Например, для квадрата порядка n=8: 1+6=7, 2+5=7, 4+3=7.

Долго я думала, чем же накладывается ограничение на порядок квадрата. Наконец поняла. Посмотрите на группы, выделенные фиолетовым цветом. Последний номер цикла перед центральным столбцом так зависит от порядка квадрата:

 

n=8:               k₃ = 3 + 4*(8/8 – 1) = 3 + 4*0 = 3

n=16:             k₇ = 3 + 4*(16/8 – 1) = 3 + 4*1 = 7

n=24:             k₁₁ = 3 + 4*(24/8 – 1) = 3 + 4*2 = 11

n=32:             k₁₅ = 3 + 4*(32/8 – 1) = 3 + 4*3 = 15

n=40:             k₁₉ = 3 + 4*(40/8 – 1) = 3 + 4*4 = 19

 

В общем виде эта зависимость номера цикла от порядка квадрата выразится так:

 

k_(n-2)/2 = 3 + 4*(n/8 – 1)

 

И этот номер цикла (первый слева от центрального столбца), как нетрудно видеть, равен (n – 2)/2. Получаем такое уравнение:

 

 3 + 4*(n/8 – 1) = (n – 2)/2

 

Это уравнение вообще-то является тождеством. Но есть одно условие: выражение (n/8 – 1) определяет количество прибавлений к 3 числа 4. Следовательно, значение этого выражения должно быть целым числом (при n=8 оно равно 0). А это возможно только для n кратных 8. Вот и стало понятно, почему для порядков не кратных 8 этот алгоритм не работает.

 

На этом я завершаю раздел, освещающий построение пандиагональных квадратов по алгоритму Франклина, и перехожу к следующему разделу.

 

ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Я уже показала получение идеального квадрата 16-ого порядка из пандиагонального квадрата Франклина. Но теперь начну опять с квадрата восьмого порядка, ибо я только что построила пандиагональный квадрат и превратила его в идеальный.

 

Пандиагональный квадрат восьмого порядка вы видите на рис. 4.

Напомню схему превращения пандиагонального квадрата в идеальный. Тут всё очень просто. Надо подобрать такой расклад первых n чисел начальной цепочки, чтобы сумма n/2 чисел слева была равна сумме n/2 чисел справа (n – порядок квадрата). Для квадрата восьмого порядка такой расклад легко подобрать без программы. Вот он:

 

слева:       1  4  6  7    

 

Числа справа определяются числами слева автоматически.

 

Далее надо правильно расположить числа начальной цепочки в матрице для квадрата – это очень важно! У меня, например, в квадрате 32-ого порядка это не сразу получилось, и мне пришлось дважды заполнять матрицу. Ну, а как расположить начальную цепочку правильно, это тоже маленькая хитрость, которая откроется вам с опытом.

Наконец, надо просто переписать строки из пандиагонального квадрата в соответствии с расположением начальной цепочки. При этом некоторые строки переворачиваются, то есть записываются в обратном порядке. Дополнительные строки (не содержащие чисел начальной цепочки) записываются как комплементарные, то есть дополняющие основные строки в смысле ассоциативности квадрата. На рис. 6 вы видите готовый идеальный квадрат восьмого порядка.

 

 

 

                                                    Рис. 6

 

Сравните этот идеальный квадрат с тем идеальным квадратом, который есть в Интернете (ссылка на тот квадрат указана и в Википедии; квадрат был исследован мной в первой части статьи “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка”, построена целая группа подобных квадратов). Построенный сейчас квадрат принципиально новый, хотя схема расположения начальной цепочки точно такая же. Он не получается из известного квадрата никакими основными преобразованиями и даже перестановкой строк (или столбцов) не получается, потому что наборы чисел в строках (и в столбцах) разные. Исключение составляют первый и последний столбцы, в этих столбцах наборы чисел одинаковые. Хотя схемы построения этих двух идеальных квадратов очень похожи, они всё-таки не совсем совпадают.

 

Как я уже сказала, превращение пандиагонального квадрата 16-ого порядка в идеальный уже показано (см. статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)”). Там же показано и превращение квадрата 32-ого порядка. Остаётся квадрат 24-ого порядка. Другие пандиагональные квадраты я пока не построила.

 

Пандиагональный квадрат изображён на рис. 5. Подбираем нужный расклад начальной цепочки. Сумма всех чисел от 1 до 24 равна 300. Следовательно, суммы чисел начальной цепочки слева и справа должны равняться 150. Для квадрата 24-ого порядка, как ни странно, не удалось с ходу подобрать такой расклад начальной цепочки (для квадрата 32-ого порядка это удалось сразу). Поэтому написала программку. Программа нашла расклад мгновенно. Вот этот расклад (12 чисел, расположенных в левой половине квадрата):

 

                                      1   5   6   7   8   12   14   15   16   21   22   23

 

Теперь располагаю эти числа в матрице для квадрата (главное – сделать это правильно, маленький секрет, который не открываю, догадайтесь сами!). И затем просто переписываю строки из пандиагонального квадрата с рис. 5. На рис. 7 вы видите готовый идеальный квадрат 24-ого порядка. Красив, дьявольски красив! Даже не верится, что он абсолютно идеален. Всё проверила и перепроверила. Ассоциативность есть, пандиагональность есть, суммы во всех строках, столбцах и диагоналях равны магической константе квадрата – 6924. Ну, прямо хоть сейчас квадрат на выставку в кунсткамеру! А заодно и идеальные квадраты 16-ого и 32-ого порядка.

 

 

 

                                                                                    Рис. 7

 

Ну, что же, построим теперь идеальный квадрат следующего – 40-ого порядка? Если я хорошо изложила метод, то вы всё поняли и готовы построить такой квадрат. Правильно? Для предварительного этапа – построения пандиагонального квадрата 40-ого порядка – выше дана начальная цепочка и номера циклов качания качелей. Дерзайте!

 

А я пока отдохну и соберусь с мыслями. Мне пришлось немало потрудиться над задачей построения идеальных квадратов. Да ведь она ещё и не решена полностью! Пишу начало ряда чётно-чётных порядков:

 

8  12  16  20  24  28  32  36  40  44  48  52  56  60  64  68  72  76  80  84  88  92  96  100 …

 

Для n=4 не существует идеального квадрата (это доказано мной в статье “Ассоциативные квадраты”).

В этом ряду выделены красным цветом порядки, для которых не знаю, как построить идеальные квадраты, и существуют ли они вообще. Значит, ровно половины квадратов нет. В общем виде порядок отсутствующих идеальных квадратов можно записать так:

 

n = 4*(2k+1),   k=1, 2, 3, 4…

 

Если вам что-нибудь известно об идеальных квадратах таких порядков, напишите мне, пожалуйста.

 

                                                                  ***

 

16 –18 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

20 апреля 2008 г.

 

Интересно, кто-нибудь из читателей этой страницы построил пандиагональный и идеальный квадраты 40-ого порядка? А я в качестве отдыха построила пандиагональный квадрат 40-ого порядка, но пока не превратила его в идеальный. Построение квадратов уже отлаженным методом – одно удовольствие. Катишься по накатанной дорожке, как лыжник по хорошей лыжне. Я на таких построениях просто отдыхаю и наслаждаюсь гармонией и красотой построенных квадратов.

 

Итак, на рис. 8-9 вы видите две половинки пандиагонального квадрата 40-ого порядка. Прекрасный квадрат!

 

Пандиагональный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                        Рис. 8

 

Пандиагональный квадрат 40-ого порядка – часть 2

 

 

                                                                                                                       Рис. 9

 

Вам нравится этот квадрат? Мне очень нравится!

 

А теперь, как вы понимаете, надо выполнить вторую часть работы – превратить этот квадрат в идеальный. С чего начинать? С подбора расклада начальной цепочки. Первые 40 чисел надо разбить на две группы чисел, суммы чисел в обеих группах должны быть одинаковы. Сумма всех чисел от 1 до 40 равна 820, следовательно, суммы чисел в каждой группе должны равняться 410. Задача не является очень сложной, хотя есть одна тонкость. Не забывайте, что числа начальной цепочки слева и справа комплементарны, то есть каждое число первой группы (в левой части начальной цепочки) имеет во второй группе (в правой части начальной цепочки) дополнение до 41. Это немного усложняет задачу.

Ну, например, для квадрата 32-ого порядка мне удалось сразу подобрать нужный расклад. Для квадрата 24-ого порядка пришлось писать программу. Думаю, что для квадрата 40-ого порядка тоже придётся писать программу. Оставляю эту задачу читателям. Может быть, на досуге и сама займусь её решением.

После того, как вы найдёте нужный расклад начальной цепочки, надо правильно расположить начальную цепочку в матрице для квадрата. Дальше всё очень просто – переписываем строки из пандиагонального квадрата в матрицу для идеального квадрата в соответствии с начальной цепочкой. Некоторые строки при этом записываются в обратном порядке. Те строки, которые не содержат чисел начальной цепочки, записываются как комплементарные в смысле ассоциативности квадрата.

 

Предлагаю читателям построить пандиагональный и идеальный квадраты следующего порядка – 48-ого. Даю подсказку: начальную цепочку первых 48 чисел и номера циклов качания качелей.

 

Начальная цепочка:

 

1  47  3  45  5  43  7  41  9  39  11  37  13  35  15  33  17  31  19  29  21  27  23  25  24  26  22  28  20  30  18  32  16  34  14  36  12  38  10  40  8  42  6  44  4  46  2  48

 

Номера циклов качания качелей:

 

k=46  k=45 k=3  k=4  k=42  k=41  k=7  k=8  k=38  k=37  k=11  k=12  k=34  k=33  k=15  k=16  k=30  k=29  k=19  k=20 k=26  k=25  k=23  k=47  k=1  k=2  k=44  k=43  k=5  k=6  k=40  k=39  k=9  k=10  k=36  k=35  k=13  k=14  k=32  k=31  k=17  k=18  k=28  k=27  k=21  k=22  k=24

 

Имея эту подсказку, вы без труда построите пандиагональный квадрат 48-ого порядка, а затем превратите его в идеальный.

 

                                                                                  ***

 

   ВНИМАНИЕ! КОНКУРС!

 

Хочу предложить конкурсную задачу. Поскольку изложенный метод до конца определён и понятен, надо составить программу, по которой можно было бы построить для любого порядка n=8k, k=1, 2, 3, 4…

а) пандиагональный квадрат;

б) из полученного пандиагонального квадрата идеальный квадрат.

 

Ну, разумеется, конечное значение порядка можно задать, скажем, n=96. Исходное данное для программы только одно – порядок квадрата. Вводим на запрос программы порядок квадрата, и программа выдаёт нам пандиагональный и идеальный квадраты этого порядка. Построенные квадраты должны быть записаны в файл, а также выводиться на экран монитора.

Дополнительное условие: программа должна быть написана на языке QBASIC.

Чтобы определить работоспособность программы, я должна её проверить на своём компьютере, а у меня есть только такой интерпретатор.

Понятно, что правильность программы можно проверить на тех квадратах, которые мной уже построены вручную.

 

Конкурс начинается с 20 апреля 2008 г. и продолжается до 20 июня 2008 г. Программы на конкурс присылайте по адресу: natalimak1@yandex.ru

с пометкой «Программа на конкурс». Файл, содержащий программу, прикрепляйте к письму. Этот файл должен иметь расширение BAS.

Файлы с другими расширениями рассматриваться не будут. Программа должна быть абсолютно отлажена и работоспособна. Если интерпретатор обнаружит в программе ошибки, такая программа дальше рассматриваться не будет.

 

Ну, конечно, вы спросите: а какой стимул решать задачу? Угадала? Приз будет, спросите вы. Ах, если бы я была миллиардером, то обязательно учредила бы приз, так миллиончика три. Но что можно взять с меня, полунищей пенсионерки? Так что, дорогие мои, конкурс только за интерес! Разумеется, фамилию победителя опубликую на сайте. А также, если он того захочет, его программу.

 

Меня вот все мои знакомые спрашивают, что я имею с того, что помещаю свои статьи в Интернете. А как вы думаете, что я имею? Правильно: абсолютно ничего, кроме расходов на пользование Интернетом. Есть такая очень хорошая песенка Новеллы Матвеевой, в которой есть слова: “А что я от этого буду иметь, того тебе не понять!”

 

О, идея! А может быть, найдётся какой-нибудь меценат (большой любитель магических квадратов) и учредит приз для этого конкурса? Ну, уж не три миллиона, а хотя бы три тысячи, да не зелёных, конечно, а деревянных. Эх, где замечательная традиция XIX века – меценатство…

 

Жду ваших конкурсных программ! Всегда ваша – Наталия Макарова.

 

                                      __________

 

                   Продолжение страницы смотрите здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch2.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу