ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

  Часть II

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

Целую неделю билась над задачей построения идеального квадрата чётно-чётного порядка отличного от восьмого. В первой части статьи я всё описала об известном из Интернета идеальном квадрате восьмого порядка. Построила несколько таких квадратов по аналогии с этим квадратом, применив к нему свой метод качелей. А также дала два примера составных квадратов (40-ого и 64-ого порядка), которые строятся на базе идеальных квадратов восьмого порядка. Но построить другие идеальные квадраты никак не удавалось. Я получила по аналогии с квадратом восьмого порядка псевдоидеальные квадраты 12-ого, 16-ого и 20-ого порядка (последний пока не показан в статье). Пыталась построить идеальный квадрат из дьявольски полумагических квадратов Франклина. И псевдоидеальные квадраты как только ни крутила. Наконец вспомнила о пандиагональном квадрате Франклина 16-ого порядка! Я ведь в самом начале работы над идеальными квадратами восьмого порядка заметила, что схема их построения очень похожа на схему построения пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка. Кажется, я даже отметила это в статье. И вот вернулась к этому замечательному квадрату, который и помог мне построить идеальный квадрат 16-ого порядка. То есть фактически его построил Франклин, только чуть-чуть не доработал, чтобы довести его до идеального. Это сделала я.

 

Итак, на рис. 1 воспроизвожу пандиагональный квадрат Франклина 16-ого порядка в первозданном виде, то есть в таком, как я нашла его в Интернете вот по этой ссылке:

 

http://www.geocities.com/~harveyh/franklin.htm

 

 

 

                                                                      Рис. 1

 

А теперь приведу этот же квадрат в преобразованном виде, в этом виде мне было удобно применить к квадрату свой метод качелей (рис. 2). О том, как преобразован квадрат и как к нему был применён метод качелей, читайте в статье “Квадраты Франклина”.

 

 

 

                                                                                     Рис. 2

 

Этот квадрат является настоящим шедевром!

Я стала внимательно рассматривать квадрат и увидела, что есть пары строк, которые содержат пары чисел, дающих в сумме 257 = 16² + 1. Назову эти строки комплементарными. Если эти строки расположить симметрично относительно центра квадрата, то будет ассоциативный квадрат. При этом некоторые строки надо перевернуть, то есть написать в обратном порядке.

Далее, исследовав все идеальные квадраты восьмого порядка, я установила, что первые 8 чисел в этих квадратах всегда располагаются так, что сумма 4 чисел слева равна сумме 4 чисел справа. Пишу маленькую программку, которая подбирает мне такой расклад в начальной цепочке первых 16 чисел для квадрата 16-ого порядка. Выполняю программу до первого решения, которое, понятно, не единственное. Вот какие значения 8 чисел в левой половине квадрата выдала мне программа:

 

1   2   7   8   11   12   13   14

 

Сумма всех чисел от 1 до 16 равна 136, поэтому сумма чисел в левой и в правой половине начальной цепочки должна равняться 68. Вот и всё! Теперь переписываю все строки из квадрата с рис. 2 для такой начальной цепочки, размещая комплементарные строки симметрично относительно центра квадрата (некоторые строки при этом переворачиваются). На рис. 3 вы видите идеальный квадрат 16-ого порядка! Этот шедевр получен самой незначительной доработкой гениального произведения Франклина. Фактически произведена перестановка строк с перевёртыванием некоторых из них (помните задачу Френикля?).

 

 

 

                                                   Рис. 3

 

Думаю, что к этому идеальному квадрату тоже можно применить метод качелей и с помощью этого метода построить другие идеальные квадраты, подобные данному. Во всяком случае, образующую таблицу этого квадрата я составила, она вполне подчиняется законам метода качелей. Попробуйте и вы составить эту таблицу, и вы сами увидите, какие в ней закономерности.

 

В статье “Квадраты Франклина” я попыталась построить по алгоритму Франклина (в его пандиагональном квадрате 16-ого порядка) квадрат восьмого порядка. Но у меня не получился пандиагональный квадрат, а получился дьявольски полумагический, вот такой (рис. 4):

 

 

 

                                                                         Рис. 4

 

Немного изменив схему компоновки матрицы по той же образующей таблице, получаю такой квадрат (рис. 5).

 

 

 

                                                                         Рис. 5

 

В этом полумагическом квадрате снова вижу комплементарные строки. Подбираю числа начальной цепочки так, чтобы сумма 4 чисел слева была равна сумме 4 чисел справа. Здесь это легко делается и без программы. И на рис. 6 показываю полученный квадрат. Увы, он не получился идеальным, а только ассоциативным.

 

 

 

                                                                         Рис. 6

 

Но и это неплохой результат, потому что мы имеем новый алгоритм построения ассоциативных квадратов восьмого порядка.

 

А теперь проверю на этом ассоциативном квадрате преобразование трёх квадратов, которое должно превратить квадрат в пандиагональный. На рис. 7 вы видите квадрат, полученный в результате применения к квадрату с рис. 6 преобразования трёх квадратов. Этот квадрат пандиагональный! Преобразование трёх квадратов работает и в этом частном случае.

 

 

 

                                                                         Рис. 4

 

И перед нами ещё одна схема построения пандиагональных квадратов восьмого порядка.

 

Примечание: о квадрате восьмого порядка смотрите новый результат (пандиагональный и идеальный квадраты) в статье “Построение идеальных квадратов порядка n=8k”. Ссылка на статью дана в конце этой страницы.

 

А теперь, конечно, надо попытаться построить идеальный квадрат 12-ого порядка. К сожалению, у меня нет пандиагонального квадрата 12-ого порядка Франклина (его ведь и вообще нет, то есть Франклин его не построил?), а есть только один квадрат – 16-ого порядка. Но есть алгоритм. Попытаюсь применить его (с помощью своего метода качелей) для квадрата 12-ого порядка. Как видите, применение этого алгоритма к квадрату восьмого порядка не дало ни пандиагонального, ни идеального квадрата. Не могу сейчас сказать, какой результат будет для квадрата 12-ого порядка. Надо попробовать. Если будут результаты, расскажу.

 

                                                                  ***

 

12 апреля 2008 г.

г. Саратов.

 

15 апреля 2008 г.

 

С квадратом 12-ого порядка у меня ничего не получилось, как я ни старалась. Тогда я попробовала построить по алгоритму Франклина пандиагональный квадрат 20-ого порядка, тоже не получилось. Далее перешла сразу к квадрату 32-ого порядка. Почему-то подумала, что с этим квадратом всё должно получиться. И не ошиблась! Пандиагональный квадрат 32-ого порядка, подобный пандиагональному квадрату 16-ого порядка Франклина, я построила. Уже показала его в статье “Квадраты Франклина (часть VI)”. Это ведь тоже пополнение семейства квадратов Франклина. Не буду дублировать квадрат здесь, потому что он большой. Теперь попробую точно так же получить из этого пандиагонального квадрата идеальный, как это сделано для квадрата 16-ого порядка. Вот прямо на ваших глазах рождается этот идеальный квадрат.

Сначала подобрала расклад начальной цепочки так, чтобы сумма 16 чисел слева была равна сумме 16 чисел справа. Сумма всех чисел от 1 до 16 равна 528, следовательно, суммы чисел слева и справа должны равняться 264. Не стала даже писать программу, подобрала набор без программы. Вот такие получились числа в начальной цепочке слева:

 

1  7  8  9  10  11  12 13  14  16  18  27  28  29  30  31

 

Осталось записать соответствующие строки из пандиагонального квадрата в матрицу, что и делаю (рис. 6-7). Как помнят читатели, некоторые строки переворачиваются, то есть записываются в обратном порядке.

 

          Идеальный квадрат 32-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                         Рис. 6

 

         Идеальный квадрат 32-ого порядка – часть 2

 

 

                                                                         Рис. 7

 

Вы даже представить себе не можете, с каким волнением я считала сумму в первой разломанной диагонали этого квадрата! Это был просто непередаваемый восторг, когда, нажав последний плюс на калькуляторе, я увидела на табло число 164000. Просто невероятно, что всё в этом квадрате именно так, как должно быть в идеальном квадрате. Смотрю на него пять минут, десять минут… Да, всё на месте, всё при нём. Он действительно идеальный!

 

Я ещё раз напомню путь, по которому шла к этому замечательному квадрату, а перед этим – к идеальному квадрату 16-ого порядка.

 

Первый этап: строю по алгоритму Франклина пандиагональный квадрат. Ну, квадрат 16-ого порядка уже построен Франклином, мне пришлось его только немного преобразовать.

Второй этап: подбираю такой расклад чисел в начальной цепочке, чтобы сумма чисел слева была равна сумме чисел справа. Это можно делать как по программе, так и без неё.

Третий этап: располагаю в матрице начальную цепочку и переписываю строки из пандиагонального квадрата в соответствии с этой начальной цепочкой. При этом некоторые строки надо перевернуть, то есть написать в обратном порядке.

Вот и всё. Такой простой на первый взгляд алгоритм. Однако получить этот простой алгоритм было совсем непросто. Во-первых, надо было догадаться работать с пандиагональным квадратом Франклина. Во-вторых, надо было применить к этому квадрату метод качелей, без этого метода я ни за что не построила бы идеальный квадрат 32-ого порядка по такому же алгоритму. А для этого квадрат Франклина надо было преобразовать. В-третьих, надо было увидеть, что в идеальных квадратах восьмого порядка числа начальной цепочки расположены так, что суммы их слева и справа равны. В-четвёртых, надо было увидеть в пандиагональном квадрате комплементарные строки. Ну, наконец, подобрать нужный расклад начальной цепочки, правильно расположить этот расклад в матрице и переписать строки из пандиагонального квадрата.

 

                                               _________

 

Примечание: пользуясь случаем, ещё раз подчеркну универсальность изобретённого мной метода качелей; в данном случае он уж точно не имеет ничего общего с ходом шахматного коня.

Один из почитателей огромного таланта Г. Александрова обвинил меня в плагиате. По мнению автора статьи “Плагиат в науке” Н. Громова нет никакого метода качелей (!), а свои решения для идеальных квадратов нечётного порядка я просто “срисовала” у Александрова. Смотрите статью здесь:

 

http://gromov7043.narod.ru/plagiat.html

 

(статья датирована январём 2008 г., а увидела я её совершенно случайно в марте).

 

Тот факт, что я построила методом качелей сотни других ассоциативных, пандиагональных и идеальных квадратов самых разных порядков, в том числе и таких, какие методом Александрова построить просто невозможно, автор статьи почему-то не заметил.

И вот теперь применила метод качелей к пандиагональному квадрату Франклина и построила идеальный квадрат 16-ого порядка, пандиагональный и идеальный квадраты 32-ого порядка. Это ещё не доказательство того, что метод качелей действительно разработан и действует? Метод уникальный. И “Цепи Александрова” (так назван его метод построения идеальных квадратов нечётного порядка) – метод, который является частным случаем метода качелей, когда начальная цепочка первых n чисел строится ходом шахматного коня.

Читайте о методе качелей мою большую статью (она написана в 14 частях) “Идеальные квадраты. Метод качелей”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

 

(По этой ссылке первая часть статьи, в конце каждой части есть ссылка на следующую часть.)

 

Автор статьи до сих пор пребывает в уверенности (заодно со своим другом Александровым), что идеальные квадраты существуют только нечётного порядка. Вот цитата из указанной статьи:

 

“Идеальный магический квадрат представляет собой квадратную матрицу n × n  (n - нечетное число, за исключением единицы и тройки), заполненную числами от 1 до n² таким образом, что…”

 

Я сама недавно узнала о существовании идеальных квадратов чётно-чётного порядка, участвуя в одном математическом форуме. Это благодаря тому, что работаю над темой, а не пишу пасквили.

 

                                               _________

 

Ну, что ж, думаю, что смогу этим методом построить идеальный квадрат 64-ого порядка. Насчёт квадрата 48-ого порядка сомневаюсь. А в квадрате 64-ого порядка почти уверена. Ну, а также в квадратах любого порядка n=16k, k=1, 2, 4, 8… Этот удивительный ряд квадратов открыл Франклин. Хвала ему! Но Франклин не построил идеальный квадрат, а только пандиагональный (а может быть, он построил и идеальные квадраты, но они потерялись? например, его пандиагональный квадрат 16-ого порядка был найден гораздо позже полумагических квадратов, вполне возможно, что были построены пандиагональные квадраты не только 16-ого порядка). Я продолжила этот ряд, пока только для k=2, построив и пандиагональный, и идеальный квадраты.

 

                                               ***

 

Продолжение этой страницы смотрите здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm

 

15 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу