ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

                                                             Часть I

 

Несколько дней назад зарегистрировалась на математическом форуме и узнала, что существует идеальный квадрат восьмого порядка.

Дали ссылку, где приводится такой квадрат, вот эта ссылка:

 

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

Утверждение о том, что идеальные квадраты существуют только для нечётных порядков n>3, было записано в Википедии. В своей статье “Ассоциативные квадраты” я доказала, что не существует идеальных квадратов четвёртого порядка. А для высших чётно-чётных порядков приняла на веру. И до сих пор считала, что идеальные квадраты существуют только нечётных порядков, начиная с пятого. Это оказалось совершенно неверно. Поэтому не верьте всему, что написано в Википедии. Любое утверждение надо проверять и доказывать.

Статья “Магический квадрат” в Википедии поправлена.

 

На этой странице хочу показать идеальные квадраты восьмого порядка. А об идеальных квадратах высших чётно-чётных порядков пока сама ничего не знаю.

 

На рис. 1 вы видите идеальный квадрат восьмого порядка, взятый по приведённой выше ссылке.

 

 

                                                    Рис. 1

 

Замечательный идеальный квадрат! И я уже вижу в этом квадрате качели. Покажу образующую таблицу этого квадрата (на рис. 1 выделена начальная цепочка первых 8 чисел). Кстати, схема построения этого квадрата очень похожа на схему Франклина в его дьявольски полумагических квадратах (см. статью “Квадраты Франклина”).

 Смотрите образующую таблицу приведённого идеального квадрата на рис. 2.

 

 

 

                                                                         Рис. 2

 

Все законы формирования образующей таблицы такие же, как в методе качелей. При переносе чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата есть одна особенность. Поэтому покажу этот процесс подробно. На рис. 3 вы видите перенесёнными три столбца образующей таблицы, три цикла качания качелей (при k=5, k=6 и k=3). Здесь всё, как обычно.

 

 

 

                                                                                       Рис. 3

 

А вот со следующего цикла (при k=7) появляется особенность: числа пишутся теперь, начиная с нижней левой ячейки вверх. На рис. 4 вы видите завершение заполнения матрицы числами из образующей таблицы.

 

 

 

                                                                                       Рис. 4

 

Такова схема построения данного идеального квадрата с применением метода качелей.

 

А теперь я хочу построить по этой схеме другие идеальные квадраты восьмого порядка. Но буду строить не в точности такие же квадраты, а квадраты, начинающиеся с числа 1. Как вы помните, это мои самые любимые квадраты. Квадрат с рис. 4 тоже можно сделать начинающимся с числа 1, применив к нему преобразование параллельного переноса на торе. Но при этом он утратит ассоциативность и уже не будет идеальным (рис. 5).

 

 

                                                    Рис. 5

 

Кстати, этот пример пандиагонального квадрата показывает, что по данной схеме можно строить и пандиагональные квадраты восьмого порядка, не являющиеся идеальными.

 

 Для построения идеальных квадратов, начинающихся с числа 1, я запрограммирую образующую таблицу, которую вы видите на рис. 6.

 

 

 

                                                                         Рис. 6

 

Программа выдала 36 идеальных квадратов. Все они, понятно, начинаются с числа 1. Показываю первые 7 квадратов, как они записаны программой в файл:

 

№ 1                                                   № 2

 1  32  41  56  49  48  25  8                1  32  49  48  41  56  25  8

 63  34  23  10  15  18  39  58            63  34  15  18  23  10  39  58 

 4  29  44  53  52  45  28  5                4  29  52  45  44  53  28  5 

 62  35  22  11  14  19  38  59            62  35  14  19  22  11  38  59

 6  27  46  51  54  43  30  3                6  27  54  43  46  51  30  3 

 60  37  20  13  12  21  36  61            60  37  12  21  20  13  36  61 

 7  26  47  50  55  42  31  2                7  26  55  42  47  50  31  2 

 57  40  17  16  9  24  33  64              57  40  9  24  17  16  33  64 

 

 № 3                                                  № 4

 1  48  25  56  49  32  41  8                1  48  49  32  25  56  41  8

 63  18  39  10  15  34  23  58            63  18  15  34  39  10  23  58 

 4  45  28  53  52  29  44  5                4  45  52  29  28  53  44  5 

 62  19  38  11  14  35  22  59            62  19  14  35  38  11  22  59 

 6  43  30  51  54  27  46  3                6  43  54  27  30  51  46  3 

 60  21  36  13  12  37  20  61            60  21  12  37  36  13  20  61 

 7  42  31  50  55  26  47  2                7  42  55  26  31  50  47  2

 57  24  33  16  9  40  17  64             57  24  9  40  33  16  17  64 

 

 № 5                                                  № 6

 1  56  25  48  41  32  49  8                1  56  41  32  25  48  49  8

 63  10  39  18  23  34  15  58            63  10  23  34  39  18  15  58 

 4  53  28  45  44  29  52  5                4  53  44  29  28  45  52  5

 62  11  38  19  22  35  14  59            62  11  22  35  38  19  14  59 

 6  51  30  43  46  27  54  3                6  51  46  27  30  43  54  3 

 60  13  36  21  20  37  12  61            60  13  20  37  36  21  12  61 

 7  50  31  42  47  26  55  2                7  50  47  26  31  42  55  2 

 57  16  33  24  17  40  9  64              57  16  17  40  33  24  9  64 

 

№ 7

 1  32  41  56  49  48  25  8

 62  35  22  11  14  19  38  59

 4  29  44  53  52  45  28  5

 63  34  23  10  15  18  39  58

 7  26  47  50  55  42  31  2

 60  37  20  13  12  21  36  61

 6  27  46  51  54  43  30  3

 57  40  17  16  9  24  33  64

 

Все квадраты вы можете посмотреть здесь:

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ideal8pril.htm

 

На рис. 7 и рис. 8 показываю первые два квадрата наглядно.

 

                                                                  Квадрат № 1

 

 

                                                    Рис. 7

 

                                                                  Квадрат № 2

 

 

                                                    Рис. 8

 

Посмотрите на эти два квадрата, у них совершенно одинаковые начальные цепочки первых 8 чисел. Значит, они отличаются только переставленными циклами качания качелей. И, конечно же, связаны преобразованием типа “плюс-минус …”, а именно – “плюс-минус 8” , матрицу которого вы видите на рис. 9.

 

 

 

                                                    Рис. 9

 

Наложите эту матрицу на квадрат № 1, выполните все действия с числами, попавшими в жёлтые и зелёные ячейки, остальные числа перепишите без изменения, и вы получите квадрат № 2. Красивейшее преобразование! Оно сохраняет идеальность квадрата. Если рассмотреть все 36 идеальных квадратов, можно увидеть несколько подобных преобразований, связывающих эти квадраты.

 

Ну, а теперь, у меня, конечно, возникает вопрос: можно ли по этой схеме построить идеальные квадраты 12-ого и высших чётно-чётных порядков? Прежде всего, делаю попытку построить частные решения, аналогичные имеющимся решениям для квадратов восьмого порядка. Первое частное решение строю по аналогии с квадратом с рис. 1. Сначала составляю образующую таблицу (рис. 10):

 

 

 

                                                                         Рис. 10

 

Теперь составляю квадрат, порождаемый этой образующей таблицей (рис. 11):

 

 

                                                    Рис. 11

 

И вот какой интересный получился квадрат! Когда я строила идеальные квадраты нечётных порядков, мне встречались подобные квадраты и были названы мной псевдоидеальными.

 

Примечание:  нашла в статье “Идеальные квадраты” такой квадрат 21-ого порядка. Он назван не псевдоидеальным, а квазиидеальным. Но смысл тот же самый.

 

В этом квадрате суммы по главным и разломанным диагоналям равны магической константе квадрата. Он ассоциативен. Что же в нём не так? Нет нужных сумм в строках и в столбцах! Суммы чисел в строках принимают два значения: 894 и 846 в строгом чередовании; суммы чисел в столбцах имеют значения: 872 и 868 и тоже чередуются. Вот такой малости не хватает этому квадрату до идеальности, он просто-напросто не магический. А если не обратить внимания на суммы в строках и в столбцах, то вполне можно принять его за идеальный. Вот поэтому я и назвала такие квадраты псевдоидеальными.

 

Совершенно такой же псевдоидеальный квадрат построился по аналогии с квадратом с рис. 7. Покажу этот квадрат (рис. 12), пропуская его образующую таблицу.

 

 

 

                                                    Рис. 12

 

Итак, с частными решениями ничего не получилось. Значит, надо составлять программу и искать все решения. Может быть, среди всех решений и найдутся идеальные квадраты. Этим сейчас и займусь. Если будут результаты, расскажу.

 

                                                                  ***

 

Посетите математический форум, вот ссылка на страницу с темой “Магические квадраты”:

 

http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=108142#108142

 

Благодаря участию в этом форуме я узнала о существовании идеального квадрата восьмого порядка. Об идеальных квадратах высших чётно-чётных порядков я спросила на форуме, но мне пока не ответили.

 

25-27 марта 2008 г.

                   г. Саратов

 

29-30  марта 2008 г.

 

Программу для построения идеальных квадратов 12-ого порядка по данной схеме составила, но выполнила не до конца. Пока не получила ни одного идеального квадрата. Что-то у меня возникает подозрение, что и не получу.

Ради интереса построила на досуге вручную аналогичное частное решение для квадрата 16-ого порядка. И снова получился псевдоидеальный квадрат! Вот чудеса!

На рис. 13 показываю этот псевдоидеальный квадрат 16-ого порядка. Посмотрите: суммы чисел во всех диагоналях, как главных, так и разломанных, равны магической константе квадрата 2056. И ассоциативность имеется. А вот суммы в строках и столбцах отличаются от магической константы.

 

 

 

                                                    Рис. 13

 

Неужели по данному алгоритму строится только идеальный квадрат восьмого порядка? Или всё-таки неверное частное решение ещё ни о чём не говорит? Надо всё-таки прогнать программу для квадратов 12-ого порядка до конца.

 

А пока порадую читателей сообщением, что идеальный квадрат чётно-чётного порядка всё-таки не единственный – квадрат 8-ого порядка. А метод построения составных квадратов у нас для чего? Понятно, что минимальный порядок идеального составного квадрата чётно-чётного порядка равен 40=8*5. Поскольку идеальный квадрат 40-ого порядка – это всё же редкостный экземпляр, покажу оба варианта составного квадрата.

 

Вариант первый

в качестве базового берём идеальный квадрат пятого порядка, который изображён на рис. 14, а в качестве основного – идеальный квадрат 8-ого порядка, изображённый на рис. 7.

 

 

 

                                                   Рис. 14

 

На рис. 15 вы видите матрицу, с помощью которой строится составной квадрат.

 

 

                                                   Рис. 15

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка представлен в виде двух равных частей, он как бы разрезан по вертикали (рис. 16-17). Для получения целого квадрата соедините две половинки.

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                                                                            Рис. 16

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 2

 

 

                                                                                                                            Рис. 17

 

Как видите, универсальный метод построения составных квадратов работает и здесь. Я построила выше группу из 36 идеальных квадратов восьмого порядка, начинающихся с числа 1. Как известно, существует 16 различных идеальных квадратов пятого порядка. Посчитайте, сколько можно построить описанным способом идеальных квадратов 40-ого порядка. Ещё надо заметить, что если вы повернёте базовый или/и основной квадрат, например, на 90 градусов, и снова построите идеальный квадрат 40-ого порядка, то это будет новый квадрат, не получающийся из показанного выше квадрата тоже поворотом на 90 градусов. Это даёт ещё очень много дополнительных вариантов квадратов.

 

А теперь вариант второй:

в качестве базового квадрата берём идеальный квадрат восьмого порядка с рис. 7, а в качестве основного – идеальный квадрат пятого порядка с рис. 14, то есть базовый и основной квадраты поменялись местами. Полученный таким образом идеальный квадрат показываю в том виде, как он записан в файл программой (конечно, построение этих квадратов я выполняю по программе, хотя это можно сделать и без программы, с помощью калькулятора).

На рис. 18 показана матрица для построения этого составного квадрата.

 

 

                                               Рис. 18

 

     Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

1  23  10  14  17  776  798  785  789  792  1001  1023  1010  1014  1017  1376  1398  1385  1389  1392

 15  19  2  21  8  790  794  777  796  783  1015  1019  1002  1021  1008  1390  1394  1377  1396  1383

 22  6  13  20  4  797  781  788  795  779  1022  1006  1013  1020  1004  1397  1381  1388  1395  1379

 18  5  24  7  11  793  780  799  782  786  1018  1005  1024  1007  1011  1393  1380  1399  1382  1386

 9  12  16  3  25  784  787  791  778  800  1009  1012  1016  1003  1025  1384  1387  1391  1378  1400

 1551  1573  1560  1564  1567  826  848  835  839  842  551  573  560  564  567  226  248  235  239  242

 1565  1569  1552  1571  1558  840  844  827  846  833  565  569  552  571  558  240  244  227  246  233

 1572  1556  1563  1570  1554  847  831  838  845  829  572  556  563  570  554  247  231  238  245  229

 1568  1555  1574  1557  1561  843  830  849  832  836  568  555  574  557  561  243  230  249  232  236

 1559  1562  1566  1553  1575  834  837  841  828  850  559  562  566  553  575  234  237  241  228  250

 76  98  85  89  92  701  723  710  714  717  1076  1098  1085  1089  1092  1301  1323  1310  1314  1317

 90  94  77  96  83  715  719  702  721  708  1090  1094  1077  1096  1083  1315  1319  1302  1321  1308

 97  81  88  95  79  722  706  713  720  704  1097  1081  1088  1095  1079  1322  1306  1313  1320  1304

 93  80  99  82  86  718  705  724  707  711  1093  1080  1099  1082  1086  1318  1305  1324  1307  1311

 84  87  91  78  100  709  712  716  703  725  1084  1087  1091  1078  1100  1309  1312  1316  1303  1325

 1526  1548  1535  1539  1542  851  873  860  864  867  526  548  535  539  542  251  273  260  264  267

 1540  1544  1527  1546  1533  865  869  852  871  858  540  544  527  546  533  265  269  252  271  258

 1547  1531  1538  1545  1529  872  856  863  870  854  547  531  538  545  529  272  256  263  270  254

 1543  1530  1549  1532  1536  868  855  874  857  861  543  530  549  532  536  268  255  274  257  261

 1534  1537  1541  1528  1550  859  862  866  853  875  534  537  541  528  550  259  262  266  253  275

 126  148  135  139  142  651  673  660  664  667  1126  1148  1135  1139  1142  1251  1273  1260  1264  1267

 140  144  127  146  133  665  669  652  671  658  1140  1144  1127  1146  1133  1265  1269  1252  1271  1258

 147  131  138  145  129  672  656  663  670  654  1147  1131  1138  1145  1129  1272  1256  1263  1270  1254

 143  130  149  132  136  668  655  674  657  661  1143  1130  1149  1132  1136  1268  1255  1274  1257  1261

 134  137  141  128  150  659  662  666  653  675  1134  1137  1141  1128  1150  1259  1262  1266  1253  1275

 1476  1498  1485  1489  1492  901  923  910  914  917  476  498  485  489  492  301  323  310  314  317

 1490  1494  1477  1496  1483  915  919  902  921  908  490  494  477  496  483  315  319  302  321  308

 1497  1481  1488  1495  1479  922  906  913  920  904  497  481  488  495  479  322  306  313  320  304

 1493  1480  1499  1482  1486  918  905  924  907  911  493  480  499  482  486  318  305  324  307  311

 1484  1487  1491  1478  1500  909  912  916  903  925  484  487  491  478  500  309  312  316  303  325

 151  173  160  164  167  626  648  635  639  642  1151  1173  1160  1164  1167  1226  1248  1235  1239  1242

 165  169  152  171  158  640  644  627  646  633  1165  1169  1152  1171  1158  1240  1244  1227  1246  1233

 172  156  163  170  154  647  631  638  645  629  1172  1156  1163  1170  1154  1247  1231  1238  1245  1229

 168  155  174  157  161  643  630  649  632  636  1168  1155  1174  1157  1161  1243  1230  1249  1232  1236

 159  162  166  153  175  634  637  641  628  650  1159  1162  1166  1153  1175  1234  1237  1241  1228  1250

 1401  1423  1410  1414  1417  976  998  985  989  992  401  423  410  414  417  376  398  385  389  392

 1415  1419  1402  1421  1408  990  994  977  996  983  415  419  402  421  408  390  394  377  396  383

 1422  1406  1413  1420  1404  997  981  988  995  979  422  406  413  420  404  397  381  388  395  379

 1418  1405  1424  1407  1411  993  980  999  982  986  418  405  424  407  411  393  380  399  382  386

 1409  1412  1416  1403  1425  984  987  991  978  1000  409  412  416  403  425  384  387  391  378  400

 

     Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 2

 

1201  1223  1210  1214  1217  1176  1198  1185  1189  1192  601  623  610  614  617  176  198  185  189  192

 1215  1219  1202  1221  1208  1190  1194  1177  1196  1183  615  619  602  621  608  190  194  177  196  183

 1222  1206  1213  1220  1204  1197  1181  1188  1195  1179  622  606  613  620  604  197  181  188  195  179

 1218  1205  1224  1207  1211  1193  1180  1199  1182  1186  618  605  624  607  611  193  180  199  182  186

 1209  1212  1216  1203  1225  1184  1187  1191  1178  1200  609  612  616  603  625  184  187  191  178  200

 351  373  360  364  367  426  448  435  439  442  951  973  960  964  967  1426  1448  1435  1439  1442

 365  369  352  371  358  440  444  427  446  433  965  969  952  971  958  1440  1444  1427  1446  1433

 372  356  363  370  354  447  431  438  445  429  972  956  963  970  954  1447  1431  1438  1445  1429

 368  355  374  357  361  443  430  449  432  436  968  955  974  957  961  1443  1430  1449  1432  1436

 359  362  366  353  375  434  437  441  428  450  959  962  966  953  975  1434  1437  1441  1428  1450

 1276  1298  1285  1289  1292  1101  1123  1110  1114  1117  676  698  685  689  692  101  123  110  114  117

 1290  1294  1277  1296  1283  1115  1119  1102  1121  1108  690  694  677  696  683  115  119  102  121  108

 1297  1281  1288  1295  1279  1122  1106  1113  1120  1104  697  681  688  695  679  122  106  113  120  104

 1293  1280  1299  1282  1286  1118  1105  1124  1107  1111  693  680  699  682  686  118  105  124  107  111

 1284  1287  1291  1278  1300  1109  1112  1116  1103  1125  684  687  691  678  700  109  112  116  103  125

 326  348  335  339  342  451  473  460  464  467  926  948  935  939  942  1451  1473  1460  1464  1467

 340  344  327  346  333  465  469  452  471  458  940  944  927  946  933  1465  1469  1452  1471  1458

 347  331  338  345  329  472  456  463  470  454  947  931  938  945  929  1472  1456  1463  1470  1454

 343  330  349  332  336  468  455  474  457  461  943  930  949  932  936  1468  1455  1474  1457  1461

 334  337  341  328  350  459  462  466  453  475  934  937  941  928  950  1459  1462  1466  1453  1475

 1326  1348  1335  1339  1342  1051  1073  1060  1064  1067  726  748  735  739  742  51  73  60  64  67

 1340  1344  1327  1346  1333  1065  1069  1052  1071  1058  740  744  727  746  733  65  69  52  71  58

 1347  1331  1338  1345  1329  1072  1056  1063  1070  1054  747  731  738  745  729  72  56  63  70  54

 1343  1330  1349  1332  1336  1068  1055  1074  1057  1061  743  730  749  732  736  68  55  74  57  61

 1334  1337  1341  1328  1350  1059  1062  1066  1053  1075  734  737  741  728  750  59  62  66  53  75

 276  298  285  289  292  501  523  510  514  517  876  898  885  889  892  1501  1523  1510  1514  1517

 290  294  277  296  283  515  519  502  521  508  890  894  877  896  883  1515  1519  1502  1521  1508

 297  281  288  295  279  522  506  513  520  504  897  881  888  895  879  1522  1506  1513  1520  1504

 293  280  299  282  286  518  505  524  507  511  893  880  899  882  886  1518  1505  1524  1507  1511

 284  287  291  278  300  509  512  516  503  525  884  887  891  878  900  1509  1512  1516  1503  1525

 1351  1373  1360  1364  1367  1026  1048  1035  1039  1042  751  773  760  764  767  26  48  35  39  42

 1365  1369  1352  1371  1358  1040  1044  1027  1046  1033  765  769  752  771  758  40  44  27  46  33

 1372  1356  1363  1370  1354  1047  1031  1038  1045  1029  772  756  763  770  754  47  31  38  45  29

 1368  1355  1374  1357  1361  1043  1030  1049  1032  1036  768  755  774  757  761  43  30  49  32  36

 1359  1362  1366  1353  1375  1034  1037  1041  1028  1050  759  762  766  753  775  34  37  41  28  50

 201  223  210  214  217  576  598  585  589  592  801  823  810  814  817  1576  1598  1585  1589  1592

 215  219  202  221  208  590  594  577  596  583  815  819  802  821  808  1590  1594  1577  1596  1583

 222  206  213  220  204  597  581  588  595  579  822  806  813  820  804  1597  1581  1588  1595  1579

 218  205  224  207  211  593  580  599  582  586  818  805  824  807  811  1593  1580  1599  1582  1586

 209  212  216  203  225  584  587  591  578  600  809  812  816  803  825  1584  1587  1591  1578  1600

 

Таким образом, делаем вывод: существуют идеальные квадраты любого чётно-чётного порядка n=8k, k=1, 5, 7, 9…

При k=1 имеем идеальный квадрат 8-ого порядка, а при всех следующих нечётных k идеальные квадраты строятся как составные.

 

Точно так же можно построить идеальные квадраты любого порядка n=8^p, p=2, 3, 4, 5… Сначала строим квадрат 64-ого порядка на базе идеального квадрата 8-ого порядка, его же берём в качестве основного (можно взять в качестве основного и другой идеальный квадрат 8-ого порядка). Квадрат следующего, 512-ого порядка строится на базе идеального квадрата 8-ого порядка, в качестве основного берётся идеальный квадрат 64-ого порядка. И так далее.

 

Вот сколько идеальных квадратов чётно-чётного порядка даёт нам метод построения составных квадратов! Не перестаю восхищаться универсальностью этого метода.

 

А сейчас буду выполнять программу для идеальных квадратов 12-ого порядка до конца.

 

                                               ***

 

    4 апреля 2008 г.

 

Итак, с идеальными квадратами 12-ого и 16-ого порядка (а так же, вероятно, и всех следующих чётно-чётных порядков) ничего не получилось. Долго выполняла программу для построения идеальных квадратов 12-ого порядка (так и не выполнила до конца), а потом глянула на все получающиеся квадраты и увидела, что наборы чисел в строках во всех квадратах одинаковы! И значит, нечего искать – идеального квадрата не получится. Получится n-ое количество псевдоидеальных квадратов, подобных тем, что показаны на рис. 11 и рис. 12. Вот такой плачевный результат. По данной схеме идеальные квадраты чётно-чётного порядка, кроме n=8, не строятся.

 

Теперь возникает вопрос: существуют ли вообще идеальные квадраты чётно-чётного порядка, кроме восьмого (и всех тех, что строятся на базе этого квадрата)? Интересный вопрос!

 

От разочарования решила построить идеальный квадрат 64-ого порядка. В качестве базового квадрата возьму идеальный квадрат с рис. 7, а в качестве основного – идеальный квадрат с рис. 8. На рис. 19 показываю матрицу, с помощью которой строится этот составной квадрат.

 

 

 

                                               Рис. 19

 

Интересно отметить такой факт: если смотреть на эту матрицу (рис. 19) как на магический квадрат, то это будет нетрадиционный идеальный квадрат восьмого порядка с магической константой 16128 (в пустой ячейке подразумевается число 0). То же самое можно сказать и о матрице с рис. 18 (конечно, магическая константа в этом квадрате другая - 6300). А матрица на рис. 15 даёт нетрадиционный идеальный квадрат пятого порядка с магической константой 3840.

 

Идеальный квадрат 64-ого порядка вывожу прямо из файла, в который он записан программой. Квадрат снова представлен в виде двух частей по 32 столбца.

 

     Идеальный квадрат 64-ого порядка – часть 1

 

1  32  49  48  41  56  25  8  1985  2016  2033  2032  2025  2040  2009  1992  2561  2592  2609  2608  2601  2616  2585  2568  3521  3552  3569  3568  3561  3576  3545  3528

 63  34  15  18  23  10  39  58  2047  2018  1999  2002  2007  1994  2023  2042  2623  2594  2575  2578  2583  2570  2599  2618  3583  3554  3535  3538  3543  3530  3559  3578

 4  29  52  45  44  53  28  5  1988  2013  2036  2029  2028  2037  2012  1989  2564  2589  2612  2605  2604  2613  2588  2565  3524  3549  3572  3565  3564  3573  3548  3525

 62  35  14  19  22  11  38  59  2046  2019  1998  2003  2006  1995  2022  2043  2622  2595  2574  2579  2582  2571  2598  2619  3582  3555  3534  3539  3542  3531  3558  3579

 6  27  54  43  46  51  30  3  1990  2011  2038  2027  2030  2035  2014  1987  2566  2587  2614  2603  2606  2611  2590  2563  3526  3547  3574  3563  3566  3571  3550  3523

 60  37  12  21  20  13  36  61  2044  2021  1996  2005  2004  1997  2020  2045  2620  2597  2572  2581  2580  2573  2596  2621  3580  3557  3532  3541  3540  3533  3556  3581

 7  26  55  42  47  50  31  2  1991  2010  2039  2026  2031  2034  2015  1986  2567  2586  2615  2602  2607  2610  2591  2562  3527  3546  3575  3562  3567  3570  3551  3522

 57  40  9  24  17  16  33  64  2041  2024  1993  2008  2001  2000  2017  2048  2617  2600  2569  2584  2577  2576  2593  2624  3577  3560  3529  3544  3537  3536  3553  3584

 3969  4000  4017  4016  4009  4024  3993  3976  2113  2144  2161  2160  2153  2168  2137  2120  1409  1440  1457  1456  1449  1464  1433  1416  577  608  625  624  617  632  601  584

 4031  4002  3983  3986  3991  3978  4007  4026  2175  2146  2127  2130  2135  2122  2151  2170  1471  1442  1423  1426  1431  1418  1447  1466  639  610  591  594  599  586  615  634

 3972  3997  4020  4013  4012  4021  3996  3973  2116  2141  2164  2157  2156  2165  2140  2117  1412  1437  1460  1453  1452  1461  1436  1413  580  605  628  621  620  629  604  581

 4030  4003  3982  3987  3990  3979  4006  4027  2174  2147  2126  2131  2134  2123  2150  2171  1470  1443  1422  1427  1430  1419  1446  1467  638  611  590  595  598  587  614  635

 3974  3995  4022  4011  4014  4019  3998  3971  2118  2139  2166  2155  2158  2163  2142  2115  1414  1435  1462  1451  1454  1459  1438  1411  582  603  630  619  622  627  606  579

 4028  4005  3980  3989  3988  3981  4004  4029  2172  2149  2124  2133  2132  2125  2148  2173  1468  1445  1420  1429  1428  1421  1444  1469  636  613  588  597  596  589  612  637

 3975  3994  4023  4010  4015  4018  3999  3970  2119  2138  2167  2154  2159  2162  2143  2114  1415  1434  1463  1450  1455  1458  1439  1410  583  602  631  618  623  626  607  578

 4025  4008  3977  3992  3985  3984  4001  4032  2169  2152  2121  2136  2129  2128  2145  2176  1465  1448  1417  1432  1425  1424  1441  1472  633  616  585  600  593  592  609  640

 193  224  241  240  233  248  217  200  1793  1824  1841  1840  1833  1848  1817  1800  2753  2784  2801  2800  2793  2808  2777  2760  3329  3360  3377  3376  3369  3384  3353  3336

 255  226  207  210  215  202  231  250  1855  1826  1807  1810  1815  1802  1831  1850  2815  2786  2767  2770  2775  2762  2791  2810  3391  3362  3343  3346  3351  3338  3367  3386

 196  221  244  237  236  245  220  197  1796  1821  1844  1837  1836  1845  1820  1797  2756  2781  2804  2797  2796  2805  2780  2757  3332  3357  3380  3373  3372  3381  3356  3333

 254  227  206  211  214  203  230  251  1854  1827  1806  1811  1814  1803  1830  1851  2814  2787  2766  2771  2774  2763  2790  2811  3390  3363  3342  3347  3350  3339  3366  3387

 198  219  246  235  238  243  222  195  1798  1819  1846  1835  1838  1843  1822  1795  2758  2779  2806  2795  2798  2803  2782  2755  3334  3355  3382  3371  3374  3379  3358  3331

 252  229  204  213  212  205  228  253  1852  1829  1804  1813  1812  1805  1828  1853  2812  2789  2764  2773  2772  2765  2788  2813  3388  3365  3340  3349  3348  3341  3364  3389

 199  218  247  234  239  242  223  194  1799  1818  1847  1834  1839  1842  1823  1794  2759  2778  2807  2794  2799  2802  2783  2754  3335  3354  3383  3370  3375  3378  3359  3330

 249  232  201  216  209  208  225  256  1849  1832  1801  1816  1809  1808  1825  1856  2809  2792  2761  2776  2769  2768  2785  2816  3385  3368  3337  3352  3345  3344  3361  3392

 3905  3936  3953  3952  3945  3960  3929  3912  2177  2208  2225  2224  2217  2232  2201  2184  1345  1376  1393  1392  1385  1400  1369  1352  641  672  689  688  681  696  665  648

 3967  3938  3919  3922  3927  3914  3943  3962  2239  2210  2191  2194  2199  2186  2215  2234  1407  1378  1359  1362  1367  1354  1383  1402  703  674  655  658  663  650  679  698

 3908  3933  3956  3949  3948  3957  3932  3909  2180  2205  2228  2221  2220  2229  2204  2181  1348  1373  1396  1389  1388  1397  1372  1349  644  669  692  685  684  693  668  645

 3966  3939  3918  3923  3926  3915  3942  3963  2238  2211  2190  2195  2198  2187  2214  2235  1406  1379  1358  1363  1366  1355  1382  1403  702  675  654  659  662  651  678  699

 3910  3931  3958  3947  3950  3955  3934  3907  2182  2203  2230  2219  2222  2227  2206  2179  1350  1371  1398  1387  1390  1395  1374  1347  646  667  694  683  686  691  670  643

 3964  3941  3916  3925  3924  3917  3940  3965  2236  2213  2188  2197  2196  2189  2212  2237  1404  1381  1356  1365  1364  1357  1380  1405  700  677  652  661  660  653  676  701

 3911  3930  3959  3946  3951  3954  3935  3906  2183  2202  2231  2218  2223  2226  2207  2178  1351  1370  1399  1386  1391  1394  1375  1346  647  666  695  682  687  690  671  642

 3961  3944  3913  3928  3921  3920  3937  3968  2233  2216  2185  2200  2193  2192  2209  2240  1401  1384  1353  1368  1361  1360  1377  1408  697  680  649  664  657  656  673  704

 321  352  369  368  361  376  345  328  1665  1696  1713  1712  1705  1720  1689  1672  2881  2912  2929  2928  2921  2936  2905  2888  3201  3232  3249  3248  3241  3256  3225  3208

 383  354  335  338  343  330  359  378  1727  1698  1679  1682  1687  1674  1703  1722  2943  2914  2895  2898  2903  2890  2919  2938  3263  3234  3215  3218  3223  3210  3239  3258

 324  349  372  365  364  373  348  325  1668  1693  1716  1709  1708  1717  1692  1669  2884  2909  2932  2925  2924  2933  2908  2885  3204  3229  3252  3245  3244  3253  3228  3205

 382  355  334  339  342  331  358  379  1726  1699  1678  1683  1686  1675  1702  1723  2942  2915  2894  2899  2902  2891  2918  2939  3262  3235  3214  3219  3222  3211  3238  3259

 326  347  374  363  366  371  350  323  1670  1691  1718  1707  1710  1715  1694  1667  2886  2907  2934  2923  2926  2931  2910  2883  3206  3227  3254  3243  3246  3251  3230  3203

 380  357  332  341  340  333  356  381  1724  1701  1676  1685  1684  1677  1700  1725  2940  2917  2892  2901  2900  2893  2916  2941  3260  3237  3212  3221  3220  3213  3236  3261

 327  346  375  362  367  370  351  322  1671  1690  1719  1706  1711  1714  1695  1666  2887  2906  2935  2922  2927  2930  2911  2882  3207  3226  3255  3242  3247  3250  3231  3202

 377  360  329  344  337  336  353  384  1721  1704  1673  1688  1681  1680  1697  1728  2937  2920  2889  2904  2897  2896  2913  2944  3257  3240  3209  3224  3217  3216  3233  3264

 3777  3808  3825  3824  3817  3832  3801  3784  2305  2336  2353  2352  2345  2360  2329  2312  1217  1248  1265  1264  1257  1272  1241  1224  769  800  817  816  809  824  793  776

 3839  3810  3791  3794  3799  3786  3815  3834  2367  2338  2319  2322  2327  2314  2343  2362  1279  1250  1231  1234  1239  1226  1255  1274  831  802  783  786  791  778  807  826

 3780  3805  3828  3821  3820  3829  3804  3781  2308  2333  2356  2349  2348  2357  2332  2309  1220  1245  1268  1261  1260  1269  1244  1221  772  797  820  813  812  821  796  773

 3838  3811  3790  3795  3798  3787  3814  3835  2366  2339  2318  2323  2326  2315  2342  2363  1278  1251  1230  1235  1238  1227  1254  1275  830  803  782  787  790  779  806  827

 3782  3803  3830  3819  3822  3827  3806  3779  2310  2331  2358  2347  2350  2355  2334  2307  1222  1243  1270  1259  1262  1267  1246  1219  774  795  822  811  814  819  798  771

 3836  3813  3788  3797  3796  3789  3812  3837  2364  2341  2316  2325  2324  2317  2340  2365  1276  1253  1228  1237  1236  1229  1252  1277  828  805  780  789  788  781  804  829

 3783  3802  3831  3818  3823  3826  3807  3778  2311  2330  2359  2346  2351  2354  2335  2306  1223  1242  1271  1258  1263  1266  1247  1218  775  794  823  810  815  818  799  770

 3833  3816  3785  3800  3793  3792  3809  3840  2361  2344  2313  2328  2321  2320  2337  2368  1273  1256  1225  1240  1233  1232  1249  1280  825  808  777  792  785  784  801  832

 385  416  433  432  425  440  409  392  1601  1632  1649  1648  1641  1656  1625  1608  2945  2976  2993  2992  2985  3000  2969  2952  3137  3168  3185  3184  3177  3192  3161  3144

 447  418  399  402  407  394  423  442  1663  1634  1615  1618  1623  1610  1639  1658  3007  2978  2959  2962  2967  2954  2983  3002  3199  3170  3151  3154  3159  3146  3175  3194

 388  413  436  429  428  437  412  389  1604  1629  1652  1645  1644  1653  1628  1605  2948  2973  2996  2989  2988  2997  2972  2949  3140  3165  3188  3181  3180  3189  3164  3141

 446  419  398  403  406  395  422  443  1662  1635  1614  1619  1622  1611  1638  1659  3006  2979  2958  2963  2966  2955  2982  3003  3198  3171  3150  3155  3158  3147  3174  3195

 390  411  438  427  430  435  414  387  1606  1627  1654  1643  1646  1651  1630  1603  2950  2971  2998  2987  2990  2995  2974  2947  3142  3163  3190  3179  3182  3187  3166  3139

 444  421  396  405  404  397  420  445  1660  1637  1612  1621  1620  1613  1636  1661  3004  2981  2956  2965  2964  2957  2980  3005  3196  3173  3148  3157  3156  3149  3172  3197

 391  410  439  426  431  434  415  386  1607  1626  1655  1642  1647  1650  1631  1602  2951  2970  2999  2986  2991  2994  2975  2946  3143  3162  3191  3178  3183  3186  3167  3138

 441  424  393  408  401  400  417  448  1657  1640  1609  1624  1617  1616  1633  1664  3001  2984  2953  2968  2961  2960  2977  3008  3193  3176  3145  3160  3153  3152  3169  3200

 3585  3616  3633  3632  3625  3640  3609  3592  2497  2528  2545  2544  2537  2552  2521  2504  1025  1056  1073  1072  1065  1080  1049  1032  961  992  1009  1008  1001  1016  985  968

 3647  3618  3599  3602  3607  3594  3623  3642  2559  2530  2511  2514  2519  2506  2535  2554  1087  1058  1039  1042  1047  1034  1063  1082  1023  994  975  978  983  970  999  1018

 3588  3613  3636  3629  3628  3637  3612  3589  2500  2525  2548  2541  2540  2549  2524  2501  1028  1053  1076  1069  1068  1077  1052  1029  964  989  1012  1005  1004  1013  988  965

 3646  3619  3598  3603  3606  3595  3622  3643  2558  2531  2510  2515  2518  2507  2534  2555  1086  1059  1038  1043  1046  1035  1062  1083  1022  995  974  979  982  971  998  1019

 3590  3611  3638  3627  3630  3635  3614  3587  2502  2523  2550  2539  2542  2547  2526  2499  1030  1051  1078  1067  1070  1075  1054  1027  966  987  1014  1003  1006  1011  990  963

 3644  3621  3596  3605  3604  3597  3620  3645  2556  2533  2508  2517  2516  2509  2532  2557  1084  1061  1036  1045  1044  1037  1060  1085  1020  997  972  981  980  973  996  1021

 3591  3610  3639  3626  3631  3634  3615  3586  2503  2522  2551  2538  2543  2546  2527  2498  1031  1050  1079  1066  1071  1074  1055  1026  967  986  1015  1002  1007  1010  991  962

 3641  3624  3593  3608  3601  3600  3617  3648  2553  2536  2505  2520  2513  2512  2529  2560  1081  1064  1033  1048  1041  1040  1057  1088  1017  1000  969  984  977  976  993  1024

 

     Идеальный квадрат 64-ого порядка – часть 2

 

 3073  3104  3121  3120  3113  3128  3097  3080  3009  3040  3057  3056  3049  3064  3033  3016  1537  1568  1585  1584  1577  1592  1561  1544  449  480  497  496  489  504  473  456

 3135  3106  3087  3090  3095  3082  3111  3130  3071  3042  3023  3026  3031  3018  3047  3066  1599  1570  1551  1554  1559  1546  1575  1594  511  482  463  466  471  458  487  506

 3076  3101  3124  3117  3116  3125  3100  3077  3012  3037  3060  3053  3052  3061  3036  3013  1540  1565  1588  1581  1580  1589  1564  1541  452  477  500  493  492  501  476  453

 3134  3107  3086  3091  3094  3083  3110  3131  3070  3043  3022  3027  3030  3019  3046  3067  1598  1571  1550  1555  1558  1547  1574  1595  510  483  462  467  470  459  486  507

 3078  3099  3126  3115  3118  3123  3102  3075  3014  3035  3062  3051  3054  3059  3038  3011  1542  1563  1590  1579  1582  1587  1566  1539  454  475  502  491  494  499  478  451

 3132  3109  3084  3093  3092  3085  3108  3133  3068  3045  3020  3029  3028  3021  3044  3069  1596  1573  1548  1557  1556  1549  1572  1597  508  485  460  469  468  461  484  509

 3079  3098  3127  3114  3119  3122  3103  3074  3015  3034  3063  3050  3055  3058  3039  3010  1543  1562  1591  1578  1583  1586  1567  1538  455  474  503  490  495  498  479  450

 3129  3112  3081  3096  3089  3088  3105  3136  3065  3048  3017  3032  3025  3024  3041  3072  1593  1576  1545  1560  1553  1552  1569  1600  505  488  457  472  465  464  481  512

 897  928  945  944  937  952  921  904  1089  1120  1137  1136  1129  1144  1113  1096  2433  2464  2481  2480  2473  2488  2457  2440  3649  3680  3697  3696  3689  3704  3673  3656

 959  930  911  914  919  906  935  954  1151  1122  1103  1106  1111  1098  1127  1146  2495  2466  2447  2450  2455  2442  2471  2490  3711  3682  3663  3666  3671  3658  3687  3706

 900  925  948  941  940  949  924  901  1092  1117  1140  1133  1132  1141  1116  1093  2436  2461  2484  2477  2476  2485  2460  2437  3652  3677  3700  3693  3692  3701  3676  3653

 958  931  910  915  918  907  934  955  1150  1123  1102  1107  1110  1099  1126  1147  2494  2467  2446  2451  2454  2443  2470  2491  3710  3683  3662  3667  3670  3659  3686  3707

 902  923  950  939  942  947  926  899  1094  1115  1142  1131  1134  1139  1118  1091  2438  2459  2486  2475  2478  2483  2462  2435  3654  3675  3702  3691  3694  3699  3678  3651

 956  933  908  917  916  909  932  957  1148  1125  1100  1109  1108  1101  1124  1149  2492  2469  2444  2453  2452  2445  2468  2493  3708  3685  3660  3669  3668  3661  3684  3709

 903  922  951  938  943  946  927  898  1095  1114  1143  1130  1135  1138  1119  1090  2439  2458  2487  2474  2479  2482  2463  2434  3655  3674  3703  3690  3695  3698  3679  3650

 953  936  905  920  913  912  929  960  1145  1128  1097  1112  1105  1104  1121  1152  2489  2472  2441  2456  2449  2448  2465  2496  3705  3688  3657  3672  3665  3664  3681  3712

 3265  3296  3313  3312  3305  3320  3289  3272  2817  2848  2865  2864  2857  2872  2841  2824  1729  1760  1777  1776  1769  1784  1753  1736  257  288  305  304  297  312  281  264

 3327  3298  3279  3282  3287  3274  3303  3322  2879  2850  2831  2834  2839  2826  2855  2874  1791  1762  1743  1746  1751  1738  1767  1786  319  290  271  274  279  266  295  314

 3268  3293  3316  3309  3308  3317  3292  3269  2820  2845  2868  2861  2860  2869  2844  2821  1732  1757  1780  1773  1772  1781  1756  1733  260  285  308  301  300  309  284  261

 3326  3299  3278  3283  3286  3275  3302  3323  2878  2851  2830  2835  2838  2827  2854  2875  1790  1763  1742  1747  1750  1739  1766  1787  318  291  270  275  278  267  294  315

 3270  3291  3318  3307  3310  3315  3294  3267  2822  2843  2870  2859  2862  2867  2846  2819  1734  1755  1782  1771  1774  1779  1758  1731  262  283  310  299  302  307  286  259

 3324  3301  3276  3285  3284  3277  3300  3325  2876  2853  2828  2837  2836  2829  2852  2877  1788  1765  1740  1749  1748  1741  1764  1789  316  293  268  277  276  269  292  317

 3271  3290  3319  3306  3311  3314  3295  3266  2823  2842  2871  2858  2863  2866  2847  2818  1735  1754  1783  1770  1775  1778  1759  1730  263  282  311  298  303  306  287  258

 3321  3304  3273  3288  3281  3280  3297  3328  2873  2856  2825  2840  2833  2832  2849  2880  1785  1768  1737  1752  1745  1744  1761  1792  313  296  265  280  273  272  289  320

 833  864  881  880  873  888  857  840  1153  1184  1201  1200  1193  1208  1177  1160  2369  2400  2417  2416  2409  2424  2393  2376  3713  3744  3761  3760  3753  3768  3737  3720

 895  866  847  850  855  842  871  890  1215  1186  1167  1170  1175  1162  1191  1210  2431  2402  2383  2386  2391  2378  2407  2426  3775  3746  3727  3730  3735  3722  3751  3770

 836  861  884  877  876  885  860  837  1156  1181  1204  1197  1196  1205  1180  1157  2372  2397  2420  2413  2412  2421  2396  2373  3716  3741  3764  3757  3756  3765  3740  3717

 894  867  846  851  854  843  870  891  1214  1187  1166  1171  1174  1163  1190  1211  2430  2403  2382  2387  2390  2379  2406  2427  3774  3747  3726  3731  3734  3723  3750  3771

 838  859  886  875  878  883  862  835  1158  1179  1206  1195  1198  1203  1182  1155  2374  2395  2422  2411  2414  2419  2398  2371  3718  3739  3766  3755  3758  3763  3742  3715

 892  869  844  853  852  845  868  893  1212  1189  1164  1173  1172  1165  1188  1213  2428  2405  2380  2389  2388  2381  2404  2429  3772  3749  3724  3733  3732  3725  3748  3773

 839  858  887  874  879  882  863  834  1159  1178  1207  1194  1199  1202  1183  1154  2375  2394  2423  2410  2415  2418  2399  2370  3719  3738  3767  3754  3759  3762  3743  3714

 889  872  841  856  849  848  865  896  1209  1192  1161  1176  1169  1168  1185  1216  2425  2408  2377  2392  2385  2384  2401  2432  3769  3752  3721  3736  3729  3728  3745  3776

 3393  3424  3441  3440  3433  3448  3417  3400  2689  2720  2737  2736  2729  2744  2713  2696  1857  1888  1905  1904  1897  1912  1881  1864  129  160  177  176  169  184  153  136

 3455  3426  3407  3410  3415  3402  3431  3450  2751  2722  2703  2706  2711  2698  2727  2746  1919  1890  1871  1874  1879  1866  1895  1914  191  162  143  146  151  138  167  186

 3396  3421  3444  3437  3436  3445  3420  3397  2692  2717  2740  2733  2732  2741  2716  2693  1860  1885  1908  1901  1900  1909  1884  1861  132  157  180  173  172  181  156  133

 3454  3427  3406  3411  3414  3403  3430  3451  2750  2723  2702  2707  2710  2699  2726  2747  1918  1891  1870  1875  1878  1867  1894  1915  190  163  142  147  150  139  166  187

 3398  3419  3446  3435  3438  3443  3422  3395  2694  2715  2742  2731  2734  2739  2718  2691  1862  1883  1910  1899  1902  1907  1886  1859  134  155  182  171  174  179  158  131

 3452  3429  3404  3413  3412  3405  3428  3453  2748  2725  2700  2709  2708  2701  2724  2749  1916  1893  1868  1877  1876  1869  1892  1917  188  165  140  149  148  141  164  189

 3399  3418  3447  3434  3439  3442  3423  3394  2695  2714  2743  2730  2735  2738  2719  2690  1863  1882  1911  1898  1903  1906  1887  1858  135  154  183  170  175  178  159  130

 3449  3432  3401  3416  3409  3408  3425  3456  2745  2728  2697  2712  2705  2704  2721  2752  1913  1896  1865  1880  1873  1872  1889  1920  185  168  137  152  145  144  161  192

 705  736  753  752  745  760  729  712  1281  1312  1329  1328  1321  1336  1305  1288  2241  2272  2289  2288  2281  2296  2265  2248  3841  3872  3889  3888  3881  3896  3865  3848

 767  738  719  722  727  714  743  762  1343  1314  1295  1298  1303  1290  1319  1338  2303  2274  2255  2258  2263  2250  2279  2298  3903  3874  3855  3858  3863  3850  3879  3898

 708  733  756  749  748  757  732  709  1284  1309  1332  1325  1324  1333  1308  1285  2244  2269  2292  2285  2284  2293  2268  2245  3844  3869  3892  3885  3884  3893  3868  3845

 766  739  718  723  726  715  742  763  1342  1315  1294  1299  1302  1291  1318  1339  2302  2275  2254  2259  2262  2251  2278  2299  3902  3875  3854  3859  3862  3851  3878  3899

 710  731  758  747  750  755  734  707  1286  1307  1334  1323  1326  1331  1310  1283  2246  2267  2294  2283  2286  2291  2270  2243  3846  3867  3894  3883  3886  3891  3870  3843

 764  741  716  725  724  717  740  765  1340  1317  1292  1301  1300  1293  1316  1341  2300  2277  2252  2261  2260  2253  2276  2301  3900  3877  3852  3861  3860  3853  3876  3901

 711  730  759  746  751  754  735  706  1287  1306  1335  1322  1327  1330  1311  1282  2247  2266  2295  2282  2287  2290  2271  2242  3847  3866  3895  3882  3887  3890  3871  3842

 761  744  713  728  721  720  737  768  1337  1320  1289  1304  1297  1296  1313  1344  2297  2280  2249  2264  2257  2256  2273  2304  3897  3880  3849  3864  3857  3856  3873  3904

 3457  3488  3505  3504  3497  3512  3481  3464  2625  2656  2673  2672  2665  2680  2649  2632  1921  1952  1969  1968  1961  1976  1945  1928  65  96  113  112  105  120  89  72

 3519  3490  3471  3474  3479  3466  3495  3514  2687  2658  2639  2642  2647  2634  2663  2682  1983  1954  1935  1938  1943  1930  1959  1978  127  98  79  82  87  74  103  122

 3460  3485  3508  3501  3500  3509  3484  3461  2628  2653  2676  2669  2668  2677  2652  2629  1924  1949  1972  1965  1964  1973  1948  1925  68  93  116  109  108  117  92  69

 3518  3491  3470  3475  3478  3467  3494  3515  2686  2659  2638  2643  2646  2635  2662  2683  1982  1955  1934  1939  1942  1931  1958  1979  126  99  78  83  86  75  102  123

 3462  3483  3510  3499  3502  3507  3486  3459  2630  2651  2678  2667  2670  2675  2654  2627  1926  1947  1974  1963  1966  1971  1950  1923  70  91  118  107  110  115  94  67

 3516  3493  3468  3477  3476  3469  3492  3517  2684  2661  2636  2645  2644  2637  2660  2685  1980  1957  1932  1941  1940  1933  1956  1981  124  101  76  85  84  77  100  125

 3463  3482  3511  3498  3503  3506  3487  3458  2631  2650  2679  2666  2671  2674  2655  2626  1927  1946  1975  1962  1967  1970  1951  1922  71  90  119  106  111  114  95  66

 3513  3496  3465  3480  3473  3472  3489  3520  2681  2664  2633  2648  2641  2640  2657  2688  1977  1960  1929  1944  1937  1936  1953  1984  121  104  73  88  81  80  97  128

 513  544  561  560  553  568  537  520  1473  1504  1521  1520  1513  1528  1497  1480  2049  2080  2097  2096  2089  2104  2073  2056  4033  4064  4081  4080  4073  4088  4057  4040

 575  546  527  530  535  522  551  570  1535  1506  1487  1490  1495  1482  1511  1530  2111  2082  2063  2066  2071  2058  2087  2106  4095  4066  4047  4050  4055  4042  4071  4090

 516  541  564  557  556  565  540  517  1476  1501  1524  1517  1516  1525  1500  1477  2052  2077  2100  2093  2092  2101  2076  2053  4036  4061  4084  4077  4076  4085  4060  4037

 574  547  526  531  534  523  550  571  1534  1507  1486  1491  1494  1483  1510  1531  2110  2083  2062  2067  2070  2059  2086  2107  4094  4067  4046  4051  4054  4043  4070  4091

 518  539  566  555  558  563  542  515  1478  1499  1526  1515  1518  1523  1502  1475  2054  2075  2102  2091  2094  2099  2078  2051  4038  4059  4086  4075  4078  4083  4062  4035

 572  549  524  533  532  525  548  573  1532  1509  1484  1493  1492  1485  1508  1533  2108  2085  2060  2069  2068  2061  2084  2109  4092  4069  4044  4053  4052  4045  4068  4093

 519  538  567  554  559  562  543  514  1479  1498  1527  1514  1519  1522  1503  1474  2055  2074  2103  2090  2095  2098  2079  2050  4039  4058  4087  4074  4079  4082  4063  4034

 569  552  521  536  529  528  545  576  1529  1512  1481  1496  1489  1488  1505  1536  2105  2088  2057  2072  2065  2064  2081  2112  4089  4072  4041  4056  4049  4048  4065  4096

 

Вот такой замечательный квадратик! Магическая константа этого квадрата равна 131104. Сумма двух любых симметричных относительно центра квадрата чисел равна 64² + 1 = 4097.

Как я уже говорила, при построении идеального квадрата 64-ого порядка в качестве базового и основного можно брать один и тот же квадрат.

 

                                                                     ***

 

Уважаемые читатели! Если вы найдёте в Сети или построите сами идеальные квадраты других чётно-чётных порядков, которые здесь не представлены в принципе, сообщите мне, пожалуйста. Интересно узнать, существуют ли такие квадраты.

 

7 апреля 2008 г.

 

Продолжаю думать над идеальными квадратами чётно-чётного порядка.

Сегодня поиграла с идеальными квадратами восьмого порядка. Сначала запрограммировала образующую таблицу, построенную в точном соответствии с квадратом, взятым по указанной выше ссылке (см. рис. 1). Эту образующую таблицу в общем виде вы видите на рис. 20.

 

 

 

                                                                         Рис. 20

 

Программа снова выдала 36 идеальных квадратов, но они не представляют ничего интересного, так как отличаются от квадратов первой группы (квадраты, начинающиеся с числа 1) только переставленными строками.

 

Далее взяла квадрат № 1 из первой группы квадратов (см. рис. 7) и выполнила для него две свои программы – перестановки строк и перестановки столбцов. Обе программы выдали 48 идеальных квадратов. Я добавила их в файл

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ideal8pril.htm

 

Это всё, что мне удалось получить для идеальных квадратов восьмого порядка. А между тем вот по этой ссылке:

 

http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html

 

оценивается количество идеальных квадратов восьмого порядка, и оно огромно (здесь идеальные квадраты называются ultramagic). Где же остальные идеальные квадраты? Получается, что автор этой статьи знает ещё очень много идеальных квадратов восьмого порядка. Иначе как же он оценивал их количество. Какие же это квадраты? По какому алгоритму строятся?

 

Далее я посмотрела внимательно на частные решения для квадратов 12-ого и 16-ого порядка (см. рис. 11, 12, 13), построенных по данному алгоритму. Вывела формулу для суммы чисел в первом столбце таких частных решений для любого порядка n=4k, k=2,3,4…

Вот эта формула:

 

S = (n³ + 2n – 8)/2

 

Понятно, что эта сумма должна равняться магической константе квадрата. Таким образом, получаем уравнение:

 

                                      S = (n³ + 2n – 8)/2 = (n³ + n)/2

 

Это уравнение имеет единственное решение: n = 8. Следовательно, по данному алгоритму строятся только идеальные квадраты восьмого порядка.

 

Ещё попыталась построить идеальный квадрат 16-ого порядка по алгоритму Франклина (в его пандиагональном квадрате 16-ого порядка; см. статью “Квадраты Франклина”). Однако и тут ничего не получилось. Составила программку, пытаясь так подобрать начальную цепочку первых 16 чисел, чтобы квадрат получился ассоциативным. Программа не нашла ни одного решения.

 

Вот такие неудачи в поиске идеальных квадратов чётно-чётного порядка.

 

Но есть и радостное открытие! Я вспомнила своё преобразование трёх квадратов, которое превращает любой ассоциативный квадрат в пандиагональный. Сразу же посмотрела, работает ли это преобразование для квадратов данной группы. Ведь эти квадраты ассоциативны. Беру квадрат № 1 с рис. 7 и применяю к нему преобразование трёх квадратов. Полученный в результате квадрат вы видите на рис. 21. Этот квадрат пандиагональный! Преобразование работает!

 

 

 

                                                    Рис. 21

 

И перед вами новая схема построения пандиагональных квадратов восьмого порядка. Посмотрите, как оригинально расположены первые 8 чисел в этом квадрате. Можно снова применить метод качелей и построить целую группу подобных пандиагональных квадратов. А впрочем, все их можно получить преобразованием трёх квадратов из тех 36 идеальных квадратов, что уже построены мной.

 

На этом пока заканчиваю рассказ. Новые идеи не приходят в голову. А вы, уважаемые читатели, не хотите мне помогать.

 

                                               ***

 

Ура-а-а!!!

 

Я построила идеальный квадрат 16-ого порядка! Читайте об этом во второй части статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу