ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

Итак, совсем недавно Г. Александрову удалось построить идеальный квадрат 15-ого порядка. Вот ссылка на его статью:

http://renuar911.narod.ru/IMSb.html

Но признаюсь, что я не стала вникать в его метод. Там такое наворочено! Побоялась мозги сломать. Не совсем уверена, что этим методом Георгий может построить, например, идеальные квадраты 27-ого или 81-ого порядка (мной такие квадраты построены, причём очень простыми методами, без наворотов; см. статью “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”). Потому что он там строит какую-то начальную цепочку ходов (очень непросто!), а после отыскания такой цепочки ещё ведь надо достроить квадрат какими-то перескакиваниями шахматного коня. Как перескакивать? Схема нужна определённая? Где она? Для квадрата 27-ого порядка, например, она какая будет? А для квадрата 81-ого порядка?

Александров сначала показал построение идеального квадрата 15-ого порядка, а затем – для лучшего понимания метода – предложил построение идеального квадрата 9-ого порядка. Нет бы показать построение идеального квадрата 21-ого или 33-ого порядка! Вот тогда бы действительно лучше стал понятен метод.

Но критика критикой, а тем не менее идеальный квадрат 15-ого квадрата построен! В статье Александров приводит два квадрата, один из них вы видите на рис. 1.

148	82	32	131	207	75	53	1	109	215	179	159	18	96	190
92	191	147	90	38	121	199	65	59	9	108	216	175	163	22
162	30	98	181	139	80	44	129	198	66	55	13	112	212	176
218	166	154	20	104	189	138	81	40	133	202	62	56	12	120
4	110	224	174	153	21	100	193	142	77	41	132	210	68	46
74	54	3	111	220	178	157	17	101	192	150	83	31	124	200
123	201	70	58	7	107	221	177	165	23	91	184	140	89	39
85	43	127	197	71	57	15	113	211	169	155	29	99	183	141
187	137	86	42	135	203	61	49	5	119	219	168	156	25	103
26	102	195	143	76	34	125	209	69	48	6	115	223	172	152
180	158	16	94	185	149	84	33	126	205	73	52	2	116	222
106	214	170	164	24	93	186	145	88	37	122	206	72	60	8
50	14	114	213	171	160	28	97	182	146	87	45	128	196	64
204	63	51	10	118	217	167	161	27	105	188	136	79	35	134
36	130	208	67	47	11	117	225	173	151	19	95	194	144	78

Рис. 1

Квадрат действительно идеальный, то есть он магический, пандиагональный и ассоциативный! Очень хотела увидеть такой квадрат, ибо самой построить его не удалось.

“Поиграю” немного с этим квадратом – дьявольски красив!

Ну, прежде всего, как для любого пандиагонального квадрата нечётного порядка, к этому квадрату применимо преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов, которое я называю преобразованием “диагонали-диагонали”. На рис. 2 изображён пандиагональный квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 стандартной перестановкой столбцов, а на рис. 3 – стандартной перестановкой строк и столбцов. Эти квадраты утратили свою ассоциативность и потому уже не идеальные, а только пандиагональные.

148	190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82
92	22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191
162	176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30
218	120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166
4	46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110
74	200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54
123	39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201
85	141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	43
187	103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137
26	152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102
180	222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158
106	8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214
50	64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14
204	134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63
36	78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130

Рис. 2

148	190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82
36	78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130
204	134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63
50	64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14
106	8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214
180	222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158
26	152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102
187	103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137
85	141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	43
123	39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201
74	200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54
4	46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110
218	120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166
162	176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30
92	22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191

Рис. 3

На рис. 2 выделены две разломанные диагонали, в которые перешли главные диагонали исходного квадрата. У квадрата 15-ого порядка всего 30 диагоналей: две главные и 2(n-1)=28 разломанных. Вот все 30 диагоналей исходного квадрата с рис. 1 переходят при этих преобразованиях в 30 диагоналей нового квадрата, поэтому я называю это преобразование “диагонали-диагонали”.

Очень просто превратить квадраты с рис. 2 и с рис. 3 в идеальные параллельным переносом на торе. На рис. 4 и рис. 5 показаны эти идеальные квадраты. Очевидно, что квадрат на рис. 4 является отражённым квадратом с рис. 1, а квадрат на рис. 5 – повёрнутым на 180 градусов квадратом с рис. 1 (это преобразования из группы основных преобразований). То есть новых идеальных квадратов мы не получили.

190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82	148
22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191	92
176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30	162
120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166	218
46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110	4
200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54	74
39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201	123
141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	42	85
103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137	187
152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102	26
222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158	180
8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214	106
64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14	50
134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63	204
78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130	36

Рис. 4

78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130	36
134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63	204
64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14	50
8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214	106
222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158	180
152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102	26
103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137	187
141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	43	85
39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201	123
200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54	74
46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110	4
120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166	218
176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30	162
22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191	92
190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82	148

Рис. 5

Замечу, что во всех показанных здесь идеальных квадратах, а также и во втором квадрате, приведённым Александровым в своей статье, наборы чисел в центральных строке и столбце одинаковы. Кстати, точно такие же наборы чисел имеет в центральных строке и столбце ассоциативный квадрат, построенный методом террас, с той только разницей, что строка и столбец поменялись местами (см. рис. 6).

8	121	24	137	40	153	56	169	72	185	88	201	104	217	120
135	23	136	39	152	55	168	71	184	87	200	103	216	119	7
22	150	38	151	54	167	70	183	86	199	102	215	118	6	134
149	37	165	53	166	69	182	85	198	101	214	117	5	133	21
36	164	52	180	68	181	84	197	100	213	116	4	132	20	148
163	51	179	67	195	83	196	99	212	115	3	131	19	147	35
50	178	66	194	82	210	98	211	114	2	130	18	146	34	162
177	65	193	81	209	97	225	113	1	129	17	145	33	161	49
64	192	80	208	96	224	112	15	128	16	144	32	160	48	176
191	79	207	95	223	111	14	127	30	143	31	159	47	175	63
78	206	94	222	110	13	126	29	142	45	158	46	174	62	190
205	93	221	109	12	125	28	141	44	157	60	173	61	189	77
92	220	108	11	124	27	140	43	156	59	172	75	188	76	204
219	107	10	123	26	139	42	155	58	171	74	187	90	203	91
106	9	122	25	138	41	154	57	170	73	186	89	202	105	218

Рис. 6

Можно ли построить идеальный квадрат с другими наборами в центральных строке и столбце? Конечно, можно. И для построения такого квадрата я применю преобразование “строки-диагонали”. Но прежде перенесу квадрат с рис. 1 на торе, а затем поверну его на 90 градусов (см. рис. 7).

1	65	129	81	193	17	177	113	49	209	33	145	97	161	225
53	199	44	138	100	157	221	15	61	125	84	186	28	167	117
75	121	80	189	21	178	107	57	203	34	149	93	160	217	11
207	38	139	104	153	220	7	71	135	76	185	24	171	118	47
131	90	181	20	174	111	58	197	42	173	94	164	213	10	67
32	147	98	154	224	3	70	127	86	195	16	170	114	51	208
82	191	30	166	110	54	201	43	137	102	158	214	14	63	130
148	92	162	218	4	74	123	85	187	26	180	106	50	204	36
190	22	176	120	46	200	39	141	103	152	222	8	64	134	78
96	163	212	12	68	124	89	183	25	172	116	60	196	35	144
18	175	112	56	210	31	140	99	156	223	2	72	128	79	194
159	216	13	62	132	83	184	29	168	115	52	206	45	136	95
179	108	55	202	41	150	91	155	219	6	73	122	87	188	19
215	9	66	133	77	192	23	169	119	48	205	37	146	105	151
109	59	198	40	142	101	165	211	5	69	126	88	182	27	173

Рис. 7

Квадрат на рис. 7 пандиагональный, но не ассоциативный. А вот теперь применим к этому квадрату преобразование “строки-диагонали”, которое превратит квадрат в ассоциативный, а значит, в идеальный.

Но сначала покажу матрицу этого преобразования. Пусть исходный квадрат имеет матрицу А(a_i_,_j), тогда матрица преобразованного квадрата имеет следующий вид (рис. 8):

а_1,1

а_8,9

а_15,2

а_7,10

а_14,3

а_6,11

а_13,4

а_5,12

а_12,5

а_4,13

а_11,6

а_3,14

а_10,7

а_2,15

а_9,8

а_9,9

а_1,2

а_8,10

а_15,3

а_7,11

а_14,4

а_6,12

а_13,5

а_5,13

а_12,6

а_4,14

а_11,7

а_3,15

а_10,8

а_2,1

а_2,2

а_9,10

а_1,3

а_8,11

а_15,4

а_7,12

а_14,5

а_6,13

а_13,6

а_5,14

а_12,7

а_4,15

а_11,8

а_3,1

а_10,9

а_10,10

а_2,3

а_9,11

а_1,4

а_8,12

а_15,5

а_7,13

а_14,6

а_6,14

а_13,7

а_5,15

а_12,8

а_4,1

а_11,9

а_3,2

а_3,3

а_10,11

а_2,4

а_9,12

а_1,5

а_8,13

а_15,6

а_7,14

а_14,7

а_6,15

а_13,8

а_5,1

а_12,9

а_4,2

а_11,10

а_11,11

а_3,4

а_10,12

а_2,5

а_9,13

а_1,6

а_8,14

а_15,7

а_7,15

а_14,8

а_6,1

а_13,9

а_5,2

а_12,10

а_4,3

а_4,4

а_11,12

а_3,5

а_10,13

а_2,6

а_9,14

а_1,7

а_8,15

а_15,8

а_7,1

а_14,9

а_6,2

а_13,10

а_5,3

а_12,11

а_12,12

а_4,5

а_11,13

а_3,6

а_10,14

а_2,7

а_9,15

а_1,8

а_8,1

а_15,9

а_7,2

а_14,10

а_6,3

а_13,11

а_5,4

а_5,5

а_12,13

а_4,6

а_11,14

а_3,7

а_10,15

а_2,8

а_9,1

а_1,9

а_8,2

а_15,10

а_7,3

а_14,11

а_6,4

а_13,12

а_13,13

а_5,6

а_12,14

а_4,7

а_11,15

а_3,8

а_10,1

а_2,9

а_9,2

а_1,10

а_8,3

а_15,11

а_7,4

а_14,12

а_6,5

а_6,6

а_13,14

а_5,7

а_12,15

а_4,8

а_11,1

а_3,9

а_10,2

а_2,10

а_9,3

а_1,11

а_8,4

а_15,12

а_7,5

а_14,13

а_14,14

а_6,7

а_13,15

а_5,8

а_12,1

а_4,9

а_11,2

а_3,10

а_10,3

а_2,11

а_9,4

а_1,12

а_8,5

а_15,13

а_7,6

а_7,7

а_14,15

а_6,8

а_13,1

а_5,9

а_12,2

а_4,10

а_11,3

а_3,11

а_10,4

а_2,12

а_9,5

а_1,13

а_8,6

а_15,14

а_15,15

а_7,8

а_14,1

а_6,9

а_13,2

а_5,10

а_12,3

а_4,11

а_11,4

а_3,12

а_10,5

а_2,13

а_9,6

а_1,14

а_8,7

а_8,8

а_15,1

а_7,9

а_14,2

а_6,10

а_13,3

а_5,11

а_12,4

а_4,12

а_11,5

а_3,13

а_10,6

а_2,14

а_9,7

а_1,15

Рис. 8

Применим это преобразование к квадрату с рис. 7. В результате получится идеальный квадрат, который вы видите на рис. 9.

1	187	59	102	66	16	202	164	132	171	31	217	89	117	141
103	65	26	198	158	133	170	41	213	83	118	140	11	183	53
199	152	129	180	40	214	77	114	150	10	184	47	99	75	25
172	44	222	81	106	142	14	192	51	91	67	29	207	156	121
80	116	138	8	193	50	101	63	23	208	155	131	168	38	223
2	189	60	100	64	17	204	165	130	169	32	219	90	115	139
104	72	21	196	157	134	177	36	211	82	119	147	6	181	52
206	153	128	178	35	221	78	113	148	5	191	48	98	73	20
174	45	220	79	107	144	15	190	49	92	69	30	205	154	122
87	111	136	7	194	57	96	61	22	209	162	126	166	37	224
3	188	58	95	71	18	203	163	125	176	33	218	88	110	146
105	70	19	197	159	135	175	34	212	84	120	145	4	182	54
201	151	127	179	42	216	76	112	149	12	186	46	97	74	27
173	43	215	86	108	143	13	185	56	93	68	28	200	161	123
85	109	137	9	195	55	94	62	24	210	160	124	167	39	225

Рис. 9

Напомню читателям, что преобразование “строки-диагонали” переводит строки (а также и столбцы) исходного квадрата в диагонали нового квадрата. На рис. 9 выделены три диагонали – главная и две разломанных – в которые перешли первые три строки исходного квадрата (на рис. 7 эти строки выделены соответствующими цветами). Преобразование было обнаружено мной при исследовании пандиагональных квадратов пятого порядка (см. статью “Пандиагональные квадраты пятого порядка”). Оно сохраняет пандиагональность квадрата и применимо к любому пандиагональному квадрату нечётного порядка (рассказывала о нём для квадратов седьмого и девятого порядка; см. соответствующие статьи).

В идеальном квадрате, изображённом на рис. 9, совсем другие наборы чисел в центральных строке и столбце. Кроме того, квадрат интересен тем, что в левой верхней ячейке его стоит число 1. Я испытываю пристрастие к таким квадратам – с числом 1 в левой верхней ячейке, по-моему, они самые красивые. Понятно, что любой пандиагональный квадрат очень легко превратить в такой, в котором в левой верхней ячейке стоит число 1, просто перенести его на торе. Но с идеальным квадратом это не проходит! Если квадрат Георгия (рис. 1) перенести на торе так, чтобы в левой верхней ячейке стояло число 1, то он перестанет быть ассоциативным, а значит, идеальным. Так что, на рис. 9 вы видите прекрасный образец идеального квадрата 15-ого порядка, начинающийся с 1.

На рис. 9а показан чётно-нечётный рисунок этого квадрата. Оригинальный рисунок; симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

1	187	59	102	66	16	202	164	132	171	31	217	89	117	141
103	65	26	198	158	133	170	41	213	83	118	140	11	183	53
199	152	129	180	40	214	77	114	150	10	184	47	99	75	25
172	44	222	81	106	142	14	192	51	91	67	29	207	156	121
80	116	138	8	193	50	101	63	23	208	155	131	168	38	223
2	189	60	100	64	17	204	165	130	169	32	219	90	115	139
104	72	21	196	157	134	177	36	211	82	119	147	6	181	52
206	153	128	178	35	221	78	113	148	5	191	48	98	73	20
174	45	220	79	107	144	15	190	49	92	69	30	205	154	122
87	111	136	7	194	57	96	61	22	209	162	126	166	37	224
3	188	58	95	71	18	203	163	125	176	33	218	88	110	146
105	70	19	197	159	135	175	34	212	84	120	145	4	182	54
201	151	127	179	42	216	76	112	149	12	186	46	97	74	27
173	43	215	86	108	143	13	185	56	93	68	28	200	161	123
85	109	137	9	195	55	94	62	24	210	160	124	167	39	225

Рис. 9а

А теперь применим ещё раз преобразование “строки-диагонали”. Исходным будет квадрат, полученный из идеального квадрата с рис. 9 переносом на торе (см. рис. 10).

206	153	128	178	35	221	78	113	148	5	191	48	98	73	20
174	45	220	79	107	144	15	190	49	92	69	30	205	154	122
87	111	136	7	194	57	96	61	22	209	162	126	166	37	224
3	188	58	95	71	18	203	163	125	176	33	218	88	110	146
105	70	19	197	159	135	175	34	212	84	120	145	4	182	54
201	151	127	179	42	216	76	112	149	12	186	46	97	74	27
173	43	215	86	108	143	13	185	56	93	68	28	200	161	123
85	109	137	9	195	55	94	62	24	210	160	124	167	39	225
1	187	59	102	66	16	202	164	132	171	31	217	89	117	141
103	65	26	198	158	133	170	41	213	83	118	140	11	183	53
199	152	129	180	40	214	77	114	150	10	184	47	99	75	25
172	44	222	81	106	142	14	192	51	91	67	29	207	156	121
80	116	138	8	193	50	101	63	23	208	155	131	168	38	223
2	189	60	100	64	17	204	165	130	169	32	219	90	115	139
104	72	21	196	157	134	177	36	211	82	119	147	6	181	52

Рис. 10

На рис. 11 вы видите идеальный квадрат, получившийся применением к квадрату с рис. 10 преобразования “строки-диагонали”.

206	24	72	93	60	186	8	145	106	88	214	37	170	122	164
132	153	210	21	68	100	46	193	4	142	110	77	224	41	174
45	171	128	160	196	28	64	97	50	182	14	146	114	87	213
83	220	31	178	124	157	200	17	74	101	54	192	3	150	111
136	118	79	217	35	167	134	161	204	27	63	105	51	188	10
184	7	140	107	89	221	39	177	123	165	201	23	70	91	58
95	47	194	11	144	117	78	225	36	173	130	151	208	19	67
29	71	99	57	183	15	141	113	85	211	43	169	127	155	197
159	207	18	75	96	53	190	1	148	109	82	215	32	179	131
168	135	156	203	25	61	103	49	187	5	137	119	86	219	42
216	38	175	121	163	199	22	65	92	59	191	9	147	108	90
115	76	223	34	172	125	152	209	26	69	102	48	195	6	143
13	139	112	80	212	44	176	129	162	198	30	66	98	55	181
52	185	2	149	116	84	222	33	180	126	158	205	16	73	94
62	104	56	189	12	138	120	81	218	40	166	133	154	202	20

Рис. 11

Снова очень оригинальный чётно-нечётный рисунок, симметрия в этом рисунке относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрии и центральная. Чем ещё замечателен этот квадрат? Сравните его с идеальным квадратом с рис. 1. И вы увидите, что он получается из этого квадрата перестановкой строк и столбцов по определённой схеме! Если вы читали мои статьи о пандиагональных квадратах пятого, седьмого, девятого порядка, то помните, что там было рассказано о такой нестандартной перестановке одновременно строк и столбцов, которая сохраняет пандиагональность квадрата. Было показано, что такое преобразование эквивалентно двукратному применению преобразования “строки-диагонали”. Нечто подобное мы имеем здесь, то есть некоторое преобразование нестандартной (одновременной) перестановки строк и столбцов, которое позволяет нам получать из одного идеального квадрата другой идеальный квадрат. Интересное преобразование! Я не знаю пока, единственное ли оно в том смысле, что строки и столбцы могут быть переставлены только по такой схеме. Возможно, есть и другие схемы перестановки, дающие тот же эффект. Но пока рассмотрю это преобразование. Я приведу матрицу этого преобразования, а затем применю его ко второму идеальному квадрату, данному в статье Александрова, чтобы закрепить ещё одним наглядным примером. Итак, пусть, как всегда, матрица исходного идеального квадрата имеет стандартный вид (а_i_,_j). Тогда матрица указанного преобразования будет иметь следующий вид (рис. 12):

а_12,12

а_12,5

а_12,13

а_12,6

а_12,14

а_12,7

а_12,15

а_12,8

а_12,1

а_12,9

а_12,2

а_12,10

а_12,3

а_12,11

а_12,4

а_5,12

а_5,5

а_5,13

а_5,6

а_5,14

а_5,7

а_5,15

а_5,8

а_5,1

а_5,9

а_5,2

а_5,10

а_5,3

а_5,11

а_5,4

а_13,12

а_13,5

а_13,13

а_13,6

а_13,14

а_13,7

а_13,15

а_13,8

а_13,1

а_13,9

а_13,2

а_13,10

а_13,3

а_13,11

а_13,4

а_6,12

а_6,5

а_6,13

а_6,6

а_6,14

а_6,7

а_6,15

а_6,8

а_6,1

а_6,9

а_6,2

а_6,10

а_6,3

а_6,11

а_6,4

а_14,12

а_14,5

а_14,13

а_14,6

а_14,14

а_14,7

а_14,15

а_14,8

а_14,1

а_14,9

а_14,2

а_14,10

а_14,3

а_14,11

а_14,4

а_7,12

а_7,5

а_7,13

а_7,6

а_7,14

а_7,7

а_7,15

а_7,8

а_7,1

а_7,9

а_7,2

а_7,10

а_7,3

а_7,11

а_7,4

а_15,12

а_15,5

а_15,13

а_15,6

а_15,14

а_15,7

а_15,15

а_15,8

а_15,1

а_15,9

а_15,2

а_15,10

а_15,3

а_15,11

а_15,4

а_8,12

а_8,5

а_8,13

а_8,6

а_8,14

а_8,7

а_8,15

а_8,8

а_8,1

а_8,9

а_8,2

а_8,10

а_8,3

а_8,11

а_8,4

а_1,12

а_1,5

а_1,13

а_1,6

а_1,14

а_1,7

а_1,15

а_1,8

а_1,1

а_1,9

а_1,2

а_1,10

а_1,3

а_1,11

а_1,4

а_9,12

а_9,5

а_9,13

а_9,6

а_9,14

а_9,7

а_9,15

а_9,8

а_9,1

а_9,9

а_9,2

а_9,10

а_9,3

а_9,11

а_9,4

а_2,12

а_2,5

а_2,13

а_2,6

а_2,14

а_2,7

а_2,15

а_2,8

а_2,1

а_2,9

а_2,2

а_2,10

а_2,3

а_2,11

а_2,4

а_10,12

а_10,5

а_10,13

а_10,6

а_10,14

а_10,7

а_10,15

а_10,8

а_10,1

а_10,9

а_10,2

а_10,10

а_10,3

а_10,11

а_10,4

а_3,12

а_3,5

а_3,13

а_3,6

а_3,14

а_3,7

а_3,15

а_3,8

а_3,1

а_3,9

а_3,2

а_3,10

а_3,3

а_3,11

а_3,4

а_11,12

а_11,5

а_11,13

а_11,6

а_11,14

а_11,7

а_11,15

а_11,8

а_11,1

а_11,9

а_11,2

а_11,10

а_11,3

а_11,11

а_11,4

а_4,12

а_4,5

а_4,13

а_4,6

а_4,14

а_4,7

а_4,15

а_4,8

а_4,1

а_4,9

а_4,2

а_4,10

а_4,3

а_4,11

а_4,4

Рис. 12

Теперь покажу исходный идеальный квадрат (второй квадрат из статьи Александрова, см. ссылку в начале этой страницы) – на рис. 13. А затем применю к нему преобразование, описанное матрицей на рис. 12. Преобразованный идеальный квадрат вы видите на рис. 14.

133	96	34	146	179	75	23	1	107	215	207	160	48	82	189
79	191	134	105	38	136	167	65	27	10	108	217	204	163	51
164	60	83	181	122	95	42	145	168	67	24	13	111	214	206
218	196	152	50	87	190	123	97	39	148	171	64	26	14	120
2	110	222	205	153	52	84	193	126	94	41	149	180	68	16
72	25	3	112	219	208	156	49	86	194	135	98	31	137	170
138	172	69	28	6	109	221	209	165	53	76	182	125	102	40
99	43	141	169	71	29	15	113	211	197	155	57	85	183	127
186	124	101	44	150	173	61	17	5	117	220	198	157	54	88
56	89	195	128	91	32	140	177	70	18	7	114	223	201	154
210	158	46	77	185	132	100	33	142	174	73	21	4	116	224
106	212	200	162	55	78	187	129	103	36	139	176	74	30	8
20	12	115	213	202	159	58	81	184	131	104	45	143	166	62
175	63	22	9	118	216	199	161	59	90	188	121	92	35	147
37	144	178	66	19	11	119	225	203	151	47	80	192	130	93

Рис. 13

176	55	74	78	30	187	8	129	106	103	212	36	200	139	162
149	153	180	52	68	84	16	193	2	126	110	94	222	41	205
45	202	143	159	166	58	62	81	20	184	12	131	115	104	213
98	219	31	208	137	156	170	49	72	86	25	194	3	135	112
121	118	92	216	35	199	147	161	175	59	63	90	22	188	9
182	6	125	109	102	221	40	209	138	165	172	53	69	76	28
80	19	192	11	130	119	93	225	37	203	144	151	178	47	66
57	71	85	29	183	15	127	113	99	211	43	197	141	155	169
160	179	48	75	82	23	189	1	133	107	96	215	34	207	146
198	150	157	173	54	61	88	17	186	5	124	117	101	220	44
217	38	204	136	163	167	51	65	79	27	191	10	134	108	105
114	91	223	32	201	140	154	177	56	70	89	18	195	7	128
13	122	111	95	214	42	206	145	164	168	60	67	83	24	181
21	185	4	132	116	100	224	33	210	142	158	174	46	73	77
64	87	26	190	14	123	120	97	218	39	196	148	152	171	50

Рис. 14

Красивейшее преобразование! Оно не изменяет наборов чисел в строках, столбцах и главных диагоналях, а все разломанные диагонали исходного квадрата переводит в другие разломанные диагонали нового квадрата; сохраняет идеальность квадрата, то есть и ассоциативность, и пандиагональность. На рис. 13 и рис. 14 выделены две пары разломанных диагоналей, переходящих друг в друга.

На рис. 15 изображён тот же идеальный квадрат с чётно-нечётным рисунком на нём.

176	55	74	78	30	187	8	129	106	103	212	36	200	139	162
149	153	180	52	68	84	16	193	2	126	110	94	222	41	205
45	202	143	159	166	58	62	81	20	184	12	131	115	104	213
98	219	31	208	137	156	170	49	72	86	25	194	3	135	112
121	118	92	216	35	199	147	161	175	59	63	90	22	188	9
182	6	125	109	102	221	40	209	138	165	172	53	69	76	28
80	19	192	11	130	119	93	225	37	203	144	151	178	47	66
57	71	85	29	183	15	127	113	99	211	43	197	141	155	169
160	179	48	75	82	23	189	1	133	107	96	215	34	207	146
198	150	157	173	54	61	88	17	186	5	124	117	101	220	44
217	38	204	136	163	167	51	65	79	27	191	10	134	108	105
114	91	223	32	201	140	154	177	56	70	89	18	195	7	128
13	122	111	95	214	42	206	145	164	168	60	67	83	24	181
21	185	4	132	116	100	224	33	210	142	158	174	46	73	77
64	87	26	190	14	123	120	97	218	39	196	148	152	171	50

Рис. 15

Ещё один оригинальный рисунок. Здесь симметрия относительно обеих осей симметрии – горизонтальной и вертикальной – и центральная.

Теперь применяю это же преобразование (с матрицей, изображённой на рис. 12), но уже к идеальному квадрату с рис. 15. Получаю идеальный квадрат, который вы видите на рис. 16. И, сравнив этот квадрат с квадратом на рис. 13 (самым исходным для данных преобразований), убеждаюсь, что схема перестановки строк и столбцов может быть различна! Смотрите сами.

18	201	195	140	7	154	128	177	114	56	91	70	223	89	32
90	35	22	199	188	147	9	161	121	175	118	59	92	63	216
67	214	83	42	24	206	181	145	13	164	122	168	111	60	95
53	102	69	221	76	40	28	209	182	138	6	165	125	172	109
174	116	46	100	73	224	77	33	21	210	185	142	4	158	132
151	130	178	119	47	93	66	225	80	37	19	203	192	144	11
148	14	152	123	171	120	50	97	64	218	87	39	26	196	190
197	183	141	15	155	127	169	113	57	99	71	211	85	43	29
36	30	200	187	139	8	162	129	176	106	55	103	74	212	78
215	82	34	23	207	189	146	1	160	133	179	107	48	96	75
94	68	222	84	41	16	205	193	149	2	153	126	180	110	52
117	54	101	61	220	88	44	17	198	186	150	5	157	124	173
131	166	115	58	104	62	213	81	45	20	202	184	143	12	159
10	163	134	167	108	51	105	65	217	79	38	27	204	191	136
194	137	3	156	135	170	112	49	98	72	219	86	31	25	208

Рис. 16

И к этому идеальному квадрату можно снова применить преобразование с матрицей на рис. 12, и опять получится новый идеальный квадрат! И в этом квадрате строки и столбцы будут переставлены по другой схеме по отношению к самому исходному квадрату с рис. 13. Вот какое интересное преобразование нестандартной одновременной перестановки строк и столбцов для идеальных квадратов 15-ого порядка у меня получилось!

Наконец, замечу, что ни один из идеальных квадратов Александрова не является прототипом идеального квадрата и не порождается другим идеальным прототипом (см. о прототипах идеальных квадратов в статье “Магические квадраты девятого порядка”).

Уважаемые читатели! Я “поиграла” здесь с двумя идеальными квадратами 15-ого порядка, представленными в статье Г. Александрова. Всё это для того, что, может быть, кто-нибудь заинтересуется этой темой и найдёт более простой метод построения таких квадратов, нежели тот, что нашёл Александров. Хочется надеяться, что такой метод существует! Ну, вот, например, я нашла в Интернете матричные методы построения пандиагональных квадратов. К сожалению, максимальный порядок рассматриваемых там квадратов равен 13. Но ведь, наверное, существует матричный метод построения и пандиагональных квадратов 15-ого порядка? Интересный вопрос! Всем, кто хочет попробовать себя в этой интереснейшей теме, предлагаю начать с нахождения такого метода. Уж очень сложен метод Александрова.

Напомню читателям, что самыми трудными для построения оказались пандиагональные квадраты нечётных порядков, кратных 3, но не кратных 9, то есть таких: 15, 21, 33, 39… Пандиагональные квадраты других нечётных порядков, а также и чётно-чётных, строятся очень простыми методами; все они изложены в моих статьях.

Ещё предлагаю читателям рассмотреть метод построения, предложенный Александровым, ибо я не стала даже в него вникать. Если это действительно общий метод, позволяющий строить пандиагональные квадраты всех нечётных порядков n>3, как утверждает Александров, то хотелось бы увидеть, например, пандиагональные квадраты порядков 21, 27 и 81, построенные этим методом. Если кому-то удастся это сделать, напишите мне, пожалуйста.

С нетерпением жду ваших откликов, дорогие читатели!

***

Страница помещена на сайт 2 декабря 2007 г.

4 января 2008 г.

Пишу это добавление, когда уже изобрела метод качелей и построила идеальные квадраты 9-ого, 15-ого и 21-ого порядков. 33-ого пока не построила. Лень писать большую программу и выполнять её.

Смотрите эту страницу, она выведет вас на продолжение; статья написана уже в 8 частях, сейчас пишу 9-ую:

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

А вчера увидела в Википедии ссылку на статью “Цепи Александрова”. Это статья о методе Г. Александрова, о котором я уже здесь говорила. Но весь восторг в том, что в этой статье (наконец-то!) “засветили” пандиагональные квадраты 15-ого и 21-ого порядков. Как долго я их искала! Как хотела на них глянуть. И вот, когда уже увидела квадраты, построенные Александровым, построила свои квадраты, вижу пандиагональный квадрат Хендрикса в Сети. Это только пандиагональный квадрат, но не идеальный. И представьте себе: в этом квадрате тоже работают качели! Не знаю, как Хендрикс построил этот квадрат, но я вот его сейчас скопировала, смотрю на него и вижу – свои качели! Это просто невероятный восторг! Одно дело – все мои квадраты, построенные методом качелей. Совсем другое дело – квадрат, построенный другим автором! Во-первых, вот ссылка, где я взяла этот пандиагональный квадрат:

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html

А вот и сам квадрат:

112	3	29	180	143	151	47	132	70	191	79	99	35	208	216
28	171	142	153	59	135	68	181	77	102	40	206	214	114	5
144	155	58	126	67	183	89	105	38	196	212	117	10	26	169
56	124	69	185	88	96	37	198	224	120	8	16	167	147	160
72	190	86	94	39	200	223	111	7	18	179	150	158	46	122
76	92	42	205	221	109	9	20	178	141	157	48	134	75	188
45	203	211	107	12	25	176	139	159	50	133	66	187	78	104
213	119	15	23	166	137	162	55	131	64	189	80	103	36	202
6	22	168	149	165	53	121	62	192	85	101	34	204	215	118
170	148	156	52	123	74	195	83	91	32	207	220	116	4	24
154	54	125	73	186	82	93	44	210	218	106	2	27	175	146
130	71	184	84	95	43	201	217	108	14	30	173	136	152	57
182	87	100	41	199	219	110	13	21	172	138	164	60	128	61
98	31	197	222	115	11	19	174	140	163	51	127	63	194	90
209	225	113	1	17	177	145	161	49	129	65	193	81	97	33

order:	15
magic sum:	1695
properties:	pandiagonal

Качели здесь качаются так: через 1 ячейку вправо, через 12 ячеек влево. Поскольку я очень люблю квадраты, начинающиеся с числа 1, перенесу этот квадрат на торе, так чтобы получить такой квадрат (см. рис. 17).

1	17	177	145	161	49	129	65	193	81	97	33	209	225	113
180	143	151	47	132	70	191	79	99	35	208	216	112	3	29
153	59	135	68	181	77	102	40	206	214	114	5	28	171	142
126	67	183	89	105	38	196	212	117	10	26	169	144	155	58
185	88	96	37	198	224	120	8	16	167	147	160	56	124	69
94	39	200	223	111	7	18	179	150	158	46	122	72	190	86
205	221	109	9	20	178	141	157	48	134	75	188	76	92	42
107	12	25	176	139	159	50	133	66	187	78	104	45	203	211
23	166	137	162	55	131	64	189	80	103	36	202	213	119	15
149	165	53	121	62	192	85	101	34	204	215	118	6	22	168
52	123	74	195	83	91	32	207	220	116	4	24	170	148	156
73	186	82	93	44	210	218	106	2	27	175	146	154	54	125
84	95	43	201	217	108	14	30	173	136	152	57	130	71	184
41	199	219	110	13	21	172	138	164	60	128	61	182	87	100
222	115	11	19	174	140	163	51	127	63	194	90	98	31	197

order:	15
magic sum:	1695
properties:	pandiagonal

Рис. 17

А теперь даю образующую таблицу этого квадрата, чтобы читатели убедились, что качели в этом квадрате работают (рис. 18).

	15	23	166	137	162	55	131	64	189	80	103	36	202	213	119
3	12	25	176	139	159	50	133	66	187	78	104	45	203	211	107
2	9	20	178	141	157	48	134	75	188	76	92	42	205	221	109
-1	7	18	179	150	158	46	122	72	190	86	94	39	200	223	111
-2	8	16	167	147	160	56	124	69	185	88	96	37	198	224	120
5	10	26	169	144	155	58	126	67	183	89	105	38	196	212	117
2	5	28	171	142	153	59	135	68	181	77	102	40	206	214	114
2	3	29	180	143	151	47	132	70	191	79	99	35	208	216	112
-10	1	17	177	145	161	49	129	65	193	81	97	33	209	225	113
-2	11	19	174	140	163	51	127	63	194	90	98	31	197	222	115
-1	13	21	172	138	164	60	128	61	182	87	100	41	199	219	110
12	14	30	173	136	152	57	130	71	184	84	95	43	201	217	108
-2	2	27	175	146	154	54	125	73	186	82	93	44	210	218	106
-2	4	24	170	148	156	52	123	74	195	83	91	32	207	220	116
-9	6	22	168	149	165	53	121	62	192	85	101	34	204	215	118
		k=1	k=11	k=9	k=10	k=3	k=8	k=4	k=12	k=5	k=6	k=2	k=13	k=14	k=7

Рис. 18

Убедились? Надо ли напоминать, что если вы запрограммируете эту образующую таблицу с некоторыми начальными условиями, то получите множество пандиагональных квадратов такого типа, то есть с такой схемой расположения первых 15 чисел и такими шагами качелей. Ещё раз подчеркну, что метод качелей работает не только для идеальных квадратов, но и для пандиагональных.

По указанной ссылке есть много пандиагональных квадратов 15-ого порядка, я открыла несколько раз, и каждый раз новый квадрат открывается. Покажу ещё один квадрат, с качелями другого вида, с такими шагами: через 6 ячеек вправо, через 7 ячеек влево (рис. 19).

141	18	116	129	158	32	85	73	172	14	214	60	196	102	185
67	179	4	225	46	207	95	186	138	26	114	128	152	40	88
183	146	24	113	122	160	43	82	74	169	15	211	57	200	96
89	64	180	1	222	50	201	93	191	144	23	107	130	163	37
101	189	143	17	115	133	157	44	79	75	166	12	215	51	198
34	90	61	177	5	216	48	206	99	188	137	25	118	127	164
204	98	182	145	28	112	134	154	45	76	72	170	6	213	56
165	31	87	65	171	3	221	54	203	92	190	148	22	119	124
53	197	100	193	142	29	109	135	151	42	80	66	168	11	219
121	162	35	81	63	176	9	218	47	205	103	187	149	19	120
212	55	208	97	194	139	30	106	132	155	36	78	71	174	8
117	125	156	33	86	69	173	2	220	58	202	104	184	150	16
10	223	52	209	94	195	136	27	110	126	153	41	84	68	167
20	111	123	161	39	83	62	175	13	217	59	199	105	181	147
178	7	224	49	210	91	192	140	21	108	131	159	38	77	70

order:	15
magic sum:	1695
properties:	pandiagonal

Рис. 19

Я не стала переносить этот квадрат на торе. Закрасила в квадрате первые два цикла качания качелей (не считая нулевого – первых 15 чисел). Хочу обратить внимание читателей: качели в этом квадрате имеют симметричные шаги качания по сравнению со стандартными качелями, подробно рассмотренными и запрограммированными мной в статье:

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob8.htm

Ну не блестящее ли подтверждение своего метода качелей я нашла? Просто невероятно! Интересно бы узнать, как Хендрикс строил все эти пандиагональные квадраты.

Не удержусь и покажу ещё один квадрат, в котором точно такие же качели, как и в предыдущем квадрате, но начальная цепочка первых 15 чисел смещена вправо на 2 ячейки (рис. 20).

19	189	86	63	59	127	158	31	210	102	115	2	223	171	140
45	207	100	107	13	216	170	139	24	191	78	74	52	128	151
144	26	183	89	67	53	121	165	42	205	92	118	6	215	169
162	40	197	103	111	5	214	174	146	18	194	82	68	46	135
176	138	29	187	83	61	60	132	160	32	208	96	110	4	219
130	152	43	201	95	109	9	221	168	149	22	188	76	75	57
213	179	142	23	181	90	72	55	122	163	36	200	94	114	11
47	133	156	35	199	99	116	3	224	172	143	16	195	87	70
14	217	173	136	30	192	85	62	58	126	155	34	204	101	108
73	51	125	154	39	206	93	119	7	218	166	150	27	190	77
112	8	211	180	147	25	182	88	66	50	124	159	41	198	104
81	65	49	129	161	33	209	97	113	1	225	177	145	17	193
98	106	15	222	175	137	28	186	80	64	54	131	153	44	202
185	79	69	56	123	164	37	203	91	120	12	220	167	148	21
196	105	117	10	212	178	141	20	184	84	71	48	134	157	38

order:	15
magic sum:	1695
properties:	pandiagonal

Рис. 20

Совершенно очевидно, что если перенести квадрат с рис. 20 на торе, то получится квадрат с таким расположением начальной цепочки первых 15 чисел, как в квадрате на рис. 19. Итак, вот есть уже два образца пандиагональных квадратов с одинаковыми качелями. И понятно, что можно нарисовать для них образующую таблицу, запрограммировать её с некоторыми начальными условиями и получить ещё много пандиагональных квадратов такого вида. А если не задавать никаких начальных условий, то можно получить абсолютно все пандиагональные квадраты этого вида (надо только, конечно, заложить в программу проверку пандиагональности квадрата, порождаемого образующей таблицей). Их будет, наверное, очень много! Интересно, Хендрикс построил все?

***

Сейчас я пишу 9-ую часть статьи “Идеальные квадраты. Метод качелей”. Она будет здесь:

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob9.htm

Читайте!

Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу