ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ДЕВЯТОГО ПОРЯДКА

 

                                               (приложение)

 

Представляю здесь все идеальные квадраты, которые мне удалось построить разными способами. Ещё два идеальных квадрата вы найдёте по ссылкам (построены Г. Александровым):

 

http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html

http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9_2.html

 

 

                                                             Квадрат № 1

                                                  (построен матричным методом)

 

 

 

                                                                               Квадрат № 2

                                                      (получен из квадрата №1)

 

 

 

                                                                                 Квадрат № 3

                                                          

 

 

                                 Квадрат № 4                                           Квадрат № 5

 

 

 

Квадраты №№ 3-5 получены из квадрата Г. Александрова (ссылка выше) перестановками строк (в двух последних квадратах с последующим применением преобразования “строки-диагонали”).

 

                                          Квадрат № 6

                                                  (получен из квадрата № 1 по программе)

 

 

 

                                                                      Квадрат № 7

                                   (получен из квадрата Г. Александрова по программе)

 

 

                                                                               Квадрат № 8

                                               (получен из квадрата Г. Александрова

с переставленными строками по программе)

 

 

                                                                              Квадрат № 9

                                               (получен из второго квадрата Г. Александрова

по программе)

 

 

Этот вариант интересен тем, что из построенного программой пандиагонального квадрата я получила три идеальных квадрата: первый с помощью преобразования параллельного переноса на торе (это квадрат № 9); второй с помощью преобразования “строки-диагонали” (это квадрат № 10); третий тоже с помощью преобразования “строки-диагонали”, но применённому к квадрату, перенесённому на торе по-другому, это квадрат № 11.

 

                                                              Квадрат № 10

 

 

                                                             Квадрат № 11

 

 

Интересно отметить, что квадрат № 11 – это просто повёрнутый квадрат № 10.

 

                                                        Квадрат № 12

                                      (получен из квадрата № 4 по программе)

 

 

                                       Квадрат № 13

                            (получен из квадрата № 5 по программе)

 

 

 

Следующие квадраты я получила применением к разным идеальным квадратам, полученным по программе, преобразования “строки-диагонали”, предварительно перенеся квадраты на торе. Поскольку преобразование “строки-диагонали” я выполняю по программе, составленной специально для данного преобразования, то квадраты привожу прямо из файла, в который их записала программа.

 

Квадрат № 14

 

17  64  60  80  46  42  35  1  24

 5  25  12  68  61  75  50  43  30

 38  31  9  20  13  72  56  76  54

 78  53  37  33  8  19  15  71  55

 66  59  79  48  41  34  3  23  16

 27  11  67  63  74  49  45  29  4

 28  6  26  10  69  62  73  51  44

 52  39  32  7  21  14  70  57  77

 58  81  47  40  36  2  22  18  65

 

Квадрат № 14а

 

 58  52  28  27  66  78  38  5  17

 81  39  6  11  59  53  31  25  64

 47  32  26  67  79  37  9  12  60

 40  7  10  63  48  33  20  68  80

 36  21  69  74  41  8  13  61  46

 2  14  62  49  34  19  72  75  42

 22  70  73  45  3  15  56  50  35

 18  57  51  29  23  71  76  43  1

 65  77  44  4  16  55  54  30  24

 

 Этот квадрат, как видите, просто повёрнутый квадрат № 14.

Но не стала его выбрасывать.

 

Квадрат № 15

 

 49  8  68  47  6  66  54  1  70

 24  57  45  19  61  40  26  59  38

 79  31  17  77  29  15  75  36  10

 2  69  48  9  64  52  4  71  50

 55  43  22  62  41  20  60  39  27

 32  11  78  30  18  73  34  13  80

 72  46  7  67  53  5  65  51  3

 44  23  56  42  21  63  37  25  58

 12  81  28  16  76  35  14  74  33

 

Квадрат № 15а

 

 12  44  72  32  55  2  79  24  49

 81  23  46  11  43  69  31  57  8

 28  56  7  78  22  48  17  45  68

 16  42  67  30  62  9  77  19  47

 76  21  53  18  41  64  29  61  6

 35  63  5  73  20  52  15  40  66

 14  37  65  34  60  4  75  26  54

 74  25  51  13  39  71  36  59  1

 33  58  3  80  27  50  10  38  70

 

Тоже получился повёрнутый квадрат № 15.

 

Квадрат № 16

 

 30  38  53  79  63  69  14  22  1

 15  23  4  28  39  47  80  61  72

 74  62  70  18  24  5  31  37  48

 32  40  46  75  56  71  16  27  6

 17  25  9  33  41  49  73  57  65

 76  55  66  11  26  7  36  42  50

 34  45  51  77  58  64  12  20  8

 10  21  2  35  43  54  78  59  67

 81  60  68  13  19  3  29  44  52

 

Квадрат № 16а

 

 81  10  34  76  17  32  74  15  30

 60  21  45  55  25  40  62  23  38

 68  2  51  66  9  46  70  4  53

 13  35  77  11  33  75  18  28  79

 19  43  58  26  41  56  24  39  63

 3  54  64  7  49  71  5  47  69

 29  78  12  36  73  16  31  80  14

 44  59  20  42  57  27  37  61  22

 52  67  8  50  65  6  48  72  1

 

И снова повёрнутый квадрат. Понятно, что повёрнутые квадраты получились в результате второго применения преобразования “строки-диагонали”.

 

Вот сколько я построила идеальных квадратов по своей программе, которая вообще-то писалась для другой цели. А вначале у нас с Георгием было всего три идеальных квадрата девятого порядка: два построил он, и один я, с помощью матричного метода. Смотрите подробно об этом на странице “Магические квадраты девятого порядка”.

Ссылка:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

И это ещё не всё! Мне стало интересно, а что получится, если ввести в программу в качестве исходного квадрата квадрат, построенный по этой же программе. Попробовала на квадрате № 12 (этот квадрат получен по программе из квадрата № 4). Ввела квадрат в программу и выполнила её. Программа нисколько “не удивилась”, что ей дали квадрат, который она же построила. Она его добросовестно обработала и выдала результат. Построенный квадрат вы видите ниже:

 

                                                            Квадрат № 17

 

 

 

Как видите, получился новый идеальный квадрат. Очень оригинальный чётно-нечётный рисунок у этого квадрата.

Идём дальше? Строим из этого квадрата снова идеальный квадрат. Как вы думаете, получилось? Да! Но только на этот раз квадрат получился не новый, а повёрнутый на 180 градусов квадрат № 4, с которого эта цепь построений начиналась. Показываю этот идеальный квадрат:

 

                                                             Квадрат № 4а

 

 

Вот какая чудо-программа для производства идеальных квадратов девятого порядка у меня неожиданно получилась! На входе идеальный квадрат, на выходе – новый идеальный квадрат, этот квадрат снова на вход, на выходе – новый идеальный квадрат. Правда, этот круг замыкается: в конце концов, строится исходный квадрат (с точностью до поворота или, может быть, другого известного преобразования или комбинации преобразований).

 

10 октября 2007 г.

 

       11 октября 2007 г.

 

Удивительно идеален квадрат № 1! Сейчас написала для него прототип, и он оказался пандиагональным, а после переноса на торе и ассоциативным. Показываю этот идеальный квадрат:

 

                                                             Квадрат № 18

 

 

 

А применив к прототипу преобразование “строки-диагонали”, я получила такой идеальный квадрат:

 

                                                              Квадрат № 19

 

 

 

Следует заметить, что не всякий идеальный квадрата имеет пандиагональный прототип. Так, например, первый квадрат Г. Александрова (ссылки в начале статьи) имеет прототип не только не пандиагональный, но даже не магический – нет магической суммы по одной из главных диагоналей. То есть это полумагический квадрат. Вы видите этот квадрат на рис. 1.

 

 

 

                                                                     Рис. 1

 

Интересно, что этот квадрат ещё и полу-пандиагональный. По разломанным диагоналям, совпадающим по направлению с главной диагональю, имеющей магическую сумму, тоже суммы равны магической константе. А по семи разломанным диагоналям другого направления, совпадающего с другой главной диагональю, не имеющей магической суммы, суммы не равны магической константе. Вот какой интересный полумагический, полу-пандиагональный квадрат!

 

А вот второй квадрат Г. Александрова имеет пандиагональный прототип.

На рис. 2 изображён прототип, на рис. 2а – полученный из него идеальный квадрат (параллельным переносом на торе), на рис. 2б – идеальный квадрат, полученный применением к прототипу преобразования “строки-диагонали”.

 

 

                                                           Прототип идеального

                                                     квадрата Г. Александрова

 

 

                                                                     Рис. 2

 

                                                            Квадрат № 20

 

 

                                                                     Рис. 2а

 

                                                             Квадрат № 21

 

 

                                                                     Рис. 2б

 

Можно продолжить исследование прототипов других идеальных квадратов. Напомню, что выше по программе получались идеальные квадраты, для которых в качестве прототипа брался один из известных идеальных квадратов. Здесь же рассматривались прототипы самих идеальных квадратов: ведь у каждого идеального квадрата есть свой прототип.

 

16 октября 2007 г.

 

Продолжаю строить идеальные квадраты девятого порядка. Вспомнила о программе перестановки строк, с помощью которой я получила несколько новых идеальных квадратов из квадрата Г. Александрова (см. квадраты №№ 3-5). А сейчас решила в качестве исходного ввести в эту программу свой идеальный квадрат №1, который я построила матричным методом. Программа выполняет только перестановку строк и больше ничего. Ещё в программе проверяется пандиагональность построенного квадрата, и если квадрат пандиагональный, то он записывается в файл. Для исходного квадрата № 1 программы выдала несравнимо больше пандиагональных квадратов, чем для квадрата Г. Александрова.

Этот результат мне показался интересным, помещаю на сайт все эти квадраты, прямо в файле, в который их записала программа. Файл здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pan9pril.htm

 

Повторяю, что это пандиагональные квадраты, а не идеальные. Программа, конечно, построила все варианты параллельного переноса на торе. Кроме того, она построила и варианты со стандартной перестановкой строк. Напомню, какая это перестановка (см. рис. 3):

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

Очевидно, что этот квадрат легко превратить в ассоциативный (а значит, и в идеальный) путём параллельного переноса на торе. Идеальный квадрат, полученный таким переносом, вы видите на рис. 4.

 

                                                             Квадрат № 1а

 

 

                                                  Рис. 4

 

Как видите, новый идеальный квадрат не получился из этого варианта, квадрат на рис. 4 – это отражённый идеальный квадрат № 1.

Но ещё очень многие пандиагональные квадраты из представленного файла могут быть превращены в идеальные. Покажу только один пример, когда в результате получается новый идеальный квадрат. На рис. 5 изображён пандиагональный квадрат из файла, а на рис. 6 – полученный из него идеальный квадрат. Идеальный квадрат получен применением преобразования “строки-диагонали” к отражённому квадрату с рис. 5.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

                                                               Квадрат № 22

 

 

                                                                      Рис. 6

 

Ещё один идеальный квадрат получается из пандиагонального квадрата с рис. 5 параллельным переносом на торе, этот квадрат показан на рис. 7.

 

                                                             Квадрат № 23

 

 

                                                   Рис. 7

 

Показан оригинальный чётно-нечётный рисунок этого квадрата.

 

Предлагаю читателям продолжить построение идеальных квадратов, используя пандиагональные квадраты из приведённого файла (см. ссылку выше).

 

17 октября 2007 г.

 

А сегодня в два счёта переделала программу для перестановки строк в программу для перестановки столбцов и по этой программе получила так же много пандиагональных квадратов, многие из которых можно превратить в идеальные. Приведу только один пример. На рис. 8 изображён пандиагональный квадрат, полученный из идеального квадрата № 1 по программе перестановки столбцов.

 

 

                                                  Рис. 8

 

На рис. 9 вы видите идеальный квадрат, полученный из квадрата с рис. 8 параллельным переносом на торе, а на рис. 10 – идеальный квадрат, полученный из того же квадрата, только повёрнутого и отражённого, преобразованием “строки-диагонали”.

 

                                                            Квадрат № 24

 

 

                                                                     Рис. 9

 

                                                              Квадрат № 25

 

 

                                                  Рис. 10

 

Построение идеальных квадратов девятого порядка можно продолжить, используя все пандиагональные квадраты, полученные перестановкой строк и столбцов. Таким образом, из одного идеального квадрата № 1 можно получить много других идеальных квадратов, не входящих в группу, порождаемую этим квадратом.

 

                                                                   ***

 

Напомню читателям, что данная страница является приложением к статье “Магические квадраты девятого порядка”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

                                               ***

 

23 ноября 2007 г.

 

Сообщаю читателям, что я нашла метод построения пандиагонального (и идеального) квадрата девятого порядка из ассоциативного. Для этого в качестве исходного ассоциативного квадрата надо было взять квадрат, построенный не методом террас, а другим методом: на базе магического квадрата третьего порядка. Смотрите подробный рассказ об этом методе на странице “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal9.htm

 

В этой статье изложены методы построения пандиагональных квадратов нечётных порядков кратных 9. Самым первым в этой группе, понятно, является квадрат девятого порядка.

На рис. 11 показаны идеальный квадраты девятого порядка, построенные в статье, слева – перестановкой столбцов, справа – перестановкой строк.

 

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Это очень интересные идеальные квадраты! На левом квадрате показан чётно-нечётный рисунок. В правом квадрате он такой же. Как видите, симметрия абсолютная: относительно обеих осей симметрии – вертикальной и горизонтальной, – относительно обеих главных диагоналей и относительно центра квадрата. Кроме того, оба квадрата обладают таким замечательным свойством: сумма чисел в любом квадрате 3х3, расположенном внутри квадрата, равна магической константе квадрата – 369. В квадрате справа выделено четыре таких квадрата для примера. Таким же свойством обладает идеальный квадрат № 1, построенный матричным методом (см. начало статьи).

 

Прототипы этих квадратов пандиагональны. На рис. 12 показан прототип левого квадрата с рис 11, а на рис. 13 – идеальный квадрат, полученный из этого прототипа параллельным переносом на торе.

 

 

 

                                                                      Рис. 12

 

 

                                                                     Рис. 13

 

Следующий квадрат (рис. 14) получен применением к прототипу с рис. 12 (повёрнутому и отражённому) преобразования “строки-диагонали”.

 

 

 

                                                                                  Рис. 14

 

            Ещё два идеальных квадрата в мою коллекцию!

 

Ну, и ещё из идеальных квадратов с рис. 11 можно получить новые идеальные квадраты по программе, которая была описана выше. На рис. 15 вы видите пандиагональный квадрат, полученный по этой программе из левого квадрата рис. 11, а на рис. 16 – идеальный квадрат, полученный из этого пандиагонального параллельным переносом на торе.

 

 

 

                                                                    Рис. 15

 

 

                                                                     Рис. 16

 

И следующий шаг: идеальный квадрат с рис. 16 в свою очередь является прототипом ещё одного пандиагонального квадрата (о чём говорит та же программа!). На рис. 17 показан этот пандиагональный квадрат.

 

 

 

                                                                     Рис. 17

 

Данный пандиагональный квадрат, конечно, элементарно превращается в идеальный параллельным переносом на торе или преобразованием “строки-диагонали”. На рис. 18 показаны оба идеальных квадрата, полученных из пандиагонального квадрата с рис. 17 указанными способами.

 

 

 

                                                                     Рис. 17

 

Правда, эти два квадрата не новые, левый – это квадрат с рис. 13, повёрнутый на 180 градусов, а правый – это квадрат с рис. 14, отражённый относительной вертикальной оси симметрии.

 

Вот такие идеальные квадраты получены из идеального квадрата, изображённого на рис. 11 слева. То же самое можно проделать и для идеального квадрата, изображённого на этом рисунке справа.

 

Итак, у меня осталась одна нерешённая проблема по пандиагональным квадратам: найти метод построения пандиагональных квадратов нечётных порядков, кратных 3, но не кратных 9, то есть таких порядков: 15, 21, 33, 39,… Пока никак не могу построить пандиагональный квадрат 15-ого порядка. Нигде не видела такой. Существует ли он в природе? Кто-нибудь знает? Напишите!

 

                                               ***

 

Жду ваших отзывов!

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу