ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ВОСЬМОГО ПОРЯДКА

 

С НАЧАЛЬНОЙ ЦЕПОЧКОЙ “ХОД КОНЁМ”

 

 

Рассматривая в статье http://www.klassikpoez.nfrod.ru/latch.htm метод построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка с помощью латинских квадратов, построила этим методом 6 идеальных квадратов 8-ого порядка. Продублирую здесь эти 6 вариантов (рис. 1 – рис. 6).

 

Квадрат № 1

 

 

Рис. 1

 

Квадрат № 2

 

 

Рис. 2

 

Квадрат № 3

 

 

Рис. 3

 

Квадрат № 4

 

 

Рис. 4

 

Квадрат № 5

 

 

Рис. 5

 

Квадрат № 6

 

 

Рис. 6

 

Интересно заметить, что программа, составленная для построения идеальных квадратов 8-ого порядка методом качелей, дала точно такой же результат – 6 идеальных квадратов, в точности совпадающих с приведёнными квадратами. Замечу, что в этой программе я зафиксировала в образующей таблице (следовательно, и в самом квадрате) положение двух чисел начальной цепочки – 1 и 8.

 

Теперь обратите внимание на то, что все идеальные квадраты данной группы начинаются с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата). Но ведь идеальные квадраты могут начинаться с других чисел. В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid1.htm , разрабатывая метод построения идеальных квадратов из обратимых квадратов, я получила группу частных решений, в которую вошли идеальные квадраты чётно-чётных порядков n=8k, k=1, 2, 3…, начинающиеся с числа 2. На рис. 7 показываю идеальный квадрат 8-ого порядка из этой группы.

 

 

Рис. 7

 

В указанной статье было установлено, что этот квадрат связан с квадратом № 5 преобразованием “плюс-минус 1”. Покажу матрицу этого преобразования (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Накладываете эту матрицу на квадрат с рис. 5, выполняете все действия сложения и вычитания и получаете квадрат с рис. 7. Вот такое интересное преобразование, сохраняющее идеальность квадрата.

 

Теперь возникает вопрос: можно ли построить идеальные квадраты, начинающиеся с числа 2, методом качелей? Конечно, можно. Только в данном случае надо зафиксировать положение других двух чисел в начальной цепочке – 2 и 7. Вот перед вами образующая таблица квадрата с рис. 7 (на рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

В этой образующей таблице есть две особенности по сравнению с обычными качелями: сместился столбец разностей, и формирование наборов чисел в столбцах происходит несколько иначе: прибавление разностей начинается не с самого последнего числа в столбце разностей. В остальном всё точно так же, как в обычных качелях.

Посмотрите на первый латинский квадрат, соответствующий этому идеальному квадрату (рис. 10):

 

 

 

Рис. 10

 

В первой строке записаны номера циклов качания качелей в точном соответствии с образующей таблицей. И дальше латинский квадрат заполняется в точном соответствии с номерами циклов качания качелей. Связь точно такая же, как для идеальных квадратов, начинающихся с числа 1. В идеальном квадрате (рис. 7) и в латинском квадрате (рис. 10) раскрашены первые три цикла качания качелей, считая нулевой.

 

Вспоминаю, что в указанной выше статье по программе было получено 48 латинских обобщённых квадратов с числом 0 в левой верхней ячейке, пригодных для построения идеальных квадратов 8-ого порядка. Понятно, что второй латинский квадрат для идеальных квадратов, начинающихся с числа 2, будет содержать в левой верхней ячейке число 1, для идеальных квадратов, начинающихся с числа 3, второй латинский квадрат будет начинаться с числа 2 и т. д. На второй латинский квадрат, соответствующий идеальному квадрату с рис. 7, вы можете посмотреть в указанной выше статье.

 

Примечание: как уже отмечалось, идеальные квадраты 8-ого порядка при параллельном переносе не всегда сохраняют идеальность. Например, применив к квадрату с рис. 7 преобразование параллельного переноса на торе так, чтобы он начинался с числа 1, мы получим такой пандиагональный, но уже не идеальный квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

  Однако существует несколько вариантов параллельного переноса на торе рассматриваемой группы идеальных квадратов, которые сохраняют идеальность. Покажу два варианта на примере того же квадрата с рис. 7 (рис. 12 – 13).

 

 

Рис. 12

 

 

 

Рис. 13

 

Поверните квадрат с рис. 13 на 180 градусов, и вы получите идеальный квадрат, начинающийся с числа 9. Разложите полученный идеальный квадрат на два латинских квадрата, и вы увидите, что первый латинский квадрат начинается с числа 1.

 

Вот этот идеальный квадрат (рис. 14) я построила тоже методом качелей, но без программы, потому что он аналогичен по структуре идеальному квадрату с рис. 7.

 

 

Рис. 14

 

На рис. 15 показана образующая таблица этого квадрата.

 

 

Рис. 15

 

Среди квадратов первой группы (начинающихся с числа 1) есть квадрат, с которым связан только что построенный квадрат тем же самым преобразованием “плюс-минус 1”. Это квадрат № 3 (рис. 3).

 

Теперь в программе, которая была составлена для построения идеальных квадратов, начинающихся с числа 1 (с помощью латинских квадратов), корректирую схему построения второго латинского квадрата (эту схему беру из конкретного примера для квадрата с рис. 7), а первый латинский квадрат по-прежнему начинается с числа 0. Выполняю программу, и она выдаёт мне опять 6 идеальных квадратов, среди которых есть два уже показанных (рис. 7 и рис. 14). Покажу остальные четыре квадрата (рис. 15 – рис. 18).

 

 

Рис. 15

 

 

 

Рис. 16

 

 

 

Рис. 17

 

 

 

Рис. 18

 

Сравните идеальный квадрат с рис. 16 с идеальным квадратом № 4 (рис. 4). Вы увидите, что эти квадраты связаны преобразованием “плюс-минус 4”.

 

Итак, мы получили уже 12 идеальных квадратов. У меня остались 36 первых латинских квадратов (начинающихся с числа 0), к которым я пока не знаю, как построить ортогональные латинские квадраты, чтобы получить из каждой пары латинских квадратов новый идеальный квадрат 8-ого порядка. Надо найти методы построения ортогональных латинских квадратов. Макс прислал мне ссылку, где пишут об этом, но там очень большая веб-страница, пока не стала её смотреть. Даю ссылку любознательным читателям:

 

      М.Холл "Комбинаторика":

      http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Holl1970ru.djvu

 В ней глава 13 (стр. 261) так и называется "Ортогональные латинские квадраты".

 

 

***

 

Третью схему построения второго латинского квадрата придумала. Поясню, как именно составляется второй латинский квадрат по этой схеме. Обозначим элементы первого латинского квадрата A_ij (понятно, что здесь индексация идёт в естественном порядке). Второй латинский квадрат по рассматриваемой схеме составляется следующим образом (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

Первый латинский квадрат по-прежнему начинается с числа 0.

На рис. 20 – 25 показываю 6 идеальных квадратов, получившихся по этой схеме. Все идеальные квадраты в этой группе начинаются с числа 8. Буду нумеровать квадраты с учётом 12 квадратов, представленных выше.

 

Квадрат № 13

 

 

Рис. 20

 

Квадрат № 14

 

 

Рис. 21

 

Квадрат № 15

 

 

Рис. 22

 

Квадрат № 16

 

 

Рис. 23

 

Квадрат № 17

 

 

Рис. 24

 

Квадрат № 18

 

 

Рис. 25

 

Итак, уже использовано 18 первых латинских квадратов, осталось 30. К этим 30 квадратам тоже надо построить второй ортогональный латинский квадрат и с помощью каждой пары латинских квадратов построить идеальный квадрат. Таким образом, в этой группе (с первым латинским квадратом, начинающимся с числа 0) мы построим 48 идеальных квадратов. Затем надо будет составить латинские обобщённые квадраты, начинающиеся с числа 1 (по той же самой программе, введя в неё небольшую корректировку). Таких квадратов тоже будет 48. Составив к каждому из этих латинских квадратов второй ортогональный латинский квадрат, мы построим из каждой пары латинских квадратов идеальный квадрат, всего снова 48 квадратов. Понятно, что будет 8 групп латинских квадратов по 48 пар в каждой. Следовательно, всего идеальных квадратов 8-ого порядка по этому алгоритму должно построиться 8*48=384. Вот только интересно, сколько будет различных идеальных квадратов, не получающихся друг из друга параллельным переносом на торе.

 

23 июля 2008 г.

 

Сочинила ещё одну схему составления второго латинского квадрата. Эта схема представлена на рис. 26.

 

 

Рис. 26

 

Первый латинский квадрат по-прежнему начинается с числа 0. По этому варианту программы получила ещё 6 идеальных квадратов, которые показываю на рис. 27–32.

 

Квадрат № 19

 

 

Рис. 27

 

Квадрат № 20

 

 

Рис. 28

 

Квадрат № 21

 

 

Рис. 29

 

Квадрат № 22

 

 

Рис. 30

 

Квадрат № 23

 

 

Рис. 31

 

Квадрат № 24

 

 

Рис. 32

 

Сравните квадраты этой группы с квадратами, начинающимися с числа 1. Очевидно, что каждый квадрат из только что построенных 6 квадратов получается из соответствующего квадрата первой группы преобразованием параллельного переноса на торе. Таким образом, мы получили группу квадратов, эквивалентных квадратам первой группы с точностью до параллельного переноса на торе.

 

Следующую схему составления второго латинского квадрата вы видите на рис. 33. Первый латинский квадрат всё так же начинается с числа 0.

 

 

Рис. 33

 

Эта схема такова, что второй латинский квадрат тоже начинается с 0. И мы получаем новую группу из 6 идеальных квадратов, которые тоже начинаются с числа 1. Однако эти квадраты не совпадают с квадратами первой группы, начинающимися с числа 1 (см. рис. 1 – рис. 6). Представляю новые идеальные квадраты на рис. 34-39.

 

Квадрат № 25

 

 

Рис. 34

 

Квадрат № 26

 

 

Рис. 35

 

 Квадрат № 27

 

 

Рис. 36

 

Квадрат № 28

 

 

Рис. 37

 

Квадрат № 29

 

 

Рис. 38

 

Квадрат № 30

 

 

Рис. 39

 

Интересно отметить, что все квадраты этой группы связаны с квадратами первой группы (рис. 1 – рис. 6) преобразованиями “плюс-минус …”, либо простыми, либо комбинированными. Покажу пример для квадрата № 25 (рис. 34). Этот квадрат связан с квадратом № 2 (рис. 2) простым преобразованием “плюс-минус 3”. На рис. 40 вы видите матрицу этого преобразования.

 

 

Рис. 40

 

Вот пример ещё одного преобразования, сохраняющего идеальность квадрата. Предлагаю читателям написать матрицы преобразований, выражающих связь других квадратов этих двух групп.

 

Примечание: возникает вопрос – почему эти 6 квадратов не построились методом качелей? Ведь они тоже начинаются с числа 1, то есть в начальной цепочке числа 1 и 8 занимают фиксированное положение. Видимо, что-то в этих квадратах не так, как в обычных качелях. Надо посмотреть на досуге. Достаточно составить образующую таблицу одного из квадратов группы, чтобы увидеть, как работают качели.

 

Итак, получено 30 идеальных квадратов. Осталось получить 18 идеальных квадратов из первой группы латинских квадратов (начинающихся с числа 0), то есть всего три группы по 6 квадратов.

 

***

 

24 июля 2008 г.

 

Как я уже отмечала в Предисловии к своей виртуальной книги “Волшебный мир магических квадратов”, читатели видят на страницах живой процесс исследований. Очень хорошо это видно на данной странице. Здесь идёт поиск методов построения двух обобщённых ортогональных латинских квадратов, из которых можно построить идеальный квадрат 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”. Я уже построила 30 таких идеальных квадратов, можно и остановиться, убедившись в том, что метод работает. Но мне интересно идти дальше. Вот сейчас обнаружила, что в каждой схеме построения второго латинского квадрата, ортогонального к первому (уже представлено 5 таких схем) используются отнюдь не разные первые латинские квадраты, как я думала сначала. Поясню на примере. Вот пара латинских обобщённых ортогональных квадратов, из которых построен квадрат № 2 (с рис. 2):

 

0  7  3  1  5  2  6  4                           0  3  5  6  0  3  5  6

            6  4  0  7  3  1  5  2                           2  4  7  1  2  4  7  1 

            5  2  6  4  0  7  3  1                           3  5  6  0  3  5  6  0 

            3  1  5  2  6  4  0  7                           4  7  1  2  4  7  1  2

                        0  7  3  1  5  2  6  4                           5  6  0  3  5  6  0  3              

                        6  4  0  7  3  1  5  2                           7  1  2  4  7  1  2  4 

                        5  2  6  4  0  7  3  1                           6  0  3  5  6  0  3  5

                        3  1  5  2  6  4  0  7                           1  2  4  7  1  2  4  7

 

А вот пара латинских обобщённых ортогональных квадратов, из которых построен квадрат № 25 (с рис. 34):

 

0  7  3  1  5  2  6  4                           0  6  5  3  0  6  5  3

            6  4  0  7  3  1  5  2                           2  1  7  4  2  1  7  4 

            5  2  6  4  0  7  3  1                           6  5  3  0  6  5  3  0 

            3  1  5  2  6  4  0  7                           1  7  4  2  1  7  4  2

                        0  7  3  1  5  2  6  4                           5  3  0  6  5  3  0  6              

                        6  4  0  7  3  1  5  2                           7  4  2  1  7  4  2  1 

                        5  2  6  4  0  7  3  1                           3  0  6  5  3  0  6  5

                        3  1  5  2  6  4  0  7                           4  2  1  7  4  2  1  7

 

Как видите, первые латинские квадраты в этих парах совершенно одинаковые, а вторые латинские квадраты различны; для квадрата № 2 второй латинский квадрат составлялся по первой схеме, а для квадрата № 25 – по пятой схеме. Оказывается, к одному латинскому обобщённому квадрату можно построить не единственный ортогональный латинский квадрат. Перед вами наглядный пример, подтверждающий это. Интересный факт. Мне не хочется, конечно, смотреть на все пары латинских ортогональных квадратов, которые составляются программой. В каждом варианте программы я изменяю только схему составления второго латинского квадрата, оставляя 48 первых латинских квадратов без изменения (все они начинаются с числа 0). Программа сама находит те первые латинские квадраты, к которым по данной схеме можно построить ортогональные латинские квадраты. Интересно то, что каждый раз программа находит ровно 6 пар ортогональных квадратов и строит из этих пар 6 идеальных квадратов. Может быть, во всех схемах используются одни и те же 6 первых латинских квадратов? Интересный вопрос!

 

Перехожу к шестой схеме составления второго латинского квадрата, вы видите эту схему на рис. 41.

 

 

Рис. 41

 

На рис. 42-47 показываю 6 идеальных квадратов, выданных программой в этом варианте.

 

Квадрат № 31

 

 

Рис. 42

 

Квадрат № 32

 

 

Рис. 43

 

Квадрат № 33

 

 

Рис. 44

 

Квадрат № 34

 

 

Рис. 45

 

Квадрат № 35

 

 

Рис. 46

 

Квадрат № 36

 

 

Рис. 47

 

Все квадраты этой группы можно сделать начинающимися с числа 8, применив к ним преобразование параллельного переноса на торе. У нас уже была группа квадратов, начинающихся с числа 8, это третья группа: квадраты № 13 - № 18 (рис. 20-25). Предлагаю читателям сравнить квадраты третьей группы с квадратами последней группы, перенесёнными на торе так, чтобы они начинались с числа 8.

 

А я перехожу к седьмой схеме составления второго латинского квадрата (рис. 48):

 

Рис. 48

 

Снова получено 6 идеальных квадратов. Все квадраты этой группы начинаются с числа 8. У нас была уже такая группа квадратов, начинающихся с числа 8 (квадраты № 13 - № 18, рис. 20-25). Однако квадраты этих двух групп не одинаковые. Показываю новые квадраты на рис. 49-54.

 

Квадрат № 37

 

 

Рис. 49

 

Квадрат № 38

 

 

Рис. 50

 

Квадрат № 39

 

 

Рис. 51

 

Квадрат № 40

 

 

Рис. 52

 

Квадрат № 41

 

 

Рис. 53

 

 Квадрат № 42

 

 

Рис. 54

 

Вполне возможно, что идеальные квадраты этой группы связаны с какими-то квадратами, полученными раньше, преобразованием параллельного переноса на торе. Поскольку квадратов стало много, не хочется их все сравнивать.

 

Наконец, последняя – восьмая – схема составления второго латинского квадрата (рис. 55):

 

 

Рис. 55

 

На рис. 56-61 вы видите группу идеальных квадратов, полученных с использованием данной схемы.

 

Квадрат № 43

 

 

Рис. 56

 

Квадрат № 44

 

 

Рис. 57

 

Квадрат № 45

 

 

Рис. 58

 

Квадрат № 46

 

 

Рис. 59

 

Квадрат № 47

 

 

Рис. 60

 

Квадрат № 48

 

 

Рис. 61

 

Очевидно, что все квадраты этой группы можно перенести на торе так, чтобы они начинались с числа 1, и тогда они совпадут с квадратами пятой группы  (квадрат № 25 – квадрат № 30).

 

Построено 48 идеальных квадратов, среди которых много эквивалентных квадратов с учётом параллельного переноса на торе. Кроме того, многие квадраты связаны преобразованием “плюс- минус …”. Мне кажется, что с учётом этих двух типов преобразований различными будут только 6 квадратов первой группы.

 

Далее я действовала так. В ту же самую программу ввела корректировку так, чтобы первый латинский квадрат начинался с числа 1. Таких квадратов тоже получилось 48 (напомню, что эти обобщённые латинские квадраты должны являться нетрадиционными идеальными квадратами с магической константой 28). Всё остальное повторила, то есть все 8 схем составления второго латинского квадрата. Каждая из 8 схем так же дала 6 идеальных квадратов.

Покажу здесь только две группы идеальных квадратов, полученных таким способом. Смотрите эти квадраты на рис. 62-73.

 

Квадрат № 49

 

 

Рис. 62

 

 Квадрат № 50

 

 

Рис. 63

 

Квадрат № 51

 

 

Рис. 64

 

Квадрат № 52

 

 

Рис. 65

 

Квадрат № 53

 

 

Рис. 66

 

Квадрат № 54

 

 

Рис. 67

 

Квадрат № 55

 

 

Рис. 68

 

 Квадрат № 56

 

 

Рис. 69

 

  Квадрат № 57

 

 

Рис. 70

 

Квадрат № 58

 

 

Рис. 71

 

Квадрат № 59

 

 

Рис. 72

 

Квадрат № 60

 

 

Рис. 73

 

Обратите внимание на то, что в квадратах этой группы в левой верхней ячейке стоят числа больше 8, поэтому начальная цепочка, сохранив свою форму “ход конём”, смещается по квадрату вправо (если считать от левой стороны квадрата).

Предлагаю читателям сравнить квадраты новой группы с представленными выше на предмет эквивалентности.

 

Итак, мы имеем 8 групп первых латинских квадратов (начинающиеся с числа 0, начинающиеся с числа 1, … начинающиеся с числа 7). Каждая группа даёт нам 48 идеальных квадратов. Следовательно, всего мы построим по этому алгоритму 8*48=384 идеальных квадратов 8-ого порядка. Мы видели, что не все эти квадраты существенно различны.

 

Покажу ещё 6 идеальных квадратов следующей группы. Эти квадраты получены для случая, когда первые латинские квадраты начинаются с числа 2. Смотрите эти квадраты на рис. 74-79.

 

Квадрат № 61

 

 

Рис. 74

 

Квадрат № 62

 

 

Рис. 75

 

Квадрат № 63

 

 

Рис. 76

 

Квадрат № 64

 

 

Рис. 77

 

 Квадрат № 65

 

 

Рис. 78

 

Квадрат № 66

 

 

Рис. 79

 

Приведу текст программы в первоначальном варианте – для построения первой группы 6 идеальных квадратов (изображены на рис. 1-6). Введя в этот вариант программы самые незначительные корректировки, я получила все остальные группы идеальных квадратов. Заинтересовавшиеся читатели могут продолжить построение идеальных квадратов по этой программе, вводя в неё необходимые корректировки. Если у меня будет время, я построю все 384 идеальных квадрата 8-ого порядка и помещу их на сайт.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

(язык QBASIC)

 

10 DIM C(8, 8), B(8, 8), A(8, 8)

11 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

12 C(1, 1) = 0

15 FOR X = 1 TO 7: D(X) = X: NEXT X

20 FOR I = 1 TO 7

22 C(1, 2) = D(I)

24 FOR J = 1 TO 7

26 IF J = I THEN 525

28 C(1, 3) = D(J)

30 FOR K = 1 TO 7

32 IF K <> I THEN IF K <> J THEN 36

34 GOTO 520

36 C(1, 4) = D(K)

38 FOR L = 1 TO 7

40 IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 44

42 GOTO 515

44 C(1, 5) = D(L)

46 FOR M = 1 TO 7

48 IF M <> I THEN IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN 52

50 GOTO 510

52 C(1, 6) = D(M)

54 FOR N = 1 TO 7

56 IF N <> I THEN IF N <> J THEN IF N <> K THEN IF N <> L THEN IF N <> M THEN 60

58 GOTO 505

60 C(1, 7) = D(N)

62 FOR O = 1 TO 7

64 IF O <> I THEN IF O <> J THEN IF O <> K THEN IF O <> L THEN IF O <> M THEN IF O <> N THEN 68

66 GOTO 500

68 C(1, 8) = D(O)

70 P = 2

72 C(P, 1) = C(P - 1, 7): C(P, 2) = C(P - 1, 8)

74 FOR X = 3 TO 8: C(P, X) = C(P - 1, X - 2): NEXT X

76 P = P + 1

78 IF P > 8 THEN 105

80 GOTO 72

105 Z1 = C(1, 1) + C(2, 8) + C(3, 7) + C(4, 6) + C(5, 5) + C(6, 4) + C(7, 3) + C(8, 2)

106 Z2 = C(1, 2) + C(2, 1) + C(3, 8) + C(4, 7) + C(5, 6) + C(6, 5) + C(7, 4) + C(8, 3)

107 Z3 = C(1, 3) + C(2, 2) + C(3, 1) + C(4, 8) + C(5, 7) + C(6, 6) + C(7, 5) + C(8, 4)

108 Z4 = C(1, 4) + C(2, 3) + C(3, 2) + C(4, 1) + C(5, 8) + C(6, 7) + C(7, 6) + C(8, 5)

109 Z5 = C(1, 5) + C(2, 4) + C(3, 3) + C(4, 2) + C(5, 1) + C(6, 8) + C(7, 7) + C(8, 6)

5110 Z6 = C(1, 6) + C(2, 5) + C(3, 4) + C(4, 3) + C(5, 2) + C(6, 1) + C(7, 8) + C(8, 7)

111 Z7 = C(1, 7) + C(2, 6) + C(3, 5) + C(4, 4) + C(5, 3) + C(6, 2) + C(7, 1) + C(8, 8)

113 IF Z1 = 28 THEN IF Z2 = 28 THEN IF Z3 = 28 THEN IF Z4 = 28 THEN IF Z5 = 28 THEN IF Z6 = 28 THEN IF Z7 = 28 THEN 115

114 GOTO 500

115 Z8 = C(1, 1) + C(2, 2) + C(3, 3) + C(4, 4) + C(5, 5) + C(6, 6) + C(7, 7) + C(8, 8)

116 Z9 = C(1, 8) + C(2, 7) + C(3, 6) + C(4, 5) + C(5, 4) + C(6, 3) + C(7, 2) + C(8, 1)

120 Z10 = C(1, 8) + C(2, 1) + C(3, 2) + C(4, 3) + C(5, 4) + C(6, 5) + C(7, 6) + C(8, 7)

124 Z11 = C(1, 7) + C(2, 8) + C(3, 1) + C(4, 2) + C(5, 3) + C(6, 4) + C(7, 5) + C(8, 6)

128 Z12 = C(1, 6) + C(2, 7) + C(3, 8) + C(4, 1) + C(5, 2) + C(6, 3) + C(7, 4) + C(8, 5)

132 Z13 = C(1, 5) + C(2, 6) + C(3, 7) + C(4, 8) + C(5, 1) + C(6, 2) + C(7, 3) + C(8, 4)

136 Z14 = C(1, 4) + C(2, 5) + C(3, 6) + C(4, 7) + C(5, 8) + C(6, 1) + C(7, 2) + C(8, 3)

138 IF Z8 = 28 THEN IF Z9 = 28 THEN IF Z10 = 28 THEN IF Z11 = 28 THEN IF Z12 = 28 THEN IF Z13 = 28 THEN IF Z14 = 28 THEN 142

140 GOTO 500

142 Z15 = C(1, 3) + C(2, 4) + C(3, 5) + C(4, 6) + C(5, 7) + C(6, 8) + C(7, 1) + C(8, 2)

144 Z16 = C(1, 2) + C(2, 3) + C(3, 4) + C(4, 5) + C(5, 6) + C(6, 7) + C(7, 8) + C(8, 1)

146 IF Z15 = 28 THEN IF Z16 = 28 THEN 175

148 GOTO 500

175 IF C(1, 1) + C(8, 8) = 7 THEN IF C(1, 2) + C(8, 7) = 7 THEN IF C(1, 3) + C(8, 6) = 7 THEN IF C(1, 4) + C(8, 5) = 7 THEN IF C(1, 5) + C(8, 4) = 7 THEN 180

177 GOTO 500

180 IF C(2, 1) + C(7, 8) = 7 THEN IF C(3, 1) + C(6, 8) = 7 THEN IF C(4, 1) + C(5, 8) = 7 THEN IF C(5, 1) + C(4, 8) = 7 THEN 190

186 GOTO 500

190 B(1, 1) = C(1, 1): B(1, 2) = C(4, 1): B(1, 3) = C(3, 1): B(1, 4) = C(2, 1)

192 B(1, 5) = C(1, 1): B(1, 6) = C(4, 1): B(1, 7) = C(3, 1): B(1, 8) = C(2, 1)

194 B(2, 1) = C(3, 2): B(2, 2) = C(2, 2): B(2, 3) = C(1, 2): B(2, 4) = C(4, 2)

196 B(2, 5) = C(3, 2): B(2, 6) = C(2, 2): B(2, 7) = C(1, 2): B(2, 8) = C(4, 2)

198 B(3, 1) = C(4, 1): B(3, 2) = C(3, 1): B(3, 3) = C(2, 1): B(3, 4) = C(1, 1)

200 B(3, 5) = C(4, 1): B(3, 6) = C(3, 1): B(3, 7) = C(2, 1): B(3, 8) = C(1, 1)

202 B(4, 1) = C(2, 2): B(4, 2) = C(1, 2): B(4, 3) = C(4, 2): B(4, 4) = C(3, 2)

204 B(4, 5) = C(2, 2): B(4, 6) = C(1, 2): B(4, 7) = C(4, 2): B(4, 8) = C(3, 2)

206 B(5, 1) = C(3, 1): B(5, 2) = C(2, 1): B(5, 3) = C(1, 1): B(5, 4) = C(4, 1)

208 B(5, 5) = C(3, 1): B(5, 6) = C(2, 1): B(5, 7) = C(1, 1): B(5, 8) = C(4, 1)

210 B(6, 1) = C(1, 2): B(6, 2) = C(4, 2): B(6, 3) = C(3, 2): B(6, 4) = C(2, 2)

212 B(6, 5) = C(1, 2): B(6, 6) = C(4, 2): B(6, 7) = C(3, 2): B(6, 8) = C(2, 2)

214 B(7, 1) = C(2, 1): B(7, 2) = C(1, 1): B(7, 3) = C(4, 1): B(7, 4) = C(3, 1)

216 B(7, 5) = C(2, 1): B(7, 6) = C(1, 1): B(7, 7) = C(4, 1): B(7, 8) = C(3, 1)

218 B(8, 1) = C(4, 2): B(8, 2) = C(3, 2): B(8, 3) = C(2, 2): B(8, 4) = C(1, 2)

220 B(8, 5) = C(4, 2): B(8, 6) = C(3, 2): B(8, 7) = C(2, 2): B(8, 8) = C(1, 2)

221 Z = 0

222 FOR X = 1 TO 8: Z = Z + B(1, X): NEXT X

223 IF Z = 28 THEN 225

224 GOTO 500

225 Z1 = B(1, 1) + B(2, 8) + B(3, 7) + B(4, 6) + B(5, 5) + B(6, 4) + B(7, 3) + B(8, 2)

226 Z2 = B(1, 2) + B(2, 1) + B(3, 8) + B(4, 7) + B(5, 6) + B(6, 5) + B(7, 4) + B(8, 3)

227 Z3 = B(1, 3) + B(2, 2) + B(3, 1) + B(4, 8) + B(5, 7) + B(6, 6) + B(7, 5) + B(8, 4)

228 Z4 = B(1, 4) + B(2, 3) + B(3, 2) + B(4, 1) + B(5, 8) + B(6, 7) + B(7, 6) + B(8, 5)

229 Z5 = B(1, 5) + B(2, 4) + B(3, 3) + B(4, 2) + B(5, 1) + B(6, 8) + B(7, 7) + B(8, 6)

230 Z6 = B(1, 6) + B(2, 5) + B(3, 4) + B(4, 3) + B(5, 2) + B(6, 1) + B(7, 8) + B(8, 7)

231 Z7 = B(1, 7) + B(2, 6) + B(3, 5) + B(4, 4) + B(5, 3) + B(6, 2) + B(7, 1) + B(8, 8)

233 IF Z1 = 28 THEN IF Z2 = 28 THEN IF Z3 = 28 THEN IF Z4 = 28 THEN IF Z5 = 28 THEN IF Z6 = 28 THEN IF Z7 = 28 THEN 235

234 GOTO 500

235 Z8 = B(1, 1) + B(2, 2) + B(3, 3) + B(4, 4) + B(5, 5) + B(6, 6) + B(7, 7) + B(8, 8)

236 Z9 = B(1, 8) + B(2, 7) + B(3, 6) + B(4, 5) + B(5, 4) + B(6, 3) + B(7, 2) + B(8, 1)

240 Z10 = B(1, 8) + B(2, 1) + B(3, 2) + B(4, 3) + B(5, 4) + B(6, 5) + B(7, 6) + B(8, 7)

244 Z11 = B(1, 7) + B(2, 8) + B(3, 1) + B(4, 2) + B(5, 3) + B(6, 4) + B(7, 5) + B(8, 6)

248 Z12 = B(1, 6) + B(2, 7) + B(3, 8) + B(4, 1) + B(5, 2) + B(6, 3) + B(7, 4) + B(8, 5)

250 Z13 = B(1, 5) + B(2, 6) + B(3, 7) + B(4, 8) + B(5, 1) + B(6, 2) + B(7, 3) + B(8, 4)

252 Z14 = B(1, 4) + B(2, 5) + B(3, 6) + B(4, 7) + B(5, 8) + B(6, 1) + B(7, 2) + B(8, 3)

254 IF Z8 = 28 THEN IF Z9 = 28 THEN IF Z10 = 28 THEN IF Z11 = 28 THEN IF Z12 = 28 THEN IF Z13 = 28 THEN IF Z14 = 28 THEN 258

256 GOTO 500

258 Z15 = C(1, 3) + C(2, 4) + C(3, 5) + C(4, 6) + C(5, 7) + C(6, 8) + C(7, 1) + C(8, 2)

260 Z16 = B(1, 2) + B(2, 3) + B(3, 4) + B(4, 5) + B(5, 6) + B(6, 7) + B(7, 8) + B(8, 1)

262 IF Z15 = 28 THEN IF Z16 = 28 THEN 266

264 GOTO 500

266 IF B(1, 1) + B(8, 8) = 7 THEN IF B(1, 2) + B(8, 7) = 7 THEN IF B(1, 3) + B(8, 6) = 7 THEN IF B(1, 4) + B(8, 5) = 7 THEN IF B(1, 5) + B(8, 4) = 7 THEN 270

268 GOTO 500

270 IF B(2, 1) + B(7, 8) = 7 THEN IF B(3, 1) + B(6, 8) = 7 THEN IF B(4, 1) + B(5, 8) = 7 THEN IF B(5, 1) + B(4, 8) = 7 THEN 290

272 GOTO 500

290 FOR X = 1 TO 8

292 FOR Y = 1 TO 8

294 A(X, Y) = 8 * C(X, Y) + B(X, Y) + 1

296 NEXT Y

298 NEXT X

390 W = W + 1: PRINT W: PRINT #1, W

400 FOR X = 1 TO 8

402 FOR Y = 1 TO 8

404 PRINT C(X, Y);

405 PRINT #1, C(X, Y);

406 NEXT Y

408 PRINT : PRINT #1,

410 NEXT X

412 FOR X = 1 TO 8

414 FOR Y = 1 TO 8

416 PRINT B(X, Y);

418 PRINT #1, B(X, Y);

420 NEXT Y

422 PRINT : PRINT #1,

424 NEXT X

426 PRINT : PRINT #1,

428 FOR X = 1 TO 8

430 FOR Y = 1 TO 8

432 PRINT A(X, Y);

434 PRINT #1, A(X, Y);

436 NEXT Y

438 PRINT : PRINT #1,

440 NEXT X

500 NEXT O

505 NEXT N

510 NEXT M

515 NEXT L

520 NEXT K

525 NEXT J

530 NEXT I

600 END

 

Примечание: текст программы можно значительно уменьшить, если некоторые процедуры оформить с помощью циклов. Не люблю организовывать циклы и когда процедуры не очень большие, обхожусь без циклов.

 

Программа выводит для каждого идеального квадрата пару обобщённых ортогональных латинских квадратов, из которых этот идеальный квадрат построен.

 

***

 

Остался ещё такой интересный вопрос: сколько идеальных квадратов 8-ого порядка можно построить из одного идеального квадрата с помощью разных преобразований. Будем рассматривать этот вопрос на примере квадрата № 1(с рис. 1). Прежде всего отмечу, что основные преобразования магических квадратов (повороты и отражения относительно осей симметрии) сохраняют идеальность квадрата. Таким образом, с помощью основных преобразований к квадрату № 1 можно добавить ещё семь идеальных квадратов.

О преобразовании параллельного переноса на торе уже было сказано выше. Не любой параллельный перенос на торе сохраняет идеальность квадрата. Но есть несколько таких параллельных переносов, которые сохраняют идеальность. На рис. 80 показан один из вариантов параллельного переноса на торе квадрата № 1. Очевидно, что полученный квадрат идеальный.

 

 

Рис. 80

 

Далее я выполнила для идеального квадрата № 1 программу перестановки строк. Программа выдала 16 решений (включая исходный квадрат). Приведу их здесь в том виде, как они записаны в файл программой.

 

№ 1 (исходный квадрат)                       № 2

 1  63  54  36  41  23  30  12                          1  63  54  36  41  23  30  12

 27  10  8  61  51  34  48  21                          32  13  3  58  56  37  43  18  

 47  22  28  9  7  62  52  33                            44  17  31  14  4  57  55  38  

 50  40  45  19  26  16  5  59                          50  40  45  19  26  16  5  59  

 6  60  49  39  46  20  25  15                          6  60  49  39  46  20  25  15  

 32  13  3  58  56  37  43  18                          27  10  8  61  51  34  48  21  

 44  17  31  14  4  57  55  38                          47  22  28  9  7  62  52  33  

 53  35  42  24  29  11  2  64                          53  35  42  24  29  11  2  64  

 

№ 3                                                               № 4

 27  10  8  61  51  34  48  21                          27  10  8  61  51  34  48  21

 1  63  54  36  41  23  30  12                          6  60  49  39  46  20  25  15  

 50  40  45  19  26  16  5  59                          53  35  42  24  29  11  2  64  

 47  22  28  9  7  62  52  33                            47  22  28  9  7  62  52  33  

 32  13  3  58  56  37  43  18                          32  13  3  58  56  37  43  18  

 6  60  49  39  46  20  25  15                          1  63  54  36  41  23  30  12  

 53  35  42  24  29  11  2  64                          50  40  45  19  26  16  5  59  

 44  17  31  14  4  57  55  38                          44  17  31  14  4  57  55  38  

 

№ 5                                                               № 6                                                              

 47  22  28  9  7  62  52  33                            47  22  28  9  7  62  52  33  

 50  40  45  19  26  16  5  59                          53  35  42  24  29  11  2  64  

 1  63  54  36  41  23  30  12                          6  60  49  39  46  20  25  15  

 27  10  8  61  51  34  48  21                          27  10  8  61  51  34  48  21  

 44  17  31  14  4  57  55  38                          44  17  31  14  4  57  55  38  

 53  35  42  24  29  11  2  64                          50  40  45  19  26  16  5  59  

 6  60  49  39  46  20  25  15                          1  63  54  36  41  23  30  12  

 32  13  3  58  56  37  43  18                          32  13  3  58  56  37  43  18  

 

№ 7                                                              № 8

 50  40  45  19  26  16  5  59                          50  40  45  19  26  16  5  59  

 47  22  28  9  7  62  52  33                            44  17  31  14  4  57  55  38  

 27  10  8  61  51  34  48  21                          32  13  3  58  56  37  43  18  

 1  63  54  36  41  23  30  12                          1  63  54  36  41  23  30  12  

 53  35  42  24  29  11  2  64                          53  35  42  24  29  11  2  64  

 44  17  31  14  4  57  55  38                          47  22  28  9  7  62  52  33  

 32  13  3  58  56  37  43  18                          27  10  8  61  51  34  48  21  

 6  60  49  39  46  20  25  15                          6  60  49  39  46  20  25  15

 

№ 9                                                               № 10                                                            

 6  60  49  39  46  20  25  15                          6  60  49  39  46  20  25  15

 27  10  8  61  51  34  48  21                          32  13  3  58  56  37  43  18  

 47  22  28  9  7  62  52  33                            44  17  31  14  4  57  55  38  

 53  35  42  24  29  11  2  64                          53  35  42  24  29  11  2  64  

 1  63  54  36  41  23  30  12                          1  63  54  36  41  23  30  12

 32  13  3  58  56  37  43  18                          27  10  8  61  51  34  48  21

 44  17  31  14  4  57  55  38                          47  22  28  9  7  62  52  33

 50  40  45  19  26  16  5  59                          50  40  45  19  26  16  5  59

 

№ 11                                                             № 12  

 32  13  3  58  56  37  43  18                          32  13  3  58  56  37  43  18

 1  63  54  36  41  23  30  12                          6  60  49  39  46  20  25  15

 50  40  45  19  26  16  5  59                          53  35  42  24  29  11  2  64

 44  17  31  14  4  57  55  38                          44  17  31  14  4  57  55  38

 27  10  8  61  51  34  48  21                          27  10  8  61  51  34  48  21

 6  60  49  39  46  20  25  15                           1  63  54  36  41  23  30  12

 53  35  42  24  29  11  2  64                          50  40  45  19  26  16  5  59                         

 47  22  28  9  7  62  52  33                            47  22  28  9  7  62  52  33  

 

№ 13                                                             № 14  

 44  17  31  14  4  57  55  38                          44  17  31  14  4  57  55  38  

 50  40  45  19  26  16  5  59                          53  35  42  24  29  11  2  64

 1  63  54  36  41  23  30  12                          6  60  49  39  46  20  25  15

 32  13  3  58  56  37  43  18                          32  13  3  58  56  37  43  18  

 47  22  28  9  7  62  52  33                            47  22  28  9  7  62  52  33

 53  35  42  24  29  11  2  64                          50  40  45  19  26  16  5  59  

 6  60  49  39  46  20  25  15                          1  63  54  36  41  23  30  12

 27  10  8  61  51  34  48  21                          27  10  8  61  51  34  48  21

 

№ 15                                                             № 16 

 53  35  42  24  29  11  2  64                          53  35  42  24  29  11  2  64

 47  22  28  9  7  62  52  33                            44  17  31  14  4  57  55  38

 27  10  8  61  51  34  48  21                          32  13  3  58  56  37  43  18

 6  60  49  39  46  20  25  15                          6  60  49  39  46  20  25  15

 50  40  45  19  26  16  5  59                          50  40  45  19  26  16  5  59  

 44  17  31  14  4  57  55  38                          47  22  28  9  7  62  52  33  

 32  13  3  58  56  37  43  18                          27  10  8  61  51  34  48  21  

 1  63  54  36  41  23  30  12                          1  63  54  36  41  23  30  12  

 

Понятно, что некоторые основные преобразования и преобразования параллельного переноса на торе вошли в эти 16 решений. Например, вариант № 16 есть не что иное, как отражение относительно горизонтальной оси симметрии, а вариант № 10 – параллельный перенос на торе.

 

Ещё один результат получаю, выполнив для квадрата № 1 программу перестановки столбцов. Опять получается 16 решений, считая исходный квадрат. Вот они:

 

№ 1 (исходный квадрат)

 1  63  54  36  41  23  30  12

 27  10  8  61  51  34  48  21

 47  22  28  9  7  62  52  33

 50  40  45  19  26  16  5  59

 6  60  49  39  46  20  25  15

 32  13  3  58  56  37  43  18

 44  17  31  14  4  57  55  38

 53  35  42  24  29  11  2  64

 

№ 2

 1  23  30  36  41  63  54  12

 27  34  48  61  51  10  8  21

 47  62  52  9  7  22  28  33

 50  16  5  19  26  40  45  59

 6  20  25  39  46  60  49  15

 32  37  43  58  56  13  3  18

 44  57  55  14  4  17  31  38

 53  11  2  24  29  35  42  64

 

№ 3

 63  1  36  54  23  41  12  30

 10  27  61  8  34  51  21  48

 22  47  9  28  62  7  33  52

 40  50  19  45  16  26  59  5

 60  6  39  49  20  46  15  25

 13  32  58  3  37  56  18  43

 17  44  14  31  57  4  38  55

 35  53  24  42  11  29  64  2

 

№ 4

 63  41  12  54  23  1  36  30

 10  51  21  8  34  27  61  48

 22  7  33  28  62  47  9  52

 40  26  59  45  16  50  19  5

 60  46  15  49  20  6  39  25

 13  56  18  3  37  32  58  43

 17  4  38  31  57  44  14  55

 35  29  64  42  11  53  24  2

 

№ 5

 54  36  1  63  30  12  41  23

 8  61  27  10  48  21  51  34

 28  9  47  22  52  33  7  62

 45  19  50  40  5  59  26  16

 49  39  6  60  25  15  46  20

 3  58  32  13  43  18  56  37

 31  14  44  17  55  38  4  57

 42  24  53  35  2  64  29  11

 

№ 6

 54  12  41  63  30  36  1  23

 8  21  51  10  48  61  27  34

 28  33  7  22  52  9  47  62

 45  59  26  40  5  19  50  16

 49  15  46  60  25  39  6  20

 3  18  56  13  43  58  32  37

 31  38  4  17  55  14  44  57

 42  64  29  35  2  24  53  11

 

№ 7

 36  54  63  1  12  30  23  41

 61  8  10  27  21  48  34  51

 9  28  22  47  33  52  62  7

 19  45  40  50  59  5  16  26

 39  49  60  6  15  25  20  46

 58  3  13  32  18  43  37  56

 14  31  17  44  38  55  57  4

 24  42  35  53  64  2  11  29

 

№ 8

 36  30  23  1  12  54  63  41

 61  48  34  27  21  8  10  51

 9  52  62  47  33  28  22  7

 19  5  16  50  59  45  40  26

 39  25  20  6  15  49  60  46

 58  43  37  32  18  3  13  56

 14  55  57  44  38  31  17  4

 24  2  11  53  64  42  35  29

 

№ 9

 41  63  54  12  1  23  30  36

 51  10  8  21  27  34  48  61

 7  22  28  33  47  62  52  9

 26  40  45  59  50  16  5  19

 46  60  49  15  6  20  25  39

 56  13  3  18  32  37  43  58

 4  17  31  38  44  57  55  14

 29  35  42  64  53  11  2  24

 

№ 10

 41  23  30  12  1  63  54  36

 51  34  48  21  27  10  8  61

 7  62  52  33  47  22  28  9

 26  16  5  59  50  40  45  19

 46  20  25  15  6  60  49  39

 56  37  43  18  32  13  3  58

 4  57  55  38  44  17  31  14

 29  11  2  64  53  35  42  24

 

№ 11

 23  1  36  30  63  41  12  54

 34  27  61  48  10  51  21  8

 62  47  9  52  22  7  33  28

 16  50  19  5  40  26  59  45

 20  6  39  25  60  46  15  49

 37  32  58  43  13  56  18  3

 57  44  14  55  17  4  38  31

 11  53  24  2  35  29  64  42

 

№ 12

 23  41  12  30  63  1  36  54

 34  51  21  48  10  27  61  8

 62  7  33  52  22  47  9  28

 16  26  59  5  40  50  19  45

 20  46  15  25  60  6  39  49

 37  56  18  43  13  32  58  3

 57  4  38  55  17  44  14  31

 11  29  64  2  35  53  24  42

 

№ 13

 30  36  1  23  54  12  41  63

 48  61  27  34  8  21  51  10

 52  9  47  62  28  33  7  22

 5  19  50  16  45  59  26  40

 25  39  6  20  49  15  46  60

 43  58  32  37  3  18  56  13

 55  14  44  57  31  38  4  17

 2  24  53  11  42  64  29  35

 

№ 14

 30  12  41  23  54  36  1  63

 48  21  51  34  8  61  27  10

 52  33  7  62  28  9  47  22

 5  59  26  16  45  19  50  40

 25  15  46  20  49  39  6  60

 43  18  56  37  3  58  32  13

 55  38  4  57  31  14  44  17

 2  64  29  11  42  24  53  35

 

№ 15

 12  54  63  41  36  30  23  1

 21  8  10  51  61  48  34  27

 33  28  22  7  9  52  62  47

 59  45  40  26  19  5  16  50

 15  49  60  46  39  25  20  6

 18  3  13  56  58  43  37  32

 38  31  17  4  14  55  57  44

 64  42  35  29  24  2  11  53

 

№ 16

 12  30  23  41  36  54  63  1

 21  48  34  51  61  8  10  27

 33  52  62  7  9  28  22  47

 59  5  16  26  19  45  40  50

 15  25  20  46  39  49  60  6

 18  43  37  56  58  3  13  32

 38  55  57  4  14  31  17  44

 64  2  11  29  24  42  35  53

 

Аналогично в эти 16 вариантов вошли основное преобразование и преобразования параллельного переноса на торе, которые равносильны перестановке столбцов.

 

Теперь надо выполнить для квадрата № 1 программу перестановки строк и столбцов. Программа такая у меня есть, но она очень долго выполняется. Тогда сделаю так: возьму вариант № 2, полученный по программе перестановки строк, и выполню для него программу перестановки столбцов. Вариант № 2 покажу здесь для лучшей наглядности (рис. 81).

 

 

Рис. 81

 

И снова получаю 16 решений! Вот они перед вами:

 

№ 1 (исходный квадрат)

 1  63  54  36  41  23  30  12

 32  13  3  58  56  37  43  18

 44  17  31  14  4  57  55  38

 50  40  45  19  26  16  5  59

 6  60  49  39  46  20  25  15

 27  10  8  61  51  34  48  21

 47  22  28  9  7  62  52  33

 53  35  42  24  29  11  2  64

 

№ 2

 1  23  30  36  41  63  54  12

 32  37  43  58  56  13  3  18

 44  57  55  14  4  17  31  38

 50  16  5  19  26  40  45  59

 6  20  25  39  46  60  49  15

 27  34  48  61  51  10  8  21

 47  62  52  9  7  22  28  33

 53  11  2  24  29  35  42  64

 

№ 3

 63  1  36  54  23  41  12  30

 13  32  58  3  37  56  18  43

 17  44  14  31  57  4  38  55

 40  50  19  45  16  26  59  5

 60  6  39  49  20  46  15  25

 10  27  61  8  34  51  21  48

 22  47  9  28  62  7  33  52

 35  53  24  42  11  29  64  2

 

№ 4

 63  41  12  54  23  1  36  30

 13  56  18  3  37  32  58  43

 17  4  38  31  57  44  14  55

 40  26  59  45  16  50  19  5

 60  46  15  49  20  6  39  25

 10  51  21  8  34  27  61  48

 22  7  33  28  62  47  9  52

 35  29  64  42  11  53  24  2

 

№ 5

 54  36  1  63  30  12  41  23

 3  58  32  13  43  18  56  37

 31  14  44  17  55  38  4  57

 45  19  50  40  5  59  26  16

 49  39  6  60  25  15  46  20

 8  61  27  10  48  21  51  34

 28  9  47  22  52  33  7  62

 42  24  53  35  2  64  29  11

 

№ 6

 54  12  41  63  30  36  1  23

 3  18  56  13  43  58  32  37

 31  38  4  17  55  14  44  57

 45  59  26  40  5  19  50  16

 49  15  46  60  25  39  6  20

 8  21  51  10  48  61  27  34

 28  33  7  22  52  9  47  62

 42  64  29  35  2  24  53  11

 

№ 7

 36  54  63  1  12  30  23  41

 58  3  13  32  18  43  37  56

 14  31  17  44  38  55  57  4

 19  45  40  50  59  5  16  26

 39  49  60  6  15  25  20  46

 61  8  10  27  21  48  34  51

 9  28  22  47  33  52  62  7

 24  42  35  53  64  2  11  29

 

№ 8

 36  30  23  1  12  54  63  41

 58  43  37  32  18  3  13  56

 14  55  57  44  38  31  17  4

 19  5  16  50  59  45  40  26

 39  25  20  6  15  49  60  46

 61  48  34  27  21  8  10  51

 9  52  62  47  33  28  22  7

 24  2  11  53  64  42  35  29

 

№ 9

 41  63  54  12  1  23  30  36

 56  13  3  18  32  37  43  58

 4  17  31  38  44  57  55  14

 26  40  45  59  50  16  5  19

 46  60  49  15  6  20  25  39

 51  10  8  21  27  34  48  61

 7  22  28  33  47  62  52  9

 29  35  42  64  53  11  2  24

 

№ 10

 41  23  30  12  1  63  54  36

 56  37  43  18  32  13  3  58

 4  57  55  38  44  17  31  14

 26  16  5  59  50  40  45  19

 46  20  25  15  6  60  49  39

 51  34  48  21  27  10  8  61

 7  62  52  33  47  22  28  9

 29  11  2  64  53  35  42  24

 

№ 11

 23  1  36  30  63  41  12  54

 37  32  58  43  13  56  18  3

 57  44  14  55  17  4  38  31

 16  50  19  5  40  26  59  45

 20  6  39  25  60  46  15  49

 34  27  61  48  10  51  21  8

 62  47  9  52  22  7  33  28

 11  53  24  2  35  29  64  42

 

№ 12

 23  41  12  30  63  1  36  54

 37  56  18  43  13  32  58  3

 57  4  38  55  17  44  14  31

 16  26  59  5  40  50  19  45

 20  46  15  25  60  6  39  49

 34  51  21  48  10  27  61  8

 62  7  33  52  22  47  9  28

 11  29  64  2  35  53  24  42

 

№ 13

 30  36  1  23  54  12  41  63

 43  58  32  37  3  18  56  13

 55  14  44  57  31  38  4  17

 5  19  50  16  45  59  26  40

 25  39  6  20  49  15  46  60

 48  61  27  34  8  21  51  10

 52  9  47  62  28  33  7  22

 2  24  53  11  42  64  29  35

 

№ 14

 30  12  41  23  54  36  1  63

 43  18  56  37  3  58  32  13

 55  38  4  57  31  14  44  17

 5  59  26  16  45  19  50  40

 25  15  46  20  49  39  6  60

 48  21  51  34  8  61  27  10

 52  33  7  62  28  9  47  22

 2  64  29  11  42  24  53  35

 

№ 15

 12  54  63  41  36  30  23  1

 18  3  13  56  58  43  37  32

 38  31  17  4  14  55  57  44

 59  45  40  26  19  5  16  50

 15  49  60  46  39  25  20  6

 21  8  10  51  61  48  34  27

 33  28  22  7  9  52  62  47

 64  42  35  29  24  2  11  53

 

№ 16

 12  30  23  41  36  54  63  1

 18  43  37  56  58  3  13  32

 38  55  57  4  14  31  17  44

 59  5  16  26  19  45  40  50

 15  25  20  46  39  49  60  6

 21  48  34  51  61  8  10  27

 33  52  62  7  9  28  22  47

 64  2  11  29  24  42  35  53

 

Последний эксперимент: беру вариант № 3 (изобразила его на рис. 82), полученный из квадрата № 1 по программе перестановки столбцов, и выполняю для него программу перестановки строк.

 

 

Рис. 82

 

И снова получаю 16 решений! Смотрите:

 

№ 1 (исходный квадрат)

 63  1  36  54  23  41  12  30

 10  27  61  8  34  51  21  48

 22  47  9  28  62  7  33  52

 40  50  19  45  16  26  59  5

 60  6  39  49  20  46  15  25

 13  32  58  3  37  56  18  43

 17  44  14  31  57  4  38  55

 35  53  24  42  11  29  64  2

 

№ 2

 63  1  36  54  23  41  12  30

 13  32  58  3  37  56  18  43

 17  44  14  31  57  4  38  55

 40  50  19  45  16  26  59  5

 60  6  39  49  20  46  15  25

 10  27  61  8  34  51  21  48

 22  47  9  28  62  7  33  52

 35  53  24  42  11  29  64  2

 

№ 3

 10  27  61  8  34  51  21  48

 63  1  36  54  23  41  12  30

 40  50  19  45  16  26  59  5

 22  47  9  28  62  7  33  52

 13  32  58  3  37  56  18  43

 60  6  39  49  20  46  15  25

 35  53  24  42  11  29  64  2

 17  44  14  31  57  4  38  55

 

№ 4

 10  27  61  8  34  51  21  48

 60  6  39  49  20  46  15  25

 35  53  24  42  11  29  64  2

 22  47  9  28  62  7  33  52

 13  32  58  3  37  56  18  43

 63  1  36  54  23  41  12  30

 40  50  19  45  16  26  59  5

 17  44  14  31  57  4  38  55

 

№ 5

 22  47  9  28  62  7  33  52

 40  50  19  45  16  26  59  5

 63  1  36  54  23  41  12  30

 10  27  61  8  34  51  21  48

 17  44  14  31  57  4  38  55

 35  53  24  42  11  29  64  2

 60  6  39  49  20  46  15  25

 13  32  58  3  37  56  18  43

 

№ 6

 22  47  9  28  62  7  33  52

 35  53  24  42  11  29  64  2

 60  6  39  49  20  46  15  25

 10  27  61  8  34  51  21  48

 17  44  14  31  57  4  38  55

 40  50  19  45  16  26  59  5

 63  1  36  54  23  41  12  30

 13  32  58  3  37  56  18  43

 

№ 7

 40  50  19  45  16  26  59  5

 22  47  9  28  62  7  33  52

 10  27  61  8  34  51  21  48

 63  1  36  54  23  41  12  30

 35  53  24  42  11  29  64  2

 17  44  14  31  57  4  38  55

 13  32  58  3  37  56  18  43

 60  6  39  49  20  46  15  25

 

№ 8

 40  50  19  45  16  26  59  5

 17  44  14  31  57  4  38  55

 13  32  58  3  37  56  18  43

 63  1  36  54  23  41  12  30

 35  53  24  42  11  29  64  2

 22  47  9  28  62  7  33  52

 10  27  61  8  34  51  21  48

 60  6  39  49  20  46  15  25

 

№ 9

 60  6  39  49  20  46  15  25

 10  27  61  8  34  51  21  48

 22  47  9  28  62  7  33  52

 35  53  24  42  11  29  64  2

 63  1  36  54  23  41  12  30

 13  32  58  3  37  56  18  43

 17  44  14  31  57  4  38  55

 40  50  19  45  16  26  59  5

 

№ 10

 60  6  39  49  20  46  15  25

 13  32  58  3  37  56  18  43

 17  44  14  31  57  4  38  55

 35  53  24  42  11  29  64  2

 63  1  36  54  23  41  12  30

 10  27  61  8  34  51  21  48

 22  47  9  28  62  7  33  52

 40  50  19  45  16  26  59  5

 

№ 11

 13  32  58  3  37  56  18  43

 63  1  36  54  23  41  12  30

 40  50  19  45  16  26  59  5

 17  44  14  31  57  4  38  55

 10  27  61  8  34  51  21  48

 60  6  39  49  20  46  15  25

 35  53  24  42  11  29  64  2

 22  47  9  28  62  7  33  52

 

№ 12

 13  32  58  3  37  56  18  43

 60  6  39  49  20  46  15  25

 35  53  24  42  11  29  64  2

 17  44  14  31  57  4  38  55

 10  27  61  8  34  51  21  48

 63  1  36  54  23  41  12  30

 40  50  19  45  16  26  59  5

 22  47  9  28  62  7  33  52

 

№ 13

 17  44  14  31  57  4  38  55

 40  50  19  45  16  26  59  5

 63  1  36  54  23  41  12  30

 13  32  58  3  37  56  18  43

 22  47  9  28  62  7  33  52

 35  53  24  42  11  29  64  2

 60  6  39  49  20  46  15  25

 10  27  61  8  34  51  21  48

 

№ 14

 17  44  14  31  57  4  38  55

 35  53  24  42  11  29  64  2

 60  6  39  49  20  46  15  25

 13  32  58  3  37  56  18  43

 22  47  9  28  62  7  33  52

 40  50  19  45  16  26  59  5

 63  1  36  54  23  41  12  30

 10  27  61  8  34  51  21  48

 

№ 15

 35  53  24  42  11  29  64  2

 22  47  9  28  62  7  33  52

 10  27  61  8  34  51  21  48

 60  6  39  49  20  46  15  25

 40  50  19  45  16  26  59  5

 17  44  14  31  57  4  38  55

 13  32  58  3  37  56  18  43

 63  1  36  54  23  41  12  30

 

№ 16

 35  53  24  42  11  29  64  2

 17  44  14  31  57  4  38  55

 13  32  58  3  37  56  18  43

 60  6  39  49  20  46  15  25

 40  50  19  45  16  26  59  5

 22  47  9  28  62  7  33  52

 10  27  61  8  34  51  21  48

 63  1  36  54  23  41  12  30

 

Есть все основания сделать следующее предположение: если выполнить для исходного квадрата № 1 программу перестановки строк и столбцов, то получится 256 решений. Согласны? Таким образом, из 384 идеальных квадратов, которые можно построить с помощью пары обобщённых ортогональных латинских квадратов, мы получим по программе перестановки строк и столбцов 384*256 = 98304 идеальных квадрата. Удивительно: всего 64 числа складываются в прекрасную по своей гармонии мозаику 98304-мя способами!

 

Напомню читателям, что все программы у меня написаны на языке QBASIC. Программа перестановки строк (или столбцов) выполняется всего 3 минуты. Это и понятно: программе надо рассмотреть только 40320 вариантов (число всех перестановок из 8). А вот программе перестановки строк и столбцов надо рассмотреть 40320*40320 = 1625702400 вариантов. С таким количеством вариантов QBASIC не справляется в приемлемое для меня время. Возможно, часов за 12 программа и выполнится, но я такие “долгоиграющие” программы не выполняю. Однако, гораздо проще получить все 256 вариантов так, как показано выше: для всех 16 вариантов, полученных по программе перестановки строк, выполнить программу перестановки столбцов. Заинтересовавшиеся читатели очень легко могут сделать это.

 

В заключение чётно-нечётный рисунок идеального квадрата № 1:

 

 

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 Читайте тему “Магические квадраты” на этом форуме:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

 

20 - 26 июля 2008 г.

г. Саратов.

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу