ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ШЕСТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

 

В этой статье будут подробнее рассмотрены идеальные квадраты 16-ого порядка.

 

Начну с идеального квадрата, который мне удалось получить доработкой пандиагонального квадрата Франклина. Этот квадрат уже представлялся много раз, но он настолько интересен, что о нём ещё есть что сказать. На рис. 1 вы видите этот удивительный квадрат.

 

 

Рис. 1

 

На рис. 2 представлена образующая таблица этого квадрата, если бы он строился методом качелей. Эта таблица несколько необычна по сравнению с другими образующими таблицами в разных вариантах метода качелей. Тем не менее, основные закономерности в ней соблюдены.

 

 

 

Рис. 2

 

Я ещё не рассматривала вопрос построения подобных идеальных квадратов, например, тем же методом качелей. В том, что подобные квадраты можно построить, у меня сомнений не было. И вот недавно пришло подтверждение. Один молодой человек (Артём) заинтересовался реализацией алгоритма построения идеальных квадратов, подобных данному квадрату. Он составил программу и построил идеальный квадрат порядка 6400. Я посоветовала ему сделать заявку в книгу рекордов Гиннеса.

Артём прислал мне идеальные квадраты маленьких порядков, среди которых был и квадрат 16-ого порядка. Он написал, что построенные им квадраты несколько отличаются от моих квадратов (он немного доработал алгоритм с целью получить квадрат как можно большего порядка). И вот перед вами второй идеальный квадрат, подобный идеальному квадрату с рис. 1 (рис. 3). Это квадрат, построенный Артёмом.

 

 

Рис. 3

 

Возможно ли идеальный квадрат с рис. 1 перенести на торе так, чтобы он остался идеальным? Да, например, так (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Перед вами эквивалентный идеальный квадрат с оригинальной начальной цепочкой. Очевидно, что не всякий параллельный перенос на торе, применённый к квадрату с рис. 1, даёт идеальный квадрат, при многих переносах нарушается ассоциативность квадрата, и он остаётся только пандиагональным.

 

Предлагаю любознательным читателям исследовать данную группу идеальных квадратов 16-ого порядка подробнее. Например, найти ответ на вопрос: сколько всего подобных квадратов содержится в этой группе?

 

А я перехожу к другой очень большой группе идеальных квадратов 16-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”.

 

Примечание: во избежание новых обвинений в плагиате ещё раз подчеркну, что идеальные квадраты чётно-чётного порядка с начальной цепочкой “ход конём” впервые были построены Г. Александровым (первая половина 2008 г.). Но это совсем не значит, что кроме него такие квадраты больше никто не может построить. Их можно построить также: а) методом качелей; б) из обратимых квадратов; в) с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов. Все эти методы рассмотрены мной. Возможно, существует ещё не один метод построения таких квадратов. Нельзя же всех, кто будет и дальше заниматься исследованием идеальных квадратов данной группы, обвинять в плагиате. Ау, Батон! Ты меня слышишь?

 

Мной рассмотрены три группы частных решений для идеальных квадратов порядка n=8k, k=1, 2, 3…

В первой группе частных решений все квадраты начинаются с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата). [Квадраты этой группы эквивалентны квадратам Александрова с точностью до параллельного переноса на торе].

Во второй группе все квадраты начинаются с числа 2, в третьей группе все квадраты начинаются с числа n (n – порядок квадрата). Все эти квадраты были показаны в соответствующих статьях.

 

Сейчас я хочу подробнее остановиться на методе построения идеальных квадратов 16-ого порядка с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов. Для этого возьму квадрат из первой группы частных решений – начинающийся с числа 1. Вы видите этот идеальный квадрат на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

Разложение этого идеального квадрата на два обобщённых ортогональных латинских квадрата уже было выполнено в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latch.htm

Сейчас я хочу исследовать данный метод подробнее подобно тому, как это было сделано для идеальных квадратов 8-ого и 12-ого порядка с подобной начальной цепочкой.

Составляю программу, в которой начальным этапом строится первый латинский квадрат. Этот латинский квадрат, как читатели уже знают, должен являться нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 120. В первой строке этого квадрата стоят все числа от 0 до 15; каждая следующая строка в этом квадрате получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. На следующем этапе в программе строится второй латинский квадрат, который должен быть ортогональным к первому. Этот квадрат так же является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 120. Наконец, найдя нужную пару латинских квадратов, программа строит идеальный квадрат по следующей формуле:

 

                                      c_ij = 16*a_ij + b_ij + 1,

 

где a_ij - элементы первого латинского квадрата, b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – соответствующие элементы идеального квадрата.

Но, как уже знают читатели, познакомившиеся с предыдущими статьями, можно построить идеальный квадрат, поменяв в этой формуле местами первый и второй латинские квадраты. Таким образом, я заложу в программу построение сразу двух групп идеальных квадратов. Как мы видели, вторая группа квадратов получается принципиально новой.

 

Вспомним, что для квадратов 8-ого порядка по аналогичной программе была получена группа из 6 идеальных квадратов; для квадратов 12-ого порядка была получена группа из 8 идеальных квадратов. Очень интересно узнать, сколько идеальных квадратов построится по такой программе для квадратов 16-ого порядка. Следует заметить, что схему составления второго латинского квадрата я беру из конкретного примера (для квадрата с рис. 5) (как и в случае квадратов 8-ого и 12-ого порядка). Это одна из возможных схем. Предполагаю, что всего схем будет 16.

 

***

 

Написала программу, но выполнить её до конца не смогла – не хватило терпения ждать. Удивительно, что так много выдалось решений; прервала программу, когда на счётчике было 2160 решений. Вот представляю три решения из конца файла, в который квадраты записаны программой.

 

№ 2152

 1  244  63  90  238  133  152  187  209  36  79  106  126  21  168  203

 162  205  16  246  57  92  227  135  146  189  224  38  73  108  115  23

 117  24  171  193  4  255  58  94  229  136  155  177  212  47  74  110

 76  99  119  18  173  208  6  249  60  83  231  130  157  192  214  41

 223  42  78  101  120  27  161  196  15  250  62  85  232  139  145  180

 160  182  217  44  67  103  114  29  176  198  9  252  51  87  226  141

 235  129  148  191  218  46  69  104  123  17  164  207  10  254  53  88

 55  82  237  144  150  185  220  35  71  98  125  32  166  201  12  243

 14  245  56  91  225  132  159  186  222  37  72  107  113  20  175  202

 169  204  3  247  50  93  240  134  153  188  211  39  66  109  128  22

 116  31  170  206  5  248  59  81  228  143  154  190  213  40  75  97

 77  112  118  25  172  195  7  242  61  96  230  137  156  179  215  34

 216  43  65  100  127  26  174  197  8  251  49  84  239  138  158  181

 147  183  210  45  80  102  121  28  163  199  2  253  64  86  233  140

 234  142  149  184  219  33  68  111  122  30  165  200  11  241  52  95

 54  89  236  131  151  178  221  48  70  105  124  19  167  194  13  256

 

№ 2153

 1  244  63  94  229  138  216  107  65  180  159  46  117  26  168  203

 162  205  16  246  57  87  236  131  210  109  80  182  153  39  124  19

 122  24  171  193  4  255  62  85  234  136  219  97  68  191  158  37

 151  44  115  18  173  208  6  249  55  92  227  130  221  112  70  185

 79  190  149  42  120  27  161  196  15  254  53  90  232  139  209  100

 224  102  73  183  156  35  114  29  176  198  9  247  60  83  226  141

 235  129  212  111  78  181  154  40  123  17  164  207  14  245  58  88

 51  82  237  144  214  105  71  188  147  34  125  32  166  201  7  252

 5  250  56  91  225  132  223  110  69  186  152  43  113  20  175  206

 169  199  12  243  50  93  240  134  217  103  76  179  146  45  128  22

 116  31  174  197  10  248  59  81  228  143  222  101  74  184  155  33

 157  48  118  25  167  204  3  242  61  96  230  137  215  108  67  178

 72  187  145  36  127  30  165  202  8  251  49  84  239  142  213  106

 220  99  66  189  160  38  121  23  172  195  2  253  64  86  233  135

 238  133  218  104  75  177  148  47  126  21  170  200  11  241  52  95

 54  89  231  140  211  98  77  192  150  41  119  28  163  194  13  256

 

№ 2154

 1  244  63  94  234  133  216  187  145  100  79  46  122  21  168  203

 162  205  16  246  57  92  231  131  210  189  160  102  73  44  119  19

 117  24  171  193  4  255  62  90  229  136  219  177  148  111  78  42

 76  39  115  18  173  208  6  249  60  87  227  130  221  192  150  105

 159  110  74  37  120  27  161  196  15  254  58  85  232  139  209  180

 224  182  153  108  71  35  114  29  176  198  9  252  55  83  226  141

 235  129  212  191  158  106  69  40  123  17  164  207  14  250  53  88

 51  82  237  144  214  185  156  103  67  34  125  32  166  201  12  247

 10  245  56  91  225  132  223  190  154  101  72  43  113  20  175  206

 169  204  7  243  50  93  240  134  217  188  151  99  66  45  128  22

 116  31  174  202  5  248  59  81  228  143  222  186  149  104  75  33

 77  48  118  25  172  199  3  242  61  96  230  137  220  183  147  98

 152  107  65  36  127  30  170  197  8  251  49  84  239  142  218  181

 215  179  146  109  80  38  121  28  167  195  2  253  64  86  233  140

 238  138  213  184  155  97  68  47  126  26  165  200  11  241  52  95

 54  89  236  135  211  178  157  112  70  41  124  23  163  194  13  256

 

Помещу все три квадрата в матрицу, чтобы удобнее было их проверить (рис. 6-8). Конечно, в программе квадраты проверяются, но вдруг в программу вкралась ошибка. Поэтому беру произвольные три квадрата, выданные программой, и проверяю их сама.

 

Квадрат № 2152

 

 

Рис. 6

 

Квадрат № 2153

 

 

Рис. 7

 

Квадрат № 2154

 

 

Рис. 8

 

Все три квадрата получились идеальными, как и требовалось.

 

Примечание: программа для построения идеальных квадратов описанным методом совершенно аналогична программе для построения идеальных квадратов 12-ого порядка этим же методом. Эта программа приведена в статье:

http://www.klassikpoez.narod.ru/latid12.htm

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idnew.htm показан пример идеального квадрата, построенного из переставленных латинских квадратов. В данной программе я не стала закладывать построение второй группы квадратов из переставленных латинских квадратов, как собиралась сначала, потому что решений оказалось слишком много, сверх всякого ожидания. Хотя это можно сделать в любой момент для любого идеального квадрата, выданного программой, введя в программу соответствующие значения переменных в циклах и изменив формулу для построения идеального квадрата. Вот, например (рис. 9), идеальный квадрат второй группы (построенный из переставленных латинских квадратов), соответствующий идеальному квадрату № 2154:

 

 

Рис. 9

 

В этой же статье показан идеальный квадрат 16-ого порядка, построенный из составного ассоциативного квадрата перестановкой столбцов по определённой схеме, а также тот идеальный квадрат, который строится из переставленных латинских квадратов, соответствующих исходному идеальному квадрату.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Идеальные магические квадраты 16-ого порядка могут быть построены разными методами. Мной исследованы такие методы:

 

а) доработка пандиагонального квадрата Франклина;

б) метод качелей;

в) построение из составного ассоциативного квадрата 16-ого порядка перестановкой столбцов (или строк) по определённой схеме;

г) построение из обратимых квадратов с помощью матричного преобразования;

д) построение из двух обобщённых ортогональных латинских квадратов.

 

Последний метод даёт две группы оригинальных (не эквивалентных) квадратов.

Каждый из этих методов можно исследовать более подробно. Приглашаю любознательных читателей сделать это.

Например, я совсем не коснулась вопроса: сколько идеальных квадратов можно получить из идеального квадрата 16-ого порядка перестановкой строк и столбцов. Предполагаю, что очень много. Даже для квадратов 12-ого порядка мне не удалось выполнить программу перестановки (только) строк полностью, потому что программа очень долго выполняется.

 

Наконец, давайте посмотрим на чётно-нечётный рисунок в идеальном квадрате 16-ого порядка (рис. 10). Для примера возьмём последний квадрат с рис. 9.

 

 

Рис. 10

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Читайте тему “Магические квадраты” на этом форуме:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

После того, как один очень глупый человек (мягко сказано!) обвинил меня в плагиате, я ушла из этой темы (хотя она мне очень интересна и являюсь её автором), может быть, временно, но, скорее всего, навсегда. Этот глупый человек уже получал строгие предупреждения за личные выпады против меня. Но это его нисколько не останавливает. А модераторы почему-то молчат. Считают, видимо, что всё в рамках правил. Подруга мне говорит, что необходимо ответить на форуме на его обвинение. Но я хорошо знаю русскую пословицу “С дураком свяжешься – сам дурак будешь”. Не хочу быть дураком!

Всем, кто хочет пообщаться со мной по теме магических квадратов, предлагаю писать в Гостевую книгу сайта.

______

 

 

2 - 5 августа 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу