МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ И АССОЦИАТИВНЫХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

ХОДОМ ШАХМАТНОГО КОНЯ

 

Данная страница написана по материалам книги Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ” (С. – Петербург, 1995).

 

Читая указанную книгу, обнаружила в ней метод построения классических магических квадратов нечётного порядка ходом шахматного коня.

В сентябре 2007 г. в Интернете появилась статья Г. Александрова, в которой он представил построение этим методом идеальных квадратов нечётного порядка не кратного 3. Оказывается, данный метод давно известен. Вот ссылка на статью Александрова:

http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html

 

Приведя этот метод, Чебраков не упоминает ни о пандиагональных, ни об ассоциативных, ни об идеальных квадратах. Он даёт этот метод как метод построения магических квадратов любого нечётного порядка (автор пишет о классических квадратах нечётного порядка). В книге приведён один пример – построение магического квадрата 5-ого порядка. Посмотрев на этот квадрат, я увидела, что он пандиагональный и параллельным переносом на торе превращается в идеальный магический квадрат (ultramagic).

 

Сначала приведу описание метода, данное Чебраковым (стр. 94-95).

 

1.      Достроим к основному квадрату 5х5 три квадрата того же размера;

2.      Число 1 запишем в среднюю клетку нижнего ряда основного квадрата;

3.      Далее основной квадрат заполняется по следующему правилу:

пусть на некотором шаге число N вписано в клетку основного квадрата с координатами (x, y). Тогда следующее число N+1 вписывается в клетку с координатами (x+1, y+2), то есть в клетку, на которую выпал бы ход шахматного коня, двигающегося от клетки с числом N вверх и направо. Если клетка с координатами (x+1, y+2) уже занята другим числом, то число N+1 вписывается в клетку с координатами (x, y+4), то есть в клетку, расположенную в том же вертикальном ряду, что и клетка с числом N, но находящуюся на четыре клетки выше. Если число N+1 оказалось вне основного квадрата, оно переносится в то место основного квадрата, в котором оно оказывается при совмещении вспомогательного квадрата с основным квадратом.

 

Вот такое простое описание метода. Когда я начала строить квадраты данным методом, убедилась в том, что число 1 можно записать в любую ячейку основного квадрата.

 

Воспроизведу пример Чебракова (стр. 95, рис. 2.5); смотрите на рис. 1:

 

 

Рис. 1

 

Отмечу один маленький нюанс: число N+1 записывается в ячейку с координатами (x, y+4) и в том случае, когда оно оказывается за пределами основного квадрата, а при переносе в основной квадрат попадает в занятую ячейку. Такой случай мы видим на примере числа 6. Когда это число записывается по ходу коня, оно оказывается за пределами основного квадрата, а при переносе в основной квадрат попадает в ячейку, уже занятую числом 1. Поэтому число 6 записывается в ячейку с координатами (x, y+4).

 

Проверив построенный автором квадрат, убеждаюсь в том, что он пандиагональный. Применив преобразование параллельного переноса на торе, получаю идеальный квадрат (рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Попробовала то же самое построение, но число 1 записала в середину не нижней, а верхней строки. И сразу получила идеальный квадрат! (рис. 3)

 

 

Рис. 3

 

Теперь строю идеальный квадрат следующего нечётного порядка – 7-ого. Чтобы сразу получился идеальный квадрат и не надо было применять преобразование параллельного переноса на торе, число 1 должно быть поставлено так, как вы видите на рис. 4 (над центральной ячейкой через одну ячейку, как в предыдущем примере). Если вы поставите число 1 в середину нижней строки (как написано в описании метода, данном Чебраковым), то получите пандиагональный, но не ассоциативный квадрат. Этот квадрат легко превратить в идеальный параллельным переносом на торе.

 

 

Рис. 4

 

Следующий порядок n=9. Вот здесь и происходит отклонение: квадрат, построенный этим методом, получается ассоциативным, но не пандиагональным, а значит, не идеальным.

 

***

 

Замечу для истории вопроса: Александров не сразу это увидел и в своей статье привёл ассоциативный квадрат 9-ого порядка, как идеальный. Чуть позже он обнаружил, что это не так, и убрал данный квадрат из статьи. Именно с этого момента он и начал искать пути построения идеальных квадратов серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… Сначала ему удалось ходом шахматного коня построить идеальный квадрат 9-ого порядка. Мне в это же время удалось построить два разных идеальных квадрата 9-ого порядка другими методами (первый – матричный – метод был найден в Интернете, а второй разработан мной; это ещё до изобретения метода качелей).

Покажу идеальный квадрат, построенный Александровым ходом коня (см. http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html ) (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 показываю первый идеальный квадрат, построенный мной матричным методом, найденным в Интернете (ссылка на  статью с матричным методом: http://www.grogono.com/magic/9x9.php ).

 

 

 

Рис. 6

 

Посмотрите на форму начальной цепочки в этом квадрате, она не имеет ничего общего с ходом шахматного коня. На рис. 7 представляю второй идеальный квадрат, построенный моим методом:

 

 

Рис. 7

 

Ещё одна оригинальная начальная цепочка!

Повторю, все эти квадраты были построены до изобретения метода цепей Александровым и до моего метода качелей.

 

А вот некоторые примеры идеальных квадратов 9-ого порядка, построенных методом качелей (рис. 8 – рис. 11)

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

Интересно отметить, что в этих двух квадратах симметричные шаги качания качелей: в квадрате с рис. 8 через 2 ячейки влево, через 5 ячеек вправо (2+5), а в квадрате с рис. 9 через 5 ячеек влево, через 2 ячейки вправо (5+2).

 

 

Рис. 10

 

Этот квадрат очень похож на квадрат Александрова (см. рис. 5), тем не мене это не эквивалентные квадраты (я называю квадраты с начальной цепочкой одинаковой формы подобными, квадраты с рис. 5 и с рис. 10 подобные). Качели в этом квадрате качаются так: через 3 ячейки влево, через 4 ячейки вправо (3+4).

 

 

Рис. 11

 

В этом квадрате начальная цепочка тоже строится ходом шахматного коня, но ходит конь по-другому (буква Г не стоит, а лежит). И шаги качания качелей здесь другие: через 6 ячеек влево, через 1 ячейку вправо (6+1).

Вот такое разнообразие идеальных квадратов даёт метод качелей. Поскольку метод цепей Александрова основан на ходе шахматного коня, то он не даёт такого разнообразия форм начальной цепочки. Во всех квадратах, построенных методом цепей, начальная цепочка имеет форму “ход конём”. В этом немаловажное преимущество метода качелей перед методом цепей.

Такова история построения идеальных квадратов 9-ого порядка (ultramagic-9).

 

А вот идеальный квадрат 15-ого порядка долго не удавалось построить. Мы в это время ещё переписывались, и Александров рассказывал мне о своих поисках. Я скопировала указанную статью Александрова сразу, как она появилась. Поэтому в моей копии статьи есть ассоциативный квадрат 9-ого порядка, представленный Александровым как идеальный. Вот он (рис. 12):

 

 

 

Рис. 12

 

Как видите, квадрат этот ассоциативный, но не пандиагональный.

 

Поскольку мы в то время сотрудничали и всячески помогали друг другу в решении задач, я старалась помочь Георгию в решении задачи построения идеального квадрата 15-ого порядка. Георгий прислал мне один квадрат, очень близкий к идеальному. Применив к нему преобразование “плюс-минус”, я построила нетрадиционный идеальный квадрат 15-ого порядка. Нетрадиционный потому, что в нём были повторяющиеся числа, а заполнен он был числами от 1 до 225, как и положено традиционному магическому квадрату. Обо всём этом я рассказала в своих статьях, написанных в то время.

Затем наше сотрудничество прекратилось, а задача осталась. И мы уже решали её отдельно друг от друга. Александров решил её первым в конце 2007 года, изобретя метод цепей. Через некоторое время задачу решила я методом качелей. Отмечу, что методом качелей построено несколько видов идеальных и пандиагональных квадратов данной серии порядков, а не только квадраты с начальной цепочкой “ход конём”, какие построены Александровым. Читайте о разработке метода качелей серию статей, начиная с этой:

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

 

***

 

Итак, показываю построение ассоциативного квадрата 9-ого порядка ходом шахматного коня (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Примечание: добавление трёх вспомогательных квадратов, как пишет в описании Чебраков, явно избыточно. Во всех рассмотренных примерах используются только 4 вспомогательные строки и один вспомогательный столбец. Как переносить числа, оказавшиеся за пределами основного квадрата, понятно и без совмещения основного и вспомогательного квадратов.

 

Если вы сравните построенный только что квадрат с квадратом, построенным Александровым (рис. 12), то увидите, что это разные квадраты. Здесь есть две причины: во-первых, Александров записал число 1 в другую ячейку, во-вторых: в технике Александрова есть некоторое отличие от техники Чебракова. Однако построенный квадрат комбинацией преобразований превращается в квадрат с рис. 12. Покажу эти преобразования. Первое преобразование – это нестандартная одновременная перестановка строк и столбцов с шагом 1 [то есть через одну строку (через один столбец)]. Полученный в результате этого преобразования квадрат вы видите на рис. 14.

 

 

Рис. 14

 

Следующее преобразование – поворот на 90 градусов по часовой стрелке, применяем его, понятно, к квадрату с рис. 14. Полученный в результате этого преобразования квадрат изображён на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Теперь в полученном квадрате надо просто переставить строки, и он превратится в квадрат с рис. 12.

 

В квадрате 11-ого порядка опять всё прекрасно, то есть квадрат получается и ассоциативным, и пандиагональным, значит, идеальным. Смотрите на рис. 16:

 

 

Рис. 16

 

Обратите внимание: число 1 опять стоит через одну ячейку над центральной ячейкой, как и во всех предыдущих примерах (кроме примера Чебракова).

 

Идеальный квадрат 13-ого порядка предлагаю построить читателям. А я покажу ещё один пример – построение ассоциативного квадрата 15-ого порядка (рис. 17).

 

 

Рис. 17

 

Обратите внимание на начальную цепочку в этом квадрате. Числа в ней следуют по порядку. В пандиагональных квадратах 15-ого порядка естественный порядок следования чисел в начальной цепочке нарушается (как и во всех пандиагональных квадратах порядков кратных 3).

 

Мне интересен вопрос: является ли Чебраков автором данного метода, или он только представляет его? Скорее всего, Чебраков просто представляет метод. Тогда такой вопрос: как давно известен этот красивый метод построения идеальных (в случае порядков не кратных 3) и ассоциативных (в случае порядков кратных 3) магических квадратов и кто его автор?

 

Остаётся добавить, что изложенный метод работает и для квадрата третьего порядка (рис. 18). Как известно, классический магический квадрат третьего порядка всего один (с точностью до основных преобразований), и квадрат этот ассоциативный, но не пандиагональный.

 

 

Рис. 18

 

***

 

Приглашаю читателей к занимательному чтению моей виртуальной книги “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Книга написана популярно и доступна всем. Пожалуйста, присылайте мне свои отзывы!

 

Н. Макарова

 

5 июля 2008 г.

г. Саратов

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу