КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

           Часть VI

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Работая над задачей построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка, я неожиданно нашла пополнение для семейства квадратов Франклина. Это пополнение в двух направлениях.

Первое: из псевдоидеальных квадратов 12-ого и 16-ого порядка получила дьявольски полумагические квадраты.

Второе: из полумагических квадратов Франклина получила пандиагональные квадраты. Как помнят читатели, которые читали все предыдущие 5 частей статьи “Квадраты Франклина”, мне удалось построить по алгоритму Франклина (для его полумагических квадратов) пандиагональные квадраты только восьмого порядка. Для высших порядков мне не удалось тогда построить пандиагональные квадраты. И вот неожиданная удача! О новых дьявольски полумагических квадратах, полученных из псевдоидеальных, расскажу позже. А сейчас о пандиагональных квадратах.

 

                                               ***

 

Итак, напоминаю читателям первый полумагический квадрат Франклина – восьмого порядка. Правда, я немного преобразовала квадрат, чтобы он стал удобнее для применения метода качелей (обо всём этом подробно рассказано в предыдущих частях статьи). На рис. 1 вы видите преобразованный полумагический квадрат Франклина.

 

 

 

                                                                       Рис. 1

 

Рассказываю подробно процесс превращения этого полумагического квадрата в пандиагональный. Делим квадрат с рис. 1 на 4 квадрата 4х4. Далее всё очень просто. Левую половину квадрата (левый верхний и левый нижний квадраты 4х4) не изменяем. Правый верхний и правый нижний квадраты 4х4 надо отразить относительно вертикальной оси симметрии и поменять местами. Вот и вся процедура. На рис. 2 показываю готовый пандиагональный квадрат.

 

 

 

                                                                       Рис. 2

 

Интересно отметить, что если правые квадраты 4х4 только отразить относительно вертикальной оси симметрии и оставить их на месте, то получится магический квадрат (см. рис. 3). Оказывается, Франклин был буквально в двух шагах от магических и пандиагональных квадратов!

 

 

 

                                                                       Рис. 3

 

К квадрату на рис. 2 можно снова применить метод качелей, и это будет новый алгоритм построения пандиагональных квадратов. Я просто покажу образующую таблицу для этого квадрата (рис. 4), не развивая процесс дальше. Любознательные читатели сделают это самостоятельно. Впрочем, можно использовать для построения пандиагональных квадратов все полумагические квадраты, которые были получены мной по программе в предыдущих частях статьи. Для этого просто надо применить к этим квадратам описанное только что преобразование двух квадратов.

 

 

                                                                       Рис. 4

 

На рис. 2 жёлтым цветом выделен первый цикл качания качелей, соответствующий первому столбцу образующей таблицы (k=1).

 

Теперь перехожу к квадрату следующего чётно-чётного порядка – 12-ого. Полумагический квадрат Франклина 12-ого порядка мне неизвестен. Я составила программу для построения таких квадратов (см. в предыдущих частях статьи). По этой программе получила очень много полумагических квадратов. Но не получила ни одного пандиагонального. Беру один из полумагических квадратов, построенных по программе. Вы видите его на рис. 5.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Применяю к этому квадрату преобразование двух квадратов. Разбиваю квадрат на 4 квадрата 6х6. Левые квадраты оставляю без изменения, а правые отражаю относительно вертикальной оси симметрии. Покажу сначала магический квадрат (промежуточный этап, когда правые квадраты остаются на месте), смотрите рис. 6.

 

 

 

                                                                       Рис. 6

 

Замечу, что в 5-ой части статьи есть интересная схема построения магических квадратов из полумагических квадратов Франклина. По этой схеме строятся магические квадраты любого порядка n=4k, k=2, 4, 6, … (в статье показаны примеры для квадратов 8-ого, 16-ого, 24-ого и 32-ого порядков). То есть магические квадраты 12-ого порядка из этой схемы выпадают. Таким образом, представленный сейчас способ восполняет этот пробел для всех квадратов порядка n=4k, k=3, 5, 7, … Ниже сказано, что он не работает только для k=1.

 

А теперь выполним второй этап – поменяем местами правые квадраты 6х6. И получаем пандиагональный квадрат, он изображён на рис. 7.

 

 

                                                                       Рис. 7

 

Итак, я представила очень простой и изящный алгоритм превращения полумагических квадратов из группы Франклина в магические и пандиагональные квадраты.

 

Конечно, покажу и превращение квадрата 16-ого порядка в пандиагональный, пропущу этап превращения в магический квадрат.

В качестве исходного возьму несколько преобразованный полумагический квадрат Франклина (рис. 8).

 

 

 

                                                                       Рис. 8

 

Разбиваю этот квадрат на 4 квадрата 8х8 и применяю преобразование двух квадратов. На рис. 9 вы видите полученный пандиагональный квадрат.

 

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Ну, и у меня остался ещё один полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка. Посмотрим и его превращение в пандиагональный квадрат. Копирую этот полумагический квадрат (в преобразованном виде) (рис. 10-11); квадрат представлен в виде двух частей по 16 столбцов.

 

Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 1

 

 

                                                                       Рис. 10

 

                   Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 2

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Разбиваю квадрат на 4 квадрата 16х16 и применяю преобразование двух квадратов. На рис. 12-13 показан полученный пандиагональный квадрат 32-ого порядка. Замечу, что часть 1, состоящая из первых 16 столбцов, остаётся без изменения. Преобразование коснётся только части 2, в которой как раз и находятся правые квадраты 16х16.

 

Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                       Рис. 12

 

                            Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 2

 

 

                                                                      Рис. 13

 

И, наконец, вспомним и о полумагических квадратах четвёртого порядка. Их я тоже построила (см. предыдущие части статьи). Возьму один из построенных полумагических квадратов и применю к нему описанное преобразование, разделив на квадраты 2х2. Исходный полумагический квадрат показан на рис. 14, а полученный из него пандиагональный квадрат – на рис. 15. Интересно отметить, что промежуточный этап – превращение в магический квадрат – здесь не выполним. И ещё более интересно, что мне не удалось превратить дьявольски полумагические квадраты четвёртого порядка, построенные по схеме Франклина, в магические никаким способом. Конечно, пандиагональный квадрат тоже ведь является магическим. Речь идёт о квадрате просто магическом, не являющемся пандиагональным.

 

 

 

                                                                       Рис. 14

 

 

 

                                                                       Рис. 15

 

Вот такое пополнение семейства квадратов Франклина мне удалось получить. Теперь это семейство состоит из дьявольски полумагических, магических и пандиагональных квадратов всех порядков n=4k, k=1, 2, 3…, за исключением магического (но не пандиагонального!) квадрата четвёртого порядка.

 

Далее расскажу о другом пополнении данного семейства. Читайте:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin7.htm

 

                                                                 _________

 

 

8-9 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

11 апреля 2008 г.

 

Есть ещё пополнение семейства квадратов Франклина!

 

Вспомнила о своём преобразовании трёх квадратов, которое превращает ассоциативные квадраты в пандиагональные. Здесь у меня имеются пандиагональные квадраты, и мне надо превратить их в ассоциативные, для чего применяю преобразование, обратное преобразованию трёх квадратов. Начну с пандиагонального квадрата четвёртого порядка (см. рис. 15). Напоминаю, в чём состоит преобразование трёх квадратов: ассоциативный квадрат порядка n=4k разбивается на 4 квадрата порядка 2k, левый верхний квадрат остаётся без изменений, правый верхний квадрат отражается относительно вертикальной оси симметрии, левый нижний квадрат отражается относительно горизонтальной оси симметрии, правый нижний квадрат поворачивается на 180 градусов. Теперь разобьём пандиагональный квадрат с рис. 15 на 4 квадрата 2х2, левый верхний квадрат оставим без изменения, а к остальным трём квадратам применим обратные преобразования, которые в данном случае будут точно такими же: отражение относительно вертикальной оси симметрии для правого верхнего квадрата, отражение относительно горизонтальной оси симметрии для левого нижнего квадрата и поворот на 180 градусов для правого нижнего квадрата. На рис. 16 вы видите готовый ассоциативный квадрат.

 

 

 

                                                                       Рис. 16

 

Теперь показываю превращение в ассоциативный пандиагонального квадрата восьмого порядка с рис. 2 точно таким же способом (рис. 17).

 

 

 

                                                                       Рис. 17

 

Далее превращаю пандиагональный квадрат 12-ого порядка с рис. 7.

Ассоциативный квадрат вы видите на рис. 18.

 

 

 

                                                                       Рис. 18

 

Пандиагональные квадраты 16-ого (рис. 9) и 32-ого (рис. 12-13) порядка предлагаю читателям превратить в ассоциативные (с помощью обратного преобразования трёх квадратов) самостоятельно.

 

Таким образом, и в этом случае преобразование работает. Не могу сказать с абсолютной уверенностью, что преобразование трёх квадратов превращает любой ассоциативный квадрат чётно-чётного порядка в пандиагональный. Это утверждение требует строгого доказательства. Но во всех конкретных случаях преобразование у меня работает.

 

Теперь семейство квадратов Франклина состоит из:

 

а) дьявольски полумагических квадратов;

б) магических квадратов;

в) ассоциативных квадратов;

г) пандиагональных квадратов.

 

Нет только одного квадратика – просто магического (не ассоциативного и не пандиагонального!) квадрата четвёртого порядка.

Все эти квадраты связаны между собой очень простыми преобразованиями.

 

                                               ***

 

     15 апреля 2006 г.

 

В статье “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)” я построила идеальный квадрат 16-ого порядка из преобразованного пандиагонального квадрата Франклина. Это получился чудесный квадрат! Свой пандиагональный квадрат Франклин называл “самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворённых чародеями”. Всего чуть-чуть не доработал Франклин свой шедевр, чтобы превратить его в ещё большее волшебство – идеальный квадрат. Смотрите на этот квадрат в указанной статье.

 

А я, разумеется, работаю дальше. Попыталась построить по алгоритму Франклина пандиагональный (а затем и идеальный) квадрат 12-ого порядка. Не получилось. Попробовала для квадрата 20-ого порядка, тоже не получилось. Тогда перешла сразу к квадрату 32-ого порядка, почему-то подумалось, что с этим квадратом всё получится. Надо сказать, что алгоритм для построения пандиагонального квадрата Франклина (он известен мне всего один – 16-ого порядка; другие есть ли вообще, имею в виду: построены ли Франклином?) я пока не смогла формализовать, то есть довести до программы. Как помнят читатели, читавшие предыдущие части настоящей статьи, я применила к этому алгоритму свой метод качелей. Но не проникла во все закономерности формирования образующей таблицы (слишком мало было материала для исследования). Так что пока строю квадраты по этому алгоритму вручную. Но с построением квадрата 32-ого порядка уже проявляются закономерности и, возможно, алгоритм удастся формализовать.

 

Ну, так вот, как я и ожидала, с квадратом 32-ого порядка всё получилось! И это уже пополнение семейства квадратов Франклина третьего направления, то есть пандиагональный квадрат, подобный его пандиагональному квадрату 16-ого порядка.

Даже не верится, но вот он – пандиагональный квадрат 32-ого порядка! Как всегда, представляю квадрат в виде двух равных частей (рис. 19-20).

 

Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                       Рис. 19

 

                            Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 2

 

 

                                                                      Рис. 20

 

Сравните этот квадрат с пандиагональным квадратом на рис. 12-13, который получен из полумагического квадрата Франклина. Это совсем разные квадраты, они построены по разным схемам.

 

Хотя только что представленный пандиагональный квадрат построен в точной аналогии с пандиагональным квадратом Франклина 16-ого порядка, вряд ли мне удалось бы это сделать без применения метода качелей. Понятно, что построению квадрата предшествовало формирование образующей таблицы, которую я здесь не показываю (заинтересованные читатели могут посмотреть, как формируется образующая таблица для пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка, в одной из предыдущих частей настоящей статьи).

 

Покажу здесь копию рукописной образующей таблицы, чтобы читатели могли видеть её формирование, которое я выполняла вручную. Замечу, что между столбцами таблицы, начинающимися с чисел 608 и 511, пропущен один столбец, начинающийся с числа 575 (видите там начало красной стрелки, сверху?). Вот вам и задачка: восстановите пропущенный столбец. Я пропустила его, конечно, случайно, не было расчёта давать читателям такую задачу. А если вы воспроизведёте всю таблицу, то почувствуете непередаваемую гармонию этого алгоритма.

 

 

 

Покажу более чётко начальную цепочку и номера циклов качания качелей, которые расположены в самой нижней строке таблицы, а её почти не видно. Итак, начальная цепочка:

 

1        31  3  29  5  27  7  25  9  23  11  21  13  19  15  17  16  18  14  20  12  22  10  24  8  26  6  28  4  30  2  32

 

Столбец разностей (самый левый в таблице) тоже почти не виден, но его легко восстановить по приведённой начальной цепочке.

Номера циклов качания качелей – это самое сложное в данном алгоритме. Вот эти номера (по порядку – от первого столбца к последнему):

 

k=30 k=29 k=3 k=4 k=26 k=25 k=7 k=8 k=22 k=21 k=11 k=12 k=18 k=17 k=15 k=31 k=1 k=2 k=28 k=27 k=5 k=6 k=24 k=23 k=9 k=10 k=20 k=19 k=13 k=14 k=16

 

Впрочем, более подробно о формировании образующей таблицы для подобного пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка рассказано в одной из предыдущих частей настоящей статьи. Есть ещё несколько очень хитрых моментов в этой образующей таблице, которые было очень трудно уловить, имея в наличии всего один образец такой таблицы. После построения квадрата 32-ого порядка закономерности начинают проясняться.

Наконец, замечу, что при формировании образующей таблицы я, конечно, привлекала компьютер: для формирования наборов чисел в столбцах (частичная формализация алгоритма). Это можно сделать и с помощью калькулятора, но с помощью компьютера и небольшой программки всё-таки удобнее – исключены ошибки.

 

Следующий пандиагональный квадрат, который может быть построен по такому алгоритму, как мне кажется, будет 64-ого порядка. А может быть, 48-ого тоже получится. Надо проверить. Предлагаю читателям сделать это. Пример образующей таблицы перед вами. Дерзайте!

 

А мне сейчас интереснее другой вопрос: получится ли из пандиагонального квадрата 32-ого порядка, изображённого на рис. 19-20, идеальный квадрат так же, как получился из пандиагонального квадрата 16-ого порядка. Сейчас займусь этим вопросом. Если идеальный квадрат построится, смотрите его в статье “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)”.

 

Продолжение этой страницы смотрите здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm

 

                                               ***

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу