КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА, ФРЕНИКЛЯ И АГРИППА
Если кто-то попал на эту страницу случайно, прочтите сначала предыдущую часть статьи (“Квадраты Франклина, часть V”), ибо здесь продолжение.
Продублирую преобразованный дьявольски полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка (рис. 1-2). Квадрат представлен в виде двух половинок, как бы “разрезан” по вертикали.
Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 1
|
1 |
64 |
65 |
128 |
129 |
192 |
193 |
256 |
257 |
320 |
321 |
384 |
385 |
448 |
449 |
512 |
|
1023 |
962 |
959 |
898 |
895 |
834 |
831 |
770 |
767 |
706 |
703 |
642 |
639 |
578 |
575 |
514 |
|
3 |
62 |
67 |
126 |
131 |
190 |
195 |
254 |
259 |
318 |
323 |
382 |
387 |
446 |
451 |
510 |
|
1021 |
964 |
957 |
900 |
893 |
836 |
829 |
772 |
765 |
708 |
701 |
644 |
637 |
580 |
573 |
516 |
|
5 |
60 |
69 |
124 |
133 |
188 |
197 |
252 |
261 |
316 |
325 |
380 |
389 |
444 |
453 |
508 |
|
1019 |
966 |
955 |
902 |
891 |
838 |
827 |
774 |
763 |
710 |
699 |
646 |
635 |
582 |
571 |
518 |
|
7 |
58 |
71 |
122 |
135 |
186 |
199 |
250 |
263 |
314 |
327 |
378 |
391 |
442 |
455 |
506 |
|
1017 |
968 |
953 |
904 |
889 |
840 |
825 |
776 |
761 |
712 |
697 |
648 |
633 |
584 |
569 |
520 |
|
32 |
33 |
96 |
97 |
160 |
161 |
224 |
225 |
288 |
289 |
352 |
353 |
416 |
417 |
480 |
481 |
|
994 |
991 |
930 |
927 |
866 |
863 |
802 |
799 |
738 |
735 |
674 |
671 |
610 |
607 |
546 |
543 |
|
30 |
35 |
94 |
99 |
158 |
163 |
222 |
227 |
286 |
291 |
350 |
355 |
414 |
419 |
478 |
483 |
|
996 |
989 |
932 |
925 |
868 |
861 |
804 |
797 |
740 |
733 |
676 |
669 |
612 |
605 |
548 |
541 |
|
28 |
37 |
92 |
101 |
156 |
165 |
220 |
229 |
284 |
293 |
348 |
357 |
412 |
421 |
476 |
485 |
|
998 |
987 |
934 |
923 |
870 |
859 |
806 |
795 |
742 |
731 |
678 |
667 |
614 |
603 |
550 |
539 |
|
26 |
39 |
90 |
103 |
154 |
167 |
218 |
231 |
282 |
295 |
346 |
359 |
410 |
423 |
474 |
487 |
|
1000 |
985 |
936 |
921 |
872 |
857 |
808 |
793 |
744 |
729 |
680 |
665 |
616 |
601 |
552 |
537 |
|
24 |
41 |
88 |
105 |
152 |
169 |
216 |
233 |
280 |
297 |
344 |
361 |
408 |
425 |
472 |
489 |
|
1002 |
983 |
938 |
919 |
874 |
855 |
810 |
791 |
746 |
727 |
682 |
663 |
618 |
599 |
554 |
535 |
|
22 |
43 |
86 |
107 |
150 |
171 |
214 |
235 |
278 |
299 |
342 |
363 |
406 |
427 |
470 |
491 |
|
1004 |
981 |
940 |
917 |
876 |
853 |
812 |
789 |
748 |
725 |
684 |
661 |
620 |
597 |
556 |
533 |
|
20 |
45 |
84 |
109 |
148 |
173 |
212 |
237 |
276 |
301 |
340 |
365 |
404 |
429 |
468 |
493 |
|
1006 |
979 |
942 |
915 |
878 |
851 |
814 |
787 |
750 |
723 |
686 |
659 |
622 |
595 |
558 |
531 |
|
18 |
47 |
82 |
111 |
146 |
175 |
210 |
239 |
274 |
303 |
338 |
367 |
402 |
431 |
466 |
495 |
|
1008 |
977 |
944 |
913 |
880 |
849 |
816 |
785 |
752 |
721 |
688 |
657 |
624 |
593 |
560 |
529 |
|
9 |
56 |
73 |
120 |
137 |
184 |
201 |
248 |
265 |
312 |
329 |
376 |
393 |
440 |
457 |
504 |
|
1015 |
970 |
951 |
906 |
887 |
842 |
823 |
778 |
759 |
714 |
695 |
650 |
631 |
586 |
567 |
522 |
|
11 |
54 |
75 |
118 |
139 |
182 |
203 |
246 |
267 |
310 |
331 |
374 |
395 |
438 |
459 |
502 |
|
1013 |
972 |
949 |
908 |
885 |
844 |
821 |
780 |
757 |
716 |
693 |
652 |
629 |
588 |
565 |
524 |
|
13 |
52 |
77 |
116 |
141 |
180 |
205 |
244 |
269 |
308 |
333 |
372 |
397 |
436 |
461 |
500 |
|
1011 |
974 |
947 |
910 |
883 |
846 |
819 |
782 |
755 |
718 |
691 |
654 |
627 |
590 |
563 |
526 |
|
15 |
50 |
79 |
114 |
143 |
178 |
207 |
242 |
271 |
306 |
335 |
370 |
399 |
434 |
463 |
498 |
|
1009 |
976 |
945 |
912 |
881 |
848 |
817 |
784 |
753 |
720 |
689 |
656 |
625 |
592 |
561 |
528 |
Рис. 1
Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 2
|
513 |
576 |
577 |
640 |
641 |
704 |
705 |
768 |
769 |
832 |
833 |
896 |
897 |
960 |
961 |
1024 |
|
511 |
450 |
447 |
386 |
383 |
322 |
319 |
258 |
255 |
194 |
191 |
130 |
127 |
66 |
63 |
2 |
|
515 |
574 |
579 |
638 |
643 |
702 |
707 |
766 |
771 |
830 |
835 |
894 |
899 |
958 |
963 |
1022 |
|
509 |
452 |
445 |
388 |
381 |
324 |
317 |
260 |
253 |
196 |
189 |
132 |
125 |
68 |
61 |
4 |
|
517 |
572 |
581 |
636 |
645 |
700 |
709 |
764 |
773 |
828 |
837 |
892 |
901 |
956 |
965 |
1020 |
|
507 |
454 |
443 |
390 |
379 |
326 |
315 |
262 |
251 |
198 |
187 |
134 |
123 |
70 |
59 |
6 |
|
519 |
570 |
583 |
634 |
647 |
698 |
711 |
762 |
775 |
826 |
839 |
890 |
903 |
954 |
967 |
1018 |
|
505 |
456 |
441 |
392 |
377 |
328 |
313 |
264 |
249 |
200 |
185 |
136 |
121 |
72 |
57 |
8 |
|
544 |
545 |
608 |
609 |
672 |
673 |
736 |
737 |
800 |
801 |
864 |
865 |
928 |
929 |
992 |
993 |
|
482 |
479 |
418 |
415 |
354 |
351 |
290 |
287 |
226 |
223 |
162 |
159 |
98 |
95 |
34 |
31 |
|
542 |
547 |
606 |
611 |
670 |
675 |
734 |
739 |
798 |
803 |
862 |
867 |
926 |
931 |
990 |
995 |
|
484 |
477 |
420 |
413 |
356 |
349 |
292 |
285 |
228 |
221 |
164 |
157 |
100 |
93 |
36 |
29 |
|
540 |
549 |
604 |
613 |
668 |
677 |
732 |
741 |
796 |
805 |
860 |
869 |
924 |
933 |
988 |
997 |
|
486 |
475 |
422 |
411 |
358 |
347 |
294 |
283 |
230 |
219 |
166 |
155 |
102 |
91 |
38 |
27 |
|
538 |
551 |
602 |
615 |
666 |
679 |
730 |
743 |
794 |
807 |
858 |
871 |
922 |
935 |
986 |
999 |
|
488 |
473 |
424 |
409 |
360 |
345 |
296 |
281 |
232 |
217 |
168 |
153 |
104 |
89 |
40 |
25 |
|
536 |
553 |
600 |
617 |
664 |
681 |
728 |
745 |
792 |
809 |
856 |
873 |
920 |
937 |
984 |
1001 |
|
490 |
471 |
426 |
407 |
362 |
343 |
298 |
279 |
234 |
215 |
170 |
151 |
106 |
87 |
42 |
23 |
|
534 |
555 |
598 |
619 |
662 |
683 |
726 |
747 |
790 |
811 |
854 |
875 |
918 |
939 |
982 |
1003 |
|
492 |
469 |
428 |
405 |
364 |
341 |
300 |
277 |
236 |
213 |
172 |
149 |
108 |
85 |
44 |
21 |
|
532 |
557 |
596 |
621 |
660 |
685 |
724 |
749 |
788 |
813 |
852 |
877 |
916 |
941 |
980 |
1005 |
|
494 |
467 |
430 |
403 |
366 |
339 |
302 |
275 |
238 |
211 |
174 |
147 |
110 |
83 |
46 |
19 |
|
530 |
559 |
594 |
623 |
658 |
687 |
722 |
751 |
786 |
815 |
850 |
879 |
914 |
943 |
978 |
1007 |
|
496 |
465 |
432 |
401 |
368 |
337 |
304 |
273 |
240 |
209 |
176 |
145 |
112 |
81 |
48 |
17 |
|
521 |
568 |
585 |
632 |
649 |
696 |
713 |
760 |
777 |
824 |
841 |
888 |
905 |
952 |
969 |
1016 |
|
503 |
458 |
439 |
394 |
375 |
330 |
311 |
266 |
247 |
202 |
183 |
138 |
119 |
74 |
55 |
10 |
|
523 |
566 |
587 |
630 |
651 |
694 |
715 |
758 |
779 |
822 |
843 |
886 |
907 |
950 |
971 |
1014 |
|
501 |
460 |
437 |
396 |
373 |
332 |
309 |
268 |
245 |
204 |
181 |
140 |
117 |
76 |
53 |
12 |
|
525 |
564 |
589 |
628 |
653 |
692 |
717 |
756 |
781 |
820 |
845 |
884 |
909 |
948 |
973 |
1012 |
|
499 |
462 |
435 |
398 |
371 |
334 |
307 |
270 |
243 |
206 |
179 |
142 |
115 |
78 |
51 |
14 |
|
527 |
562 |
591 |
626 |
655 |
690 |
719 |
754 |
783 |
818 |
847 |
882 |
911 |
946 |
975 |
1010 |
|
497 |
464 |
433 |
400 |
369 |
336 |
305 |
272 |
241 |
208 |
177 |
144 |
113 |
80 |
49 |
16 |
Рис. 2
Я собираюсь построить магический квадрат 32-ого порядка по очень стройной схеме, которую увидела среди множества разных схем перестановки строк при превращении полумагических квадратов в магические (по программе перестановки строк). В предыдущей части статьи были построены этим методом магические квадраты 8-ого, 16-ого и 24-ого порядков. Сначала надо расположить в матрице числа начальной цепочки первых 32 чисел по этой схеме. А затем к каждому числу начальной цепочки приписать числа из соответствующей строки полумагического квадрата, который показан на рис. 1-2. И магический квадрат готов! Очень просто и красиво. Даже образующую таблицу сочинять здесь не надо. На рис. 3-4 вы видите этот квадрат (он тоже состоит из двух равных половинок).
Магический квадрат 32-ого порядка – часть 1
|
1 |
64 |
65 |
128 |
129 |
192 |
193 |
256 |
257 |
320 |
321 |
384 |
385 |
448 |
449 |
512 |
|
1022 |
963 |
958 |
899 |
894 |
835 |
830 |
771 |
766 |
707 |
702 |
643 |
638 |
579 |
574 |
515 |
|
1021 |
964 |
957 |
900 |
893 |
836 |
829 |
772 |
765 |
708 |
701 |
644 |
637 |
580 |
573 |
516 |
|
7 |
58 |
71 |
122 |
135 |
186 |
199 |
250 |
263 |
314 |
327 |
378 |
391 |
442 |
455 |
506 |
|
8 |
57 |
72 |
121 |
136 |
185 |
200 |
249 |
264 |
313 |
328 |
377 |
392 |
441 |
456 |
505 |
|
1014 |
971 |
950 |
907 |
886 |
843 |
822 |
779 |
758 |
715 |
694 |
651 |
630 |
587 |
566 |
523 |
|
1013 |
972 |
949 |
908 |
885 |
844 |
821 |
780 |
757 |
716 |
693 |
652 |
629 |
588 |
565 |
524 |
|
15 |
50 |
79 |
114 |
143 |
178 |
207 |
242 |
271 |
306 |
335 |
370 |
399 |
434 |
463 |
498 |
|
16 |
49 |
80 |
113 |
144 |
177 |
208 |
241 |
272 |
305 |
336 |
369 |
400 |
433 |
464 |
497 |
|
1006 |
979 |
942 |
915 |
878 |
851 |
814 |
787 |
750 |
723 |
686 |
659 |
622 |
595 |
558 |
531 |
|
1005 |
980 |
941 |
916 |
877 |
852 |
813 |
788 |
749 |
724 |
685 |
660 |
621 |
596 |
557 |
532 |
|
23 |
42 |
87 |
106 |
151 |
170 |
215 |
234 |
279 |
298 |
343 |
362 |
407 |
426 |
471 |
490 |
|
24 |
41 |
88 |
105 |
152 |
169 |
216 |
233 |
280 |
297 |
344 |
361 |
408 |
425 |
472 |
489 |
|
998 |
987 |
934 |
923 |
870 |
859 |
806 |
795 |
742 |
731 |
678 |
667 |
614 |
603 |
550 |
539 |
|
997 |
988 |
933 |
924 |
869 |
860 |
805 |
796 |
741 |
732 |
677 |
668 |
613 |
604 |
549 |
540 |
|
31 |
34 |
95 |
98 |
159 |
162 |
223 |
226 |
287 |
290 |
351 |
354 |
415 |
418 |
479 |
482 |
|
32 |
33 |
96 |
97 |
160 |
161 |
224 |
225 |
288 |
289 |
352 |
353 |
416 |
417 |
480 |
481 |
|
995 |
990 |
931 |
926 |
867 |
862 |
803 |
798 |
739 |
734 |
675 |
670 |
611 |
606 |
547 |
542 |
|
996 |
989 |
932 |
925 |
868 |
861 |
804 |
797 |
740 |
733 |
676 |
669 |
612 |
605 |
548 |
541 |
|
26 |
39 |
90 |
103 |
154 |
167 |
218 |
231 |
282 |
295 |
346 |
359 |
410 |
423 |
474 |
487 |
|
25 |
40 |
89 |
104 |
153 |
168 |
217 |
232 |
281 |
296 |
345 |
360 |
409 |
424 |
473 |
488 |
|
1003 |
982 |
939 |
918 |
875 |
854 |
811 |
790 |
747 |
726 |
683 |
662 |
619 |
598 |
555 |
534 |
|
1004 |
981 |
940 |
917 |
876 |
853 |
812 |
789 |
748 |
725 |
684 |
661 |
620 |
597 |
556 |
533 |
|
18 |
47 |
82 |
111 |
146 |
175 |
210 |
239 |
274 |
303 |
338 |
367 |
402 |
431 |
466 |
495 |
|
17 |
48 |
81 |
112 |
145 |
176 |
209 |
240 |
273 |
304 |
337 |
368 |
401 |
432 |
465 |
496 |
|
1011 |
974 |
947 |
910 |
883 |
846 |
819 |
782 |
755 |
718 |
691 |
654 |
627 |
590 |
563 |
526 |
|
1012 |
973 |
948 |
909 |
884 |
845 |
820 |
781 |
756 |
717 |
692 |
653 |
628 |
589 |
564 |
525 |
|
10 |
55 |
74 |
119 |
138 |
183 |
202 |
247 |
266 |
311 |
330 |
375 |
394 |
439 |
458 |
503 |
|
9 |
56 |
73 |
120 |
137 |
184 |
201 |
248 |
265 |
312 |
329 |
376 |
393 |
440 |
457 |
504 |
|
1019 |
966 |
955 |
902 |
891 |
838 |
827 |
774 |
763 |
710 |
699 |
646 |
635 |
582 |
571 |
518 |
|
1020 |
965 |
956 |
901 |
892 |
837 |
828 |
773 |
764 |
709 |
700 |
645 |
636 |
581 |
572 |
517 |
|
2 |
63 |
66 |
127 |
130 |
191 |
194 |
255 |
258 |
319 |
322 |
383 |
386 |
447 |
450 |
511 |
Рис. 3
Магический квадрат 32-ого порядка – часть 2
|
513 |
576 |
577 |
640 |
641 |
704 |
705 |
768 |
769 |
832 |
833 |
896 |
897 |
960 |
961 |
1024 |
|
510 |
451 |
446 |
387 |
382 |
323 |
318 |
259 |
254 |
195 |
190 |
131 |
126 |
67 |
62 |
3 |
|
509 |
452 |
445 |
388 |
381 |
324 |
317 |
260 |
253 |
196 |
189 |
132 |
125 |
68 |
61 |
4 |
|
519 |
570 |
583 |
634 |
647 |
698 |
711 |
762 |
775 |
826 |
839 |
890 |
903 |
954 |
967 |
1018 |
|
520 |
569 |
584 |
633 |
648 |
697 |
712 |
761 |
776 |
825 |
840 |
889 |
904 |
953 |
968 |
1017 |
|
502 |
459 |
438 |
395 |
374 |
331 |
310 |
267 |
246 |
203 |
182 |
139 |
118 |
75 |
54 |
11 |
|
501 |
460 |
437 |
396 |
373 |
332 |
309 |
268 |
245 |
204 |
181 |
140 |
117 |
76 |
53 |
12 |
|
527 |
562 |
591 |
626 |
655 |
690 |
719 |
754 |
783 |
818 |
847 |
882 |
911 |
946 |
975 |
1010 |
|
528 |
561 |
592 |
625 |
656 |
689 |
720 |
753 |
784 |
817 |
848 |
881 |
912 |
945 |
976 |
1009 |
|
494 |
467 |
430 |
403 |
366 |
339 |
302 |
275 |
238 |
211 |
174 |
147 |
110 |
83 |
46 |
19 |
|
493 |
468 |
429 |
404 |
365 |
340 |
301 |
276 |
237 |
212 |
173 |
148 |
109 |
84 |
45 |
20 |
|
535 |
554 |
599 |
618 |
663 |
682 |
727 |
746 |
791 |
810 |
855 |
874 |
919 |
938 |
983 |
1002 |
|
536 |
553 |
600 |
617 |
664 |
681 |
728 |
745 |
792 |
809 |
856 |
873 |
920 |
937 |
984 |
1001 |
|
486 |
475 |
422 |
411 |
358 |
347 |
294 |
283 |
230 |
219 |
166 |
155 |
102 |
91 |
38 |
27 |
|
485 |
476 |
421 |
412 |
357 |
348 |
293 |
284 |
229 |
220 |
165 |
156 |
101 |
92 |
37 |
28 |
|
543 |
546 |
607 |
610 |
671 |
674 |
735 |
738 |
799 |
802 |
863 |
866 |
927 |
930 |
991 |
994 |
|
544 |
545 |
608 |
609 |
672 |
673 |
736 |
737 |
800 |
801 |
864 |
865 |
928 |
929 |
992 |
993 |
|
483 |
478 |
419 |
414 |
355 |
350 |
291 |
286 |
227 |
222 |
163 |
158 |
99 |
94 |
35 |
30 |
|
484 |
477 |
420 |
413 |
356 |
349 |
292 |
285 |
228 |
221 |
164 |
157 |
100 |
93 |
36 |
29 |
|
538 |
551 |
602 |
615 |
666 |
679 |
730 |
743 |
794 |
807 |
858 |
871 |
922 |
935 |
986 |
999 |
|
537 |
552 |
601 |
616 |
665 |
680 |
729 |
744 |
793 |
808 |
857 |
872 |
921 |
936 |
985 |
1000 |
|
491 |
470 |
427 |
406 |
363 |
342 |
299 |
278 |
235 |
214 |
171 |
150 |
107 |
86 |
43 |
22 |
|
492 |
469 |
428 |
405 |
364 |
341 |
300 |
277 |
236 |
213 |
172 |
149 |
108 |
85 |
44 |
21 |
|
530 |
559 |
594 |
623 |
658 |
687 |
722 |
751 |
786 |
815 |
850 |
879 |
914 |
943 |
978 |
1007 |
|
529 |
560 |
593 |
624 |
657 |
688 |
721 |
752 |
785 |
816 |
849 |
880 |
913 |
944 |
977 |
1008 |
|
499 |
462 |
435 |
398 |
371 |
334 |
307 |
270 |
243 |
206 |
179 |
142 |
115 |
78 |
51 |
14 |
|
500 |
461 |
436 |
397 |
372 |
333 |
308 |
269 |
244 |
205 |
180 |
141 |
116 |
77 |
52 |
13 |
|
522 |
567 |
586 |
631 |
650 |
695 |
714 |
759 |
778 |
823 |
842 |
887 |
906 |
951 |
970 |
1015 |
|
521 |
568 |
585 |
632 |
649 |
696 |
713 |
760 |
777 |
824 |
841 |
888 |
905 |
952 |
969 |
1016 |
|
507 |
454 |
443 |
390 |
379 |
326 |
315 |
262 |
251 |
198 |
187 |
134 |
123 |
70 |
59 |
6 |
|
508 |
453 |
444 |
389 |
380 |
325 |
316 |
261 |
252 |
197 |
188 |
133 |
124 |
69 |
60 |
5 |
|
514 |
575 |
578 |
639 |
642 |
703 |
706 |
767 |
770 |
831 |
834 |
895 |
898 |
959 |
962 |
1023 |
Рис. 4
Вот какой красивый магический квадрат! Он действительно магический (я не ошибаюсь, называя его магическим, в отличие от автора статьи, из которой я взяла полумагический квадрат Франклина).
В этом квадрате суммы по разломанным диагоналям подчинены закономерностям, которые были установлены для предыдущих частных решений данной группы. Они имеют такие значения: 15376, 16400 и 17424 со строгим чередованием. Средняя сумма – это магическая константа квадрата, а две крайние отличаются от неё на 1024=322, одна в минус, а другая в плюс.
Следующий магический квадрат, который можно построить по этому алгоритму – квадрат 40-ого порядка. Такого полумагического квадрата у меня нет, и наборов чисел в строках, следовательно, не имеется. Я покажу здесь часть образующей таблицы для этого квадрата (рис. 5), а читателям предлагается заполнить таблицу до конца и затем написать по этой таблице магический квадрат. Напишите мне, получился ли у вас магический квадрат.
|
|
1 |
80 |
81 |
160 |
161 |
240 |
241 |
… |
1360 |
1361 |
1440 |
1441 |
1520 |
1521 |
1600 |
|
-2 |
3 |
78 |
83 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1598 |
|
-1 |
4 |
77 |
84 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1597 |
|
-3 |
7 |
74 |
87 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1594 |
|
-1 |
8 |
73 |
88 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1593 |
|
-3 |
11 |
70 |
91 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1590 |
|
-1 |
12 |
69 |
92 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1589 |
|
-3 |
15 |
66 |
95 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1586 |
|
-1 |
16 |
65 |
96 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1585 |
|
-3 |
19 |
62 |
99 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1582 |
|
-1 |
20 |
61 |
100 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1581 |
|
-3 |
23 |
58 |
103 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1578 |
|
-1 |
24 |
57 |
104 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1577 |
|
-3 |
27 |
54 |
107 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1574 |
|
-1 |
28 |
53 |
108 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1573 |
|
-3 |
31 |
50 |
111 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1570 |
|
-1 |
32 |
49 |
112 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1569 |
|
-3 |
35 |
46 |
115 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1566 |
|
-1 |
36 |
45 |
116 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1565 |
|
-3 |
39 |
42 |
119 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1562 |
|
-1 |
40 |
41 |
120 |
121 |
200 |
201 |
280 |
… |
1321 |
1400 |
1401 |
1480 |
1481 |
1560 |
1561 |
|
2 |
38 |
43 |
118 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1563 |
|
1 |
37 |
44 |
117 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1564 |
|
3 |
34 |
47 |
114 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1567 |
|
1 |
33 |
48 |
113 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1568 |
|
3 |
30 |
51 |
110 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1571 |
|
1 |
29 |
52 |
109 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1572 |
|
3 |
26 |
55 |
106 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1575 |
|
1 |
25 |
56 |
105 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1576 |
|
3 |
22 |
59 |
102 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1579 |
|
1 |
21 |
60 |
101 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1580 |
|
3 |
18 |
63 |
98 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1583 |
|
1 |
17 |
64 |
97 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
1584 |
|
3 |
14 |
67 |
94 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1587 |
|
1 |
13 |
68 |
93 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1588 |
|
3 |
10 |
71 |
90 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1591 |
|
1 |
9 |
72 |
89 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1592 |
|
3 |
6 |
75 |
86 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1595 |
|
1 |
5 |
76 |
85 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1596 |
|
3 |
2 |
79 |
82 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1599 |
|
|
|
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
… |
k=33 |
k=34 |
k=35 |
k=36 |
k=37 |
k=38 |
k=39 |
Рис. 5
По заполненной части образующей таблицы легко проверить суммы в двух строках квадрата – начинающихся с числа 1 и с числа 40. Например, сумма в строке, начинающейся с числа 40, вычисляется так:
S=40*(1 + 2 + 3 + … + 38 + 39) + 20 = 32020
Можно посчитать и суммы в первом и последнем столбце таблицы. Проверьте! Эти суммы тоже равны магической константе квадрата. Не вижу быстрого способа посчитать суммы по главным диагоналям. Может быть, вы придумаете такой способ.
А всё-таки красивый метод построения магических квадратов! Скажите, вы где-нибудь встречали такой метод? Или это изобретение принадлежит мне?
Итак, с магическими квадратами всё понятно. А как же быть с пандиагональными? Пандиагональные квадраты восьмого порядка мне удалось построить. А вот для следующих чётно-чётных порядков пока ничего не получилось.
Пытаюсь найти частное решение для пандиагонального квадрата 16-ого порядка, используя частное решение для магического квадрата (см. предыдущую часть настоящей статьи). Смотрите, на рис. 6 показан магический квадрат восьмого порядка, построенный изобретённым мной методом.
|
1 |
16 |
25 |
24 |
41 |
40 |
49 |
64 |
|
62 |
51 |
38 |
43 |
22 |
27 |
14 |
3 |
|
61 |
52 |
37 |
44 |
21 |
28 |
13 |
4 |
|
7 |
10 |
31 |
18 |
47 |
34 |
55 |
58 |
|
8 |
9 |
32 |
17 |
48 |
33 |
56 |
57 |
|
59 |
54 |
35 |
46 |
19 |
30 |
11 |
6 |
|
60 |
53 |
36 |
45 |
20 |
29 |
12 |
5 |
|
2 |
15 |
26 |
23 |
42 |
39 |
50 |
63 |
Рис. 6
Можно ли превратить этот квадрат в пандиагональный перестановкой строк? Ну, эту задачу решаю в два счёта. Ввожу квадрат в программу перестановки строк, в которой есть блок проверки пандиагональности получаемых квадратов, и программа в одну минуту выдаёт мне 144 пандиагональных квадрата, это при условии, что первая строка остаётся на месте, то есть перестановка начинается со второй строки. Если переставлять все строки, понятно, что пандиагональных квадратов будет ещё больше, потому что выполнятся все параллельные переносы на торе (это ведь тоже перестановки строк). Среди этих пандиагональных квадратов ищу стройную схему перестановки, чтобы затем применить аналогичную перестановку к магическому квадрату 16-ого порядка, построенному точно так же, как квадрат на рис. 6. Вижу, например, такую схему перестановки строк (рис. 7):
|
1 |
16 |
25 |
24 |
41 |
40 |
49 |
64 |
|
60 |
53 |
36 |
45 |
20 |
29 |
12 |
5 |
|
2 |
15 |
26 |
23 |
42 |
39 |
50 |
63 |
|
59 |
54 |
35 |
46 |
19 |
30 |
11 |
6 |
|
7 |
10 |
31 |
18 |
47 |
34 |
55 |
58 |
|
62 |
51 |
38 |
43 |
22 |
27 |
14 |
3 |
|
8 |
9 |
32 |
17 |
48 |
33 |
56 |
57 |
|
61 |
52 |
37 |
44 |
21 |
28 |
13 |
4 |
Рис. 7
Стройная перестановка строк! Теперь попытаюсь сделать похожую перестановку в магическом квадрате 16-ого порядка. Дублирую этот квадрат из предыдущей части статьи (рис. 8).
|
1 |
32 |
33 |
64 |
65 |
96 |
97 |
128 |
129 |
160 |
161 |
192 |
193 |
224 |
225 |
256 |
|
254 |
227 |
222 |
195 |
190 |
163 |
158 |
131 |
126 |
99 |
94 |
67 |
62 |
35 |
30 |
3 |
|
253 |
228 |
221 |
196 |
189 |
164 |
157 |
132 |
125 |
100 |
93 |
68 |
61 |
36 |
29 |
4 |
|
7 |
26 |
39 |
58 |
71 |
90 |
103 |
122 |
135 |
154 |
167 |
186 |
199 |
218 |
231 |
250 |
|
8 |
25 |
40 |
57 |
72 |
89 |
104 |
121 |
136 |
153 |
168 |
185 |
200 |
217 |
232 |
249 |
|
246 |
235 |
214 |
203 |
182 |
171 |
150 |
139 |
118 |
107 |
86 |
75 |
54 |
43 |
22 |
11 |
|
245 |
236 |
213 |
204 |
181 |
172 |
149 |
140 |
117 |
108 |
85 |
76 |
53 |
44 |
21 |
12 |
|
15 |
18 |
47 |
50 |
79 |
82 |
111 |
114 |
143 |
146 |
175 |
178 |
207 |
210 |
239 |
242 |
|
16 |
17 |
48 |
49 |
80 |
81 |
112 |
113 |
144 |
145 |
176 |
177 |
208 |
209 |
240 |
241 |
|
243 |
238 |
211 |
206 |
179 |
174 |
147 |
142 |
115 |
110 |
83 |
78 |
51 |
46 |
19 |
14 |
|
244 |
237 |
212 |
205 |
180 |
173 |
148 |
141 |
116 |
109 |
84 |
77 |
52 |
45 |
20 |
13 |
|
10 |
23 |
42 |
55 |
74 |
87 |
106 |
119 |
138 |
151 |
170 |
183 |
202 |
215 |
234 |
247 |
|
9 |
24 |
41 |
56 |
73 |
88 |
105 |
120 |
137 |
152 |
169 |
184 |
201 |
216 |
233 |
248 |
|
251 |
230 |
219 |
198 |
187 |
166 |
155 |
134 |
123 |
102 |
91 |
70 |
59 |
38 |
27 |
6 |
|
252 |
229 |
220 |
197 |
188 |
165 |
156 |
133 |
124 |
101 |
92 |
69 |
60 |
37 |
28 |
5 |
|
2 |
31 |
34 |
63 |
66 |
95 |
98 |
127 |
130 |
159 |
162 |
191 |
194 |
223 |
226 |
255 |
Рис. 8
Но как же здесь сделать аналогичную перестановку? Пока не вижу чёткого пути. Конечно, можно решать задачу и по программе перестановки строк. Но всё дело в том, что программа эта, в отличие от квадратов восьмого порядка, выполняется очень долго, и дождаться от неё результата у меня не хватает терпения. Есть ли ещё какой-либо путь решения задачи? Попробуйте-ка решить задачу. Формулирую задачу ещё раз:
З А Д А Ч А
|
Превратить магический квадрат с рис. 8 в пандиагональный перестановкой строк, или перестановкой столбцов, или одновременной перестановкой строк и столбцов. Разрешается также переворачивать строки. Либо доказать, что превращение этого квадрата в пандиагональный невозможно. |
***
Интересно здесь рассказать об аналогичной задаче о квадрате Френикля, которую мне предложили на физико-математическом форуме. Очень похожая задача! Вот сейчас поняла всю глубину этой задачи. Френикль построил магический квадрат восьмого порядка по очень красивой схеме (тоже очень похожей на качели!) и задался вопросом: можно ли превратить этот квадрат в пандиагональный. В формулировке задачи, приведённой на форуме, сказано, что разрешается переставлять строки, а также переворачивать их. Видите, как похоже! Ну, покажу этот квадрат Френикля (рис. 9).
|
1 |
16 |
23 |
30 |
37 |
44 |
51 |
58 |
|
63 |
54 |
45 |
36 |
27 |
18 |
9 |
8 |
|
10 |
3 |
60 |
53 |
46 |
39 |
32 |
17 |
|
24 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
6 |
15 |
|
49 |
64 |
7 |
14 |
21 |
28 |
35 |
42 |
|
47 |
38 |
29 |
20 |
11 |
2 |
57 |
56 |
|
26 |
19 |
12 |
5 |
62 |
55 |
48 |
33 |
|
40 |
41 |
50 |
59 |
4 |
13 |
22 |
31 |
Рис. 9
Аналогия с качелями просто потрясающая! Начинаем с числа 4 и двигаемся вверх, к числу 5 через 0 (ноль) ячеек влево, к числу 2 через 1 ячейку вправо, к числу 7 через 2 ячейки влево и так далее. Вот так оригинально расположена начальная цепочка первых 8 чисел! Далее жёлтым цветом выделен первый цикл качания качелей. Набор чисел в цикле, как и положено, от 9 до 16. Все числа цикла “прилипли” к числам начальной цепочки. А следом идут числа второго цикла (ячейки песочного цвета), и набор их тоже в точном соответствии с методом качелей – от 17 до 24. Вот только в формирование наборов чисел в циклах качания качелей не могу проникнуть.
А ещё смотрите, какая интересная закономерность в этом квадрате: разности между соседними числами в строках равны либо -7, либо -9, с чередованием точно через одну строку. Например, в первой строке имеем:
16-23=-7 23-30=-7 30-37=-7 37-44=-7 44-51=-7 51-58=-7
во второй строке:
9-18=-9 18-27=-9 27-36=-9 36-45=-9 45-54=-9 54-63=-9
Правда, в некоторых местах это свойство нарушается, мне кажется, что это происходит при переходе через край квадрата.
Перестановкой столбцов этот квадрат моментально превращается в пандиагональный, но при этом нарушается красивая схема расположения начальной цепочки и вся прелесть квадрата пропадает. На рис. 10 показываю пандиагональный квадрат, который я получила перестановкой столбцов.
|
1 |
16 |
23 |
58 |
37 |
44 |
51 |
30 |
|
63 |
54 |
45 |
8 |
27 |
18 |
9 |
36 |
|
10 |
3 |
60 |
17 |
46 |
39 |
32 |
53 |
|
24 |
25 |
34 |
15 |
52 |
61 |
6 |
43 |
|
49 |
64 |
7 |
42 |
21 |
28 |
35 |
14 |
|
47 |
38 |
29 |
56 |
11 |
2 |
57 |
20 |
|
26 |
19 |
12 |
33 |
62 |
55 |
48 |
5 |
|
40 |
41 |
50 |
31 |
4 |
13 |
22 |
59 |
Рис. 10
Очевидно, что никакая перестановка столбцов не может дать первоначальную схему расположения первых 8 чисел. Вот почему Френикль поставил в условии задачи только перестановку строк. Причём просто перестановка строк тоже ничего не даёт. Это я уже проверила по программе перестановки строк. Надо не только строки переставить, а некоторые ещё и перевернуть, то есть, например, вместо строки
10 3 60 53 46 39 32 17
записать такую строку:
17 32 39 46 53 60 3 10
Вот тогда первоначальная схема расположения начальной цепочки может быть сохранена.
Можно попробовать одновременную перестановку строк и столбцов. У меня есть такая программа, и я уже получила по ней несколько пандиагональных квадратов, но ещё не проверила, какая в них схема начальной цепочки. Положила задачу в дальний ящик. Некогда. А задача интересная! Составила для её решения ещё одну программу, но тоже не выполнила программу до конца.
Ну и, конечно, в случае непревращения квадрата в пандиагональный требуется доказать, что такое превращение невозможно.
***
А теперь покажу ещё один полумагический квадрат 12-ого порядка, тоже с форума. Он построен точно по такой же схеме, как квадрат Френикля! Смотрите на рис. 11.
|
1 |
24 |
35 |
46 |
57 |
68 |
79 |
90 |
101 |
112 |
123 |
134 |
|
143 |
130 |
117 |
104 |
91 |
78 |
65 |
52 |
39 |
26 |
13 |
12 |
|
14 |
3 |
136 |
125 |
114 |
103 |
92 |
81 |
70 |
59 |
48 |
25 |
|
36 |
37 |
50 |
63 |
76 |
89 |
102 |
115 |
128 |
141 |
10 |
23 |
|
121 |
144 |
11 |
22 |
33 |
44 |
55 |
66 |
77 |
88 |
99 |
110 |
|
119 |
106 |
93 |
80 |
67 |
54 |
41 |
28 |
15 |
2 |
133 |
132 |
|
38 |
27 |
16 |
5 |
138 |
127 |
116 |
105 |
94 |
83 |
72 |
49 |
|
60 |
61 |
74 |
87 |
100 |
113 |
126 |
139 |
8 |
21 |
34 |
47 |
|
97 |
120 |
131 |
142 |
9 |
20 |
31 |
42 |
53 |
64 |
75 |
86 |
|
95 |
82 |
69 |
56 |
43 |
30 |
17 |
4 |
135 |
122 |
109 |
108 |
|
62 |
51 |
40 |
29 |
18 |
7 |
140 |
129 |
118 |
107 |
96 |
73 |
|
84 |
85 |
98 |
111 |
124 |
137 |
6 |
19 |
32 |
45 |
58 |
71 |
Рис. 11
Я уже рассказывала об этом квадрате в предыдущей части статьи. Но только два дня назад (когда немного занималась задачей Френикля) обнаружила, что в этих квадратах совершенно одинаковые схемы.
И тоже, посмотрите, разности между соседними числами в строках имеют значения -11 и -13 с точным чередованием через одну строку. И тоже происходит нарушение при переходе через край квадрата.
Но автору этого квадрата повезло меньше: он не получился у него магическим, как у Френикля.
Как я уже говорила, на форуме мне было предложено превратить этот квадрат в магический перестановкой строк. Моя программа перестановки строк в квадрате 12-ого порядка даёт множество решений этой задачи. Однако тут, видимо, тоже надо не просто переставлять строки, а некоторые ещё и переворачивать, чтобы не нарушилась схема начальной цепочки первых 12 чисел.
В алгоритм построения этих двух замечательных квадратов я ещё не проникла настолько, чтобы запрограммировать его. Однако квадрат четвёртого порядка по этой схеме построила с ходу. Посмотрите на этого красавца (рис. 12). Он магический, как и у Френикля. Более того – он пандиагональный!
|
1 |
8 |
11 |
14 |
|
15 |
10 |
5 |
4 |
|
6 |
3 |
16 |
9 |
|
12 |
13 |
2 |
7 |
Рис. 12
Вот по аналогии с этим дьявольским квадратом, видимо, древние авторы и построили два квадрата, которые показаны выше. Но ни один из них не получился дьявольским. Досадно!
Можете ли вы построить по этому алгоритму квадрат 16-ого порядка? Попробуйте! Мне тогда расскажете, какой получился квадрат – полумагический, магический или пандиагональный. Хорошо?
А может быть, квадрат 16-ого порядка по этой схеме уже построен кем-нибудь? Мне тоже очень хочется построить такой квадрат, но прямо не хватает на всё времени. Как-нибудь займусь на досуге. Но, повторяю, схему ещё надо “раскусить”, она не так проста. Так мне кажется на первый взгляд. А если немного подумать, то всё, может быть, окажется очень просто.
***
Посетите физико-математический форум, и вы узнаете много интересного о магических квадратах и не только о них. Вот адрес:
http://fizmat.info/forum/showthread.php?t=1629&page=6
Чтобы начать просмотр с первой страницы, сделайте …page=1
***
Ах, не могла устоять перед соблазном построить квадрат 16-ого порядка по древней схеме, которая показана на примерах квадратов Френикля и Агриппа. И квадрат того стоит! Посмотрите, какое получилось чудо. Этот квадрат магический! Но схема, скажу я вам, сложная… Квадрат строила, конечно, не по программе, а с помощью калькулятора. Положила перед собой три квадрата, построенные по этой схеме: четвёртого, восьмого и 12-ого порядка. Использовала все выявленные закономерности, ну и ещё свой богатый опыт в построении квадратов. Помогла и аналогия с качелями. И вот он – магический квадрат 16-ого порядка, построенный по рецепту древних мудрецов (рис. 13).
|
1 |
32 |
47 |
62 |
77 |
92 |
107 |
122 |
137 |
152 |
167 |
182 |
197 |
212 |
227 |
242 |
|
255 |
238 |
221 |
204 |
187 |
170 |
153 |
136 |
119 |
102 |
85 |
68 |
51 |
34 |
17 |
16 |
|
18 |
3 |
244 |
229 |
214 |
199 |
184 |
169 |
154 |
139 |
124 |
109 |
94 |
79 |
64 |
33 |
|
48 |
49 |
66 |
83 |
100 |
117 |
134 |
151 |
168 |
185 |
202 |
219 |
236 |
253 |
14 |
31 |
|
225 |
256 |
15 |
30 |
45 |
60 |
75 |
90 |
105 |
120 |
135 |
150 |
165 |
180 |
195 |
210 |
|
223 |
206 |
189 |
172 |
155 |
138 |
121 |
104 |
87 |
70 |
53 |
36 |
19 |
2 |
241 |
240 |
|
50 |
35 |
20 |
5 |
246 |
231 |
216 |
201 |
186 |
171 |
156 |
141 |
126 |
111 |
96 |
65 |
|
80 |
81 |
98 |
115 |
132 |
149 |
166 |
183 |
200 |
217 |
234 |
251 |
12 |
29 |
46 |
63 |
|
193 |
224 |
239 |
254 |
13 |
28 |
43 |
58 |
73 |
88 |
103 |
118 |
133 |
148 |
163 |
178 |
|
191 |
174 |
157 |
140 |
123 |
106 |
89 |
72 |
55 |
38 |
21 |
4 |
243 |
226 |
209 |
208 |
|
82 |
67 |
52 |
37 |
22 |
7 |
248 |
233 |
218 |
203 |
188 |
173 |
158 |
143 |
128 |
97 |
|
112 |
113 |
130 |
147 |
164 |
181 |
198 |
215 |
232 |
249 |
10 |
27 |
44 |
61 |
78 |
95 |
|
161 |
192 |
207 |
222 |
237 |
252 |
11 |
26 |
41 |
56 |
71 |
86 |
101 |
116 |
131 |
146 |
|
159 |
142 |
125 |
108 |
91 |
74 |
57 |
40 |
23 |
6 |
245 |
228 |
211 |
194 |
177 |
176 |
|
114 |
99 |
84 |
69 |
54 |
39 |
24 |
9 |
250 |
235 |
220 |
205 |
190 |
175 |
160 |
129 |
|
144 |
145 |
162 |
179 |
196 |
213 |
230 |
247 |
8 |
25 |
42 |
59 |
76 |
93 |
110 |
127 |
Рис. 13
Вы видели где-нибудь такой чудесный квадрат? Если видели, скажите – где.
Посчитав суммы по одной разломанной диагонали каждого направления, хотела воскликнуть: квадрат дьявольский! Но, увы. Однако посмотрите, какие суммы мы имеем по разломанным диагоналям:
2056, 2056, 1800, 1800, 2056, 2056, 2056, 2056, 2056, 2056, 2312, 2312, 2056, 2056, 2056
2056, 2056, 2312, 2312, 2056, 2056, 2056, 2056, 2056, 2056, 1800, 1800, 2056, 2056, 2056.
Невероятно! Всего в 8 диагоналях нет магической суммы.
Посмотрим на суммы в разломанных диагоналях квадрата Френикля (см. рис. 9). Вот они:
196, 196, 260, 260, 324, 324, 260
324, 324, 260, 260, 196, 196, 260
Точно такая же картина! Нет магической суммы в 8 диагоналях. При этом обратите внимание на величину, отличающую “неправильные” суммы от магической константы квадрата. В обоих случаях эта величина равна n2.
Да, конечно, очень обидно, что такие красивые и гармоничные квадраты не являются дьявольскими. Всего чуть-чуть им не хватает до пандиагональности.
И вот вам расширение задачи Френикля: теперь надо попытаться превратить в пандиагональные два магических квадрата – восьмого (квадрат Френикля) и 16-ого (квадрат Макаровой, то есть мой) порядка или доказать, что это невозможно. Как превращать, я уже говорила: можно переставлять и переворачивать строки квадрата. При этом в полученном квадрате желательно сохранить точно такую же схему расположения начальной цепочки. Иначе квадрат потеряет свою прелесть.
Интересен вопрос: почему квадрат 12-ого порядка, построенный по этой схеме, не получился магическим? И можно ли его превратить в магический с сохранением схемы начальной цепочки?
Ну, а теперь попробуйте построить по этому алгоритму квадрат следующего порядка – 20-ого. Если у вас получится, то вы можете считать себя мастером в построении магических квадратов (хотя не уверена, что квадрат 20-ого порядка получится магическим). Повторю: схема построения этих квадратов – крепкий орешек, я её пока не “раскусила” полностью. А вы?
***
Напомню, что квадраты Френикля и Агриппа я взяла с физико-математического форума, ссылка дана выше.
Страница помещена на сайт 11 марта 2008 г.
12 марта 2008 г.
Техникой древних мастеров овладела!
Построила магический квадрат 20-ого порядка. Мне очень понравилось строить такие квадраты! Но алгоритм настолько хитрый, что пока не придумала, как составить программу. Так что, эти магические квадраты получаются только “ручной работы”. Это как самые дорогие ковры, которые делают вручную. Смотрите на квадрат 20-ого порядка (рис. 14).
|
1 |
40 |
59 |
78 |
97 |
116 |
135 |
154 |
173 |
192 |
211 |
230 |
249 |
268 |
287 |
306 |
325 |
344 |
363 |
382 |
|
399 |
378 |
357 |
336 |
315 |
294 |
273 |
252 |
231 |
210 |
189 |
168 |
147 |
126 |
105 |
84 |
63 |
42 |
21 |
20 |
|
22 |
3 |
384 |
365 |
346 |
327 |
308 |
289 |
270 |
251 |
232 |
213 |
194 |
175 |
156 |
137 |
118 |
99 |
80 |
41 |
|
60 |
61 |
82 |
103 |
124 |
145 |
166 |
187 |
208 |
229 |
250 |
271 |
292 |
313 |
334 |
355 |
376 |
397 |
18 |
39 |
|
361 |
400 |
19 |
38 |
57 |
76 |
95 |
114 |
133 |
152 |
171 |
190 |
209 |
228 |
247 |
266 |
285 |
304 |
323 |
342 |
|
359 |
338 |
317 |
296 |
275 |
254 |
233 |
212 |
191 |
170 |
149 |
128 |
107 |
86 |
65 |
44 |
23 |
2 |
381 |
380 |
|
62 |
43 |
24 |
5 |
386 |
367 |
348 |
329 |
310 |
291 |
272 |
253 |
234 |
215 |
196 |
177 |
158 |
139 |
120 |
81 |
|
100 |
101 |
122 |
143 |
164 |
185 |
206 |
227 |
248 |
269 |
290 |
311 |
332 |
353 |
374 |
395 |
16 |
37 |
58 |
79 |
|
321 |
360 |
379 |
398 |
17 |
36 |
55 |
74 |
93 |
112 |
131 |
150 |
169 |
188 |
207 |
226 |
245 |
264 |
283 |
302 |
|
319 |
298 |
277 |
256 |
235 |
214 |
193 |
172 |
151 |
130 |
109 |
88 |
67 |
46 |
25 |
4 |
383 |
362 |
341 |
340 |
|
102 |
83 |
64 |
45 |
26 |
7 |
388 |
369 |
350 |
331 |
312 |
293 |
274 |
255 |
236 |
217 |
198 |
179 |
160 |
121 |
|
140 |
141 |
162 |
183 |
204 |
225 |
246 |
267 |
288 |
309 |
330 |
351 |
372 |
393 |
14 |
35 |
56 |
77 |
98 |
119 |
|
281 |
320 |
339 |
358 |
377 |
396 |
15 |
34 |
53 |
72 |
91 |
110 |
129 |
148 |
167 |
186 |
205 |
224 |
243 |
262 |
|
279 |
258 |
237 |
216 |
195 |
174 |
153 |
132 |
111 |
90 |
69 |
48 |
27 |
6 |
385 |
364 |
343 |
322 |
301 |
300 |
|
142 |
123 |
104 |
85 |
66 |
47 |
28 |
9 |
390 |
371 |
352 |
333 |
314 |
295 |
276 |
257 |
238 |
219 |
200 |
161 |
|
180 |
181 |
202 |
223 |
244 |
265 |
286 |
307 |
328 |
349 |
370 |
391 |
12 |
33 |
54 |
75 |
96 |
117 |
138 |
159 |
|
241 |
280 |
299 |
318 |
337 |
356 |
375 |
394 |
13 |
32 |
51 |
70 |
89 |
108 |
127 |
146 |
165 |
184 |
203 |
222 |
|
239 |
218 |
197 |
176 |
155 |
134 |
113 |
92 |
71 |
50 |
29 |
8 |
387 |
366 |
345 |
324 |
303 |
282 |
261 |
260 |
|
182 |
163 |
144 |
125 |
106 |
87 |
68 |
49 |
30 |
11 |
392 |
373 |
354 |
335 |
316 |
297 |
278 |
259 |
240 |
201 |
|
220 |
221 |
242 |
263 |
284 |
305 |
326 |
347 |
368 |
389 |
10 |
31 |
52 |
73 |
94 |
115 |
136 |
157 |
178 |
199 |
Рис. 14
Не ожидала, что квадрат получится магическим. Что же, только квадрат 12-ого порядка, построенный по этому алгоритму (см. рис. 11) не получился магическим? Очень интересно. И почему? И есть ли в этой группе магических квадратов ещё пандиагональные, или только квадрат четвёртого порядка оказался таким? И не встретится ли ещё полумагический квадрат? Вот сколько вопросов! Подключайтесь, уважаемые читатели к поиску ответов.
На рисунке выделен белым цветом последний цикл качания качелей при k=19, набор чисел в этом цикле от 20*19+1 до 20*(19+1), то есть от 381 до 400 (в точном соответствии с методом качелей).
Суммы по разломанным диагоналям в этом квадрате имеют такие значения: 3610, 4010 и 4410 в строгом чередовании. “Неправильные” суммы отличаются от магической константы квадрата на 400=202, одна в минус, а другая в плюс. Всё точно так же, как в рассмотренных выше квадратах этой группы. Правда, здесь нет магической суммы в 16 диагоналях из 38.
Вручную я могу построить по этому алгоритму квадрат любого чётно-чётного порядка. Принимаю заказы на магические квадраты ручной работы! (шутка)
Неужели ни в одном из следующих квадратов, например 64-ого или 256-ого порядка, числа не сложатся так, чтобы получился дьявольский квадрат? Вот зада-а-а-ча! Предскажите порядок пандиагонального квадрата, и я его построю!
***
13 марта 2008 г.
Сейчас построила квадрат 24-ого порядка. И он получился полумагический! В-о-о-т! Можно высказать гипотезу, что квадраты порядков n=6k, k=2,4,6… , построенные по данному алгоритму, будут полумагические. Мы имеем уже два таких квадрата: 12-ого порядка (k=2) и 24-ого порядка (k=4). Следующий полумагический квадрат должен быть 36-ого порядка. Предлагаю читателям построить этот квадрат и проверить гипотезу.
Осталось ответить на вопрос: будут ли ещё в этой группе пандиагональные квадраты. Интуиция говорит мне, что будут. Но как это доказать или опровергнуть? Не строить же все квадраты вручную до 1000-ого порядка! Другой путь: запрограммировать схему, но пока не вижу, как это сделать. Надо подумать.
Показываю полумагический квадрат 24-ого порядка (рис. 15).
|
1 |
48 |
71 |
94 |
117 |
140 |
163 |
186 |
209 |
232 |
255 |
278 |
301 |
324 |
347 |
370 |
393 |
416 |
439 |
462 |
485 |
508 |
531 |
554 |
|
575 |
550 |
525 |
500 |
475 |
450 |
425 |
400 |
375 |
350 |
325 |
300 |
275 |
250 |
225 |
200 |
175 |
150 |
125 |
100 |
75 |
50 |
25 |
24 |
|
26 |
3 |
556 |
533 |
510 |
487 |
464 |
441 |
418 |
395 |
372 |
349 |
326 |
303 |
280 |
257 |
234 |
211 |
188 |
165 |
142 |
119 |
96 |
49 |
|
72 |
73 |
98 |
123 |
148 |
173 |
198 |
223 |
248 |
273 |
298 |
323 |
348 |
373 |
398 |
423 |
448 |
473 |
498 |
523 |
548 |
573 |
22 |
47 |
|
529 |
576 |
23 |
46 |
69 |
92 |
115 |
138 |
161 |
184 |
207 |
230 |
253 |
276 |
299 |
322 |
345 |
368 |
391 |
414 |
437 |
460 |
483 |
506 |
|
527 |
502 |
477 |
452 |
427 |
402 |
377 |
352 |
327 |
302 |
277 |
252 |
227 |
202 |
177 |
152 |
127 |
102 |
77 |
52 |
27 |
2 |
553 |
552 |
|
74 |
51 |
28 |
5 |
558 |
535 |
512 |
489 |
466 |
443 |
420 |
397 |
374 |
351 |
328 |
305 |
282 |
259 |
236 |
213 |
190 |
167 |
144 |
97 |
|
120 |
121 |
146 |
171 |
196 |
221 |
246 |
271 |
296 |
321 |
346 |
371 |
396 |
421 |
446 |
471 |
496 |
521 |
546 |
571 |
20 |
45 |
70 |
95 |
|
481 |
528 |
551 |
574 |
21 |
44 |
67 |
90 |
113 |
136 |
159 |
182 |
205 |
228 |
251 |
274 |
297 |
320 |
343 |
366 |
389 |
412 |
435 |
458 |
|
479 |
454 |
429 |
404 |
379 |
354 |
329 |
304 |
279 |
254 |
229 |
204 |
179 |
154 |
129 |
104 |
79 |
54 |
29 |
4 |
555 |
530 |
505 |
504 |
|
122 |
99 |
76 |
53 |
30 |
7 |
560 |
537 |
514 |
491 |
468 |
445 |
422 |
399 |
376 |
353 |
330 |
307 |
284 |
261 |
238 |
215 |
192 |
145 |
|
168 |
169 |
194 |
219 |
244 |
269 |
294 |
319 |
344 |
369 |
394 |
419 |
444 |
469 |
494 |
519 |
544 |
569 |
18 |
43 |
68 |
93 |
118 |
143 |
|
433 |
480 |
503 |
526 |
549 |
572 |
19 |
42 |
65 |
88 |
111 |
134 |
157 |
180 |
203 |
226 |
249 |
272 |
295 |
318 |
341 |
364 |
387 |
410 |
|
431 |
406 |
381 |
356 |
331 |
306 |
281 |
256 |
231 |
206 |
181 |
156 |
131 |
106 |
81 |
56 |
31 |
6 |
557 |
532 |
507 |
482 |
457 |
456 |
|
170 |
147 |
124 |
101 |
78 |
55 |
32 |
9 |
562 |
539 |
516 |
493 |
470 |
447 |
424 |
401 |
378 |
355 |
332 |
309 |
286 |
263 |
240 |
193 |
|
216 |
217 |
242 |
267 |
292 |
317 |
342 |
367 |
392 |
417 |
442 |
467 |
492 |
517 |
542 |
567 |
16 |
41 |
66 |
91 |
116 |
141 |
166 |
191 |
|
385 |
432 |
455 |
478 |
501 |
524 |
547 |
570 |
17 |
40 |
63 |
86 |
109 |
132 |
155 |
178 |
201 |
224 |
247 |
270 |
293 |
316 |
339 |
362 |
|
383 |
358 |
333 |
308 |
283 |
258 |
233 |
208 |
183 |
158 |
133 |
108 |
83 |
58 |
33 |
8 |
559 |
534 |
509 |
484 |
459 |
434 |
409 |
408 |
|
218 |
195 |
172 |
149 |
126 |
103 |
80 |
57 |
34 |
11 |
564 |
541 |
518 |
495 |
472 |
449 |
426 |
403 |
380 |
357 |
334 |
311 |
288 |
241 |
|
264 |
265 |
290 |
315 |
340 |
365 |
390 |
415 |
440 |
465 |
490 |
515 |
540 |
565 |
14 |
39 |
64 |
89 |
114 |
139 |
164 |
189 |
214 |
239 |
|
337 |
384 |
407 |
430 |
453 |
476 |
499 |
522 |
545 |
568 |
15 |
38 |
61 |
84 |
107 |
130 |
153 |
176 |
199 |
222 |
245 |
268 |
291 |
314 |
|
335 |
310 |
285 |
260 |
235 |
210 |
185 |
160 |
135 |
110 |
85 |
60 |
35 |
10 |
561 |
536 |
511 |
486 |
461 |
436 |
411 |
386 |
361 |
360 |
|
266 |
243 |
220 |
197 |
174 |
151 |
128 |
105 |
82 |
59 |
36 |
13 |
566 |
543 |
520 |
497 |
474 |
451 |
428 |
405 |
382 |
359 |
336 |
289 |
|
312 |
313 |
338 |
363 |
388 |
413 |
438 |
463 |
488 |
513 |
538 |
563 |
12 |
37 |
62 |
87 |
112 |
137 |
162 |
187 |
212 |
237 |
262 |
287 |
Рис. 15
Как и в полумагическом квадрате 12-ого порядка, в этом квадрате суммы по главным диагоналям одинаковы (7500) и отличаются от магической константы квадрата на 576=242. Можно предположить, что в полумагическом квадрате 36-ого порядка (если этот квадрат действительно будет полумагическим) суммы по главным диагоналям будут равны 23346 + 362 = 24642 (23346 – магическая константа квадрата). Есть идея: не строить весь квадрат полностью, а вычислить только числа, попадающие на одну из главных диагоналей. Вот вам заготовка для реализации этой идеи (рис. 16). Я расположила в матрице начальную цепочку первых 36 чисел. Эта цепочка полностью определяет квадрат. Ну, а если кому-то понравится строить такие квадраты, они могут заполнить квадрат полностью. Предполагаю, что числа, попадающие на главную диагональ, можно выразить формулами, в зависимости от порядка квадрата. А так же и числа, попадающие на разломанные диагонали. И тогда по этим формулам можно сразу вычислить суммы и сказать, будет ли квадрат данного порядка полумагическим, магическим или пандиагональным. Интересная задача!
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 16
Может быть, на досуге посчитаю эти числа и сумму по главной диагонали. Интересно, подтвердится ли моя гипотеза о полумагических квадратах, которые строятся по данному алгоритму.
***
Пишите мне!
На главную страницу