КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

             Часть III

 

 

В предыдущей части этой статьи я обещала показать построенный мной по схеме Франклина дьявольски полумагический квадрат восьмого порядка.

Сначала напомню читателям два таких квадрата Франклина, рассмотренные в первой части настоящей статьи (см. рис. 1 и рис. 2).

 

 

 

                                                                       Рис. 1

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Все чудесные свойства этих дьявольски полумагических квадратов Франклина были описаны в первой части настоящей статьи. Там же вы найдёте ссылку на ту статью на английском языке, с которой я в основном работала при написании своей статьи.

Поясню, почему я назвала эти квадраты дьявольски полумагическими. Эти квадраты можно подвергать преобразованию параллельного переноса на торе, и они при этом остаются такими же полумагическими, то есть не изменяются суммы не только в строках и столбцах (что вполне закономерно), но и в главных диагоналях.

А теперь расскажу, как я пополнила эту группу квадратов Франклина третьим квадратом. Вообще-то я собиралась построить пандиагональный квадрат восьмого порядка по той схеме, которую открыла, исследуя пандиагональный квадрат Франклина 16-ого порядка (это тоже в первой части статьи). Однако пандиагональный квадрат у меня, увы, не получился, зато получился дьявольски полумагический.

Итак, на рис. 3 показываю образующую таблицу для квадрата восьмого порядка, построенную по схеме Франклина.

 

 

 

                                                        Рис. 3

 

Ещё раз напомню, что эта таблица построена в точной аналогии с таблицей, показанной для пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка. Не путать с образующей таблицей для полумагического квадрата 32-ого порядка, показанной во второй части статьи! Она формируется по несколько другой схеме.

 

Эту таблицу я построила вручную. К сожалению, не могу подключить компьютер, потому что не до конца понимаю механизм построения таблицы. Попробуйте-ка проникнуть в эту очень хитрую схему настолько, чтобы запрограммировать её! Если вам это удастся, то по программе вы построите целое семейство дьявольски полумагических квадратов. А может быть, среди них окажется и пандиагональный (хотя я в этом не уверена).

Ну, а я теперь переписываю числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата (рис. 4), и дьявольски полумагический квадрат готов!

 

 

                                                   Рис. 4

 

Я выделила на рис. 4 начальную цепочку первых 8 чисел (это нулевой цикл качания качелей) и ещё два цикла – бирюзовый и белый цвета. Сравните эти циклы с числами в двух первых столбцах образующей таблицы (при k=6 и k=5), и вы поймёте, как числа из образующей таблицы переписываются в матрицу для квадрата.

Этот квадрат хорош уже тем, что начинается он с числа 1. Хотя и два полумагических квадрата Франклина очень просто сделать начинающимися с числа 1, поскольку их можно переносить на торе. Ну, а мой квадрат и переносить не надо.

Как вы помните, в полумагических квадратах Франклина суммы по диагоналям отличаются от магической константы на одну и ту же величину, по одной диагонали в плюс, а по другой в минус. Для квадрата с рис. 1 эта величина равна 32, для квадрата с рис. 2 она равна 8. Для построенного мной квадрата эта величина равна 2. Сумма по одной диагонали равна 262=260+2, а сумма по другой диагонали равна 258=260-2.

Построенный мной квадрат тоже обладает целым набором изящных свойств, подобных свойствам полумагических квадратов Франклина. Например, сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри квадрата, равна 130. Суммы чисел в полустолбцах квадрата тоже равны 130. Сумма чисел, расположенных в вершинах любого квадрата 4х4, находящегося внутри квадрата, тоже равна 130. То же самое и для чисел расположенных в вершинах любого квадрата 6х6. Сумма чисел в вершинах самого квадрата тоже равна 130. В первой части статьи была приведена очень оригинальная иллюстрация для всех свойств полумагических квадратов Франклина восьмого порядка. Я как раз сейчас перечислила некоторые свойства, показанные на той иллюстрации. А вот фигуры группы В на той иллюстрации имели горизонтальное положение, а в моём квадрате они имеют вертикальное положение (см. рис. 5).

 

 

                                                   Рис. 5

 

Сумма чисел в ячейках фигуры, выделенной зелёным цветом, равна магической константе квадрата. И точно так же, как в квадратах Франклина, эта фигура может перемещаться по квадрату влево и вправо (см. на розовую фигуру). И даже “переезжать” через край квадрата (см. рис. 6).

 

 

                                                                      Рис. 6

 

Примечание: сейчас посмотрела, как эта фигура располагается во втором квадрате Франклина (рис. 2). Оказывается, тоже вертикально! Значит, только в квадрате на рис. 1 она располагается горизонтально.

 

Фигуру можно зеркально отразить, и снова перемещать влево и вправо по квадрату (рис. 7).

 

 

                                                                       Рис. 7

 

Всё совершенно аналогично выполняется и с фигурой группы С (рис. 8). Фигура, выделенная розовым цветом, “переехала” через край квадрата. При этом фигуру можно зеркально отразить (рис. 9), а вот положить её горизонтально нельзя.

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Одним словом, хотя в квадрате выполняются и не все свойства, имеющие место для квадратов Франклина, но многие выполняются.

Ну и, разумеется, квадрат можно переносить на торе как по оси Х, так и по оси Y (а также и по обеим осям одновременно), и при этом он остаётся таким же полумагическим, то есть имеет точно такие же суммы по главным диагоналям. На рис. 10 и рис. 11 приведены два квадрата, полученные параллельным переносом на торе моего квадрата.

 

 

 

                                                   Рис. 10

 

 

                                                   Рис. 11

 

На рис. 10 схема расположения первых 8 чисел не изменилась, изменилась только последовательность чисел, а в квадрате на рис. 11 первые 8 чисел расположились совсем по-другому.

 

Так же, как и полумагические квадраты Франклина, мой квадрат очень просто превращается в магический простой перестановкой строк. На рис. 12 показан этот магический квадрат.

 

 

 

                                                   Рис. 12

 

И, наконец, отмечу ещё одно удивительное свойство двух дьявольски полумагических квадратов Франклина. Как мне кажется, в статье, с которой я работала, это свойство не было отмечено, хотя вполне возможно, что я его не заметила (по незнанию языка). А свойство очень красивое! Смотрите сами. Если повернуть каждый из четырёх угловых квадратов 4х4 на 90 (или на 270) градусов по часовой стрелке (или против часовой стрелки, возможен любой вариант и любая комбинация вариантов), а затем и весь квадрат повернуть на 90 (или на 270) градусов (в любом направлении), то квадрат остаётся таким же полумагическим, то есть суммы в главных диагоналях не изменяются. На рис. 13 представлен один из таких квадратов. Он получен поворотом каждого углового квадрата 4х4 в квадрате с рис. 1 и затем самого квадрата на 90 градусов по часовой стрелке.

 

 

                                                                      Рис. 13

 

К сожалению, в квадрате, построенном мной, это свойство не выполняется, потому что в этом квадрате суммы в полустроках не равны 130.

Квадрат на рис. 13 утратил часть свойств, которые выполняются для квадрата с рис. 1.

Можно поворачивать угловые квадраты и на 180 градусов, при этом даже не надо поворачивать сам квадрат, смотрите на рис. 14.

 

 

 

                                                   Рис. 14

 

А вот на 180 градусов можно поворачивать угловые квадраты и в моём полумагическом квадрате (рис. 15).

 

 

 

                                                   Рис. 15

 

Наконец, свойство, которое было отмечено и в статье на английском языке, и мной в первой части настоящей статьи: если в одной половине полумагического квадрата Франклина угловые квадраты 4х4 не поворачивать (или повернуть их на 180 градусов), а в другой половине угловые квадраты повернуть на 90 (или на 270) градусов в любом направлении, то получится магический квадрат. Иллюстрирую для первого квадрата Франклина; в левой половине угловые квадраты 4х4 повернула на 180 градусов, а в правой половине – на 90 градусов против часовой стрелки (рис. 16).

 

 

 

                                                                      Рис. 16

 

В построенном мной квадрате это свойство не выполняется.

 

 

                                                                  ***

 

Пока завершаю свой рассказ о квадратах Франклина. Читателям предлагаю разработать две предложенные мной схемы более подробно. Интуиция подсказывает мне, что такая разработка даст неплохие результаты. Если придёт вдохновение, сама попробую вникнуть глубже в эти схемы, чтобы довести их до программы.

 

Предлагаю читателям посетить физико-математический форум, где происходит обсуждение темы магических квадратов. Вот ссылка:

 

http://fizmat.info/forum/showthread.php?t=1629&page=3

 

(и далее page=4 и т. д.)

 

                                                                  ***

 

Страница помещена на сайт 26 февраля 2008 г.

 

27 февраля 2008 г.

 

Продолжаю уже на другой день! Тема меня не отпускает. Вы знаете, что значит – тема не отпускает? О! Это непередаваемое ощущение. Вот просыпаюсь утром, а в голове уже созрела новая идея. То есть она родилась как бы во сне, а с пробуждением заявила о себе. Ну и, конечно, грешно не реализовать идею.

 

Идеи сразу две! Буду рассказывать по порядку. Первая идея: посмотреть, по какой схеме построены полумагические квадраты Франклина восьмого порядка. Начинаю с квадрата № 1, он изображён на рис. 1. Сначала преобразую его, чтобы лучше увидеть схему. Преобразования такие: поворот на 180 градусов и параллельный перенос на торе (замечу, что точно так же я преобразовывала полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка, чтобы увидеть качели). Полученный в результате преобразований квадрат вы видите на рис. 17.

 

 

 

                                                   Рис. 17

 

И вот он – аналог качелей, в точности такой, как в полумагическом квадрате Франклина 32-ого порядка (см. вторую часть настоящей статьи)! На рис. 18 показываю образующую таблицу этого квадрата.

 

 

 

                                                                      Рис. 18

 

На рис. 17 выделены цветом три цикла качания качелей, не считая нулевого – начальной цепочки первых 8 чисел. Очень изящная схема! Не правда ли?

 

Теперь преобразовываю аналогично второй полумагический квадрат Франклина (рис. 2). Поворачиваю квадрат на 90 градусов против часовой стрелки, затем отражаю отноительно горизоньальной оси симметрии, и, наконец, переношу на торе. На рис. 19 вы видите полученный в результате таких преобразований квадрат.

 

 

 

                                                   Рис. 19

 

Напомню, что квадрат после таких преобразований остался таким же полумагическим, то есть суммы по главным диагоналям по-прежнему равны 252 и 268. Однако схема расположения первых 8 чисел несколько изменилась по сравнению с первым квадратом, изображённым на рис. 17. Что же делать? Я долго смотрела на этот квадрат, пытаясь как-нибудь привести в нём начальную цепочку первых 8 чисел к такому же виду, как на рис. 17. Наконец, мне это удалось. И вот родилось первое преобразование типа “плюс-минус …” для полумагических квадратов! Это преобразование комбинированное. Оно сохраняет суммы в строках и столбцах квадрата, а суммы в главных диагоналях изменяет на одну и ту же величину, по одной диагонали +24, а по другой диагонали -24. И квадрат становится полумагическим с суммами по главным диагоналям, как в первом полумагическом квадрате Франклина, то есть 228 и 292. Вот поистине чудесное преобразование! На рис. 20 показываю матрицу этого преобразования.

 

 

                                                                      Рис. 20

 

Применяю это преобразование к квадрату с рис. 19. Получаю квадрат, изображённый на рис. 21.

 

 

 

                                                                      Рис. 21

 

Теперь схема расположения первых 8 чисел точно такая же, как в квадрате на рис. 17. Однако изменилась последовательность чисел. Это говорит о том, что можно по данному алгоритму построить целую группу таких полумагических квадратов. И на рис. 21 вы видите закрашенные циклы качания качелей. Закрашено 4 цикла (не считая нулевого). Осталось закрасить 3 цикла. Красота! Однако надо показать образующую таблицу этого квадрата, чтобы читателям стала понятней схема формирования этой таблицы и её связь с порождаемым ею квадратом. Смотрите образующую таблицу (для квадрата, изображённого на рис. 21) на рис. 22.

 

 

 

                                                                       Рис. 22

 

Что изменилось в этой образующей таблице по сравнению с образующей таблицей квадрата с рис. 17? Последовательность чисел в начальной цепочке, а, следовательно, столбец разностей. И ещё расположение максимальных чисел в 3 столбцах таблицы. Всё остальное подчинено абсолютно тем же законам.

 

Я ещё в первой части статьи увидела, что оба квадрата Франклина восьмого порядка связаны между собой. Теперь это нашло подтверждение.

 

Вы готовы запрограммировать эту схему для построения полумагических квадратов восьмого порядка, подобных квадратам Франклина? Я пока не готова. Надо подумать немного над этой хитрой и очень изящной схемой. Но теперь имеется два конкретных примера (да ещё третий – для полумагического квадрата 32-ого порядка), есть что анализировать.

 

Продолжение этой темы смотрите после рассказа о второй идее.

 

                                               ***

 

28 февраля 2008 г.

 

Рассказываю о второй идее. Интересно, знал ли Франклин метод построения составных квадратов? Наверное, нет. Иначе он обязательно построил бы составной дьявольски полумагический квадрат 64-ого порядка. Это я и сделаю сейчас. Как знают читатели, метод построения составных магических квадратов является универсальным методом, который годится для построения всех типов магических квадратов: ассоциативных, пандиагональных, идеальных. Применение метода не раз было показано в моих статьях. Теперь я подумала: а нельзя ли этим методом построить дьявольски полумагический квадрат? Кому-нибудь ещё приходила в голову такая идея? И я сразу реализовала эту идею. В качестве базового и основного квадрата взяла один и тот же квадрат – первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка (рис. 1). На рис. 23 вы видите матрицу для построения составного квадрата. Для краткости я не пишу в ячейках a_ij, а только прибавляемую константу.

 

 

 

                                                                      Рис. 23

 

Интересно отметить, что если смотреть на эту матрицу как на квадрат восьмого порядка, то есть квадрат, заполненный прибавляемыми константами, то это будет нетрадиционный дьявольски полумагический квадрат. Вот сколько титулов! Магическая константа этого квадрата равна 16128 (суммы по строкам и столбцам квадрата), сумма по одной диагонали равна 14080=16128-2048, сумма по другой диагонали равна 18176=16128+2048. В этом квадрате выполняются все свойства квадратов Франклина восьмого порядка. Например, сумма чисел в выделенных цветом фигурах групп В и С равна магической константе квадрата. И поэтому вполне закономерно, что эта матрица порождает дьявольски полумагический квадрат 64-ого порядка.

 

По этой матрице квадрат 64-ого порядка, конечно, можно заполнить и вручную. Однако процесс очень длинный и утомительный, и лучше всего выполнить его с помощью компьютера. Составив маленькую программку, вы получите квадрат в одно мгновение.

 

На рис. 24 показываю одну четвертинку квадрата – первые 16 столбцов. Достроить квадрат читатели могут самостоятельно.

 

 

 

    Рис. 24

 

Магическая константа этого квадрата равна 131104, сумма по одной диагонали равна 114464=131104-16640, по другой диагонали – 147744=131104+16640.

В этом квадрате выполняются не все свойства квадратов Франклина восьмого порядка. Например, нет магической суммы в фигурах группы В. Но главное: квадрат дьявольски полумагический! То есть его можно переносить на торе. Поскольку весь квадрат очень большой и показан здесь не полностью, покажу перенос на торе для матрицы, порождающей этот квадрат (рис. 23). На рис. 25 вы видите матрицу, перенесённую на торе. Если вы построите квадрат 64-ого порядка по этой матрице, то получите перенесённый на торе квадрат, четвертинка которого показана на рис. 24. При этом суммы по диагоналям квадрата будут точно такими же, как в исходном квадрате.

 

 

 

                                                                      Рис. 25

 

А можно ли перенести этот квадрат на торе так, чтобы он начинался с числа 1 и при этом оставался таким же полумагическим, с теми же суммами по диагоналям? Думаю, что можно. Попробуйте!

 

Вполне понятно, что и базовый, и основной квадраты можно варьировать. Если взять в качестве базового и основного квадратов построенный мной квадрат (рис. 4), то полученный дьявольски полумагический квадрат 64-ого порядка будет начинаться с числа 1. На рис. 26 вы видите матрицу, по которой надо строить этот квадрат.

 

 

 

                                                                                      Рис. 26

 

Всё, сказанное выше о матрице на рис. 23, имеет место и для этой матрицы. Только фигура В в этой матрице должна занимать вертикальное, а не горизонтальное положение (как и в базовом квадрате). Суммы по диагоналям в этой матрице равны 16000 и 16256, то есть отличаются от магической константы на 128, одна сумма в минус, а другая в плюс.

 

Примечание: сегодня перечитывала отвратительный перевод английской статьи о квадратах Франклина, с которой я работала. Так вот, заметила, что там написано: в квадрате Франклина № 2 свойство для фигур В не выполняется. Да, не выполняется, если эти фигуры располагать горизонтально. А вот если их располагать вертикально, то выполняется.

 

Ну, вот, пожалуй, кратко рассказала о дьявольски полумагических квадратах 64-ого порядка. Таким образом, я пополнила семейство квадратов Франклина одним полумагическим квадратом восьмого порядка и полумагическими квадратами 64-ого порядка.

 

                                               ***

 

А теперь продолжаю рассказ о первой идее. Сегодня родилось её продолжение! Схемы построения полумагических квадратов Франклина восьмого и 32-ого порядка рассмотрены, установлена аналогия с качелями. А полумагический квадрат 16-ого порядка Франклина забыт! Вот и решила посмотреть на схему построения этого квадрата. Она должна быть такой же, как для квадратов восьмого и 32-ого порядка.

Проверим!

 Итак, преобразую дьявольски полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка, который был рассмотрен мной в первой части настоящей статьи. Преобразования применю такие: поворот на 180 градусов и параллельный перенос на торе. Полученный в результате этих преобразований квадрат вы видите на рис. 27. Как вы уже знаете, этот квадрат точно такой же полумагический, как и исходный квадрат Франклина, то есть у него такие же суммы по главным диагоналям: 1928 и 2184.

 

 

 

Рис. 27

 

Нет никаких сомнений! Схема заполнения матрицы точно такая же, как в квадратах восьмого и 32-ого порядка. Осталось показать образующую таблицу этого квадрата, чтобы картина стала полной. На рис. 28 вы видите эту таблицу.

 

 

 

                                                                                  Рис. 28

 

Ещё очень интересное замечание: точно так же, как и в методе качелей, числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата можно переписывать построчно. Совсем просто! Только в методе качелей было смещение чисел в строках, а здесь одни строки прямо в точности переписываются, а другие переворачиваются. Ну, например, строка, начинающаяся с числа 1, переписывается в точности, а строка, начинающаяся с числа 2, переворачивается. Очевидно, что это зависит оттого, где стоит (в самом квадрате) число начальной цепочки первых 8 чисел – в начале или в конце строки.

 

Интересен следующий вопрос: можно ли по этой схеме построить дьявольски полумагический квадрат любого чётно-чётного порядка или она работает только для порядков, являющихся степенью числа 2 (с показателем p>2)? Смотрите, какие мы имеем квадраты Франклина: порядков 8, 16, 32. Это, наверное, не случайно!

Я построила дьявольски полумагический квадрат 64-ого порядка, правда, не по этой схеме, а методом построения составных квадратов. Но, думаю, что по этой схеме тоже можно построить такой квадрат.

Методом построения составных квадратов можно построить дьявольски полумагические квадраты 128-ого порядка (128=16*8), 256-ого порядка (256=16*16) и так далее. То есть для порядков n=2^p (p>2) уже всё очевидно. А для других чётно-чётных порядков?

Предлагаю читателям исследовать этот вопрос.

 

                                                                  ***

 

Недавно в гостевую книгу сайта написал один товарищ. Нет, эта запись была не о магических квадратах. Товарищ просил разрешение скопировать интервью моей дочери нашей местной газете (дочь у меня кинолог). Я, разумеется, разрешила. Он скопировал интервью и прислал мне ссылку. Я посмотрела. И мне на его странице очень понравилась одна вещь: статью можно оценивать по 10-балльной системе. Написала ему письмо с просьбой научить меня сделать то же на своих страницах. Ответ был таким: на бесплатных серверах оценочный скрипт вставить нельзя. Исключение составляет только один сервер.

Как жаль! Но, уважаемые читатели, вы ведь можете высказать свою оценку, написав в гостевую книгу сайта. Пожалуйста, сделайте это!

 

Жду ваших оценок.

 

                   ***

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin3.htm

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу