КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА
Часть II
В Сети пишут, что голландским школьникам удалось приоткрыть завесу над тайной квадратов Бенджамина Франклина (смотрите, например, сайт km.ru). И это стало даже мировой сенсацией.
Мне тоже удалось немного проникнуть в эту тайну. Далее я нашла в Сети информацию о том, что Бенджамин Франклин сконструировал пять квадратов. В первой части статьи рассказано о двух полумагических квадратах восьмого порядка, об одном полумагическом квадрате 16-ого порядка и о пандиагональном квадрате 16-ого порядка. Итого 4 квадрата. Где же пятый? Стала искать пятый квадрат Франклина и… нашла. Это полумагический квадрат 32-ого порядка! Об этом квадрате не было ничего сказано в той статье, по которой я работала при написании первой части настоящей статьи. Видимо, он известен ещё меньше, чем пандиагональный квадрат 16-ого порядка. И, конечно же, я покажу вам, мои дорогие читатели, этот замечательный квадрат. Я нашла его вот по этой ссылке:
http://www.spiritoftime.net/Lukoyanov-1.htm
Квадрат на этой странице приведён в виде построчной распечатки. Я приведу эту распечатку здесь, чтобы показать опечатки. Потому что если вы скопируете с указанной страницы этот квадрат, то не обнаружите в некоторых строках и столбцах магической суммы из-за нескольких опечаток, допущенных автором страницы. Проникнув в схему заполнения квадрата, я сразу заметила эти опечатки. Итак, я копирую распечатку полумагического квадрата Франклина 32-ого порядка с указанной страницы. Красным цветом выделила в ней опечатки.
|
|
Я не поняла, что значит “и в квадратах (размером в 32 смежные клетки)…”. Может быть, автор имел в виду это свойство: в любом квадрате 4х4, находящемся внутри квадрата Франклина, сумма чисел равна 8200, то есть половине магической константы квадрата. Понятно, что в двух таких квадратах сумма будет равна магической константе, а если взять два рядом расположенных квадрата, то будет прямоугольник 4х8, который как раз и состоит из 32 смежных клеток. Может быть, такой прямоугольник из 32 смежных клеток имел в виду автор?
Далее: недоумеваю, почему автор статьи называет этот квадрат магическим (смотрите на заголовок распечатки) и даже пандиагональным (смотрите подпись под распечаткой)! Ведь суммы даже в главных диагоналях этого квадрата не равны магической константе. По одной диагонали сумма равна 15888=16400-512, а по другой – 16912=16400+512. То есть это полумагический квадрат, аналогичный рассмотренным в первой части настоящей статьи полумагическим квадратам восьмого и 16-ого порядка.
А теперь я представлю вам этот квадрат в привычном виде, то есть в виде заполненной матрицы (рис. 1-2). Только “разрежу” квадрат на две равные части по вертикали, каждая часть состоит из 16 столбцов. Для получения полной картинки соедините обе части.
Полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка – часть 1
|
784 |
817 |
848 |
881 |
912 |
945 |
976 |
1009 |
16 |
49 |
80 |
113 |
144 |
177 |
208 |
241 |
|
242 |
207 |
178 |
143 |
114 |
79 |
50 |
15 |
1010 |
975 |
946 |
911 |
882 |
847 |
818 |
783 |
|
782 |
819 |
846 |
883 |
910 |
947 |
974 |
1011 |
14 |
51 |
78 |
115 |
142 |
179 |
206 |
243 |
|
244 |
205 |
180 |
141 |
116 |
77 |
52 |
13 |
1012 |
973 |
948 |
909 |
884 |
845 |
820 |
781 |
|
780 |
821 |
844 |
885 |
908 |
949 |
972 |
1013 |
12 |
53 |
76 |
117 |
140 |
181 |
204 |
245 |
|
246 |
203 |
182 |
139 |
118 |
75 |
54 |
11 |
1014 |
971 |
950 |
907 |
886 |
843 |
822 |
779 |
|
778 |
823 |
842 |
887 |
906 |
951 |
970 |
1015 |
10 |
55 |
74 |
119 |
138 |
183 |
202 |
247 |
|
248 |
201 |
184 |
137 |
120 |
73 |
56 |
9 |
1016 |
969 |
952 |
905 |
888 |
841 |
824 |
777 |
|
785 |
816 |
849 |
880 |
913 |
944 |
977 |
1008 |
17 |
48 |
81 |
112 |
145 |
176 |
209 |
240 |
|
239 |
210 |
175 |
146 |
111 |
82 |
47 |
18 |
1007 |
978 |
943 |
914 |
879 |
850 |
815 |
786 |
|
787 |
814 |
851 |
878 |
915 |
942 |
979 |
1006 |
19 |
46 |
83 |
110 |
147 |
174 |
211 |
238 |
|
237 |
212 |
173 |
148 |
109 |
84 |
45 |
20 |
1005 |
980 |
941 |
916 |
877 |
852 |
813 |
788 |
|
789 |
812 |
853 |
876 |
917 |
940 |
981 |
1004 |
21 |
44 |
85 |
108 |
149 |
172 |
213 |
236 |
|
235 |
214 |
171 |
150 |
107 |
86 |
43 |
22 |
1003 |
982 |
939 |
918 |
875 |
854 |
811 |
790 |
|
791 |
810 |
855 |
874 |
919 |
938 |
983 |
1002 |
23 |
42 |
87 |
106 |
151 |
170 |
215 |
234 |
|
233 |
216 |
169 |
152 |
105 |
88 |
41 |
24 |
1001 |
984 |
937 |
920 |
873 |
856 |
809 |
792 |
|
793 |
808 |
857 |
872 |
921 |
936 |
985 |
1000 |
25 |
40 |
89 |
104 |
153 |
168 |
217 |
232 |
|
231 |
218 |
167 |
154 |
103 |
90 |
39 |
26 |
999 |
986 |
935 |
922 |
871 |
858 |
807 |
794 |
|
795 |
806 |
859 |
870 |
923 |
934 |
987 |
998 |
27 |
38 |
91 |
102 |
155 |
166 |
219 |
230 |
|
229 |
220 |
165 |
156 |
101 |
92 |
37 |
28 |
997 |
988 |
933 |
924 |
869 |
860 |
805 |
796 |
|
797 |
804 |
861 |
868 |
925 |
932 |
989 |
996 |
29 |
36 |
93 |
100 |
157 |
164 |
221 |
228 |
|
227 |
222 |
163 |
158 |
99 |
94 |
35 |
30 |
995 |
990 |
931 |
926 |
867 |
862 |
803 |
798 |
|
799 |
802 |
863 |
866 |
927 |
930 |
991 |
994 |
31 |
34 |
95 |
98 |
159 |
162 |
223 |
226 |
|
225 |
224 |
161 |
160 |
97 |
96 |
33 |
32 |
993 |
992 |
929 |
928 |
865 |
864 |
801 |
800 |
|
776 |
825 |
840 |
889 |
904 |
953 |
968 |
1017 |
8 |
57 |
72 |
121 |
136 |
185 |
200 |
249 |
|
250 |
199 |
186 |
135 |
122 |
71 |
58 |
7 |
1018 |
967 |
954 |
903 |
890 |
839 |
826 |
775 |
|
774 |
827 |
838 |
891 |
902 |
955 |
966 |
1019 |
6 |
59 |
70 |
123 |
134 |
187 |
198 |
251 |
|
252 |
197 |
188 |
133 |
124 |
69 |
60 |
5 |
1020 |
965 |
956 |
901 |
892 |
837 |
828 |
773 |
|
772 |
829 |
836 |
893 |
900 |
957 |
964 |
1021 |
4 |
61 |
68 |
125 |
132 |
189 |
196 |
253 |
|
254 |
195 |
190 |
131 |
126 |
67 |
62 |
3 |
1022 |
963 |
958 |
899 |
894 |
835 |
830 |
771 |
|
770 |
831 |
834 |
895 |
898 |
959 |
962 |
1023 |
2 |
63 |
66 |
127 |
130 |
191 |
194 |
255 |
|
256 |
193 |
192 |
129 |
128 |
65 |
64 |
1 |
1024 |
961 |
960 |
897 |
896 |
833 |
832 |
769 |
Рис. 1
Полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка – часть 2
|
272 |
305 |
336 |
369 |
400 |
433 |
464 |
497 |
528 |
561 |
592 |
625 |
656 |
689 |
720 |
753 |
|
754 |
719 |
690 |
655 |
626 |
591 |
562 |
527 |
498 |
463 |
434 |
399 |
370 |
335 |
306 |
271 |
|
270 |
307 |
334 |
371 |
398 |
435 |
462 |
499 |
526 |
563 |
590 |
627 |
654 |
691 |
718 |
755 |
|
756 |
717 |
692 |
653 |
628 |
589 |
564 |
525 |
500 |
461 |
436 |
397 |
372 |
333 |
308 |
269 |
|
268 |
309 |
332 |
373 |
396 |
437 |
460 |
501 |
524 |
565 |
588 |
629 |
652 |
693 |
716 |
757 |
|
758 |
715 |
694 |
651 |
630 |
587 |
566 |
523 |
502 |
459 |
438 |
395 |
374 |
331 |
310 |
267 |
|
266 |
311 |
330 |
375 |
394 |
439 |
458 |
503 |
522 |
567 |
586 |
631 |
650 |
695 |
714 |
759 |
|
760 |
713 |
696 |
649 |
632 |
585 |
568 |
521 |
504 |
457 |
440 |
393 |
376 |
329 |
312 |
265 |
|
273 |
304 |
337 |
368 |
401 |
432 |
465 |
496 |
529 |
560 |
593 |
624 |
657 |
688 |
721 |
752 |
|
751 |
722 |
687 |
658 |
623 |
594 |
559 |
530 |
495 |
466 |
431 |
402 |
367 |
338 |
303 |
274 |
|
275 |
302 |
339 |
366 |
403 |
430 |
467 |
494 |
531 |
558 |
595 |
622 |
659 |
686 |
723 |
750 |
|
749 |
724 |
685 |
660 |
621 |
596 |
557 |
532 |
493 |
468 |
429 |
404 |
365 |
340 |
301 |
276 |
|
277 |
300 |
341 |
364 |
405 |
428 |
469 |
492 |
533 |
556 |
597 |
620 |
661 |
684 |
725 |
748 |
|
747 |
726 |
683 |
662 |
619 |
598 |
555 |
534 |
491 |
470 |
427 |
406 |
363 |
342 |
299 |
278 |
|
279 |
298 |
343 |
362 |
407 |
426 |
471 |
490 |
535 |
554 |
599 |
618 |
663 |
682 |
727 |
746 |
|
745 |
728 |
681 |
664 |
617 |
600 |
553 |
536 |
489 |
472 |
425 |
408 |
361 |
344 |
297 |
280 |
|
281 |
296 |
345 |
360 |
409 |
424 |
473 |
488 |
537 |
552 |
601 |
616 |
665 |
680 |
729 |
744 |
|
743 |
730 |
679 |
666 |
615 |
602 |
551 |
538 |
487 |
474 |
423 |
410 |
359 |
346 |
295 |
282 |
|
283 |
294 |
347 |
358 |
411 |
422 |
475 |
486 |
539 |
550 |
603 |
614 |
667 |
678 |
731 |
742 |
|
741 |
732 |
677 |
668 |
613 |
604 |
549 |
540 |
485 |
476 |
421 |
412 |
357 |
348 |
293 |
284 |
|
285 |
292 |
349 |
356 |
413 |
420 |
477 |
484 |
541 |
548 |
605 |
612 |
669 |
676 |
733 |
740 |
|
739 |
734 |
675 |
670 |
611 |
606 |
547 |
542 |
483 |
478 |
419 |
414 |
355 |
350 |
291 |
286 |
|
287 |
290 |
351 |
354 |
415 |
418 |
479 |
482 |
543 |
546 |
607 |
610 |
671 |
674 |
735 |
738 |
|
737 |
736 |
673 |
672 |
609 |
608 |
545 |
544 |
481 |
480 |
417 |
416 |
353 |
352 |
289 |
288 |
|
264 |
313 |
328 |
377 |
392 |
441 |
456 |
505 |
520 |
569 |
584 |
633 |
648 |
697 |
712 |
761 |
|
762 |
711 |
698 |
647 |
634 |
583 |
570 |
519 |
506 |
455 |
442 |
391 |
378 |
327 |
314 |
263 |
|
262 |
315 |
326 |
379 |
390 |
443 |
454 |
507 |
518 |
571 |
582 |
635 |
646 |
699 |
710 |
763 |
|
764 |
709 |
700 |
645 |
636 |
581 |
572 |
517 |
508 |
453 |
444 |
389 |
380 |
325 |
316 |
261 |
|
260 |
317 |
324 |
381 |
388 |
445 |
452 |
509 |
516 |
573 |
580 |
637 |
644 |
701 |
708 |
765 |
|
766 |
707 |
702 |
643 |
638 |
579 |
574 |
515 |
510 |
451 |
446 |
387 |
382 |
323 |
318 |
259 |
|
258 |
319 |
322 |
383 |
386 |
447 |
450 |
511 |
514 |
575 |
578 |
639 |
642 |
703 |
706 |
767 |
|
768 |
705 |
704 |
641 |
640 |
577 |
576 |
513 |
512 |
449 |
448 |
385 |
384 |
321 |
320 |
257 |
Рис. 2
Вот такой красивейший дьявольски полумагический квадрат! Я выделила в квадрате начальную цепочку первых 16 чисел. Конечно, этот квадрат обладает множеством изящных свойств, которые вы можете исследовать, как это сделал автор статьи на английском языке, использованной мной в работе над первой частью настоящей статьи (ссылку см. там). Одно свойство я уже отметила выше. Ещё сразу бросается в глаза свойство: суммы чисел в полустроках и в полустолбцах квадрата равны 8200, то есть половине магической константы квадрата (это я заметила, когда проверяла суммы в строках половинок квадрата прямо на экране, с помощью кнопки “автоматическая сумма”). Сумма чисел в фигуре, выделенной бирюзовым цветом, равна магической константе квадрата (аналогичная фигура была рассмотрена в свойствах полумагических квадратов восьмого и 16-ого порядка). Приглашаю читателей исследовать свойства этого квадрата подробнее.
Я воспользовалась тем, что квадрат дьявольски полумагический, то есть он остаётся точно таким же полумагическим при параллельном переносе на торе, и преобразовала квадрат к виду, удобному для моего исследования. Сначала повернула квадрат Франклина на 180 градусов, а затем перенесла его на торе. Полученный в результате таких преобразований квадрат вы видите на рис 3-4 (снова в виде двух половинок). В таком виде квадрат больше подходит для моего исследования: качели лучше видны. А потом он начинается с числа 1, к этому я стремлюсь всегда – сделать квадрат начинающимся с числа 1. Итак, смотрите на рис. 3-4.
Преобразованный квадрат Франклина – часть 1
|
1 |
64 |
65 |
128 |
129 |
192 |
193 |
256 |
257 |
320 |
321 |
384 |
385 |
448 |
449 |
512 |
|
1023 |
962 |
959 |
898 |
895 |
834 |
831 |
770 |
767 |
706 |
703 |
642 |
639 |
578 |
575 |
514 |
|
3 |
62 |
67 |
126 |
131 |
190 |
195 |
254 |
259 |
318 |
323 |
382 |
387 |
446 |
451 |
510 |
|
1021 |
964 |
957 |
900 |
893 |
836 |
829 |
772 |
765 |
708 |
701 |
644 |
637 |
580 |
573 |
516 |
|
5 |
60 |
69 |
124 |
133 |
188 |
197 |
252 |
261 |
316 |
325 |
380 |
389 |
444 |
453 |
508 |
|
1019 |
966 |
955 |
902 |
891 |
838 |
827 |
774 |
763 |
710 |
699 |
646 |
635 |
582 |
571 |
518 |
|
7 |
58 |
71 |
122 |
135 |
186 |
199 |
250 |
263 |
314 |
327 |
378 |
391 |
442 |
455 |
506 |
|
1017 |
968 |
953 |
904 |
889 |
840 |
825 |
776 |
761 |
712 |
697 |
648 |
633 |
584 |
569 |
520 |
|
32 |
33 |
96 |
97 |
160 |
161 |
224 |
225 |
288 |
289 |
352 |
353 |
416 |
417 |
480 |
481 |
|
994 |
991 |
930 |
927 |
866 |
863 |
802 |
799 |
738 |
735 |
674 |
671 |
610 |
607 |
546 |
543 |
|
30 |
35 |
94 |
99 |
158 |
163 |
222 |
227 |
286 |
291 |
350 |
355 |
414 |
419 |
478 |
483 |
|
996 |
989 |
932 |
925 |
868 |
861 |
804 |
797 |
740 |
733 |
676 |
669 |
612 |
605 |
548 |
541 |
|
28 |
37 |
92 |
101 |
156 |
165 |
220 |
229 |
284 |
293 |
348 |
357 |
412 |
421 |
476 |
485 |
|
998 |
987 |
934 |
923 |
870 |
859 |
806 |
795 |
742 |
731 |
678 |
667 |
614 |
603 |
550 |
539 |
|
26 |
39 |
90 |
103 |
154 |
167 |
218 |
231 |
282 |
295 |
346 |
359 |
410 |
423 |
474 |
487 |
|
1000 |
985 |
936 |
921 |
872 |
857 |
808 |
793 |
744 |
729 |
680 |
665 |
616 |
601 |
552 |
537 |
|
24 |
41 |
88 |
105 |
152 |
169 |
216 |
233 |
280 |
297 |
344 |
361 |
408 |
425 |
472 |
489 |
|
1002 |
983 |
938 |
919 |
874 |
855 |
810 |
791 |
746 |
727 |
682 |
663 |
618 |
599 |
554 |
535 |
|
22 |
43 |
86 |
107 |
150 |
171 |
214 |
235 |
278 |
299 |
342 |
363 |
406 |
427 |
470 |
491 |
|
1004 |
981 |
940 |
917 |
876 |
853 |
812 |
789 |
748 |
725 |
684 |
661 |
620 |
597 |
556 |
533 |
|
20 |
45 |
84 |
109 |
148 |
173 |
212 |
237 |
276 |
301 |
340 |
365 |
404 |
429 |
468 |
493 |
|
1006 |
979 |
942 |
915 |
878 |
851 |
814 |
787 |
750 |
723 |
686 |
659 |
622 |
595 |
558 |
531 |
|
18 |
47 |
82 |
111 |
146 |
175 |
210 |
239 |
274 |
303 |
338 |
367 |
402 |
431 |
466 |
495 |
|
1008 |
977 |
944 |
913 |
880 |
849 |
816 |
785 |
752 |
721 |
688 |
657 |
624 |
593 |
560 |
529 |
|
9 |
56 |
73 |
120 |
137 |
184 |
201 |
248 |
265 |
312 |
329 |
376 |
393 |
440 |
457 |
504 |
|
1015 |
970 |
951 |
906 |
887 |
842 |
823 |
778 |
759 |
714 |
695 |
650 |
631 |
586 |
567 |
522 |
|
11 |
54 |
75 |
118 |
139 |
182 |
203 |
246 |
267 |
310 |
331 |
374 |
395 |
438 |
459 |
502 |
|
1013 |
972 |
949 |
908 |
885 |
844 |
821 |
780 |
757 |
716 |
693 |
652 |
629 |
588 |
565 |
524 |
|
13 |
52 |
77 |
116 |
141 |
180 |
205 |
244 |
269 |
308 |
333 |
372 |
397 |
436 |
461 |
500 |
|
1011 |
974 |
947 |
910 |
883 |
846 |
819 |
782 |
755 |
718 |
691 |
654 |
627 |
590 |
563 |
526 |
|
15 |
50 |
79 |
114 |
143 |
178 |
207 |
242 |
271 |
306 |
335 |
370 |
399 |
434 |
463 |
498 |
|
1009 |
976 |
945 |
912 |
881 |
848 |
817 |
784 |
753 |
720 |
689 |
656 |
625 |
592 |
561 |
528 |
Рис. 3
Преобразованный квадрат Франклина – часть 2
|
513 |
576 |
577 |
640 |
641 |
704 |
705 |
768 |
769 |
832 |
833 |
896 |
897 |
960 |
961 |
1024 |
|
511 |
450 |
447 |
386 |
383 |
322 |
319 |
258 |
255 |
194 |
191 |
130 |
127 |
66 |
63 |
2 |
|
515 |
574 |
579 |
638 |
643 |
702 |
707 |
766 |
771 |
830 |
835 |
894 |
899 |
958 |
963 |
1022 |
|
509 |
452 |
445 |
388 |
381 |
324 |
317 |
260 |
253 |
196 |
189 |
132 |
125 |
68 |
61 |
4 |
|
517 |
572 |
581 |
636 |
645 |
700 |
709 |
764 |
773 |
828 |
837 |
892 |
901 |
956 |
965 |
1020 |
|
507 |
454 |
443 |
390 |
379 |
326 |
315 |
262 |
251 |
198 |
187 |
134 |
123 |
70 |
59 |
6 |
|
519 |
570 |
583 |
634 |
647 |
698 |
711 |
762 |
775 |
826 |
839 |
890 |
903 |
954 |
967 |
1018 |
|
505 |
456 |
441 |
392 |
377 |
328 |
313 |
264 |
249 |
200 |
185 |
136 |
121 |
72 |
57 |
8 |
|
544 |
545 |
608 |
609 |
672 |
673 |
736 |
737 |
800 |
801 |
864 |
865 |
928 |
929 |
992 |
993 |
|
482 |
479 |
418 |
415 |
354 |
351 |
290 |
287 |
226 |
223 |
162 |
159 |
98 |
95 |
34 |
31 |
|
542 |
547 |
606 |
611 |
670 |
675 |
734 |
739 |
798 |
803 |
862 |
867 |
926 |
931 |
990 |
995 |
|
484 |
477 |
420 |
413 |
356 |
349 |
292 |
285 |
228 |
221 |
164 |
157 |
100 |
93 |
36 |
29 |
|
540 |
549 |
604 |
613 |
668 |
677 |
732 |
741 |
796 |
805 |
860 |
869 |
924 |
933 |
988 |
997 |
|
486 |
475 |
422 |
411 |
358 |
347 |
294 |
283 |
230 |
219 |
166 |
155 |
102 |
91 |
38 |
27 |
|
538 |
551 |
602 |
615 |
666 |
679 |
730 |
743 |
794 |
807 |
858 |
871 |
922 |
935 |
986 |
999 |
|
488 |
473 |
424 |
409 |
360 |
345 |
296 |
281 |
232 |
217 |
168 |
153 |
104 |
89 |
40 |
25 |
|
536 |
553 |
600 |
617 |
664 |
681 |
728 |
745 |
792 |
809 |
856 |
873 |
920 |
937 |
984 |
1001 |
|
490 |
471 |
426 |
407 |
362 |
343 |
298 |
279 |
234 |
215 |
170 |
151 |
106 |
87 |
42 |
23 |
|
534 |
555 |
598 |
619 |
662 |
683 |
726 |
747 |
790 |
811 |
854 |
875 |
918 |
939 |
982 |
1003 |
|
492 |
469 |
428 |
405 |
364 |
341 |
300 |
277 |
236 |
213 |
172 |
149 |
108 |
85 |
44 |
21 |
|
532 |
557 |
596 |
621 |
660 |
685 |
724 |
749 |
788 |
813 |
852 |
877 |
916 |
941 |
980 |
1005 |
|
494 |
467 |
430 |
403 |
366 |
339 |
302 |
275 |
238 |
211 |
174 |
147 |
110 |
83 |
46 |
19 |
|
530 |
559 |
594 |
623 |
658 |
687 |
722 |
751 |
786 |
815 |
850 |
879 |
914 |
943 |
978 |
1007 |
|
496 |
465 |
432 |
401 |
368 |
337 |
304 |
273 |
240 |
209 |
176 |
145 |
112 |
81 |
48 |
17 |
|
521 |
568 |
585 |
632 |
649 |
696 |
713 |
760 |
777 |
824 |
841 |
888 |
905 |
952 |
969 |
1016 |
|
503 |
458 |
439 |
394 |
375 |
330 |
311 |
266 |
247 |
202 |
183 |
138 |
119 |
74 |
55 |
10 |
|
523 |
566 |
587 |
630 |
651 |
694 |
715 |
758 |
779 |
822 |
843 |
886 |
907 |
950 |
971 |
1014 |
|
501 |
460 |
437 |
396 |
373 |
332 |
309 |
268 |
245 |
204 |
181 |
140 |
117 |
76 |
53 |
12 |
|
525 |
564 |
589 |
628 |
653 |
692 |
717 |
756 |
781 |
820 |
845 |
884 |
909 |
948 |
973 |
1012 |
|
499 |
462 |
435 |
398 |
371 |
334 |
307 |
270 |
243 |
206 |
179 |
142 |
115 |
78 |
51 |
14 |
|
527 |
562 |
591 |
626 |
655 |
690 |
719 |
754 |
783 |
818 |
847 |
882 |
911 |
946 |
975 |
1010 |
|
497 |
464 |
433 |
400 |
369 |
336 |
305 |
272 |
241 |
208 |
177 |
144 |
113 |
80 |
49 |
16 |
Рис. 4
В этом квадрате точно такие же суммы по главным диагоналям, как и в исходном квадрате Франклина.
В квадрате очень хорошо видна схема заполнения матрицы, и эта схема опять же является аналогом качелей! Подчёркиваю: это аналог метода качелей, который (метод) был изобретён мной для построения пандиагональных и идеальных квадратов. Основной этап метода качелей – это построение образующей таблицы, которая формируется по определённым законам. А затем числа из столбцов образующей таблицы (циклы качания качелей) переписываются в матрицу для квадрата. Конечно, правильное направление в методе качелей – от образующей таблицы к квадрату. Но когда я не знала, какой именно будет образующая таблица для того или иного вида качелей, то шла обратным путём: от квадрата к образующей таблице. А когда определяла все закономерности построения образующей таблицы на конкретном примере, шла обратно – от образующей таблицы ко всем квадратам данной группы (составляя программу для этой образующей таблицы).
Здесь, разумеется, я иду от квадрата Франклина к образующей таблице. Интересно было бы узнать, как Франклин придумал законы построения этой образующей таблицы! Но они – эти законы – очень похожи на законы формирования образующей таблицы в моём методе качелей. Вот почему я говорю здесь об аналогии с качелями.
На рис. 5-6 вы видите образующую таблицу для преобразованного квадрата Франклина. Франклин сочинил очень похожую образующую таблицу и по этой таблице заполнил матрицу для квадрата. Эту схему нельзя не увидеть, она сразу бросается в глаза, когда смотришь на числа в квадрате. Образующая таблица тоже представлена в виде двух половинок.
Образующая таблица для преобразованного квадрата Франклина – часть 1
|
|
1 |
64 |
65 |
128 |
129 |
192 |
193 |
256 |
257 |
320 |
321 |
384 |
385 |
448 |
449 |
512 |
|
-2 |
3 |
62 |
67 |
126 |
131 |
190 |
195 |
254 |
259 |
318 |
323 |
382 |
387 |
446 |
451 |
510 |
|
-2 |
5 |
60 |
69 |
124 |
133 |
188 |
197 |
252 |
261 |
316 |
325 |
380 |
389 |
444 |
453 |
508 |
|
-2 |
7 |
58 |
71 |
122 |
135 |
186 |
199 |
250 |
263 |
314 |
327 |
378 |
391 |
442 |
455 |
506 |
|
-25 |
32 |
33 |
96 |
97 |
160 |
161 |
224 |
225 |
288 |
289 |
352 |
353 |
416 |
417 |
480 |
481 |
|
2 |
30 |
35 |
94 |
99 |
158 |
163 |
222 |
227 |
286 |
291 |
350 |
355 |
414 |
419 |
478 |
483 |
|
2 |
28 |
37 |
92 |
101 |
156 |
165 |
220 |
229 |
284 |
293 |
348 |
357 |
412 |
421 |
476 |
485 |
|
2 |
26 |
39 |
90 |
103 |
154 |
167 |
218 |
231 |
282 |
295 |
346 |
359 |
410 |
423 |
474 |
487 |
|
2 |
24 |
41 |
88 |
105 |
152 |
169 |
216 |
233 |
280 |
297 |
344 |
361 |
408 |
425 |
472 |
489 |
|
2 |
22 |
43 |
86 |
107 |
150 |
171 |
214 |
235 |
278 |
299 |
342 |
363 |
406 |
427 |
470 |
491 |
|
2 |
20 |
45 |
84 |
109 |
148 |
173 |
212 |
237 |
276 |
301 |
340 |
365 |
404 |
429 |
468 |
493 |
|
2 |
18 |
47 |
82 |
111 |
146 |
175 |
210 |
239 |
274 |
303 |
338 |
367 |
402 |
431 |
466 |
495 |
|
9 |
9 |
56 |
73 |
120 |
137 |
184 |
201 |
248 |
265 |
312 |
329 |
376 |
393 |
440 |
457 |
504 |
|
-2 |
11 |
54 |
75 |
118 |
139 |
182 |
203 |
246 |
267 |
310 |
331 |
374 |
395 |
438 |
459 |
502 |
|
-2 |
13 |
52 |
77 |
116 |
141 |
180 |
205 |
244 |
269 |
308 |
333 |
372 |
397 |
436 |
461 |
500 |
|
-2 |
15 |
50 |
79 |
114 |
143 |
178 |
207 |
242 |
271 |
306 |
335 |
370 |
399 |
434 |
463 |
498 |
|
-1 |
16 |
49 |
80 |
113 |
144 |
177 |
208 |
241 |
272 |
305 |
336 |
369 |
400 |
433 |
464 |
497 |
|
2 |
14 |
51 |
78 |
115 |
142 |
179 |
206 |
243 |
270 |
307 |
334 |
371 |
398 |
435 |
462 |
499 |
|
2 |
12 |
53 |
76 |
117 |
140 |
181 |
204 |
245 |
268 |
309 |
332 |
373 |
396 |
437 |
460 |
501 |
|
2 |
10 |
55 |
74 |
119 |
138 |
183 |
202 |
247 |
266 |
311 |
330 |
375 |
394 |
439 |
458 |
503 |
|
-7 |
17 |
48 |
81 |
112 |
145 |
176 |
209 |
240 |
273 |
304 |
337 |
368 |
401 |
432 |
465 |
496 |
|
-2 |
19 |
46 |
83 |
110 |
147 |
174 |
211 |
238 |
275 |
302 |
339 |
366 |
403 |
430 |
467 |
494 |
|
-2 |
21 |
44 |
85 |
108 |
149 |
172 |
213 |
236 |
277 |
300 |
341 |
364 |
405 |
428 |
469 |
492 |
|
-2 |
23 |
42 |
87 |
106 |
151 |
170 |
215 |
234 |
279 |
298 |
343 |
362 |
407 |
426 |
471 |
490 |
|
-2 |
25 |
40 |
89 |
104 |
153 |
168 |
217 |
232 |
281 |
296 |
345 |
360 |
409 |
424 |
473 |
488 |
|
-2 |
27 |
38 |
91 |
102 |
155 |
166 |
219 |
230 |
283 |
294 |
347 |
358 |
411 |
422 |
475 |
486 |
|
-2 |
29 |
36 |
93 |
100 |
157 |
164 |
221 |
228 |
285 |
292 |
349 |
356 |
413 |
420 |
477 |
484 |
|
-2 |
31 |
34 |
95 |
98 |
159 |
162 |
223 |
226 |
287 |
290 |
351 |
354 |
415 |
418 |
479 |
482 |
|
23 |
8 |
57 |
72 |
121 |
136 |
185 |
200 |
249 |
264 |
313 |
328 |
377 |
392 |
441 |
456 |
505 |
|
2 |
6 |
59 |
70 |
123 |
134 |
187 |
198 |
251 |
262 |
315 |
326 |
379 |
390 |
443 |
454 |
507 |
|
2 |
4 |
61 |
68 |
125 |
132 |
189 |
196 |
253 |
260 |
317 |
324 |
381 |
388 |
445 |
452 |
509 |
|
|
2 |
63 |
66 |
127 |
130 |
191 |
194 |
255 |
258 |
319 |
322 |
383 |
386 |
447 |
450 |
511 |
|
|
|
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
k=7 |
k=8 |
k=9 |
k=10 |
k=11 |
k=12 |
k=13 |
k=14 |
k=15 |
Рис. 5
Образующая таблица для преобразованного квадрата Франклина - часть 2
|
513 |
576 |
577 |
640 |
641 |
704 |
705 |
768 |
769 |
832 |
833 |
896 |
897 |
960 |
961 |
1024 |
|
515 |
574 |
579 |
638 |
643 |
702 |
707 |
766 |
771 |
830 |
835 |
894 |
899 |
958 |
963 |
1022 |
|
517 |
572 |
581 |
636 |
645 |
700 |
709 |
764 |
773 |
828 |
837 |
892 |
901 |
956 |
965 |
1020 |
|
519 |
570 |
583 |
634 |
647 |
698 |
711 |
762 |
775 |
826 |
839 |
890 |
903 |
954 |
967 |
1018 |
|
544 |
545 |
608 |
609 |
672 |
673 |
736 |
737 |
800 |
801 |
864 |
865 |
928 |
929 |
992 |
993 |
|
542 |
547 |
606 |
611 |
670 |
675 |
734 |
739 |
798 |
803 |
862 |
867 |
926 |
931 |
990 |
995 |
|
540 |
549 |
604 |
613 |
668 |
677 |
732 |
741 |
796 |
805 |
860 |
869 |
924 |
933 |
988 |
997 |
|
538 |
551 |
602 |
615 |
666 |
679 |
730 |
743 |
794 |
807 |
858 |
871 |
922 |
935 |
986 |
999 |
|
536 |
553 |
600 |
617 |
664 |
681 |
728 |
745 |
792 |
809 |
856 |
873 |
920 |
937 |
984 |
1001 |
|
534 |
555 |
598 |
619 |
662 |
683 |
726 |
747 |
790 |
811 |
854 |
875 |
918 |
939 |
982 |
1003 |
|
532 |
557 |
596 |
621 |
660 |
685 |
724 |
749 |
788 |
813 |
852 |
877 |
916 |
941 |
980 |
1005 |
|
530 |
559 |
594 |
623 |
658 |
687 |
722 |
751 |
786 |
815 |
850 |
879 |
914 |
943 |
978 |
1007 |
|
521 |
568 |
585 |
632 |
649 |
696 |
713 |
760 |
777 |
824 |
841 |
888 |
905 |
952 |
969 |
1016 |
|
523 |
566 |
587 |
630 |
651 |
694 |
715 |
758 |
779 |
822 |
843 |
886 |
907 |
950 |
971 |
1014 |
|
525 |
564 |
589 |
628 |
653 |
692 |
717 |
756 |
781 |
820 |
845 |
884 |
909 |
948 |
973 |
1012 |
|
527 |
562 |
591 |
626 |
655 |
690 |
719 |
754 |
783 |
818 |
847 |
882 |
911 |
946 |
975 |
1010 |
|
528 |
561 |
592 |
625 |
656 |
689 |
720 |
753 |
784 |
817 |
848 |
881 |
912 |
945 |
976 |
1009 |
|
526 |
563 |
590 |
627 |
654 |
691 |
718 |
755 |
782 |
819 |
846 |
883 |
910 |
947 |
974 |
1011 |
|
524 |
565 |
588 |
629 |
652 |
693 |
716 |
757 |
780 |
821 |
844 |
885 |
908 |
949 |
972 |
1013 |
|
522 |
567 |
586 |
631 |
650 |
695 |
714 |
759 |
778 |
823 |
842 |
887 |
906 |
951 |
970 |
1015 |
|
529 |
560 |
593 |
624 |
657 |
688 |
721 |
752 |
785 |
816 |
849 |
880 |
913 |
944 |
977 |
1008 |
|
531 |
558 |
595 |
622 |
659 |
686 |
723 |
750 |
787 |
814 |
851 |
878 |
915 |
942 |
979 |
1006 |
|
533 |
556 |
597 |
620 |
661 |
684 |
725 |
748 |
789 |
812 |
853 |
876 |
917 |
940 |
981 |
1004 |
|
535 |
554 |
599 |
618 |
663 |
682 |
727 |
746 |
791 |
810 |
855 |
874 |
919 |
938 |
983 |
1002 |
|
537 |
552 |
601 |
616 |
665 |
680 |
729 |
744 |
793 |
808 |
857 |
872 |
921 |
936 |
985 |
1000 |
|
539 |
550 |
603 |
614 |
667 |
678 |
731 |
742 |
795 |
806 |
859 |
870 |
923 |
934 |
987 |
998 |
|
541 |
548 |
605 |
612 |
669 |
676 |
733 |
740 |
797 |
804 |
861 |
868 |
925 |
932 |
989 |
996 |
|
543 |
546 |
607 |
610 |
671 |
674 |
735 |
738 |
799 |
802 |
863 |
866 |
927 |
930 |
991 |
994 |
|
520 |
569 |
584 |
633 |
648 |
697 |
712 |
761 |
776 |
825 |
840 |
889 |
904 |
953 |
968 |
1017 |
|
518 |
571 |
582 |
635 |
646 |
699 |
710 |
763 |
774 |
827 |
838 |
891 |
902 |
955 |
966 |
1019 |
|
516 |
573 |
580 |
637 |
644 |
701 |
708 |
765 |
772 |
829 |
836 |
893 |
900 |
957 |
964 |
1021 |
|
514 |
575 |
578 |
639 |
642 |
703 |
706 |
767 |
770 |
831 |
834 |
895 |
898 |
959 |
962 |
1023 |
|
k=16 |
k=17 |
k=18 |
k=19 |
k=20 |
k=21 |
k=22 |
k=23 |
k=24 |
k=25 |
k=26 |
k=27 |
k=28 |
k=29 |
k=30 |
k=31 |
Рис. 6
Вот такая стройная и красивая образующая таблица! А теперь просто надо переписать числа из столбцов этой таблицы в матрицу для квадрата. В столбцах образующей таблицы, как знают читатели, знакомые с методом качелей, находятся числа циклов качания качелей. Каждый цикл – столбец образующей таблицы – содержит набор чисел от n*k+1 до n*(k+1), где n – порядок квадрата, k – номер цикла. Например, самый первый цикл при k=1 содержит числа от 33 до 64. Особенностью данной образующей таблицы является неодинаковое формирование наборов чисел в столбцах – циклах качания качелей. В первом столбце разности прибавляются, во втором вычитаются, в третьем опять прибавляются и так далее с постоянным чередованием. На рис. 4 показано, как надо переписывать числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата. Выделены цветом начальная цепочка первых 32 чисел (это нулевой цикл качания качелей) и ещё три цикла – жёлтый, оранжевый и голубой цвета. Сравните выделенные циклы со столбцами образующей таблицы, и вы поймёте, как заполнять матрицу, используя образующую таблицу.
Встаёт вопрос: можно ли по схеме Франклина построить пандиагональный квадрат 32-ого (и высших чётно-чётных) порядка? Ведь вот пандиагональный квадрат 16-ого порядка Франклин построил по аналогичной схеме. Может быть, был построен и пандиагональный квадрат 32-ого порядка, просто он утерян, то есть не найден в бумагах Франклина?
Ещё до того, как нашла в Интернете дьявольски полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка, попыталась по схеме Франклина, представленной как аналог качелей (при рассмотрении пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка в первой части настоящей статьи), построить пандиагональный квадрат восьмого порядка. Но у меня получился только дьявольски полумагический квадрат. Расскажу об этом в следующей части статьи.
Предлагаю читателям найти ответ на поставленный выше вопрос.
***
Да, и что там открыли голландские школьники? Я видела сообщение об этом на двух сайтах, но найти само открытие мне так и не удалось. Где на него можно посмотреть? Если вы знаете, напишите мне, пожалуйста. Очень интересно посмотреть!
***
Продолжение будет здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin2.htm
Страница помещена на сайт 24 февраля 2008 г.
Пишите мне!
На главную страницу