МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА
Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником
Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям
магических квадратов.
Здесь подробно рассказывается об этом квадрате. Сначала покажу
гравюру “Меланхолия” (рис. 1) и магический квадрат, который изображён на ней
(рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Теперь покажу этот квадрат в привычном виде (рис. 3):
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Рис. 3
Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата
(они выделены) составляют год создания гравюры – 1514.
Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера,
пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают,
что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее
упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет
до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!
Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но
делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат
Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который
мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических
квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих
данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в
свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец”
и наоборот.
Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 4.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Рис. 4
Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.
Свойство 1. Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел,
симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+n2.
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна
магической константе квадрата – 34.
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в
центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на
противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно:
14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках,
отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34
и 4+10+13+7=34.
Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в
соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным
вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис.
4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и
понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата).
Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках,
отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г.
Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34.
Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма
которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19.
В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна
13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.
Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой.
То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:
12
+ 142 + 152 + 42 = 132 + 22
+ 32 + 162 = 438
122
+ 72 + 62 + 92 = 82 + 112 +
102 + 52 = 310
Аналогичным
свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в
серединах сторон (рис. 5), то:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных
сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары
противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе
квадрата;
б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных
чисел:
122 +
142 + 32 + 52 = 152 + 92
+ 82 + 22 = 374
123 +
143 + 33 + 53 = 153 + 93
+ 83 + 23 = 4624
Рис. 5
Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.
Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым
является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как
перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён
квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.
|
1 |
15 |
14 |
4 |
|
12 |
6 |
7 |
9 |
|
8 |
10 |
11 |
5 |
|
13 |
3 |
2 |
16 |
Рис. 6
В полученных такими преобразованиями новых ассоциативных
квадратах выполняются не все перечисленные выше свойства, но многие свойства
имеют место. Читателям предлагается проверить выполнение свойств
в квадрате с рис. 6.
***
Пишите мне!