СНОВА О ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Читая книгу Ю. В. Чебракова о магических квадратах (полные данные о книге см. на странице http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm ), встретила метод построения пандиагональных квадратов нечётного порядка из обобщённых латинских квадратов.

 

Примечание 1: определение латинских квадратов и обобщённых латинских квадратов дано на странице http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm .

 

Примечание 2: Автор называет пандиагональные квадраты совершенными. Поскольку совершенными квадратами я называю особый вид пандиагональных квадратов, то за пандиагональными квадратами оставляю только термин “пандиагональные” (или “дьявольские”).

 

Все пандиагональные квадраты нечётного порядка Чебраков тоже делит на две группы: квадраты порядков не кратных 3 и квадраты порядков кратных 3.

С квадратами первой группы всё в порядке. На стр. 97 приведён пример построения пандиагонального квадрата пятого порядка с помощью обобщённых латинских квадратов. Построение квадратов данной группы и у меня не вызвало никаких трудностей, я строю их элементарно, например, методом качелей с тривиальной образующей таблицей.

А вот с квадратами второй группы, кажется, обнаружен ляпсус. На странице 98 приведён пример построения пандиагонального квадрата 9-ого порядка с помощью обобщённых латинских квадратов. Воспроизведу здесь этот пример. На рис. 1 и рис 2 вы видите два обобщённых латинских квадрата, с помощью которых строится пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 1

 

 

 

Рис. 2

 

При этом автор пишет, что в первом латинском квадрате каждая последующая строка получается из предыдущей циклической перестановкой троек чисел. Это понятно. А второй латинский квадрат получается из первого “поворотом вокруг его главной (восходящей) диагонали”. Это мне непонятно.

Но допустим, что оба латинских квадрата построены правильно. Далее из этих квадратов строится пандиагональный квадрат следующим образом. Обозначим элементы первого квадрата (рис. 1) a_ij, элементы второго квадрата (рис. 2) –  b_ij, тогда соответствующие элементы строящегося квадрата c_ij определяются по следующей формуле:

 

c_ij = 9*a_ij + b_ij + 1

 

Если в формуле не прибавлять 1, то получится квадрат, заполненный числами от 0 до n² – 1. Прибавление 1 приводит квадрат к традиционному виду.

И вот на рис. 3 показан квадрат, который получился у автора книги:

 

 

Рис. 3

 

Увы, этот квадрат не является магическим, потому что только в 3 строках и в 3 столбцах сумма чисел равна магической константе квадрата. Но с суммами во всех диагоналях, как главных, так и разломанных, всё в порядке! Вот такой парадокс. Где же ошибся автор?

 

Автор пишет далее, что таким методом можно построить пандиагональный квадрат любого порядка n=3*(2k-1), k=2, 3, 4… Когда я прочла это утверждение, подумала: оказывается, Чебраков ещё в 1995 г. знал метод построения пандиагональных квадратов порядков кратных 3, а я очень долго не могла построить пандиагональный квадрат 15-ого порядка. Но потом проверила квадрат 9-ого порядка, построенный автором, и оказалось, что он построен неверно. Пандиагональный квадрат 15-ого порядка автором не представлен.

 

Заинтересовавшись этим методом построения, я попробовала решить обратную задачу: взяла готовый пандиагональный (и даже идеальный) квадрат 9-ого порядка, построенный методом качелей, и разложила его на два обобщённых латинских квадрата. Интересный получился результат! Смотрите сами.

 

На рис. 4 показываю исходный идеальный квадрат 9-ого порядка:

 

 

Рис. 4

 

Отмечу, что этот идеальный квадрат построен методом качелей (нестандартных), начальная цепочка здесь не строится ходом шахматного коня; шаги качания качелей 2+5 (через 2 ячейки вправо, через 5 ячеек влево).

 

Чтобы удобнее было раскладывать этот квадрат на латинские квадраты, приведу его к нетрадиционному виду, то есть он будет заполнен числами от 0 до n²-1. Понятно, что для этого надо от каждого элемента квадрата вычесть 1. Полученный идеальный квадрат вы видите на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

Для того чтобы разложить этот квадрат на два обобщённых латинских квадрата, надо сначала просто заменить все числа в ячейках квадрата их эквивалентами в девятеричной системе счисления. На рис. 6 вы видите квадрат, заполненный девятеричными числами.

 

 

Рис. 6

 

Интересно отметить: если смотреть на числа в этом квадрате, как на десятичные, то перед нами нетрадиционный идеальный квадрат с магической константой 396.

 

Посмотрите, как гармоничны числа в этом квадрате!

Ну, а теперь очень просто раскладываем этот квадрат на два латинских обобщённых квадрата: первые цифры всех чисел пойдут в первый квадрат, а вторые цифры – во второй квадрат. На рис. 7 и рис. 8 изображены эти латинские обобщённые квадраты.

 

 

Рис. 7

 

У меня тоже каждая следующая строка получается из предыдущей перестановкой троек, но перестановка производится несколько иначе, чем у Чебракова. А в первой строке этого квадрата стоит… начальная цепочка квадрата! По первой же строке мы без труда строим весь квадрат перестановкой троек. Второй обобщённый латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов и отражением относительно оси симметрии.

 

 

Рис. 8

 

Вот и решена обратная задача: идеальный квадрат разложен на два обобщённых латинских квадрата. Думаю, ошибка Чебракова в том, что он написал в первой строке первого латинского квадрата (рис. 1) числа по порядку. Как мы только что выяснили, в первой строке первого квадрата записывается начальная цепочка строящегося квадрата. А для пандиагональных квадратов порядка n=3*(2k+1) нет таких начальных цепочек, в которых числа следуют по порядку. По крайней мере, я таких пандиагональных квадратов не встречала.

 

Следовательно, метод построения пандиагональных квадратов порядка n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… с помощью двух обобщённых латинских квадратов работает, но для его применения надо заранее знать начальную цепочку строящегося пандиагонального квадрата.

 

Приведу ещё один пример для идеального квадрата 9-ого порядка. Этот квадрат построен мной другим методом: из составного ассоциативного квадрата перестановкой строк по определённой схеме.  Квадрат изображён на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

В этом идеальном квадрате начальная цепочка имеет совсем другой вид.

 

Для удобства разложения на латинские квадраты вычтем из каждого элемента квадрата единицу. Полученный квадрат вы видите на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

Теперь заменим каждый элемент квадрата его девятеричным эквивалентом. Получается такой квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Примечание: если смотреть на числа в квадрате, как на десятичные, опять имеем нетрадиционный идеальный квадрат с магической константой 396, как и квадрат на рис. 6.

 

Далее в первый латинский обобщённый квадрат запишем все первые цифры элементов квадрата с рис. 11, а во второй латинский квадрат – вторые цифры элементов этого квадрата. На рис. 12 и на рис. 13 вы видите эти латинские квадраты. Они строятся совсем не так, как в приведённом выше примере.

 

 

Рис. 12

 

 

 

Рис. 13

 

Вот какие интересные обобщённые латинские квадраты получились! Посмотрите на них внимательно, между ними тоже есть определённая связь. Кроме того, во втором квадрате (рис. 13) явно видна начальная цепочка исходного идеального квадрата (выделена розовым цветом). Можно сказать, что этот квадрат весь и состоит из этой начальной цепочки, потому что выделенные розовые “столбики” просто дублируются, каждый “столбик” присутствует в квадрате ровно 9 раз.

 

Наконец, приведу пример для пандиагонального квадрата 9-ого порядка, не являющегося идеальным, то есть квадрат не ассоциативен. Этот квадрат вы видите на рис. 14.

 

 

Рис. 14

 

Этот пандиагональный квадрат построен методом стандартных качелей (начальная цепочка “ход конём”). Пропускаю промежуточные этапы разложения этого квадрата на обобщённые латинские квадраты, так как эти этапы уже были подробно показаны в предыдущих двух примерах. На рис. 15 и рис. 16 вы видите окончательный результат: обобщённые латинские квадраты, на которые разложился квадрат с рис. 14.

 

 

Рис. 15

 

 

 

Рис. 16

 

И опять (как в первом примере) в первой строке первого латинского квадрата находится начальная цепочка исходного пандиагонального квадрата. В исходном квадрате (рис. 14) вы видите такую начальную цепочку:

 

1  7  2  6  5  4  8  3  9

 

В первой строке латинского квадрата на рис. 15 записана та же последовательность чисел, только уменьшенных на единицу.

 

Каждая следующая строка в этом латинском квадрате получается из предыдущей не перестановкой троек, а циклическим сдвигом чисел с постоянным шагом. Если изобразить рядом несколько таких квадратов, этот сдвиг будет очень хорошо виден (рис. 17).

 

 

 

Рис. 17

 

Такой же циклический сдвиг имеет место и в столбцах квадрата, но с другим шагом (рис. 18)

 

 

Рис. 18

 

Второй обобщённый латинский квадрат в этом примере получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии.

 

Можно сделать такой вывод: механизм построения пандиагональных и идеальных квадратов порядка n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… с помощью обобщённых латинских квадратов требует дальнейших исследований. Из приведённых примеров видно, что каждый идеальный и пандиагональный квадрат 9-ого порядка (можно предположить, что и любого следующего порядка данной серии порядков) раскладывается на два обобщённых латинских квадрата. Но как решать прямую задачу: составление таких двух обобщённых латинских квадратов, с помощью которых можно построить пандиагональный или идеальный квадрат? Приведённый Чебраковым пример (в котором построен не магический квадрат 9-ого порядка) не даёт ответа на этот вопрос.

 

В заключение покажу построение пандиагонального квадрата 15-ого порядка. Было очень интересно попробовать такое построение. Я взяла начальную цепочку из готового пандиагонального (и даже идеального) квадрата 15-ого порядка и составила два латинских квадрата по аналогии с тем, как это делается в первом примере для идеального квадрата 9-ого порядка. Вот что у меня получилось.

 

На рис. 19 и на рис. 20 вы видите два обобщённых латинских квадрата. Повторю: они построены по известной начальной цепочке по аналогии с первым примером для квадрата 9-ого порядка.

 

 

Рис. 19

 

 

 

Рис. 20

 

Напомню формулу, по которой из этих двух латинских квадратов строится пандиагональный квадрат. Пусть a_ij – элементы первого латинского квадрата (рис. 19),  b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата (рис. 20), тогда соответствующие элементы пандиагонального квадрата определяются по формуле:

 

[1]                        c_ij = 15*a_ij + b_ij +1

 

На рис. 21 вы видите готовый пандиагональный квадрат 15-ого порядка.

 

 

Рис. 21

 

Пандиагональный квадрат получился. Однако вспомним, что начальную цепочку я взяла из идеального квадрата, а построенный квадрат не является идеальным.

Сравнив построенный квадрат с исходным идеальным квадратом, я увидела, что эти два квадрата получаются один из другого перестановкой строк и столбцов. Как мне кажется, подобная перестановка строк и столбцов магического квадрата в книге Чебракова называется М-преобразованием.

Исходный квадрат показываю на рис. 22. Сравните сами!

 

 

 

Рис. 22

 

Примечание: данный идеальный квадрат построен методом нестандартных качелей (начальная цепочка не строится ходом шахматного коня), шаги качания качелей 2+11 (через 2 ячейки вправо, через 11 ячеек влево).

 

Теперь стало очень любопытно посмотреть, на какие латинские квадраты раскладывается этот идеальный квадрат. Выполняю разложение, на рис. 23 и рис. 24 вы видите эти латинские обобщённые квадраты.

 

 

Рис. 23

 

 

 

Рис. 24

 

Предлагаю читателям проанализировать эти латинские квадраты. Сложите теперь матрицы этих квадратов по формуле [1], и вы получите матрицу идеального квадрата с рис. 22.

 

Если бы Чебраков разработал метод построения пандиагональных квадратов порядка n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… с помощью обобщённых латинских квадратов более основательно, первенство в построении пандиагональных и идеальных квадратов данной серии порядков принадлежало бы ему, а не Александрову, который построил такие квадраты только в 2007 г. другим методом (напомню, что книга Чебракова издана в 1995 г.).

 

***

 

Хотела уже закончить статью, но вспомнила, что матричный метод для построения пандиагональных квадратов 9-ого порядка ведь разработан! Я нашла его по этой ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/9x9.php

 

И основывается этот метод, мне кажется, как раз на применении латинских квадратов. Я показала применение этого метода построения в статье о магических квадратах 9-ого порядка:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

но не вникала в описание самого метода (это связано с тем, что статья на английском языке). Теперь стало очень интересно посмотреть более подробно на данный метод. С помощью этого метода я построила даже идеальный квадрат 9-ого порядка. Это был мой первый идеальный квадрат (!) серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… Потом был построен второй идеальный квадрат 9-ого порядка, который изображён на рис. 9. Метод, которым построен этот идеальный квадрат, годится для построения идеальных квадратов любого порядка n=3^p, p=2, 3, 4… А вот идеальный квадрат 15-ого порядка долго не удавалось построить.

 

Жаль, что разработчик указанного метода тоже остановился на квадратах 9-ого порядка. Ему было просто необходимо сделать следующий шаг: разработать аналогичный метод для квадратов 15-ого порядка. Автор рассмотрел построение пандиагональных квадратов до порядка n=13 включительно. Но построение пандиагональных (и идеальных) квадратов любого нечётного порядка не кратного 3 ни у кого не вызывает затруднений. Можно взять, например, ассоциативный квадрат, построенный методом террас, и переставить в нём столбцы (или строки) по определённой схеме (с постоянным шагом). И идеальный квадрат готов!

 

Рассмотрю матричный метод построения пандиагональных квадратов 9-ого порядка подробно. Если что-нибудь пойму, расскажу вам, уважаемые читатели. А вы тоже можете посмотреть на этот метод и провести свой анализ.

 

***

 

А пока ещё один эксперимент. Для этого эксперимента я взяла пандиагональный квадрат  21-ого порядка Хендрикса, найденный по ссылке:

 

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html

 

 

 

 

 

Было отмечено в моей статье об идеальных квадратах, что в этом квадрате Хендрикса тоже действуют качели. Но, может быть, Хендрикс строил свои пандиагональные квадраты с помощью обобщённых латинских квадратов?

И вот раскладываю этот квадрат на два обобщённых латинских квадрата по аналогии со всеми предыдущими примерами и получаю такие квадраты (рис. 25 и рис. 26).

 

 

Рис. 25

 

В этом квадрате тоже имеем циклический сдвиг чисел с постоянным шагом в каждой следующей строке (показано голубым цветом).

 

 

Рис. 26

 

И в этом квадрате циклический сдвиг чисел с постоянным шагом в каждой следующей строке!

 

Очень интересные получаются результаты разложения пандиагональных и идеальных квадратов на обобщённые латинские квадраты.

Сложите теперь матрицы квадратов с рис. 25 и рис. 26 по формуле:

 

c_ij = 21*a_ij + b_ij + 1

 

и вы получите пандиагональный квадрат Хендрикса.

 

Возможно, Хендрикс разработал метод построения пандиагональных квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов и именно этим методом построил все свои пандиагональные квадраты. Но тогда почему ему не удалось построить этим методом идеальные квадраты? А может быть, удалось, a Н. Громов, который утверждает, что никому не удалось построить идеальные квадраты нечётных порядков, кратных 3, просто плохо осведомлён? Смотрите об этом статью Н. Громова “Цепи Александрова”:

 

http://gromov7043.narod.ru/chain_aleks.html

 

***

 

Сейчас взглянула на матричный метод построения пандиагональных квадратов 9-ого порядка, о котором сказано выше. Да, в нём используются латинские квадраты. Читайте подробно об этом методе:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/p9matr.htm

 

А далее читайте статью о построении идеальных квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm

 

***

 

26 июня 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу