АССОЦИАТИВНЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

                                                            Внимание!

                                                               Оригинал. При копировании

                                                               прошу указывать ссылку

                                                               на данную страницу.

 

 

Перед чтением данной страницы рекомендуется прочесть:

 

1.     Магические квадраты;

2.     Методы построения магических квадратов;

3.     Построение чётно-нечётных магических квадратов методом четырёх квадратов;

4.     Пандиагональные квадраты;

5.     Пандиагональные квадраты пятого порядка.

 

Определение: магический квадрат порядка n называется ассоциативным, или симметричным, если сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n².

                                              

Как известно, магический квадрат третьего порядка всего один (с точностью до основных преобразований). Этот квадрат ассоциативен (рис. 1).

 

 

                                                                      Рис. 1

 

На рис. 2 представлены ассоциативные квадраты четвёртого и пятого порядка.

 

 

 

                                                                  Рис. 2

 

В квадратах закрашены две пары симметричных относительно центра чисел.

 

Все основные преобразования сохраняют ассоциативность квадрата любого порядка.

 

Много ли существует ассоциативных квадратов? По ссылке

 

http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html

 

указывается, что количество ассоциативных квадратов третьего порядка – 1, четвёртого порядка – 48, а пятого порядка – 48544.

 

Я составила программу для построения ассоциативных квадратов четвёртого порядка. По программе построились все ассоциативные квадраты с учётом основных преобразований, то есть 48*8=384.

Приведу текст программы, а также файл, в который программа записала полученные квадраты.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM A(4, 4), B(16)

12 OPEN "MK4.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 FOR I = 1 TO 16

20 A(1, 1) = I: A(4, 4) = 17 - I

25 FOR J = 1 TO 16

30 IF J = I THEN 310

35 A(1, 2) = J: A(4, 3) = 17 - J

40 FOR K = 1 TO 16

45 IF K <> I THEN IF K <> J THEN 55

50 GOTO 305

55 A(1, 4) = K: A(4, 1) = 17 - K

60 A(1, 3) = 34 - I - J - K

65 IF A(1, 3) > 0 THEN IF A(1, 3) < 17 THEN 75

70 GOTO 305

75 A(4, 2) = 17 - A(1, 3)

80 IF A(4, 1) + A(4, 2) + A(4, 3) + A(4, 4) <> 34 THEN 305

85 FOR L = 1 TO 16

90 IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 100

95 GOTO 300

100 A(2, 1) = L: A(3, 4) = 17 - L: A(3, 1) = 34 - I - L - A(4, 1)

105 IF A(3, 1) > 0 THEN IF A(3, 1) < 17 THEN 120

110 GOTO 300

120 A(2, 4) = 34 - K - A(3, 4) - A(4, 4)

125 IF A(2, 4) > 0 THEN IF A(2, 4) < 17 THEN 135

130 GOTO 300

135 FOR M = 1 TO 16

140 IF M <> I THEN IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN 150

145 GOTO 295

150 A(2, 2) = M: A(3, 3) = 17 - M

155 A(2, 3) = 34 - L - M - A(2, 4)

160 IF A(2, 3) > 0 THEN IF A(2, 3) < 17 THEN 166

162 GOTO 295

166 A(3, 2) = 17 - A(2, 3)

168 IF J + M + A(3, 2) + A(4, 2) <> 34 THEN 295

205 IF A(1, 2) + A(2, 2) + A(3, 2) + A(4, 2) <> 34 THEN 295

210 IF A(1, 3) + A(2, 3) + A(3, 3) + A(4, 3) <> 34 THEN 295

215 FOR P = 1 TO 4: B(P) = A(1, P): NEXT P

217 FOR P = 1 TO 4: B(P + 4) = A(2, P): NEXT P

219 FOR P = 1 TO 4: B(P + 8) = A(3, P): NEXT P

221 FOR P = 1 TO 4: B(P + 12) = A(4, P): NEXT P

224 FOR P = 1 TO 16

226 FOR Q = 1 TO 16

228 IF Q = P THEN 240

230 IF B(P) = B(Q) THEN 295

240 NEXT Q

242 NEXT P

244 W = W + 1: PRINT W: PRINT #1, W

250 FOR O = 1 TO 4

255 FOR N = 1 TO 4

260 PRINT A(O, N);

262 PRINT #1, A(O, N);

265 NEXT N

270 PRINT : PRINT #1,

275 NEXT O

280 PRINT : PRINT #1,

295 NEXT M

300 NEXT L

305 NEXT K

310 NEXT J

315 NEXT I

350 END

 

На полученные по этой программе квадраты вы можете посмотреть по ссылке:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/assoc4.htm

 

Интересно отметить, что магические квадраты четвёртого порядка не могут быть одновременно и пандиагональными, и ассоциативными.

 

Примечание: совсем недавно (24 марта 2008 г.) узнала, что существует идеальный квадрат восьмого порядка (то есть одновременно пандиагональный и ассоциативный). Об этом мне сказали на одном математическом форуме, в котором участвую всего несколько дней. Дали ссылку, где приведён такой квадрат. Вот эта ссылка:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

О других идеальных квадратах чётно-чётного порядка пока ничего не знаю. Собираюсь исследовать этот вопрос. Смотрите статью:

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

Утверждение о том, что идеальные квадраты существуют только нечётных порядков, было записано в Википедии, и я приняла его на веру, доказав только для квадратов четвёртого порядка. Теперь это утверждение в Википедии исправлено (одним из участников того самого математического форума).

Так что не верьте всему, что написано в Википедии.

 

Для магического квадрата четвёртого порядка это легко доказать. Будем доказывать методом от противного: предположим, что представленный на рис. 2а квадрат магический, пандиагональный и ассоциативный:

 

                                              

                                                                      Рис. 2а

 

Записав все условия магичности, пандиагональности и ассоциативности, получаем такую систему 8 уравнений с 8 неизвестными:

 

x₁+x₂+x₃+x₄=34

x₅+x₆+x₇+x₈=34

x₁+x₅-x₄-x₈=0

x₃+x₇-x₂-x₆=0

x₁+x₈-x₃-x₆=0

x₄+x₅-x₂-x₇=0

x₁+x₅-x₂-x₆=0

x₃+x₇-x₄-x₈=0

 

Решив эту систему в пакете программ Maple, имеем такое решение:

 

х₁=х₆         х₂=17-х₆   х₃=х₈         х₄=17-х₈

х₅=17-х₆   х₆=х₆         х₇=17-х₈   х₈=х₈

 

Две переменные оказались свободными, х₆ и х₈. Задав произвольные значения для этих переменных, по формулам получаем значения других переменных. Но сразу видно, что полученное решение противоречит условию заполнения магического квадрата, потому что значения некоторых переменных равны. Пусть, например, х₆=3, х₈=9, тогда квадрат, описанный данной системой уравнений будет таким:

 

 

Очевидно, что этот квадрат магический, пандиагональный и ассоциативный. Но в традиционном магическом квадрате по определению не должно быть одинаковых чисел. Таким образом, мы пришли к тому, что наше предположение невозможно для нормального магического квадрата четвёртого порядка.

 

                                                    ***

 

Поскольку в последнее время я очень много занималась исследованием квадратов пятого порядка, то остановлюсь здесь подробно на ассоциативных квадратах пятого порядка.

Во-первых, заметим, что все ассоциативные квадраты пятого порядка в центральной ячейке имеют число 13.

Вообще: в центральной ячейке ассоциативного квадрата нечётного порядка n стоит число (n²+1)/2. Для квадратов третьего порядка это число (3²+1)/2=5, для квадратов пятого порядка – (5²+1)/2=13 и т. д.

 

Как уже отмечалось, все основные преобразования магических квадратов сохраняют ассоциативность (см. рис. 3).

 

 

 

                                                                  Рис. 3

 

Кроме того, для ассоциативных квадратов можно применить преобразования перестановки строк и/или столбцов, которые нельзя применить просто к магическому квадрату, не являющемуся ассоциативным, так как эти преобразования в общем случае не сохраняют магичность. На рис. 4 вы видите один из вариантов преобразования перестановки строк, перестановки столбцов и одновременной перестановки строк и столбцов.

 

 

                                                                  Рис . 4

 

Аналогично можно переставлять первую строку с пятой или/и первый столбец с пятым, а также делать всевозможные комбинации этих преобразований с показанными выше. Всё это возможно благодаря ассоциативности квадрата.

 

Здесь я покажу магические квадраты пятого порядка, которые являются одновременно и пандиагональными, и ассоциативными.

 

В цитате из журнала “Наука и жизнь”, приведённой в статье “Пандиагональные квадраты пятого порядка”, говорится, что среди 144 базовых пандиагональных квадратов пятого порядка ассоциативных всего 16.

 

Составив в указанной выше статье банк базовых квадратов, я заинтересовалась наличием в этом банке 16 ассоциативных квадратов. Первые четыре ассоциативных квадрата я нашла сразу в первой четверти банка. Они показаны на рис. 5.

 

         Квадрат № 8          Квадрат № 10          Квадрат № 20          Квадрат № 22

 

 

                                               Рис. 5

 

Больше ассоциативных квадратов в явном виде в банке не оказалось! Тогда я  начала искать, какие квадраты банка можно превратить в ассоциативные различными преобразованиями. Для этого взяла в других четвертях банка квадраты, соответствующие ассоциативным квадратам первой четверти банка (о связи квадратов четырёх четвертей банка смотрите в указанной выше статье). И не ошиблась! Именно эти квадраты и оказались скрытыми ассоциативными квадратами. Соответствие номеров квадратов, согласно моим связям между квадратами:

 

№ 8   - № 44 - № 80 - № 116

№ 10 - № 46 - № 82 - № 118

№ 20 - № 56 - № 92 - № 128

№ 22 - № 58 - № 94 - № 130

 

Покажу, как из базового квадрата № 44 получается ассоциативный квадрат (см. рис. 6).

 

                        Квадрат № 44                  1 этап                          2 этап

 

 

                                                                  Рис. 6

 

На первом этапе выполнено преобразование стандартной перестановки строк и столбцов, на втором этапе полученный квадрат перенесён на торе. В результате этих двух преобразований получился ассоциативный квадрат, который, впрочем, можно объявить базовым вместо исходного квадрата № 44. Это просто для удобства все базовые квадраты выбраны с числом 1 в левой верхней ячейке.

Совершенно аналогично я превратила все перечисленные выше базовые квадраты в ассоциативные. Как видите, их действительно оказалось 16, причём ровно по 4 в каждой четверти банка.

Далее я показываю исходные базовые квадраты и получающиеся из них ассоциативные квадраты, опуская промежуточные преобразования, где они есть.

 

                                            Квадрат № 46

 

 

                                            Квадрат № 56

 

 

                                             Квадрат № 58

 

 

                                            Квадрат № 80

 

 

     Квадрат № 82

 

 

      Квадрат № 92

 

 

 

     Квадрат № 94

 

 

 

     Квадрат № 116

 

 

      Квадрат № 118

 

 

     Квадрат № 128

 

 

     Квадрат № 130

 

 

В предыдущих статьях о пандиагональных квадратах пятого порядка было рассказано о нескольких преобразованиях, сохраняющих не только пандиагональность, но и ассоциативность квадрата. Это преобразования “плюс-минус 10”, “плюс-минус 20”, “плюс-минус 2”. Большинство из показанных здесь ассоциативных квадратов тоже связаны преобразованием “плюс-минус 10”. А есть пара квадратов, связанных преобразованием “плюс-минус 4”. Вот эти квадраты:

 

 

Напомню, что в мозаике преобразования, наложенной на исходный квадрат, розовая клетка соответствует “плюс 4”, а сиреневая клетка - “минус 4”. Совершенно очевидно, почему все подобные преобразования “плюс-минус” сохраняют и пандиагональность, и ассоциативность квадрата.

 

В заключение покажу два ассоциативных квадрата нечётного порядка, построенных методом террас (см. страницу “Методы построения магических квадратов”). Любой квадрат нечётного порядка, построенный методом террас, является ассоциативным. На рис. 7  вы видите ассоциативные квадраты седьмого и девятого порядка.

 

 

                                               Рис. 7

 

Об ассоциативных и пандиагональных квадратах седьмого и девятого порядка смотрите в статьях:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk7.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

Осталось показать ещё два квадрата порядка двойной чётности, построенные методом квадратных рамок. Все чётно-чётные квадраты, построенные этим методом тоже ассоциативны. Смотрите эти квадраты на рис. 8.

 

 

                                                                  Рис. 8

 

                                                                  ***

 

10 сентября 2007 г.

 

У меня есть все пандиагональные квадраты пятого порядка, полученные по моей программе алгоритма № 1. Это самый первый алгоритм, в котором применено описание пандиагонального квадрата системой линейных уравнений. По этой программе были найдены все пандиагональные квадраты с числом 13 в центральной ячейке. Их оказалось 1152. Как раз среди них и находятся все ассоциативные квадраты, так как в ассоциативных квадратах именно число 13 стоит в центральной ячейке. Я приведу здесь все ассоциативные квадраты, без учёта повёрнутых и отражённых, так как программа строила наряду с квадратом его вариант – повёрнутый и отражённый (см. пример на рис. 9). Эти квадраты очень интересны сами по себе. Возможно, кто-то исследует их более подробно и найдёт удивительные связи и закономерности. Включаю в приведённые квадраты и те, что были рассмотрены выше, для полноты картины.

 

 

                                                   Рис. 9

 

                   Ассоциативные и пандиагональные квадраты

                                       пятого порядка

 

№ 1

1  23  10  14  17

15  19  2  21  8

22  6  13  20  4

18  5  24  7  11

9  12  16  3  25

 

№ 2

1  23  20  14  7

15  9  2  21  18

22  16  13  10  4

8  5  24  17  11

19  12  6  3  25

 

№ 3

1  23  10  12  19

15  17  4  21  8

24  6  13  20  2

18  5  22  9  11

7  14  16  3  25

 

№ 4

1  23  20  12  9

15  7  4  21  18

24  16  13  10  2

8  5  22  19  11

17  14  6  3  25

 

№ 5

2  23  9  15  16

14  20  1  22  8

21  7  13  19  5

18  4  25  6  12

10  11  17  3  24

 

№ 6

2  23  19  15  6

14  10  1  22  18

21  17  13  9  5

8  4  25  16  12

20  11  7  3  24

 

№ 7

2  23  9  11  20

14  16  5  22  8

25  7  13  19  1

18  4  21  10  12

6  15  17  3  24

 

№ 8

2  23  19  11  10

14  6  5  22  18

25  17  13  9  1

8  4  21  20  12

16  15  7  3  24

 

№ 9

4  23  7  15  16

12  20  1  24  8

21  9  13  17  5

18  2  25  6  14

10  11  19  3  22

 

№ 10

4  23  17  15  6

12  10  1  24  18

21  19  13  7  5

8  2  25  16  14

20  11  9  3  22

 

№ 11

4  23  7  11  20

12  16  5  24  8

25  9  13  17  1

18  2  21  10  14

6  15  19  3  22

 

№ 12

4  23  17  11  10

12  6  5  24  18

25  19  13  7  1

8  2  21  20  14

16  15  9  3  22

 

№ 13

5  23  6  14  17

11  19  2  25  8

22  10  13  16  4

18  1  24  7  15

9  12  20  3  21

 

№ 14

5  23  16  14  7

11  9  2  25  18

22  20  13  6  4

8  1  24  17  15

19  12  10  3  21

 

№ 15

5  23  6  12  19

11  17  4  25  8

24  10  13  16  2

18  1  22  9  15

7  14  20  3  21

 

№ 16

5  23  16  12  9

11  7  4  25  18

24  20  13  6  2

8  1  22  19  15

17  14  10  3  21

 

№ 17

6  15  17  23  4

18  24  1  10  12

5  7  13  19  21

14  16  25  2  8

22  3  9  11  20

 

№ 18

6  15  19  23  2

18  22  1  10  14

5  9  13  17  21

12  16  25  4  8

24  3  7  11  20

 

№ 19

6  18  25  14  2

15  4  7  16  23

17  21  13  5  9

3  10  19  22  11

24  12  1  8  20

 

№ 20

6  18  25  12  4

15  2  9  16  23

19  21  13  5  7

3  10  17  24  11

22  14  1  8  20

 

№ 21

7  14  16  23  5

18  25  2  9  11

4  6  13  20  22

15  17  24  1  8

21  3  10  12  19

 

№ 22

7  14  20  23  1

18  21  2  9  15

4  10  13  16  22

11  17  24  5  8

25  3  6  12  19

 

№ 23

7  18  24  11  5

14  1  10  17  23

20  22  13  4  6

3  9  16  25  12

21  15  2  8  19

 

№ 24

7  18  24  15  1

14  5  6  17  23

16  22  13  4  10

3  9  20  21  12

25  11  2  8  19

 

№ 25

9  12  16  23  5

18  25  4  7  11

2  6  13  20  24

15  19  22  1  8

21  3  10  14  17

 

№ 26

9  12  20  23  1

18  21  4  7  15

2  10  13  16  24

11  19  22  5  8

25  3  6  14  17

 

№ 27

9  18  22  11  5

12  1  10  19  23

20  24  13  2  6

3  7  16  25  14

21  15  4  8  17

 

№ 28

9  18  22  15  1

12  5  6  19  23

16  24  13  2  10

3  7  20  21  14

25  11  4  8  17

 

№ 29

10  11  17  23  4

18  24  5  6  12

1  7  13  19  25

14  20  21  2  8

22  3  9  15  16

 

№ 30

10  11  19  23  2

18  22  5  6  14

1  9  13  17  25

12  20  21  4  8

24  3  7  15  16

 

№ 31

10  18  21  14  2

11  4  7  20  23

17  25  13  1  9

3  6  19  22  15

24  12  5  8  16

 

№ 32

10  18  21  12  4

11 2  9  20  23

19  25  13  1  7

3  6  17  24  15

22  14  5  8  16

 

№ 33

16  15  7  23  4

8  24  1  20  12

5  17  13  9  21

14  6  25  2  18

22  3  19  11  10

 

№ 34

16  15  9  23  2

8  22  1  20  14

5  19  13  7  21

12  6  25  4  18

24  3  17  11  10

 

№ 35

16  8  25  12  4

15  2  19  6  23

9  21  13  5  17

3  20  7  24  11

22  14  1  18  10

 

№ 36

16  8  25  14  2

15  4  17  6  23

7  21  13  5  19

3  20  9  22  11

24  12  1  18  10

 

№ 37

17  14  6  23  5

8  25  2  19  11

4  16  13  10  22

15  7  24  1  18

21  3  20  12  9

 

№ 38

17  14  10  3  21

8  1  22  19  15

24  20  13  6  2

11  7  4  25  18

5  23  16  12  9

 

№ 39

17  14  10  23  1

8  21  2  19  15

4  20  13  6  22

11 7  24  5  18

25  3  16  12  9

 

№ 40

17  8  24  15  1

14  5  16  7  23

6  22  13  4  20

3  19  10  21  12

25  11  2  18  9

 

№ 41

19  12  6  23  5

8  25  4  17  11

2  16  13  10  24

15  9  22  1  18

21  3  20  14  7

 

№ 42

19  12  10  23  1

8  21  4  17  15

2  20  13  6  24

11  9  22  5  18

25  3  16  14  7

 

№ 43

19  8  22  11  5

12  1  20  9  23

10  24  13  2  16

3  17  6  25  14

21  15  4  18  7

 

№ 44

19  8  22  15  1

12  5  16  9  23

6  24  13  2  20

3  17  10  21  14

25  11  4  18  7

 

№ 45

20  11  7  23  4

8  24  5  16  12

1  17  13  9  25

14  10  21  2  18

22  3  19  15  6

 

№ 46

20  11  9  23  2

8  22  5  16  14

1  19  13  7  25

12  10  21  4  18

24  3  17  15  6

 

№ 47

20  8  21  14  2

11  4  17  10  23

7  25  13  1  19

3  16  9  22  15

24  12  5  18  6

 

№ 48

20  8  21  12  4

11  2  19  10  23

9  25  13  1  17

3  16  7  24  15

22  14  5  18  6

 

№ 49

21  15  2  18  9

3  19  6  25  12

10  22  13  4  16

14  1  20  7  23

17  8  24  11  5

 

№ 50

21  15  4  18  7

3  17  6  25  14

10  24  13  2  16

12  1  20  9  23

19  8  22  11  5

 

№ 51

21  15  2  8  19

3  9  16  25  12

20  22  13  4  6

14  1  10  17  23

7  18  24  11  5

 

№ 52

21  15  4  8  17

3  7  16  25  14

20  24  13  2  6

12  1  10  19  23

9  18  22  11  5

 

№ 53

22  14  1  18  10

3  20  7  24  11

9  21  13  5  17

15  2  19  6  23

16  8  25  12  4

 

№ 54

22  14  5  18  6

3  16  7  24  15

9  25  13  1  17

11  2  19  10  23

20  8  21  12  4

 

№ 55

22  14  1  8  20

3  10  17  24  11

19  21  13  5  7

15  2  9  16  23

6  18  25  12  4

 

№ 56

22  14  5  8  16

3  6  17  24  15

19  25  13  1  7

11  2  9  20  23

10  18  21  12  4

 

№ 57

24  12  1  18  10

3  20  9  22  11

7  21  13  5  19

15  4  17  6  23

16  8  25  14  2

 

№ 58

24  12  5  18  6

3  16  9  22  15

7  25  13  1  19

11  4  17  10  23

20  8  21  14  2

 

№ 59

24  12  1  8  20

3  10  19  22  11

17  21  13  5  9

15  4  7  16  23

6  18  25  14  2

 

№ 60

24  12  5  8  16

3  6  19  22  15

17  25  13  1  9

11  4  7  20  23

10  18  21  14  2

 

№ 61

25  11  2  18  9

3  19  10  21  12

6  22  13  4  20

14  5  16  7  23

17  8  24  15  1

 

№ 62

25  11  4  18  7

3  17  10  21  14

6  24  13  2  20

12  5  16  9  23

19  8  22  15  1

 

№ 63

25  11  2  8  19

3  9  20  21  12

16  22  13  4  10

14  5  6  17  23

7  18  24  15  1

 

№ 64

25  11  4  8  17

3  7  20  21  14

16  24  13  2  10

12  5  6  19  23

9  18  22  15  1

 

На странице http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/bank.htm

было показано, как все пандиагональные квадраты получаются различными преобразованиями из одного квадрата, который как раз является пандиагональным и ассоциативным (см. квадрат № 1).  

Следовательно, все приведённые здесь ассоциативные квадраты можно получить из квадрата № 1, применяя к нему комбинации различных преобразований.

Ну, а как построить этот самый базовый и идеальный, то есть пандиагональный и ассоциативный, квадрат, если не пользоваться моими программами для построения пандиагональных квадратов, которых я составила несколько?

Мой партнёр по исследованиям магических квадратов, бесподобный помощник и вдохновитель всех моих работ в этой области, Георгий Александров придумал очень оригинальный метод построения идеальных квадратов нечётного порядка. Смотрите страницу:

 

http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html

 

Своим методом Георгий построил ассоциативный и пандиагональный квадрат, который здесь приведён под № 47. Итак, мы имеем ассоциативный и пандиагональный квадрат, построенный без всяких программ – методом Георгия Александрова.

Давайте теперь посмотрим, как из этого квадрата можно получить квадрат № 1, который является базовым для всех пандиагональных квадратов. Ведь если квадрат № 47 получается из квадрата № 1, то и наоборот: квадрат № 1 получается из квадрата № 47. Сначала применим к квадрату № 47 преобразование параллельного переноса на торе, мы получим квадрат, изображённый на рис. 10.

 

 

                                                                  Рис. 10

 

Теперь применим к полученному квадрату одно из основных преобразований – поворот и отражение (рис. 11):

 

 

                                                                  Рис. 11

 

Теперь выполним стандартную перестановку столбцов (рис. 12):

 

 

                                                                  Рис. 12

 

Сейчас внимание! Интересный момент: к этому квадрату надо применить преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”. Я такое ещё не показывала. Ну, раз есть какое-либо преобразование, значит, есть и обратное ему, то есть если к некоторому квадрату В применили преобразование “строки-диагонали” и получили квадрат А (как раз тот, что на рис. 12), то обратным преобразованием из квадрата А мы получим квадрат В. Это понятно. В матричном виде тоже всё очень просто. Пусть квадрат А имеет стандартную матрицу а_ij. Тогда квадрат В, получающийся из квадрата А преобразованием, обратным преобразованию “строки-диагонали” [запишется так: В=f^-1(A)], будет иметь вид (рис. 13):

 

 

                                                                  Рис. 13

 

Итак, применим к квадрату, изображённому на рис. 12, преобразование с матрицей, показанной на рис. 13. Получится квадрат, который вы видите на рис. 14:

 

 

                                                                  Рис. 14

 

Мы уже близки к цели! Ещё два преобразования, и квадрат № 1 получен. К квадрату на рис. 14 применим преобразование “плюс-минус 10”, а к полученному квадрату – преобразование “плюс-минус 2”. Показываю на рис. 15 последние два этапа:

 

 

                                            плюс-минус 10

 

 

                                                              плюс-минус 2

 

                                                                  Рис. 15

 

Так на примере квадрата № 47 я показала, что любой ассоциативный и пандиагональный квадрат могу получить комбинацией различных преобразований из одного-единственного квадрата – квадрата № 1. Конечно, все эти связи мне удалось установить, имея в наличии 144 исходных пандиагональных квадратов, считающихся базовыми с точностью до основных преобразований и преобразований параллельного переноса на торе.

 

                                               ***

 

Большинство ассоциативных квадратов, представленных здесь, связано преобразованиями “плюс-минус 2”, “плюс-минус 4”, “плюс-минус 10” и “плюс-минус 20”. Покажу примеры. Квадраты № 1 и № 2 связаны преобразованием “плюс-минус 10” (рис. 16):

 

                                             Квадрат № 1                Квадрат № 2

 

 

                                                                  Рис. 16

 

На исходный квадрат наложена мозаика преобразования; розовая клетка соответствует “плюс 10”, а сиреневая – “минус 10”.

На рис. 17 показаны квадраты № 17 и № 18, связанные преобразованием “плюс-минус 2”.

 

                                              Квадрат № 17          Квадрат № 18

 

 

                                                                  Рис. 17

 

Здесь нетрудно понять, что голубая клетка соответствует “плюс 2”, а синяя клетка – “минус 2”.

Следующие два квадрата связаны преобразованием “плюс-минус 4” (рис. 18):

 

                                             Квадрат № 21            Квадрат № 22

 

 

                                                                  Рис. 18

 

Здесь светло-зелёная клетка соответствует “плюс 4”, а бирюзовая клетка – “минус 4”.

И, наконец, два квадрата, связанные преобразованием “плюс-минус 20”, здесь в качестве исходного квадрата взят квадрат № 18 повёрнутый и отражённый (рис. 19):

 

                                            Квадрат № 18            Квадрат № 20

                                         (преобразованный)

 

 

                                                                  Рис. 19

 

Здесь в светло-жёлтых клетках надо прибавить 20, а в тёмно-жёлтых – вычесть 20.

Обратите внимание, что все четыре преобразования имеют одинаковую структуру. Удивительно красивые связи! Не правда ли? Раньше уже говорилось, почему подобные преобразования сохраняют пандиагональность и ассоциативность квадрата.

 

А вот какое интересное комбинированное преобразование “плюс-минус …” связывает квадраты № 1 и № 4 (рис. 20):

 

                                 мозаика преобразования

 

 

                          Квадрат № 1               Квадрат № 4

 

 

                                                   Рис. 20

 

Если исследовать все эти квадраты внимательнее, то могут обнаружиться ещё более удивительные связи. Этим я предлагаю заняться тем читателям, кому показалась интересной данная тема.

 

В заключение покажу основные типы чётно-нечётных рисунков пандиагональных и ассоциативных квадратов, которые здесь приведены (рис. 21).

 

                            Квадрат № 1         Квадрат № 5

 

 

                          Квадрат № 19           Квадрат № 21

 

 

                                               Рис. 21

 

Все остальные квадраты имеют один из представленных четырёх рисунков. Все рисунки обладают симметрией, два – относительно главных диагоналей, два – относительно главных осей симметрии квадрата (горизонтальной и вертикальной).

 

                                                                 ***

 

29 октября 2007 г.

 

Хочу рассказать ещё о некоторых методах построения ассоциативных квадратов, которые мне удалось обнаружить. Так, например, в статье “Магические квадраты пятнадцатого порядка” описан метод построения ассоциативных квадратов порядка n=3k (k=3,5,7…) двумя способами, принципиально одинаковыми. Первый способ: за основной квадрат берётся магический квадрат 3х3, а за базовый квадрат – ассоциативный квадрат порядка k. Второй способ: за основной квадрат берётся ассоциативный квадрат порядка k, а за базовый – магический квадрат 3х3.

 Посмотрите в указанной статье на ассоциативные квадраты 15х15 и 21х21, построенные таким методом.

Ссылка на статью: http://www.klassikpoez.narod.ru/mk15.htm

 

Здесь я покажу ещё построение ассоциативного квадрата девятого порядка и порядка 21 (вторым способом, в указанной выше статье был применён только один способ – основной квадрат 7х7, базовый квадрат – 3х3).

 

Квадрат девятого порядка интересен тем, что в нём и основной и базовый квадрат совпадают – оба эти квадрата имеют порядок 3. Во всех построениях за основной квадрат 3х3 я буду брать магический квадрат, изображённый на рис. 22.

 

 

                                                  Рис. 22

 

На рис. 23 вы видите ассоциативный квадрат девятого порядка, построенный этим методом. Замечу, что в указанной выше статье подробно описывается метод построения (на примере квадрата 15-ого порядка).

 

 

 

                                                                     Рис. 23

 

Если заменить в этом квадрате каждый квадрат 3х3 на одну ячейку и записать в эту ячейку сумму всех чисел квадрата 3х3, то в результате получится нетрадиционный магический квадрат, магическая константа которого равна 369*3=1107. И квадрат этот ассоциативен в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Этот квадрат показан на рис. 24.

 

 

 

                                                                     Рис. 24

 

А теперь возьмём за основной квадрат тот же самый (рис. 22), а за базовый – один из вариантов магического квадрата 3х3 (как известно, таких вариантов 8). В результате мы получим новый ассоциативный квадрат девятого порядка, который не получается из квадрата с рис. 23 ни поворотами, ни отражениями. Этот квадрат вы видите на рис. 25.

 

 

 

                                                                     Рис. 25

 

А вот если “свернуть” квадраты 3х3 в ячейки, то полученный нетрадиционный квадрат будет повёрнутым квадратом с рис. 24.

Так вы можете построить ещё шесть ассоциативных квадратов девятого порядка, перебрав все варианты магических квадратов 3х3 в качестве базы для построения. А потом попробуйте посмотреть, что получится, если брать другие варианты магических квадратов 3х3 в качестве основного квадрата.

 

Теперь покажу построение ассоциативного квадрата 21-ого порядка вторым способом – за основной квадрат беру магический квадрат 3х3 (рис. 22), а за базовый – ассоциативный квадрат седьмого порядка, построенный методом террас (см. рис. 7). Построенный таким образом ассоциативный квадрат вы видите на рис. 26.

 

 

 

                                                                  Рис. 26

 

Здесь тоже можно “свернуть” квадраты 3х3 в ячейки, в результате получится нетрадиционный магический квадрат седьмого порядка с магической константой 4641*3=13923 (4641 – магическая константа квадрата 21-ого порядка). Этот квадрат ассоциативен в описанном выше смысле. Квадрат изображён на рис. 27.

 

 

 

                                                                     Рис. 27

 

Если выбрать в качестве базового квадрата другой ассоциативный квадрат седьмого порядка, то построится новый ассоциативный квадрат 21-ого порядка.

 

А дальше мне надоело строить квадраты вручную, с помощью калькулятора, и я составила программу для построения следующего ассоциативного квадрата – порядка 27. За основной квадрат взяла снова магический квадрат с рис. 22, а в качестве базового выбрала ассоциативный квадрат девятого порядка, который я только что здесь построила (рис. 23). Ассоциативный квадрат 27-ого порядка, который мне построила программа, показываю в виде, записанном программой в файл:

 

 

 92  97  96  137  142  141  128  133  132  497  502  501  542  547  546  533  538  537  416  421  420  461  466  465  452  457  456

 99  95  91  144  140  136  135  131  127  504  500  496  549  545  541  540  536  532  423  419  415  468  464  460  459  455  451

 94  93  98  139  138  143  130  129  134  499  498  503  544  543  548  535  534  539  418  417  422  463  462  467  454  453  458

 155  160  159  119  124  123  83  88  87  560  565  564  524  529  528  488  493  492  479  484  483  443  448  447  407  412  411

 162  158  154  126  122  118  90  86  82  567  563  559  531  527  523  495  491  487  486  482  478  450  446  442  414  410  406

 157  156  161  121  120  125  85  84  89  562  561  566  526  525  530  490  489  494  481  480  485  445  444  449  409  408  413

 110  115  114  101  106  105  146  151  150  515  520  519  506  511  510  551  556  555  434  439  438  425  430  429  470  475  474

 117  113  109  108  104  100  153  149  145  522  518  514  513  509  505  558  554  550  441  437  433  432  428  424  477  473  469

 112  111  116  103  102  107  148  147  152  517  516  521  508  507  512  553  552  557  436  435  440  427  426  431  472  471  476

 659  664  663  704  709  708  695  700  699  335  340  339  380  385  384  371  376  375  11  16  15  56  61  60  47  52  51

 666  662  658  711  707  703  702  698  694  342  338  334  387  383  379  378  374  370  18  14  10  63  59  55  54  50  46

 661  660  665  706  705  710  697  696  701  337  336  341  382  381  386  373  372  377  13  12  17  58  57  62  49  48  53

 722  727  726  686  691  690  650  655  654  398  403  402  362  367  366  326  331  330  74  79  78  38  43  42  2  7  6

 729  725  721  693  689  685  657  653  649  405  401  397  369  365  361  333  329  325  81  77  73  45  41  37  9  5  1

 724  723  728  688  687  692  652  651  656  400  399  404  364  363  368  328  327  332  76  75  80  40  39  44  4  3  8

 677  682  681  668  673  672  713  718  717  353  358  357  344  349  348  389  394  393  29  34  33  20  25  24  65  70  69

 684  680  676  675  671  667  720  716  712  360  356  352  351  347  343  396  392  388  36  32  28  27  23  19  72  68  64

 679  678  683  670  669  674  715  714  719  355  354  359  346  345  350  391  390  395  31  30  35  22  21  26  67  66  71

 254  259  258  299  304  303  290  295  294  173  178  177  218  223  222  209  214  213  578  583  582  623  628  627  614  619  618

 261  257  253  306  302  298  297  293  289  180  176  172  225  221  217  216  212  208  585  581  577  630  626  622  621  617  613

 256  255  260  301  300  305  292  291  296  175  174  179  220  219  224  211  210  215  580  579  584  625  624  629  616  615  620

 317  322  321  281  286  285  245  250  249  236  241  240  200  205  204  164  169  168  641  646  645  605  610  609  569  574  573

 324  320  316  288  284  280  252  248  244  243  239  235  207  203  199  171  167  163  648  644  640  612  608  604  576  572  568

 319  318  323  283  282  287  247  246  251  238  237  242  202  201  206  166  165  170  643  642  647  607  606  611  571  570  575

 272  277  276  263  268  267  308  313  312  191  196  195  182  187  186  227  232  231  596  601  600  587  592  591  632  637  636

 279  275  271  270  266  262  315  311  307  198  194  190  189  185  181  234  230  226  603  599  595  594  590  586  639  635  631

 274  273  278  265  264  269  310  309  314  193  192  197  184  183  188  229  228  233  598  597  602  589  588  593  634  633  638

 

Можно построить ассоциативный квадрат 27-ого порядка и вторым способом, то есть за основной взять ассоциативный квадрат девятого порядка, а за базовый – магический квадрат 3х3. Такую программу я тоже составила. Интересно, что если поменять местами базовый и основной квадраты, которые были использованы в предыдущем построении, то построится тот же самый квадрат.

Далее показываю ассоциативный квадрат 27-ого порядка, который построился по программе, когда я ввела в качестве основного квадрата ассоциативный квадрат девятого порядка, построенный методом террас, а в качестве базового – магический квадрат 3х3 с рис. 22.

 

86  127  96  137  106  147  116  157  126  491  532  501  542  511  552  521  562  531  410  451  420  461  430  471  440  481  450

 135  95  136  105  146  115  156  125  85  540  500  541  510  551  520  561  530  490  459  419  460  429  470  439  480  449  409

 94  144  104  145  114  155  124  84  134  499  549  509  550  519  560  529  489  539  418  468  428  469  438  479  448  408  458

 143  103  153  113  154  123  83  133  93  548  508  558  518  559  528  488  538  498  467  427  477  437  478  447  407  457  417

 102  152  112  162  122  82  132  92  142  507  557  517  567  527  487  537  497  547  426  476  436  486  446  406  456  416  466

 151  111  161  121  90  131  91  141  101  556  516  566  526  495  536  496  546  506  475  435  485  445  414  455  415  465  425

 110  160  120  89  130  99  140  100  150  515  565  525  494  535  504  545  505  555  434  484  444  413  454  423  464  424  474

 159  119  88  129  98  139  108  149  109  564  524  493  534  503  544  513  554  514  483  443  412  453  422  463  432  473  433

 118  87  128  97  138  107  148  117  158  523  492  533  502  543  512  553  522  563  442  411  452  421  462  431  472  441  482

 653  694  663  704  673  714  683  724  693  329  370  339  380  349  390  359  400  369  5  46  15  56  25  66  35  76  45

 702  662  703  672  713  682  723  692  652  378  338  379  348  389  358  399  368  328  54  14  55  24  65  34  75  44  4

 661  711  671  712  681  722  691  651  701  337  387  347  388  357  398  367  327  377  13  63  23  64  33  74  43  3  53

 710  670  720  680  721  690  650  700  660  386  346  396  356  397  366  326  376  336  62  22  72  32  73  42  2  52  12

 669  719  679  729  689  649  699  659  709  345  395  355  405  365  325  375  335  385  21  71  31  81  41  1  51  11  61

 718  678  728  688  657  698  658  708  668  394  354  404  364  333  374  334  384  344  70  30  80  40  9  50  10  60  20

 677  727  687  656  697  666  707  667  717  353  403  363  332  373  342  383  343  393  29  79  39  8  49  18  59  19  69

 726  686  655  696  665  706  675  716  676  402  362  331  372  341  382  351  392  352  78  38  7  48  17  58  27  68  28

 685  654  695  664  705  674  715  684  725  361  330  371  340  381  350  391  360  401  37  6  47  16  57  26  67  36  77

 248  289  258  299  268  309  278  319  288  167  208  177  218  187  228  197  238  207  572  613  582  623  592  633  602  643  612

 297  257  298  267  308  277  318  287  247  216  176  217  186  227  196  237  206  166  621  581  622  591  632  601  642  611  571

 256  306  266  307  276  317  286  246  296  175  225  185  226  195  236  205  165  215  580  630  590  631  600  641  610  570  620

 305  265  315  275  316  285  245  295  255  224  184  234  194  235  204  164  214  174  629  589  639  599  640  609  569  619  579

 264  314  274  324  284  244  294  254  304  183  233  193  243  203  163  213  173  223  588  638  598  648  608  568  618  578  628

 313  273  323  283  252  293  253  303  263  232  192  242  202  171  212  172  222  182  637  597  647  607  576  617  577  627  587

 272  322  282  251  292  261  302  262  312  191  241  201  170  211  180  221  181  231  596  646  606  575  616  585  626  586  636

 321  281  250  291  260  301  270  311  271  240  200  169  210  179  220  189  230  190  645  605  574  615  584  625  594  635  595

 280  249  290  259  300  269  310  279  320  199  168  209  178  219  188  229  198  239  604  573  614  583  624  593  634  603  644

 

Напомню, что всё это были квадраты порядка n=3k, k=3,5,7…, то есть нечётного порядка, кратного 3.

 

Когда я начала работать над статьёй “Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков”, то обнаружила, что описанный метод годится и для построения ассоциативных квадратов порядка n=3k, k=4, 8, 12…, то есть для чётно-чётных порядков, кратных 3.

 

В указанной статье я построила таким методом квадрат 12-ого порядка. Ссылка на статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/panch.htm

 

Там основным квадратом был магический квадрат с рис. 22, а базовым служил ассоциативный квадрат четвёртого порядка, который вы видите на рис. 28.

 

 

 

                                                   Рис. 28

 

 А теперь я поменяю местами основной и базовый квадраты. Ассоциативный квадрат 12-ого порядка, который в этом случае получится, вы видите на рис. 29. Это другой квадрат, он отличается от того квадрата, который был построен в вышеуказанной статье.

 

 

 

                                                  Рис. 29

 

В этом квадрате можно “свернуть” квадраты 4х4 в ячейки. Получится нетрадиционный магический квадрат третьего порядка с магической константой 4*870=3480 (870 – магическая константа квадрата 12-ого порядка). Квадрат тоже ассоциативен (в описанном выше смысле ассоциативности для нетрадиционного квадрата). Вы видите этот квадрат на рис. 30.

 

 

 

                                                                      Рис. 30

 

Далее идёт квадрат 24-ого порядка. Строю его по программе. В качестве основного беру ассоциативный квадрат восьмого порядка, построенный упрощённым методом Рауз-Болла (этот квадрат приведён в статье “Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков”; ссылка чуть выше), а в качестве базового – магический квадрат третьего порядка с рис. 22. Привожу построенный программой ассоциативный квадрат 24 порядка прямо из файла, в который он записан программой:

 

 65  127  126  68  69  123  122  72  385  447  446  388  389  443  442  392  321  383  382  324  325  379  378  328

 120  74  75  117  116  78  79  113  440  394  395  437  436  398  399  433  376  330  331  373  372  334  335  369

 112  82  83  109  108  86  87  105  432  402  403  429  428  406  407  425  368  338  339  365  364  342  343  361

 89  103  102  92  93  99  98  96  409  423  422  412  413  419  418  416  345  359  358  348  349  355  354  352

 97  95  94  100  101  91  90  104  417  415  414  420  421  411  410  424  353  351  350  356  357  347  346  360

 88  106  107  85  84  110  111  81  408  426  427  405  404  430  431  401  344  362  363  341  340  366  367  337

 80  114  115  77  76  118  119  73  400  434  435  397  396  438  439  393  336  370  371  333  332  374  375  329

 121  71  70  124  125  67  66  128  441  391  390  444  445  387  386  448  377  327  326  380  381  323  322  384

 513  575  574  516  517  571  570  520  257  319  318  260  261  315  314  264  1  63  62  4  5  59  58  8

 568  522  523  565  564  526  527  561  312  266  267  309  308  270  271  305  56  10  11  53  52  14  15  49

 560  530  531  557  556  534  535  553  304  274  275  301  300  278  279  297  48  18  19  45  44  22  23  41

 537  551  550  540  541  547  546  544  281  295  294  284  285  291  290  288  25  39  38  28  29  35  34  32

 545  543  542  548  549  539  538  552  289  287  286  292  293  283  282  296  33  31  30  36  37  27  26  40

 536  554  555  533  532  558  559  529  280  298  299  277  276  302  303  273  24  42  43  21  20  46  47  17

 528  562  563  525  524  566  567  521  272  306  307  269  268  310  311  265  16  50  51  13  12  54  55  9

 569  519  518  572  573  515  514  576  313  263  262  316  317  259  258  320  57  7  6  60  61  3  2  64

 193  255  254  196  197  251  250  200  129  191  190  132  133  187  186  136  449  511  510  452  453  507  506  456

 248  202  203  245  244  206  207  241  184  138  139  181  180  142  143  177  504  458  459  501  500  462  463  497

 240  210  211  237  236  214  215  233  176  146  147  173  172  150  151  169  496  466  467  493  492  470  471  489

 217  231  230  220  221  227  226  224  153  167  166  156  157  163  162  160  473  487  486  476  477  483  482  480

 225  223  222  228  229  219  218  232  161  159  158  164  165  155  154  168  481  479  478  484  485  475  474  488

 216  234  235  213  212  238  239  209  152  170  171  149  148  174  175  145  472  490  491  469  468  494  495  465

 208  242  243  205  204  246  247  201  144  178  179  141  140  182  183  137  464  498  499  461  460  502  503  457

 249  199  198  252  253  195  194  256  185  135  134  188  189  131  130  192  505  455  454  508  509  451  450  512

 

Поменяв местами базовый и основной квадраты, получаю по программе такой ассоциативный квадрат 24-ого порядка:

 

2  7  6  560  565  564  551  556  555  29  34  33  38  43  42  524  529  528  515  520  519  65  70  69

 9  5  1  567  563  559  558  554  550  36  32  28  45  41  37  531  527  523  522  518  514  72  68  64

 4  3  8  562  561  566  553  552  557  31  30  35  40  39  44  526  525  530  517  516  521  67  66  71

 497  502  501  83  88  87  92  97  96  470  475  474  461  466  465  119  124  123  128  133  132  434  439  438

 504  500  496  90  86  82  99  95  91  477  473  469  468  464  460  126  122  118  135  131  127  441  437  433

 499  498  503  85  84  89  94  93  98  472  471  476  463  462  467  121  120  125  130  129  134  436  435  440

 425  430  429  155  160  159  164  169  168  398  403  402  389  394  393  191  196  195  200  205  204  362  367  366

 432  428  424  162  158  154  171  167  163  405  401  397  396  392  388  198  194  190  207  203  199  369  365  361

 427  426  431  157  156  161  166  165  170  400  399  404  391  390  395  193  192  197  202  201  206  364  363  368

 218  223  222  344  349  348  335  340  339  245  250  249  254  259  258  308  313  312  299  304  303  281  286  285

 225  221  217  351  347  343  342  338  334  252  248  244  261  257  253  315  311  307  306  302  298  288  284  280

 220  219  224  346  345  350  337  336  341  247  246  251  256  255  260  310  309  314  301  300  305  283  282  287

 290  295  294  272  277  276  263  268  267  317  322  321  326  331  330  236  241  240  227  232  231  353  358  357

 297  293  289  279  275  271  270  266  262  324  320  316  333  329  325  243  239  235  234  230  226  360  356  352

 292  291  296  274  273  278  265  264  269  319  318  323  328  327  332  238  237  242  229  228  233  355  354  359

 209  214  213  371  376  375  380  385  384  182  187  186  173  178  177  407  412  411  416  421  420  146  151  150

 216  212  208  378  374  370  387  383  379  189  185  181  180  176  172  414  410  406  423  419  415  153  149  145

 211  210  215  373  372  377  382  381  386  184  183  188  175  174  179  409  408  413  418  417  422  148  147  152

 137  142  141  443  448  447  452  457  456  110  115  114  101  106  105  479  484  483  488  493  492  74  79  78

 144  140  136  450  446  442  459  455  451  117  113  109  108  104  100  486  482  478  495  491  487  81  77  73

 139  138  143  445  444  449  454  453  458  112  111  116  103  102  107  481  480  485  490  489  494  76  75  80

 506  511  510  56  61  60  47  52  51  533  538  537  542  547  546  20  25  24  11  16  15  569  574  573

 513  509  505  63  59  55  54  50  46  540  536  532  549  545  541  27  23  19  18  14  10  576  572  568

 508  507  512  58  57  62  49  48  53  535  534  539  544  543  548  22  21  26  13  12  17  571  570  575

 

Таким образом, описанным методом можно построить ассоциативный квадрат любого порядка, кратного 3, за исключением, разумеется, чётно-нечётных порядков, для которых ассоциативных квадратов вообще не существует. Причём для любого порядка построить можно не один только квадрат, а несколько разных квадратов. Метод хорош своей простотой. Не надо много думать, достаточно выбрать основной и базовый квадраты, а дальше просто прибавлять к числам в ячейках основного квадрата некоторые константы, которые определяются базовым квадратом.

 

Как мне кажется, этот метод можно обобщить следующим образом: строить ассоциативный квадрат порядка n=k*m аналогичным способом, выбирая в качестве основного ассоциативный квадрат порядка k, а в качестве базового – ассоциативный квадрат порядка m, или наоборот. Прямо сейчас и проверяю свою гипотезу. Пусть мне надо построить ассоциативный квадрат 20-ого порядка. Этот порядок не кратен 3, поэтому описанный выше метод не годится. Однако порядок 20 можно представить как произведение 4*5. Вот и возьмём в качестве основного ассоциативный квадрат пятого порядка, а в качестве базового – ассоциативный квадрат четвёртого порядка. Разбиваем матрицу 20х20 на 16 квадратов 5х5 и заполняем все эти квадраты аналогично методу, описанному выше. Получается квадрат, который вы видите на рис. 31.

 

 

 

                                                                  Рис. 31

 

Ассоциативный квадрат получился! Квадрат, который здесь выбран основным, вы видите в левом верхнем квадрате 5х5 матрицы 20х20 (на рис. 30), а в качестве базового выбран ассоциативный квадрат четвёртого порядка с рис. 28.

А теперь представьте, сколько разных ассоциативных квадратов 20-ого порядка можно построить этим методом! Кстати, квадрат этот я тоже строила по программе, но для большей наглядности поместила его в таблицу. Введя в программу другие основной и базовый квадраты, я моментально получаю новый ассоциативный квадрат. Ну, например, возьму в качестве базового тот же самый квадрат четвёртого порядка (рис. 28), а в качестве основного – ассоциативный квадрат пятого порядка, построенный методом террас. Вот какой ассоциативный квадрат 20-ого порядка построила программа на основе этих квадратов:

 

3  16  9  22  15  328  341  334  347  340  353  366  359  372  365  78  91  84  97  90

 20  8  21  14  2  345  333  346  339  327  370  358  371  364  352  95  83  96  89  77

 7  25  13  1  19  332  350  338  326  344  357  375  363  351  369  82  100  88  76  94

 24  12  5  18  6  349  337  330  343  331  374  362  355  368  356  99  87  80  93  81

 11  4  17  10  23  336  329  342  335  348  361  354  367  360  373  86  79  92  85  98

 178  191  184  197  190  253  266  259  272  265  228  241  234  247  240  103  116  109  122  115

 195  183  196  189  177  270  258  271  264  252  245  233  246  239  227  120  108  121  114  102

 182  200  188  176  194  257  275  263  251  269  232  250  238  226  244  107  125  113  101  119

 199  187  180  193  181  274  262  255  268  256  249  237  230  243  231  124  112  105  118  106

 186  179  192  185  198  261  254  267  260  273  236  229  242  235  248  111  104  117  110  123

 278  291  284  297  290  153  166  159  172  165  128  141  134  147  140  203  216  209  222  215

 295  283  296  289  277  170  158  171  164  152  145  133  146  139  127  220  208  221  214  202

 282  300  288  276  294  157  175  163  151  169  132  150  138  126  144  207  225  213  201  219

 299  287  280  293  281  174  162  155  168  156  149  137  130  143  131  224  212  205  218  206

 286  279  292  285  298  161  154  167  160  173  136  129  142  135  148  211  204  217  210  223

 303  316  309  322  315  28  41  34  47  40  53  66  59  72  65  378  391  384  397  390

 320  308  321  314  302  45  33  46  39  27  70  58  71  64  52  395  383  396  389  377

 307  325  313  301  319  32  50  38  26  44  57  75  63  51  69  382  400  388  376  394

 324  312  305  318  306  49  37  30  43  31  74  62  55  68  56  399  387  380  393  381

 311  304  317  310  323  36  29  42  35  48  61  54  67  60  73  386  379  392  385  398

 

Можно поменять местами основной и базовый квадраты. Тогда матрицу 20х20 надо будет разбить на 25 квадратов 4х4 и далее всё аналогично. Для этого случая в программу тоже придётся внести некоторые изменения.

 

Итак, метод действительно получился универсальным. Кроме того, следует заметить, что в некоторых случаях порядок квадрата, который мы хотим построить, можно представить в виде произведения двух чисел несколькими способами. Например, мы хотим построить ассоциативный квадрат порядка 48. Этот порядок можно представить в виде произведения так: 4*12 или 3*16. Значит, ассоциативный квадрат 48-ого порядка можно строить на основе ассоциативных квадратов 4-ого и 12-ого порядка, либо на основе ассоциативных квадратов 3-его и 16-ого порядка. Представление в виде произведения 6*8 не годится, так как ассоциативного квадрата 6-ого порядка не существует.

 

Представлю в общем случае матрицу квадрата порядка n=k*m, который построю описанным методом. Пусть квадрат порядка k будет базовым, обозначим его матрицу (a_ij); квадрат порядка m пусть будет основным, его матрицу обозначим  (b_ij); матрицу построенного данным методом квадрата обозначим (c_ij). Ясно, что и основной, и базовый квадраты должны быть ассоциативными (мы выбираем их сами). На рис. 32 показываю некоторые элементы матрицы построенного квадрата.

 

 

 

                                               Рис. 32

 

Теперь посмотрим на суммы двух пар элементов этого квадрата, симметрично расположенных относительно центра квадрата, а именно – угловых. Заметим, что в силу ассоциативности базового и основного квадрата имеем:

 

a₁₁+a_kk=k²+1            a_1k+a_k1=k²+1

b₁₁+b_mm=m²+1         b_1m+b_m1=m²+1

 

Считаем суммы симметричных элементов построенного квадрата:

 

c₁₁+c_nn = b₁₁+m²(a₁₁-1) + b_mm+m²(a_kk-1) = b₁₁+b_mm+m²(a₁₁+a_kk-2) =

m²+1+m²(k²+1-2) = m²+1+m²k²-m² = m²k²+1 = n²+1

 

c_1n+c_n1 = b_1m+m²(a_1k-1) + b_m1+m²(a_k1-1) = b_1m+b_m1+m²(a_1k+a_k1-2) =

m²+1+m²(k²+1-2) = m²+1+m²k²-m² = m²k²+1 = n²+1

 

Как видим, суммы симметричных элементов в построенном квадрате такие, какие должны быть в ассоциативном квадрате. Таким же образом можно посчитать сумму любых двух симметричных элементов построенного квадрата и убедиться, что она равна n²+1.

Теперь мы строго доказали, что описанный метод построения на основе двух ассоциативных квадратов действительно даёт нам ассоциативный квадрат.

 

В заключение приведу текст программы для построения ассоциативного квадрата 20-ого порядка. По образцу этой программы вы можете написать программу для построения ассоциативного квадрата любого порядка изложенным методом.

 

       ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM A(4, 4), B(5, 5), C(20, 20)

15 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

17 PRINT "WWEDITE BAZOWYJ KWADRAT"

20 FOR I = 1 TO 4

25 FOR J = 1 TO 4

30 INPUT A(I, J)

35 NEXT J

40 NEXT I

45 PRINT "WWEDITE OSNOWNOJ KWADRAT"

50 FOR I = 1 TO 5

55 FOR J = 1 TO 5

60 INPUT B(I, J)

65 NEXT J

70 NEXT I

75 FOR I = 1 TO 5

80 FOR J = 1 TO 5

85 C(I, J) = B(I, J) + 25 * (A(1, 1) - 1)

90 C(I, J + 5) = B(I, J) + 25 * (A(1, 2) - 1)

95 C(I, J + 10) = B(I, J) + 25 * (A(1, 3) - 1)

130 C(I, J + 15) = B(I, J) + 25 * (A(1, 4) - 1)

135 C(I + 5, J) = B(I, J) + 25 * (A(2, 1) - 1)

140 C(I + 5, J + 5) = B(I, J) + 25 * (A(2, 2) - 1)

175 C(I + 5, J + 10) = B(I, J) + 25 * (A(2, 3) - 1)

180 C(I + 5, J + 15) = B(I, J) + 25 * (A(2, 4) - 1)

185 C(I + 10, J) = B(I, J) + 25 * (A(3, 1) - 1)

190 C(I + 10, J + 5) = B(I, J) + 25 * (A(3, 2) - 1)

195 C(I + 10, J + 10) = B(I, J) + 25 * (A(3, 3) - 1)

200 C(I + 10, J + 15) = B(I, J) + 25 * (A(3, 4) - 1)

205 C(I + 15, J) = B(I, J) + 25 * (A(4, 1) - 1)

210 C(I + 15, J + 5) = B(I, J) + 25 * (A(4, 2) - 1)

215 C(I + 15, J + 10) = B(I, J) + 25 * (A(4, 3) - 1)

220 C(I + 15, J + 15) = B(I, J) + 25 * (A(4, 4) - 1)

490 NEXT J

495 NEXT I

500 FOR I = 1 TO 20

505 Z = Z + C(I, I)

510 NEXT I

515 IF Z <> 4010 THEN 550

517 Z = 0

520 FOR I = 1 TO 20

525 Z = Z + C(I, 21 - I)

527 NEXT I

530 IF Z <> 4010 THEN 550

532 FOR I = 1 TO 20

534 FOR J = 1 TO 20

536 PRINT C(I, J);

538 PRINT #1, C(I, J);

540 NEXT J

542 PRINT : PRINT #1,

544 NEXT I

545 CLOSE #1

546 GOTO 560

550 PRINT "PROIZOSHLA OSHIBKA!"

555 GOTO 17

560 END

 

Для подстраховки от ошибок при вводе основного и базового квадратов в программу введена проверка сумм по главным диагоналям построенного квадрата.

 

                                      ***

 

Жду ваших отзывов о статье!

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу